章末总结(二)

第二章声现象第1节声音的产生与传播1、声音的产生1)正在发声的物体叫做______；2)声音是由物体的______产生，______停止，发声停止；3)一切发声体都在______。

2、声音的传播1)声音的传播需要物质，我们把能够传播声音的物质叫做______。

它可以是___体、___体或和___体，真空中______(能/不能)传声；2)声音以___的形式传播着，我们把它叫做______。

隔墙有耳说明声音可以在___体中传播，说话声吓跑游鱼说明声音可以在___体中传播，人与人交谈说明声音可以在___体中传播。

3、声速1)声音在介质中每秒传播的距离叫做______，用___表示；2)声速的大小跟_______________有关，还跟_______________有关。

15℃时空气中的声速是_________；3)声音在不同的介质中传播速度______（不同/相同），一般情况下______>______>______。

第2节声音的特性1、音调1)声音的高低叫做______；2)频率是表示__________________的物理量，它的大小等于________________________，它的单位是：______，简称___，符号为：___；3)音调的高低取决于振动的______，____________，音调也就越高；4)人能感受的声音频率有一定的范围，多数人能够听到的频率范围大约从______到_________。

人们把___________________叫做超声波，把___________________叫做次声波。

2、响度1)声音的强弱叫做______；2)物理学中用______来描述物体振动的幅度，也是物体离开原来位置的____________；3)响度和发声体的______有关，______越大，响度越大；______越小，响度越小；4)响度和______有关，______越远，响度越___。

