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指数与对数函数幂函数知识点总结指数函数、对数函数和幂函数是高中数学中的重要内容，是数学中常见的数学函数类型。
下面将对这三种函数进行详细介绍和总结。
1.指数函数指数函数是以底数为常数，指数为自变量的函数。
通常表示为f(x)=a^x，其中a>0且不等于1、指数函数的特点有：-当a>1时，函数为增函数，曲线向上开口。
-当0<a<1时，函数为减函数，曲线向下开口。
-当x=0时，f(0)=1，即指数为0时，函数值等于1-当x为正无穷大时，函数趋于正无穷大；当x为负无穷大时，函数趋于0。
指数函数的应用广泛，例如在金融领域中的复利计算、生物学中的生长模型、物理学中的放射性衰变等都可以使用指数函数模型来描述。
2.对数函数对数函数是指输出的指数与给定的底数相等的函数，常用的对数函数有以e为底的自然对数函数ln(x)和以10为底的通用对数函数log(x)。
对数函数的特点有：-对数函数的定义域为正实数。
- 对数函数的基本性质是函数值等于对应的指数值，即log_a(a^x) = x。
- 自然对数函数ln(x)与指数函数e^x互为反函数。
-对数函数可以帮助解决指数方程和指数不等式等问题。
对数函数在数学中广泛应用，例如在科学计算、数据压缩、信号传输和信息论等领域都有应用。
3.幂函数幂函数是形如f(x)=a^x的函数，其中a是常数且大于0。
幂函数的特点有：-当a>1时，函数为增函数，曲线向上开口。
-当0<a<1时，函数为减函数，曲线向下开口。
-当x=0时，f(0)=1，即幂为0时，函数值等于1-当x为正无穷大时，函数趋于正无穷大；当x为负无穷大时，函数趋于0。
幂函数与指数函数相似，但是幂函数的底数是常数。
幂函数在自然科学领域中经常出现，例如在物理学中的速度、加速度和质量等计算中经常使用幂函数模型。
指数函数、对数函数和幂函数是数学中的基本函数类型，它们在实际问题中有着广泛的应用。
在学习指数函数、对数函数和幂函数时，需要熟练掌握其定义、性质和应用。
幂函数指数函数与对数函数的性质与计算幂函数、指数函数与对数函数是数学中常见的函数类型，它们具有一些独特的性质以及特定的计算方式。
在本文中，我们将探讨这些函数的基本概念、性质以及如何进行计算。
一、幂函数的性质与计算幂函数是形如y=x^n的函数，其中n为实数。
幂函数的性质如下：1. 幂函数的定义域为实数集R，值域则取决于n的值。
- 当n为正奇数时，f(x)为增函数，值域为R+（正实数集）；- 当n为正偶数时，f(x)为非负且有最小值0，值域为[0, +∞)；- 当n为负数时，f(x)有正负之分，值域为R+和R-（负实数集），且在不同的定义域上具有不同的增减性；- 当n为0时，0的0次方没有定义。
2. 幂函数的图像特点：- 当n为正数时，随着x的增大，函数值也随之增大，图像呈现递增趋势；- 当n为负数时，随着x的增大，函数值递减，图像呈现递减趋势。
3. 幂函数的计算方法：- 幂函数的运算法则遵循指数运算法则，如x^m * x^n = x^(m+n)，x^m / x^n = x^(m-n)，(x^m)^n = x^(m*n)等。
二、指数函数的性质与计算指数函数是形如y=a^x的函数，其中a为常数且a>0且a≠1。
指数函数的性质如下：1. 指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集R+。
2. 指数函数以a为底，随着自变量x的增大，函数值呈现指数增长的特征。
3. 指数函数的计算方法：- 当a为正数时，指数函数的运算法则与幂函数相似，如a^m *a^n = a^(m+n)，a^m / a^n = a^(m-n)等。
- 当a为负数时，指数函数的运算方法可以通过转化为幂函数的形式进行计算。
三、对数函数的性质与计算对数函数是指数函数的逆运算，以b为底，记作y=logₐx。
对数函数的性质如下：1. 对数函数的定义域为正实数集R+，值域为实数集R。
2. 对数函数以b为底，将正实数x映射到实数y，即b^y=x。
3. 对数函数的计算方法主要包括：- 同底数的对数乘法法则：logₐ(x * y) = logₐx + logₐy；- 同底数的对数除法法则：logₐ(x / y) = logₐx - logₐy；- 对数的换底公式：logₐx = log_bx / log_ba，其中a、b为正实数且a≠1，b≠1。
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ；②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。
2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m na a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)mnm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质n 为奇数 n 为偶数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。
即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
（2）几种常见对数2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1log 0a =，②lo g 1aa =，③lo g Na a N =，④lo g N a aN =。