章末总结知识点一圆锥曲线的定义和性质关于圆锥曲线的相关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形联合思想、方程思想联合起来．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵巧运用．例 1已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为2， F1， F2为左、右焦点，P 为双曲线上一点，且∠ F1 PF2＝ 60°， S△PF1F2＝ 123，求双曲线的标准方程．知识点二直线与圆锥曲线的地点关系直线与圆锥曲线一般有三种地点关系：订交、相切、相离．在直线与双曲线、抛物线的地点关系中有一种状况，即直线与其交于一点和切于一点，两者在几何意义上是截然相反的，反应在代数方程上也是完整不一样的，这在解题中既是一个难点也是一个十分简单被忽略的地方．圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲线的两个交点无穷凑近时的极限状况，反应在消元后的方程上，就是一元二次方程有两个相等的实数根，即鉴别式等于零；而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特别的情况 (抛物线中与对称轴平行，双曲线中与渐近线平行 ) ，反应在消元后的方程上，该方程是一次的．例 2如下图， O 为坐标原点，过点 P(2， 0)且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 y2＝ 2x 于 M(x 1，y1)，N(x 2， y2) 两点．(1)求 x1x2与 y1 y2的值；(2)求证： OM ⊥ ON.知识点三轨迹问题轨迹是分析几何的基本问题，求解的方法有以下几种：(1)直接法：成立适合的坐标系，设动点为(x， y)，依据几何条件直接追求x、 y 之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点变换为已知动点．详细地说，就是用所求动点的坐标x 、 y 来表示已知动点的坐标并代入已知动点知足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x 、 y 之间的关系式．(3)定义法：假如所给几何条件正好切合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x ，y)的坐标 x ， y 所知足的关系式时，借助第三个变量 t ，成立 t 和 x ，t 和 y 的关系式x ＝ φ(t)，y ＝ Φ(t)，再经过一些条件消掉 t 就间接地找到了 x 和 y 所知足的方程，从而求出动点 P(x ， y)所形成的曲线的一般方程．例 3 设点 A 、B OM ⊥ AB ，垂足为 是抛物线 y 2 ＝4px (p>0) 上除原点 O 之外的两个动点， 已知 OA ⊥OB ，M ，求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？知识点四圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中的定点、 定值问题是高考命题的一个热门，也是圆锥曲线问题中的一个难点，解决这个难点没有惯例的方法， 但解决这个难点的基本思想是明确的， 定点、定值问题必定是在变化中所表现出来的不变的量，那么就能够用变化的量表示问题的直线方程、数目积、比率关系等，这些直线方程、数目积、比率关系不受变化的量所影响的某个点或值，就是要求的定点、 定值．化解这种问题难点的要点就是引进变化的参数表示直线方程、数目积、比率关系等，依据等式的恒成立、数式变换等找寻不受参数影响的量．2 2例 4 若直线 l ：y ＝kx ＋ m 与椭圆 x ＋y ＝ 1 订交于 A 、B 两点 (A 、B 不是左、 右极点 )， 4 3A 2 为椭圆的右极点且 AA 2⊥ BA 2，求证：直线 l 过定点．知识点五圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值、范围问题，是高考热门，主要有以下两种求解策略：(1)平面几何法平面几何法求最值问题，主假如运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解．(2)目标函数法成立目标函数解与圆锥曲线相关的最值问题，是惯例方法， 其要点是选用适合的变量建立目标函数，而后运用求函数最值的方法确立最值．22 例 5 已知 A(4,0) ，B(2,2) 是椭圆 x y ＝ 1 M 是椭圆上的动点，求25＋ 9 内的两定点，点MA ＋ MB 的最值．2 y 2例 6 已知 F 1、 F 2 为椭圆 x ＋ 2 ＝ 1 的上、下两个焦点， AB 是过焦点 F 1 的一条动弦，求△ABF 2面积的最大值．章末总结要点解读例 1解如下图，设双曲线方程为 x 2 y 2a 2－b 2＝ 1 (a>0，b>0) ． c∵ e ＝ ＝ 2，∴ c ＝ 2a.由双曲线的定义，得 |PF 1－ PF 2|＝ 2a ＝ c ，在△ PF 1F 2 中，由余弦定理，得：F 1 F 22＝ PF 21＋ PF 22－ 2PF 1·PF 2cos 60 °＝ (PF 1－ PF 2)2＋ 2PF 1·PF 2(1－ cos60 )°，即 4c 2＝ c 2 ＋PF 1·PF 2.①又 S △ PF 1F 2＝ 12 3，1∴ 2PF 1·PF 2sin 60 ＝°12 3，即 PF 1·PF 2＝ 48.②由①②，得 c 2＝ 16， c ＝ 4，则 a ＝ 2， b 2＝ c 2－ a 2＝ 12，2 2 ∴所求的双曲线方程为x － y ＝ 1. 4 12例 2 (1) 解 过点 P(2,0)且斜率为 k 的直线方程为： y ＝ k(x －2) ．把 y ＝ k(x － 2)代入 y 2 ＝2x ， 2 2 2 2＝0，消去 y 得 k x － (4k ＋ 2)x ＋ 4k 因为直线与抛物线交于不一样两点，故 k 2≠0且 ＝ (4k 2＋ 2)2－ 16k 4＝ 16k 2＋ 4>0 ，2 x 1x 2＝ 4， x 1＋ x 2＝ 4＋ k 2，∵ M 、N 两点在抛物线上， ∴y 21 ·y 22＝ 4x 1·x 2＝ 16，而y 1·y 2<0 ，∴ y 1y 2＝－ 4.→ →， y 2)，（ 2）证明 ∵OM (x 1， y 1 )， ON ＝(x 2→ →∴ OM ·ON ＝ x1·x2＋ y1·y2＝ 4－ 4＝ 0.→→∴ OM ⊥ ON，即 OM ⊥ ON.例 3解设直线 OA 的方程为 y＝ kx (k ≠±1，因为当 k＝±1 时，直线 AB 的斜率不存在 )，则直线 OB 的方程为 y＝－x， k从而可求 A 4p4p、 B(4pk2，－ 4pk)k2，k．于是直线 AB 的斜率为k AB＝k2，1－ k从而 k OM＝k2－ 1k，2k － 1∴直线 OM 的方程为y＝x，①k－k直线 AB 的方程为y＋ 4pk＝k2－1(x－ 4pk 2)．②将①②相乘，得y2＋ 4pky＝－ x(x － 4pk2)，即 x2＋ y2＝－ 4pky ＋ 4pk 2x＝ 4p(k 2x－ ky)，③2又kx－ky ＝ x，代入③式并化简，222得 (x－ 2p) ＋ y ＝ 4p .当 k＝±1 时，易求得直线AB 的方程为x＝4p.故此时点 M 的坐标为 (4p,0) ，也在 (x－ 2p)2＋ y2＝ 4p2 (x ≠ 0)上．∴点 M 的轨迹方程为(x－ 2p)2＋ y2＝ 4p2 (x ≠ 0)，∴其轨迹是以(2p,0)为圆心，半径为2p 的圆，去掉坐标原点．例 4证明设 A(x 1， y1)，B(x 2， y2)，y＝ kx＋ m，联立x2＋ y2＝1，4 3得 (3＋ 4k2)x2＋ 8mkx ＋ 4(m2－ 3)＝ 0，＝64m2k2－16(3 ＋ 4k2)(m 2－ 3)>0 ，则x1＋x2＝－8mk2，3＋ 4k4(m2－ 3)x1x2＝3＋4k2 .3＋ 4k2－ m2>0，即x1＋ x2＝－8mk2，3＋ 4kx1x2＝4(m2－ 3)3＋4k 2 .又 y1y2＝(kx 1＋ m)(kx 2＋ m)＝ k2x1x2＋ mk(x 1＋ x2)＋m2223(m － 4k )∵椭圆的右极点为 A 2(2,0)， AA 2⊥BA 2，∴(x1－ 2)(x 2－ 2)＋ y1y2＝ 0.∴y1 y2＋x1 x2－ 2(x1＋ x2)＋ 4＝ 0.∴ 3(m 2－ 4k2)＋ 4(m2－ 3)＋ 16mk2＋ 4＝0.24k23＋4k3＋3＋ 4k∴ 7m2＋ 16km＋4k 2＝ 0，2k22解得 m1＝－ 2k， m2＝－，且均知足3＋ 4k － m >0.当 m1＝－ 2k 时， l 的方程为 y＝ k(x －2) ，直线过定点 (2,0) ，与已知矛盾．当 m2＝－2k时， l 的方程为 y＝ k x－2，直线过定点2， 0，777∴直线 l 过定点．例 5 解因为 A(4,0) 是椭圆的右焦点，设A′为椭圆的左焦点，则 A′(－4,0)，由椭圆定义知MA ＋ MA′＝ 10.如下图，则MA ＋ MB ＝ MA ＋ MA′＋ MB － MA′＝10＋ MB － MA′≤ 10＋ A′B.当点 M 在 BA′的延伸线上时取等号．因此当 M 为射线 BA′与椭圆的交点时，(MA ＋MB) max＝ 10＋A′B＝10＋ 2 10.又如下图，MA ＋ MB ＝ MA ＋ MA′－ MA′＋ MB ＝10－(MA′－ MB)≥ 10－ A′B，当 M 在 A′B的延伸线上时取等号．因此当 M 为射线 A′B与椭圆的交点时，(MA ＋MB) min＝ 10－ A′B＝ 10－ 2 10.例 6解由题意，F1F2＝ 2.设直线 AB 方程为 y＝ kx＋ 1，代入椭圆方程2x2＋ y2＝ 2，得 (k2＋ 2)x 2＋ 2kx － 1＝ 0，则 x A＋ x B＝－22k， x A·x B＝－21，k＋ 2k＋ 2∴ |x A－ x B|＝8(k2＋1) k2＋ 2.1F1F2·|x A－ x B|＝2 2×k2＋ 1S△ABF 2＝22k ＋ 2＝2 2×11＝ 2.≤22×k2＋1＋12k2＋1当 k2＋ 1＝k 1，即 k＝ 0 时，2＋ 1S△ABF 2有最大面积为 2.章末总结知识点一圆锥曲线的定义和性质关于圆锥曲线的相关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形联合思想、方程思想联合起来．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵巧运用．例 1 已知双曲线的焦点在 x 轴上，离心率为 2， F1， F2为左、右焦点， P 为双曲线上一点，且∠ F1 PF2＝ 60°， S△PF1F2＝ 12 3，求双曲线的标准方程．知识点二直线与圆锥曲线的地点关系直线与圆锥曲线一般有三种地点关系：订交、相切、相离．在直线与双曲线、抛物线的地点关系中有一种状况，即直线与其交于一点和切于一点，两者在几何意义上是截然相反的，反应在代数方程上也是完整不一样的，这在解题中既是一个难点也是一个十分简单被忽略的地方．圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲线的两个交点无穷凑近时的极限状况，反应在消元后的方程上，就是一元二次方程有两个相等的实数根，即鉴别式等于零；而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特别的情况 (抛物线中与对称轴平行，双曲线中与渐近线平行 ) ，反应在消元后的方程上，该方程是一次的．例 2如下图， O 为坐标原点，过点 P(2， 0)且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 y2＝ 2x 于 M(x 1，y1)，N(x 2， y2) 两点．(1)求 x1x2与 y1 y2的值；(2)求证： OM ⊥ ON.知识点三轨迹问题轨迹是分析几何的基本问题，求解的方法有以下几种：(1)直接法：成立适合的坐标系，设动点为(x， y)，依据几何条件直接追求x、 y 之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点变换为已知动点．详细地说，就是用所求动点的坐标x、 y来表示已知动点的坐标并代入已知动点知足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x、 y 之间的关系式．(3)定义法：假如所给几何条件正好切合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x ，y)的坐标 x ， y 所知足的关系式时，借助第三个变量 t ，成立 t 和 x ，t 和 y 的关系式x ＝ φ(t)，y ＝ Φ(t)，再经过一些条件消掉 t 就间接地找到了 x 和 y 所知足的方程，从而求出动点 P(x ， y)所形成的曲线的一般方程．例 3 设点 A 、B OM ⊥ AB ，垂足为是抛物线 y 2＝4px (p>0) 上除原点 O 之外的两个动点， 已知 OA ⊥OB ，M ，求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？知识点四圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中的定点、 定值问题是高考命题的一个热门，也是圆锥曲线问题中的一个难点，解决这个难点没有惯例的方法， 但解决这个难点的基本思想是明确的， 定点、定值问题必定是在变化中所表现出来的不变的量，那么就能够用变化的量表示问题的直线方程、数目积、比率关系等，这些直线方程、数目积、比率关系不受变化的量所影响的某个点或值，就是要求的定点、 定值．化解这种问题难点的要点就是引进变化的参数表示直线方程、数目积、比率关系等，依据等式的恒成立、数式变换等找寻不受参数影响的量．2 2例 4 若直线 l ：y ＝kx ＋ m 与椭圆 x 4 ＋y3 ＝ 1 订交于 A 、B 两点 (A 、B 不是左、 右极点 )，A 2 为椭圆的右极点且 AA 2⊥ BA 2，求证：直线 l 过定点．知识点五圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值、范围问题，是高考热门，主要有以下两种求解策略：(1)平面几何法平面几何法求最值问题，主假如运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解．(2)目标函数法成立目标函数解与圆锥曲线相关的最值问题，是惯例方法，其要点是选用适合的变量建立目标函数，而后运用求函数最值的方法确立最值．x2y2例 5已知 A(4,0) ，B(2,2) 是椭圆25＋9＝ 1 内的两定点，点M 是椭圆上的动点，求MA ＋ MB 的最值．例 6已知F、F2y2AB 是过焦点 F的一条动弦，为椭圆 x ＋＝ 1 的上、下两个焦点，1221求△ABF 2面积的最大值．章末总结要点解读例 1解如下图，设双曲线方程为x2y2a2－b2＝1 (a>0，b>0)．c∵ e＝a＝ 2，∴ c＝ 2a.得 |PF1－ PF2|＝ 2a＝ c，在△ PF1F2中，由余弦定理，得：F1 F22＝ PF21＋ PF22－ 2PF1·PF2cos 60 °＝(PF1－ PF2)2＋ 2PF1·PF2(1－ cos60 )°，即 4c2＝ c2＋PF1·PF2.①又 S△ PF1F2＝ 12 3，1∴2PF1·PF2sin 60 ＝°12 3，即 PF1·PF2＝ 48.②由①②，得c2＝ 16， c＝ 4，则 a＝ 2， b2＝ c2－ a2＝ 12，∴所求的双曲线方程为x2－y2＝ 1.4 12例 2 (1) 解过点P(2,0)且斜率为k 的直线方程为：y＝ k(x －2) ．把 y＝ k(x － 2)代入 y2＝2x，消去 y 得 k2x2－ (4k2＋ 2)x＋ 4k2＝0，因为直线与抛物线交于不一样两点，故 k2≠0且＝(4k2＋2)2－16k4＝16k2＋4>0，2x1x2＝ 4， x1＋ x2＝ 4＋k2，∵M 、N 两点在抛物线上，∴y21·y22＝ 4x1·x2＝ 16，而 y1·y2<0 ，∴ y1y2＝－ 4.（ 2）证明→→， y2)，∵OM(x1， y1 )， ON ＝(x2→ →∴ OM ·ON ＝ x1·x2＋ y1·y2＝ 4－ 4＝ 0.→→∴ OM ⊥ ON，即 OM ⊥ ON.例 3解设直线 OA 的方程为 y＝ kx (k ≠±1，因为当 k＝±1 时，直线 AB 的斜率不存在 )，则直线 OB 的方程为 y＝－x， k从而可求 A 4p4p、 B(4pk2，－ 4pk)k2，k．于是直线 AB 的斜率为k AB＝k2，1－ kk2－ 1从而 k OM＝k，2k － 1∴直线 OM 的方程为y＝x，①k－k直线 AB 的方程为y＋ 4pk＝k2－1(x－ 4pk 2)．②将①②相乘，得y2＋ 4pky＝－ x(x － 4pk2)，即 x2＋ y2＝－ 4pky ＋ 4pk 2x＝ 4p(k 2x－ ky)，③2又kx－ky ＝ x，代入③式并化简，222得 (x－ 2p) ＋ y ＝ 4p .当 k＝±1 时，易求得直线AB 的方程为x＝4p.故此时点 M 的坐标为 (4p,0) ，也在 (x－ 2p)2＋ y2＝ 4p2 (x ≠ 0)上．∴点 M 的轨迹方程为 (x－ 2p)2＋ y2＝ 4p2 (x ≠ 0)，∴其轨迹是以 (2p,0)为圆心，半径为 2p 的圆，去掉坐标原点．例 4证明设 A(x 1， y1)，B(x 2， y2)，y＝ kx＋ m，联立x2y2＋＝ 1，4 3得 (3＋ 4k2)x2＋ 8mkx ＋ 4(m2－ 3)＝ 0，＝64m2k2－16(3 ＋ 4k2)(m 2－ 3)>0 ，则x1＋x2＝－8mk2，3＋ 4k4(m2－ 3)x1x2＝3＋4k2 .3＋ 4k2－ m2>0，即x1＋ x2＝－8mk2，3＋ 4kx1x2＝4(m2－ 3)3＋4k 2 .又 y1y2＝(kx 1＋ m)(kx 2＋ m)＝ k2x1x2＋ mk(x 1＋ x2)＋m2223(m － 4k )∵椭圆的右极点为 A 2(2,0)， AA 2⊥BA 2，∴(x1－ 2)(x 2－ 2)＋ y1y2＝ 0.∴y1 y2＋x1 x2－ 2(x1＋ x2)＋ 4＝ 0.∴ 3(m 2－ 4k2)＋ 4(m2－ 3)＋ 16mk2＋ 4＝0.24k23＋4k3＋3＋ 4k∴ 7m2＋ 16km＋4k 2＝ 0，2k22解得 m1＝－ 2k， m2＝－，且均知足3＋ 4k － m >0.当 m1＝－ 2k 时， l 的方程为 y＝ k(x －2) ，直线过定点 (2,0) ，与已知矛盾．当 m2＝－2k时， l 的方程为 y＝ k x－2，直线过定点2， 0，777∴直线 l 过定点．例 5 解因为 A(4,0) 是椭圆的右焦点，设A′为椭圆的左焦点，则 A′(－4,0)，由椭圆定义知MA ＋ MA′＝ 10.如下图，则MA ＋ MB ＝ MA ＋ MA′＋ MB － MA′＝10＋ MB － MA′≤ 10＋ A′B.当点 M 在 BA′的延伸线上时取等号．因此当 M 为射线 BA′与椭圆的交点时，(MA ＋MB) max＝ 10＋A′B＝10＋ 2 10.又如下图，MA ＋ MB ＝ MA ＋ MA′－ MA′＋ MB ＝10－(MA′－ MB)≥ 10－ A′B，当 M 在 A′B的延伸线上时取等号．因此当 M 为射线 A′B与椭圆的交点时，(MA ＋MB) min＝ 10－ A′B＝ 10－ 2 10.例 6解由题意，F1F2＝ 2.设直线 AB 方程为 y＝ kx＋ 1，代入椭圆方程2x2＋ y2＝ 2，得 (k2＋ 2)x 2＋ 2kx － 1＝ 0，则 x A＋ x B＝－22k， x A·x B＝－21，k＋ 2k＋ 2∴ |x A－ x B|＝8(k2＋1) k2＋ 2.1F1F2·|x A－ x B|＝2 2×k2＋ 1S△ABF 2＝22k ＋ 2＝2 2×11＝ 2.≤22×k2＋1＋12k2＋1当 k2＋ 1＝k 1，即 k＝ 0 时，2＋ 1S△ABF 2有最大面积为 2.。