数学各种函数名称
数学中的各种函数名称有很多，以下是一些常见的函数类型及其名称：
1.常函数：y=c
2.幂函数：y=x^n
3.指数函数：y=a^x
4.对数函数：y=log_a|x|
5.三角函数：
1.正弦函数：y=sinx
2.余弦函数：y=cosx
3.正切函数：y=tanx
4.余切函数：y=cotx
5.正割函数：y=secx
6.余割函数：y=cscx
6.反三角函数：
1.反正弦函数：y=arcsinx
2.反余弦函数：y=arccosx
3.反正切函数：y=arctanx
4.反余切函数：y=arccotx
7.其他函数：
1.abs：绝对值函数
2.sqrt：平方根函数
3.ceiling：向上取整函数
4.floor：向下取整函数
5.trunc：截断函数
6.round：四舍五入函数
7.signif：符号函数
8.sinh：双曲正弦函数
9.cosh：双曲余弦函数
10.tanh：双曲正切函数
11.coth：双曲余切函数
12.asinh：双曲反正弦函数
13.acosh：双曲反余弦函数
14.atanh：双曲反正切函数
15.acoth：双曲反余切函数
以上只是部分数学函数的名称，实际上数学中的函数种类繁多，每一种都有其特定的定义和性质。
幂函数对数函数指数函数增长速度比较幂函数、对数函数和指数函数是高中数学中经常涉及的三种基本函数类型。
这三种函数具有不同的定义和性质，它们的增长速度也各不相同。
下面，我将从三个方面分别阐述幂函数、对数函数和指数函数的增长速度及其比较。
一、幂函数的增长速度幂函数的一般形式为y=x^a，其中a为正实数，x为自变量，y为因变量。
当a>1时，幂函数的增长速度比线性函数快，而当0<a<1时，则比线性函数慢。
幂函数随着x的增大而增大，增长速度越来越快，但增长速度的大小与指数a的大小有关。
例如，y=x^2和y=x^3的增长速度比y=x和y=x^1.5快，因为x^2和x^3比x和x^1.5的增长速度更快。
另一方面，y=x^0.5和y=x^0.3的增长速度比y=x慢，因为x^0.5和x^0.3比x的增长速度更慢。
二、对数函数的增长速度对数函数的一般形式为y=loga(x)，其中a为正实数且a ≠ 1，x为正实数。
对数函数随着x的增大而增加，但增长速度非常缓慢。
例如，y=log2(x)和y=log3(x)的增长速度比y=log5(x)和y=log10(x)慢，因为以2或3为底的对数的增长速度比以5或10为底的对数慢。
三、指数函数的增长速度指数函数的一般形式为y=a^x，其中a为正实数且a ≠ 1，x为自变量。
指数函数随着x的增大而快速增加。
例如，y=2^x和y=3^x的增长速度比y=1.5^x和y=1.1^x快，因为2和3比1.5和1.1更大。
比较三种函数的增长速度根据上述三种函数的增长速度特性，我们可以得出以下结论：1. 当x越来越大时，指数函数的增长速度最快，其次是幂函数，最慢的是对数函数。
2. 如果幂函数和指数函数的底相同，那么指数函数的增长速度比幂函数快。
例如，y=2^x的增长速度比y=x^2的增长速度快。
3. 如果对数函数和指数函数的底相同，那么对数函数的增长速度比指数函数慢。
例如，y=log2(x)的增长速度比y=2^x的增长速度慢。
指数函数、对数函数、幂函数一、考点、要点、疑点：考点：1、理解指数与对数；2、理解指数函数、对数函数的图象与性质。
3、了解幂函数。
要点：1、根式：一般地，如果一个数的n 次方等于a (n ＞1，且n ∈N *)，那么这个数叫做a 的n次方根．也就是，若a x n=，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1，且n ∈N *。
式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．2、根式的有关性质：(1) 当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根只有一个，用符号n a 表示.(2) 当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示， 正负两个n 次方根可以合写为：±n a (a ＞0) (3) 负数没有偶次方根；零的任何次方根都是零 。
3、分数指数幂的意义：n mnm a a=，nm nm aa1=-（a ＞0，m ，n 都是正整数）0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义。
4、分数（有理数）指数幂的运算性质： rs s r r r r s r s rrr sra ab a ab a aa aa a =⋅===⋅-+)(,)(,, 5、指数函数： 一般地，函数xa y =(a ＞0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，其定义域是R ，值域为（0，＋∞）。
指数函数的图象与性质：6、对数：一般地，如果a (a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ， 其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式常用对数：通常将N 10log 叫做常用对数，为了简便，N 的常用对数记作lg N 自然对数：通常将以无理数e （2.71828…）为底的对数叫做自然对数，为了简便，N 的自然对数N e log 简记作ln N . 7、对数运算性质：(1) 负数和零没有对数； (2) 01log =a ；(3) 1log =a a ； （4） 对数恒等式：N a Na =log ；（5）换底公式：aNN b b a log log log =8、对数运算法则：（1） )(log log log MN N M a a a =+ （2）NM N M a a a log log log =- （3） M n Ma na log log =（以上，a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0）9、对数函数： 一般地，函数y ＝x a log (a ＞0，且a ≠1) 叫做对数函数，其定义域为(0，+∞)，值域为(－∞，＋∞)。