专题02 二次函数章末重难点题型【举一反三】【考点1 二次函数的概念】二次函数的定义：一般地，形如y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．y ═ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）也叫做二次函数的一般形式．【例1】（2019秋•泰兴市校级月考）下列函数关系式中，y 是x 的二次函数是( )A ．2y ax bx c =++B ．21y x x =-C ．2325y x x ++D ．2(32)(43)12y x x x =+--【思路点拨】根据二次函数的定义，可得答案．【答案】解：A 、a ＝0时，不是二次函数，故A 错误；B 、不是二次函数，故B 错误；C 、是二次函数，故C 正确；D 、不含二次项，不是二次函数，故D 错误；故选：C ．【方法总结】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义，二次函数：y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）是二次函数．【变式1-1】（2019秋•文水县期中）已知函数：①2y ax =；②23(1)2y x =-+；③22(3)2y x x =+-；④21y x x =+．其中，二次函数的个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【思路点拨】根据形如y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的函数为二次函数即可得到结论．【答案】解：根据定义②y ＝3（x ﹣1）2+2；③y ＝（x +3）2﹣2x 2是二次函数故选：B ．【方法总结】本题考查二次函数的定义，解题的关键正确理解二次函数的定义，本题属于基础题型．【变式1-2】（2019秋•苍溪县期中）已知函数||(2)1m y m x mx =-+-，其图象是抛物线， 则m 的取值是( )A ．2m =B ．2m =-C ．2m =±D ．0m ≠【思路点拨】根据二次函数最高次数是二次，二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案．【答案】解：∵函数y ＝（m ﹣2）x |m |+mx ﹣1，其图象是抛物线，∴|m |＝2且m ﹣2≠0，解得m ＝﹣2．故选：B ．【方法总结】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义：形如y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）是二次函数，注意二次项的系数不等于零是解题关键．【变式1-3】（2019秋•南康区期中）若22(2)32my m x x -=-+-是二次函数，则m 等于( ) A ．2- B ．2 C ．2±D ．不能确定 【思路点拨】根据二次函数的定义求解即可．【答案】解：由题意，得m 2﹣2＝2，且m ﹣2≠0，解得m ＝﹣2，故选：A ．【考点2 二次函数与一次函数图象】【例2】（2019秋•花都区期中）在同一直角坐标系中2y ax b =+与(0,0)y ax b a b =+≠≠图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【思路点拨】本题由一次函数y ＝ax +b 图象得到字母系数的正负，再与二次函数y ＝ax 2+b 的图象相比较看是否一致．【答案】解：A 、由抛物线可知，a ＜0，b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＜0，故本选项正确；B 、由抛物线可知，a ＜0，b ＞0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误；C 、由抛物线可知，a ＞0，b ＜0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误；D 、由抛物线可知，a ＞0，b ＞0，由直线可知，a ＜0，b ＞0，故本选项错误．故选：A ．【方法总结】本题考查了一次函数和二次函数的图象．解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图象的性质．【变式2-1】（2018秋•厦门期中）在同一平面直角坐标系中，函数2y ax bx =+与y bx a =-+的图象可能是()A ．B ．C ．D ．【思路点拨】首先根据图形中给出的一次函数图象确定a 、b 的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．【答案】解：A 、对于直线y ＝﹣bx +a 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＜0；而对于抛物线y ＝ax 2+bx 来说，对称轴x ＝﹣＞0，在y 轴的右侧，符合题意，图形正确．B 、对于直线y ＝﹣bx +a 来说，由图象可以判断，a ＜0，b ＞0；而对于抛物线y ＝ax 2+bx 来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．C 、对于直线y ＝﹣bx +a 来说，由图象可以判断，a ＜0，b ＜0；而对于抛物线y ＝ax 2+bx 来说，对称轴＝﹣＜0，应位于y 轴的左侧，故不合题意，图形错误，D 、对于直线y ＝﹣bx +a 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＜0；而对于抛物线y ＝ax 2+bx 来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．故选：A ．【方法总结】此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a 、b 的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答．【变式2-2】（2019秋•沂水县期中）在同一直角坐标系中，一次函数y ax c =+和二次函数2()y a x c =+的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【思路点拨】本题形数结合，一次函数y ＝ax +b ，可判断a 、c 的符号；根据二次函数y ＝a （x +c ）2的图象位置，可得a ，c ．经历：图象位置﹣系数符号﹣图象位置．【答案】解：A 、函数y ＝ax +c 中，a ＞0，c ＞0，y ＝a （x +c ）2中，a ＜0，c ＜0，故A 错误；B 、函数y ＝ax +c 中，a ＜0，c ＞0，y ＝a （x +c ）2中，a ＞0，c ＞0，故B 正确；C 、函数y ＝ax +c 中，a ＞0，c ＜0，y ＝a （x +c ）2中，a ＞0，c ＞0，故C 错误；D 、函数y ＝ax +c 中，a ＜0，c ＞0，y ＝a （x +c ）2中，a ＞0，c ＜0，故D 错误．故选：B ．【方法总结】此题考查二次函数图象，利用一次函数，二次函数系数及常数项与图象位置之间关系是解题关键．【变式2-3】（2016秋•工业园区期中）如图，一次函数y x =与二次函数2y ax bx c =++图象相交于A 、B两点，则函数2(1)y ax b x c =+-+的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【思路点拨】由直线y ＝x 与抛物线y ＝ax 2+bx +c 有两个交点，且两交点的横坐标均为负数可知：方程ax 2+bx +c ＝x ，即ax 2+（b ﹣1）x +c ＝0有两个同为异号的实数根，根据二次函数的图象与一元二次方程的根之间的关系即可得．【答案】解：由图象知直线y ＝x 与抛物线y ＝ax 2+bx +c 有两个交点，且两交点的横坐标均为负数， ∴方程ax 2+bx +c ＝x ，即ax 2+（b ﹣1）x +c ＝0有两个同为异号的实数根，∴函数y ＝ax 2+（b ﹣1）x +c 的图象与x 轴的负半轴有两个交点，故选：B ．【方法总结】本题主要考查二次函数的图象与一元二次方程的根之间的关系，由题目已知图象得出方程ax 2+bx +c ＝x ，即ax 2+（b ﹣1）x +c ＝0有两个同为异号的实数根是解题的关键．【考点3 二次函数的增减性】【例3】（2018春•利津县期末）设1(2,)A y -，2(1,)B y ，3(2,)C y 是抛物线2(1)y x k =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为( )A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．231y y y >>D ．312y y y >>【思路点拨】由二次函数解析式可知抛物线开口向下，且对称轴为x ＝﹣1．根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．【答案】解：∵二次函数线y ＝﹣（x +1）2+k ，∴该二次函数的抛物线开口向下，且对称轴为：x ＝﹣1．∵A （﹣2，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3）是抛物线y ＝﹣（x +1）2+k 上的三点，而三点横坐标离对称轴x ＝3的距离按由近到远为：（﹣2，y 1）、（1，y 2）、（2，y 3），∴y 1＞y 2＞y 3故选：A ．【方法总结】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．【变式3-1】（2019秋•宣威市校级月考）已知二次函数21572y x x =--+，若自变量x 分别取1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，则对应的函数值1y ，2y ，3y 的大小关系正确的是( )A ．123y y y >>B ．123y y y <<C ．231y y y >>D ．231y y y <<【思路点拨】先根据抛物线的性质得到抛物线对称轴，则x ＞﹣时，y 随x 的增大而减小，于是由0＜x 1＜x 2＜x 3即可得到y 1，y 2，y 3的大小关系．【答案】解：抛物线的对称轴为直线x ＝﹣＝﹣，而抛物线开口向下，所以当x ＞﹣时，y 随x 的增大而减小，所以当0＜x 1＜x 2＜x 3时，y 1＞y 2＞y 3．故选：A ． 【方法总结】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．【变式3-2】（2018秋•建昌县期中）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++<过(3,0)A -，(1,0)B ，1(5,)C y -，2(2,)D y -四点，则1y 与2y 的大小关系是( )A ．12y y >B ．12y y =C ．12y y <D ．不能确定【思路点拨】根据A （﹣3，0）、B （1，0）两点可确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，C 、D 两点与对称轴的远近，判断y 1与y 2的大小关系．【答案】解：∵抛物线过A （﹣3，0）、B （1，0）两点，∴抛物线的对称轴为x ＝＝﹣1，∵a ＜0，抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，比较可知C 点离对称轴远，对应的纵坐标值小，即y 1＜y 2．故选：C ．【方法总结】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较抛物线上两点纵坐标的大小，关键是确定对称轴，开口方向，两点与对称轴的远近．【变式3-3】（2018•南海区期中）已知二次函数2y ax bx c =++中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示： x ⋯0 1 2 3 ⋯ y⋯ 5 2 1 2 ⋯ 点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 在函数的图象上，则当101x <<，223x <<时，1y 与2y 的大小关系正确的是()A ．y 1≥y 2B ．y 1＞y 2C ．y 1＜y 2D ．y 1≤y 2【思路点拨】根据题意知图象过（0，5）（1，2）（2，1），代入得到方程组，求出方程组的解即可得到抛物线的解析式，化成顶点式得到抛物线的对称轴，根据对称性得到A 的对称点，利用增减性即可得出答案．【答案】解：根据题意知图象过（0，5）（1，2）（2，1）， 代入得：且，解得：a ＝1，b ＝﹣4，c ＝5，∴抛物线的解析式是y ＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1，∴抛物线的对称轴是直线x ＝2，∵0＜x 1＜1，2＜x 2＜3，0＜x 1＜1关于对称轴的对称点在3和4之间，当x ＞2时，y 随x 的增大而增大，∴y 1＞y 2，故选：B ．【方法总结】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，解二元一次方程组，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握，能根据二次函数的对称性判断两点的纵坐标的大小是解此题的关键．【考点4 二次函数图象的平移】【例4】（2018秋•花都区期中）抛物线22y x =-经过平移得到22(1)3y x =--+，平移方法是( )A ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位【思路点拨】由抛物线y ＝﹣2x 2得到顶点坐标为（0，0），而平移后抛物线y ＝﹣2（x ﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），根据顶点坐标的变化寻找平移方法．【答案】解：∵抛物线y ＝﹣2x 2得到顶点坐标为（0，0），而平移后抛物线y ＝﹣2（x ﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），∴平移方法为向右平移1个单位，再向上平移3个单位．故选：D ．【方法总结】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．【变式4-1】（2019•天津校级期中）已知抛物线243y x x =-+与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 左侧），顶点为M ．平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M '落在x 轴上，点B 平移后的对应点B '落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为( )A ．221y x x =++B ．221y x x =+-C ．221y x x =-+D ．221y x x =--【思路点拨】直接利用抛物线与坐标轴交点求法结合顶点坐标求法分别得出A ，B ，M 点坐标，进而得出平移方向和距离，即可得出平移后解析式．【答案】解：当y ＝0，则0＝x 2﹣4x +3，（x ﹣1）（x ﹣3）＝0，解得：x 1＝1，x 2＝3，∴A （1，0），B （3，0），y ＝x 2﹣4x +3＝（x ﹣2）2﹣1，∴M 点坐标为：（2，﹣1），∵平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M '落在x 轴上，点B 平移后的对应点B '落在y 轴上，∴抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移3个单位长度即可，∴平移后的解析式为：y ＝（x +1）2＝x 2+2x +1．故选：A ．【方法总结】此题主要考查了抛物线与坐标轴交点求法以及二次函数的平移，正确得出平移方向和距离是解题关键．【变式4-2】（2018秋•鼓楼区校级期中）在平面直角坐标系中，如果抛物线22y x =不动，而把x 轴、y 轴分别向下、向右平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的解析式为( )A ．22(2)2y x =-+B ．22(2)2y x =+-C ．22(2)2y x =--D ．22(2)2y x =++【思路点拨】根据平移确定出抛物线的顶点在新坐标系中的坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【答案】解：抛物线y ＝2x 2的顶点坐标为（0，0），∵把x 轴、y 轴分别向下、向右平移2个单位，∴在新坐标系中抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣2），∴抛物线的解析式为y ＝2（x +2）2﹣2．故选：D ．【方法总结】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便易懂．【变式4-3】（2018秋•襄州区期中）将二次函数2y x bx c =++的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到二次函数221y x x =-+的图象，用b ，c 的值分别是( )A ．14b =，8c =-B ．2b =-，4c =C ．8b =-，14c =D ．4b =，2c =-【思路点拨】把二次函数y ＝x 2﹣2x +1的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到y ＝x 2+bx +c 的图象．【答案】解：∵y ＝x 2﹣2x +1＝（x ﹣1）2，∴二次函数y ＝x 2﹣2x +1的图象的顶点坐标为（1，0），把点（1，0）先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（4，﹣2）， ∴原抛物线解析式为y ＝（x ﹣4）2﹣2，即y ＝x 2﹣8x +14，即b ＝﹣8，c ＝14．故选：C ．【方法总结】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．【考点5 二次函数的图象与a ，b ，c 的关系】【例5】（2018秋•渝中区校级期中）已知二次函数的图象如下所示，下列5个结论：①0abc >；②0b a c -->；③42a c b +>-；④30a c +>；⑤()(1a b m am b m +>+≠的实数），其中正确的结论有( )A ．①②③B ．②③④C ．②③⑤D ．③④⑤【思路点拨】由抛物线对称轴的位置判断ab 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【答案】解：①∵对称轴在y 轴的右侧，∴ab ＜0，由图象可知：c＞0，∴abc＜0，故①不正确；②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴b﹣a﹣c＞0，故②正确；③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，∴4a+c＞﹣2b，故③正确；④∵x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∵a﹣b+c＜0，∴a+2a+c＜0，3a+c＜0，故④不正确；⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，而当x＝m时，y＝am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故⑤正确．故②③⑤正确，故选：C．【方法总结】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．【变式5-1】（2018秋•苍溪县期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③m（am+b）+b≤a；④（a+c）2＜b2；其中正确结论的个数有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．4【思路点拨】利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．【答案】解：∵抛物线和x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，∴4ac ﹣b 2＜0，∴①正确；∵把x ＝1代入抛物线得：y ＝a +b +c ＜0，∴2a +2b +2c ＜0， ∵﹣＝﹣1，∴b ＝2a ，∴3b +2c ＜0，∴②正确；∵抛物线的对称轴是直线x ＝﹣1，∴y ＝a ﹣b +c 的值最大，即把x ＝m 代入得：y ＝am 2+bm +c ≤a ﹣b +c ，∴am 2+bm +b ≤a ，即m （am +b ）+b ≤a ，∴③正确；∵a +b +c ＜0，a ﹣b +c ＞0，∴（a +c +b ）（a +c ﹣b ）＜0，则（a +c ）2﹣b 2＜0，即（a +c ）2＜b 2，故④正确；故选：D ．【方法总结】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的解的方法，同时注意特殊点的运用．【变式5-2】（2018秋•江岸区期中）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，过(1，1)(2y ，2)y ．①若10y >时，则0a b c ++>②若a b =时，则12y y <③若10y <，20y >，且0a b +<，则0a >④若21b a =-，3c a =-，且10y >，则抛物线的顶点一定在第三象限上述四个判断正确的有( )个．A ．1B ．2C ．3D ．4【思路点拨】①若y 1＞0时，当x ＝1时，y 1＝a +b +c ，此时，确定不了y 的值，∴a +b +c ＞0，正确； ②若a ＝b 时，即函数的对称轴是x ＝﹣，分两种情况，a ＝b ＞0，则y 2＞y 1，否则，故y 1＜y 2，故错误； ③若y 1＜0，y 2＞0，即：a +b +c ＜0，4a +2b +c ＞0，而a +b ＜0，即：﹣2a ＜0，a ＞0，正确；④若b ＝2a ﹣1，c ＝a ﹣3，且y 1＞0，即：a +b +c ＞0，把b 、c 的值代入上式得：a ＞1，则b ＞1，c ＞﹣2，代入顶点坐标即可求解，正确．【答案】解：①若y 1＞0时，当x ＝1时，y 1＝a +b +c ＞0此时，正确；②若a ＝b 时，即函数的对称轴是x ＝﹣，也确定不了y 1、y 2的大小，故y 1＜y 2，错误；③若y 1＜0，y 2＞0，即：a +b +c ＜0，4a +2b +c ＞0，解得：﹣3a ﹣b ＜0，而a +b ＜0，即：﹣2a ＜0，∴a ＞0，正确；④若b ＝2a ﹣1，c ＝a ﹣3，且y 1＞0，即：a +b +c ＞0，把b 、c 的值代入上式得：a ＞1，则b ＞1，c ＞﹣2，顶点的x 坐标＝﹣＜0，顶点的y 坐标＝＝﹣2﹣＜0，故顶点一定在第三象限，正确；故选：C ．【方法总结】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，涉及到函数基本性质、解不等式等相关知识，难度较大．【变式5-3】（2019•凉山州）二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，有以下结论：①30a b -=；②240b ac ->；③520a b c -+>；④430b c +>，其中错误结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】①对称轴为x＝﹣，得b＝3a；②函数图象与x轴有两个不同的交点，得△＝b2﹣4ac＞0；③当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＞0，得5a﹣2b+c＞0；④由对称性可知x＝1时对应的y值与x＝﹣4时对应的y值相等，当x＝1时a+b+c＜0，4b+3c＝3b+b+3c ＝3b+3a+3c＝3（a+b+c）＜0；【答案】解：由图象可知a＜0，c＞0，对称轴为x＝﹣，∴x＝﹣＝﹣，∴b＝3a，①正确；∵函数图象与x轴有两个不同的交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，②正确；当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＞0，∴10a﹣4b+2c＞0，∴5a﹣2b+c＞0，③正确；由对称性可知x＝1时对应的y值与x＝﹣4时对应的y值相等，∴当x＝1时a+b+c＜0，∵b＝3a，∴4b+3c＝3b+b+3c＝3b+3a+3c＝3（a+b+c）＜0，∴4b+3c＜0，④错误；故选：A ．【方法总结】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握从函数图象获取信息，将信息与函数解析式相结合解题是关键．【考点6 二次函数与一元二次方程之间的关系】【例6】（2019春•天心区校级期中）函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于一元二次方程220ax bx c ++-=的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根【思路点拨】由图可知ax 2+bx +c ﹣2＝0的根的情况即图中图象和x 轴交点的横坐标，为两个不相等的正数．【答案】解：∵函数的顶点的纵坐标为3，∴直线y ＝3与函数图象只有一个交点，∴y ＝ax 2+bx +c ﹣2，相当于函数y ＝ax 2+bx +c 的图象向下平移2个单位，∴方程ax 2+bx +c ﹣2＝0的根为两个不相等的实数根．故选：A ．【方法总结】本题考查了二次函数与一元二次方程的知识，关键是通过看图象直线y ＝3与抛物线的交点个数．【变式6-1】（2019春•安吉县期中）如图，抛物线2y x mx =-+的对称轴为直线2x =，若关于x 的一元二次方程20(x mx t t +-=为实数）在13x <<的范围内有解，则t 的取值范围是( )A ．﹣5＜t ≤4B ．3＜t ≤4C ．﹣5＜t ＜3D ．t ＞﹣5【思路点拨】先利用抛物线的对称轴方程求出m 得到抛物线解析式为y ＝﹣x 2+4x ，配方得到抛物线的顶点坐标为（2，4），再计算出当x ＝1或3时，y ＝3，结合函数图象，利用抛物线y ＝﹣x 2+4x 与直线y ＝t 在1＜x ＜3的范围内有公共点可确定t 的范围．【答案】解：∵抛物线y ＝﹣x 2+mx 的对称轴为直线x ＝2， ∴﹣＝2，解得m ＝4，∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+4x ，抛物线的顶点坐标为（2，4），当x ＝1时，y ＝﹣x 2+4x ＝3；当x ＝3时，y ＝﹣x 2+4x ＝3，∵关于x 的一元二次方程x 2+mx ﹣t ＝0（t 为实数）在1＜x ＜3的范围内有解，∴抛物线y ＝﹣x 2+4x 与直线y ＝t 在1＜x ＜3的范围内有公共点，∴3＜t ≤4．故选：B ．【方法总结】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．【变式6-2】（2018秋•福清市期中）函数21y x x =+-中x 与y 的对应关系如下表所示，方程210x x +-=两实数根中有一个正根1x ，下列对1x 的估值正确的是( ) x ⋯0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 ⋯ y ⋯ 0.25- 0.1475- 0.04- 0.0725 0.19 0.3125 ⋯A ．10.50.55x <<B ．10.550.6x <<C ．10.60.65x <<D ．10.650.7x << 【思路点拨】利用x ＝0.6时，y ＝x 2+x ﹣1＝﹣0.04；x ＝0.65时，y ＝x 2+x ﹣1＝0.0725，从而可判断当0.6＜x ＜0.65时，y ＝x 2+x ﹣1的值能等于0，从而得到方程x 2+x ﹣1＝0一个正根x 1的范围．【答案】解：∵x ＝0.6时，y ＝x 2+x ﹣1＝﹣0.04；x ＝0.65时，y ＝x 2+x ﹣1＝0.0725，∴当0.6＜x ＜0.65时，y ＝x 2+x ﹣1的值能等于0，∴方程x 2+x ﹣1＝0两实数根中有一个正根x 1，则0.6＜x 1＜0.65．故选：C ．【方法总结】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．【变式6-3】（2019秋•萧山区期中）已知关于x 的方程2()()0x m x n +--=，存在a ，b 是方程2()()0x m x n +--=的两个根，则实数m ，n ，a ，b 的大小关系可能是( )A ．m a b n <<<B ．m a n b <<<C ．a m b n <<<D ．a m n b <<<【思路点拨】令抛物线解析式中y ＝0，得到方程的解为a ，b ，即为抛物线与x 轴交点的横坐标为a ，b ，再由抛物线开口向上得到a ＜x ＜b 时y 小于0，得到x ＝m 与n 时函数值大于0，即可确定出m ，n ，a ，b 的大小关系．【答案】解：令函数y ＝2+（x ﹣m ）（x ﹣n ）＝x 2﹣（m +n ）x +mn +2，∴抛物线开口向上，令y ＝0，根据题意得到方程（x ﹣m ）（x ﹣n ）＝﹣2的两个根为a ，b ，∵当x ＝m 或n 时，y ＝2＞0，∴实数m ，n ，a ，b 的大小关系为m ＜a ＜b ＜n ．故选：A ．【方法总结】本题考查了一元二次方程的根与系数之间的关系，难度较大，熟练掌握抛物线的性质是解本题的关键．【考点7 二次函数解析式】【例7】经过(4,0)A ，(2,0)B -，(0,3)C 三点的抛物线解析式是 ．【思路点拨】根据A 与B 坐标特点设出抛物线解析式为y ＝a （x ﹣2）（x ﹣4），把C 坐标代入求出a 的值，即可确定出解析式．【答案】解：根据题意设抛物线解析式为y ＝a （x +2）（x ﹣4），把C （0，3）代入得：﹣8a ＝3，即a ＝﹣，则抛物线解析式为y ＝﹣（x +2）（x ﹣4）＝﹣x 2+x +3，故答案为y ＝﹣x 2+x +3．【方法总结】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．【变式7-1】若二次函数2y ax bx c =++的x 与y 的部分对应值如下表： x 7- 6- 5- 4-3- 2- y 27- 13- 3- 3 53 则二次函数的解析式为 ．【思路点拨】取三组对应值（﹣4，3）、（﹣3，5）、（﹣2，3）代入y＝ax2+bx+c得到关于a、b、c 的方程组，然后解方程组求出a、b、c的值，从而得到抛物线解析式．【答案】解：把（﹣4，3）、（﹣3，5）、（﹣2，3）代入y＝ax2+bx+c得，解得．所以抛物线解析式为y＝﹣2x2﹣12x﹣13．故答案为y＝﹣2x2﹣12x﹣13．【方法总结】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．【变式7-2】（2019秋•荣成市期中）二次函数在32x=时，有最小值14-，且函数的图象经过点(0,2)，则此函数的解析式为．【思路点拨】由条件可知其顶点坐标为（，），可设顶点式，再把点（0，2）代入可求得函数的解析式．【答案】解：∵二次函数在x＝时，有最小值，∴抛物线的顶点是（，），∴设此函数的解析式为y＝a（x﹣）2﹣，∵函数图象经过点（0，2），∴2＝a（0﹣）2﹣，解得a＝1，∴此函数的解析式为y＝（x﹣）2﹣，即y＝x2﹣3x+2．故答案为y＝x2﹣3x+2．【方法总结】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，在已知抛物线顶点坐标的情况下，通常用顶点式设二次函数的解析式．【变式7-3】（2013秋•潜山县校级月考）抛物线2y ax bx c =++与x 轴两个交点为(1,0)-，(3,0)，其形状与抛物线22y x =相同，则抛物线解析式为 ． 【思路点拨】根据抛物线形状相同则a 的值相同，再将（﹣1，0），（3，0）代入抛物线求出b ，c 的值即可．【答案】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴两个交点为（﹣1，0），（3，0），其形状与抛物线y ＝2x 2相同，∴或，∴解得：或，∴抛物线解析式为：y ＝2x 2﹣4x ﹣6或y ＝﹣2x 2+4x +6．故答案为：y ＝2x 2﹣4x ﹣6或y ＝﹣2x 2+4x +6．【方法总结】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，得出a 的值是解题关键．【考点8 二次函数的应用—销售问题】【例8】（2018秋•鼓楼区校级期中）某公司投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件)与销售单价x （元)之间的关系可近似的看作一次函数：20800y x =-+，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设该公司每月获得利润为w （元)，求每月获得利润w （元)与销售单价x （元)之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？【思路点拨】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润＝（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；【答案】解：（1）由题意，得：w ＝（x ﹣15）•y ＝（x ﹣15）•（﹣20x +800）＝﹣20x 2+1100x ﹣12000， 即w ＝﹣20x 2+1100x ﹣12000（15≤x ≤24）；（2）对于函数w ＝﹣20x 2+1100x ﹣12000（15≤x ≤24）的图象的对称轴是直线x ＝27.5又∵a ＝﹣20＜0，抛物线开口向下．∴当15≤x≤24时，W随着x的增大而增大，∴当x＝24时，W＝2880，答：当销售单价定为24元时，每月可获得最大利润，最大利润是2880元．【方法总结】此题考查二次函数的性质及其应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．【变式8-1】（2019春•宿豫区期中）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，设衬衫的单价降x元，每天获利y元．（1）如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应降多少元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大，最大利润是多少？（2）如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降多少元？【思路点拨】（1）列出y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，根据一次函数的性质求解；（2）根据题意列出y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，结合二次函数的性质求解；【答案】解：（1）y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，∵20+2x≥44，∴x≥12，∵y随x的增大而减小，∴当x＝12时，获利最大值1232；答：如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应12元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大1232元；（2）y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，当y＝1200时，1200＝﹣2（x﹣15）2+1250，∴x＝10或x＝20，∵当x＜15时，y随x的增大而增大，当x＞15时，y随x的增大而减小，当10≤x≤20时，y≥1200，答：如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降不少于10元且不超过20元；【方法总结】本题考查一次函数和二次函数的性质；能够从情境中列出函数关系式，借助函数的性质解决实际问题；【变式8-2】（2019春•安吉县期中）为建设美丽家园，某社区将辖区内的一块面积为21000m 的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为2()x m ，种草所需费用1y （元)与2()x m 的函数关系图象如图所示，栽花所需费用2y （元)与2()x m 的函数关系式为220.012030000(01000)y x x x =--+．（1）求1y （元)与2()x m 的函数关系式；（2）设这块21000m 空地的绿化总费用为W （元)，请利用W 与x 的函数关系式，求绿化总费用W 的最大值．【思路点拨】（1）根据函数图象利用待定系数法即可求得y 1（元）与x （m 2）的函数关系式（2）总费用为W ＝y 1+y 2，列出函数关系式即可求解【答案】解：（1）依题意当0≤x ≤600时，y 1＝k 1x ，将点（600，18000）代入得18000＝600k 1，解得k 1＝30 ∴y 1＝30x当600＜x ≤1000时，y 1＝k 2x +b ，将点（600，18000），（1000，26000）代入得 ，解得∴y 1＝20x +600综上，y 1（元）与x （m 2）的函数关系式为：（2）总费用为：W ＝y 1+y 2∴W ＝ 整理得故绿化总费用W的最大值为32500元【方法总结】本题主要考查二次函数在生活中的实际应用．根据函数解析式即可求最大值，但要注意自变量的取值范围．【变式8-3】（2019秋•沂源县期末）某公司生产的某种商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件)与时间t（天)的关系如下表：时间t（天) 1 3 5 10 36 ⋯94 90 86 76 24 ⋯日销售量m（件)未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y1＝t+25（1≤t≤20且t 为整数），后20天每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y2＝﹣t+40（21≤t≤40且t为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件)与t（天)之间的表达式；（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？【思路点拨】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式；（2）日利润＝日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论．【答案】解：（1）经分析知：m与t成一次函数关系．设m＝kt+b（k≠0），将t＝1，m＝94，t＝3，m＝90代入，解得，∴m＝﹣2t+96；（2）前20天日销售利润为P1元，后20天日销售利润为P2元，则P1＝（﹣2t+96）（t+25﹣20）＝﹣（t﹣14）2+578，∴当t＝14时，P1有最大值，为578元．。

电现象及电路知识点一、静电现象：1、带电现象、带电体：物体能够吸引轻小物体的现象叫做带电现象，带了电的物体叫做带电体.2、带电方法：（１）、摩擦起电；（２）、接触带电；（3）、感应起电接触带电：用不带电的导体接触带电物体时，导体会带电，这种方法叫接触带电。

摩擦起电：用摩擦的方法使物体带电的方法叫做摩擦起电。

正电荷:用丝绸摩擦过的玻璃棒带的电荷.负电荷:用毛皮摩擦过的橡胶棒带的电荷.3、摩擦起电的原因：（1）原子是由原子核和核外电子组成，原子核带正电，电子带负电，通常情况下，原子是电中性的，物体也是电中性的；（2）不同的原子核束缚电子的本领不同；（3）两个物体相互摩擦时,哪个物体的原子核束缚电子的本领弱,它的一些电子就会转移到另一个物体上.失去电子的物体因缺少电子而带正电,得到电子的物体因为有了多余电子而带等量的负电.4、摩擦起电的实质: 摩擦起电并不是创造了电荷,只是电荷从一个物体转移到另一个物体,使正负电荷分开.注意：转移的电荷是负电荷,而不是正电荷.例题：（湖北）电视机的荧光屏上经常有许多灰尘，这主要是因为（ D )A.灰尘的自然堆积B.荧光屏有较强的吸附灰尘的能力C.电视机工作时，屏表面温度较高，吸附灰尘D.电视机工作时，屏表面有静电吸附灰尘练习：1、摩擦起电并不是创造了电荷，只是电荷从一个物体转移到另一个物体，使正负电荷分开，如图所示，小女孩用橡胶棒去摩擦动物的皮毛后，橡胶棒带上了_负电.2、下列物体一定带负电的是（A )A.与毛皮摩擦过的橡胶棒B.与丝绸摩擦过的玻璃棒C.失去电子的玻璃棒D.与带正电的物体相吸引的轻小物体知识点二、电荷间的相互作用1、电荷间的作用规律：同种电荷相互排斥,异种电荷相互吸引.﹡带电体之间的吸引或排斥是通过电场来实现的，电场是一种特殊的物质，通过电场带电体不需要接触就能发生相互作用2、判断物体是否带电的方法：(1)、物体能否吸引轻小物体(2)、依据电荷间的作用规律判断(3)、用验电器检验，金属箔张开说明带电，工作原理：同种电荷相互排斥例题：1、用线悬挂着A,B,C,D,E,F六个轻质小球，它们之间的作用情况如图所示，则肯定带电的小球是B、C、D ，肯定不带电的小球是A, F ，不能肯定是否带电的小球是E2、（滨州）取两个相同的验电器A和B,使A带上负电荷，可以看到A金属箔张开，B的金属箔闭合.用带有绝缘柄的金属棒把A和B连接起来，观察到A(金属箔张开的角度减小，B的金属箔由闭合变为张开•下列描述错误的是（ D )A.金属杆是导体B.两金属箔片能够张开是因为带上了同种电荷C.实验中金属杆和金属球接触的一瞬间，B验电器中的金属箔带上了负电荷D.实验中金属杆和金属球接触的一瞬间，金属杆中电流方向是自A流向B练习：1、(湖州）甲和乙两个泡沫塑料小球用绝缘细线悬挂，甲带正电，乙不带电，会出现的情形是下列图中的（B )2、.四个悬挂着的通草球，静止时的位置关系如图所示，下列说法正确的是（ D ）A.A球与C球一定带有异种电荷B.B球与D球一定带有同种电荷C.B球可能带电，也可能不带电D. D球可能带电，也可能不带电3、(厦门）如图所示，一带负电橡胶棒靠近用细线挂住的轻细吸管A端时，吸管发生了转动.对吸管A 端带电性质判断正确的是（D )A.若相互吸引，一定带正电B.若相互吸引，一定带负电C.若相互排斥，一定带正电D.若相互排斥，一定带负电知识点三、电流1、电流：电荷的定向移动就形成电流. 物理学规定,正电荷定向移动的方向为电流的方向.电流方向的判断: 如负电荷的移动方向从A到B，则电流方向为B到A。

第二章分数——章末总结【本章知识网络】【知识点归纳复习】专题一本章中分数的运算贯穿于始终。

由于分数可以化为小数，而有限小数和无限循环小数可以化成分数，因此在进行分数运算时应注意灵活选择解题方法。

【例1】计算：（1）0.75+132 1.558--；（2）331.2348÷⨯.[点拨] 比较第（1）小题的两种算法可看出，把分数化成小数计算比较简便。

从第（2）小题的两种算法可看出，把小数化成分数计算比较简便。

因此在分数混合计算的过程中应根据条件选择适当的、简便的方法。

专题二类比是数学学习中的重要方法。

本章中在学习分数运算法则的过程中，应注意与整数运算法则的类比，强化知识的迁移。

【例2】规定一种新的运算：a ba ba b⨯*=+（a，b都是正整数）.(1)计算：43*；5634*-*.(用分数表示)(2)对于这种运算“*”是否有交换律？请说明理由。

[点拨] 这类新定义的问题，即学习能力型问题的解决，有利于加深对数学中运算法则和数学概念的理解，认清数学的本质，促进知识的有效迁移。

专题三转化思想是本章中体现的又一重要思想方法，如把异分母分数转化为同分母分数，无限循环小数转化为分数等都体现了将“未知”转化为“已知”的思想方法。

【例3】求值：111112481024 ++++∙∙∙+.[点拨] 用常规的异分母分数相加减的方法解此题显然是不可取的，因为通分将会相当复杂。

换一种思路，注意到整个式子中后一分数都是前一分数乘以12所得，因此我们可以将原来的式子看成一个整体x，通过上述关系列出一个关于x 的方程，从而将这个问题转化为方程问题解决。

专题四 分数运算的实际应用 【例4】商店里运来甲、乙两种电脑共480台，甲种电脑的台数是乙种电脑的台数的35，运来甲种电脑多少台？[点拨] 如果你对题目中出现的分数35的意义真正理解，就可得到一种简捷的解法：由于题目中“甲种电脑的台数是乙种电脑台数的35”意思是把乙种电脑的台数平均分成5份，则甲种电脑的台数就是3份，从而得甲、乙两种电脑的总台数就是5+3=8（份）。

章末复习易错点一对运动和静止的理解有误区例1平直公路上并排停放着两辆汽车,一段时间后,坐在甲车中的小明感觉乙车向南运动。

关于两辆汽车的运动情况,下列说法中正确的是()A.以甲车为参照物,地面一定是静止的B.以乙车为参照物,甲车一定向北运动C.以地面为参照物,甲车一定向北运动D.以地面为参照物,乙车一定向南运动[易错总结] (1)判断一个物体是否运动的关键是看被研究的物体与所选的标准(即参照物)之间的相对位置是否发生了变化;(2)对运动状态的描述是相对的,研究同一物体的运动状态,如果选择的参照物不同,得出的结论可能不同。

易错点二混淆路程和时间的对应关系例2一辆汽车以4 m/s的速度匀速驶上长为60 m的斜坡,到达坡顶后接着又以6 m/s的速度从坡顶沿原路匀速返回,该汽车在上下坡全程中的平均速度是()A.4.8 m/sB.5 m/sC.4.25 m/sD.2.75 m/s[易错总结] (1)上下坡时,上坡速度和下坡速度的平均值不是全程的平均速度;(2)一定要利用全程的路程和全程的时间求全程的平均速度。

易错点三对速度的图像分析存在盲区例3甲同学骑自行车去看望乙同学,得知消息后,乙同学步行去迎接,接到后同车返回,整个过程中他们的位置与时间的关系如图所示,据图可知,下列说法中正确的是()A.两同学在t=15 min时相遇B.相遇前甲的速度是乙的4倍C.相遇后乙的速度是原来的1.5倍D.整个过程中甲的平均速度是乙的2倍[易错总结] (1)首先明确图像中横、纵坐标表示的物理量;(2)从图像中找到对应的路程和时间,再利用速度公式求解,比较各段速度的大小;(3)对于相遇问题,可将运动图像转换成运动过程示意图,分析各物理量间的关系。

易错点四对惯性现象判断不清例4如图所示,玻璃水箱中有一个气泡和一块石头,本来都处于静止状态,现在用一水平向右的外力猛推水箱,则水箱加速时,气泡和石头相对于水箱()A.气泡和石头都向左运动B.气泡和石头都向右运动C.气泡向右运动,石头向左运动D.气泡向左运动,石头向右运动[易错总结] (1)物体由于惯性要保持原来的运动状态;(2)物体质量越大,惯性越大,运动状态越难改变。