（对数函数y ＝x a log 与指数函数互xa y =为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称。
）对数函数图象与性质：10、幂函数：一般地，函数αx y =称作幂函数，其中x 是自变量，α是常数。
几个特殊的幂函数：（1）y x = （2）12y x = （3）2y x = （4）1y x -=（5）3y x =用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出：幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）α>0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.疑点：1、研究指数、对数问题时尽量要为同底，另外，注意指数、对数的联系。
2、解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？ （真数大于零，底数大于零且不等于1，字母底数还需讨论。
）3、注意指数函数与幂函数的区别（自变量x 所在的位置）。
4、几类常见的抽象函数 ：①正比例函数型：()(0)f x kx k =≠ ---------------()()()f x y f x f y ±=±；②幂函数型：2()f x x = --------------()()()f xy f x f y =，()()()x f x f yf y =； ③指数函数型：()xf x a = ------------()()()f x y f x f y +=，()()()f x f x y f y -=；④对数函数型：()log a f x x = -----()()()f xy f x f y =+，()()()xf f x f y y=-；⑤三角函数型：()tan f x x = ----- ()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-。
指数函数习题例1： 比较下列各题中两值的大小观察这些指数值的特征，思考比较大小的方法。
（1）（2）两题底相同，指数不同，（3）（4）两题可化为同底的，可以利用函数的单调性比较大小。
（5）题底不同，指数相同，可以利用函数的图像比较大小。
（6）题底不同，指数也不同，可以借助中介值比较大小。
例2：已知下列不等式 , 比较m ,n 的大小 :这是指数函数性质的简单应用，使学生在解题过程中加深对指数函数的图像及性质的理解和记忆。
1、化简：⑴、65212121132)(ba bab a ⋅⋅⋅⋅---⑵、4223ba ab b a2、计算：⑴、1412121)32(10)427()23(10)3001(---⨯-⨯⨯+⑵、)21)(21)(21)(21)(21(214181161321-----+++++3、已知322=+-xx，求x x -+44，x x -+88，x x )22()2(+，x x 3322()2(+的值。
二、提高题4、求函数)32(425152-≥++=x x x y 的值域。
幂函数练习例1．已知函数()()2531m f x m m x--=--，当 m 为何值时，()f x ：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；例2．比较大小：（1）11221.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.530.5,3,log 0.5习题1. 下列函数中不是幂函数的是（ ）Ａ．y =Ｂ．3y x = Ｃ．2y x = Ｄ．1y x -=2. 下列函数在(),0-∞上为减函数的是（ ）Ａ．13y x = Ｂ．2y x = Ｃ．3y x = Ｄ．2y x -= 3. 下列幂函数中定义域为{}0x x >的是（ ） Ａ．23y x = Ｂ．32y x = Ｃ．23y x -= Ｄ．32y x-=4．函数y ＝（x 2－2x ）21－的定义域是（ ）A ．{x |x ≠0或x ≠2}B ．（－∞，0） （2，＋∞）C ．（－∞，0）］ ［2，＋∞］D ．（0，2）5．函数y ＝（1－x 2）21的值域是（ ）A ．［0，＋∞］B ．（0，1）C ．（0，1）D ．［0，1］ 6．函数y ＝32)215(x x －＋的定义域是 。
综合练习 一．基础题：1、① 25log 20log 42-＝② lg 2lg50lg5lg 20lg100lg5lg 2+-= ③ 已知12log ,,54,3log 255表示用b a a b===_______________ 2、函数xy 12=的定义域是 ，值域为 。
3、函数)23(log21-=x y 的定义域是：4、如图，曲线1C ，2C ，3C ，4C 分别表示指数函数 xa y =，xb y =，xc y =，xd y =的图象， 则d c b a ,,,及0 ，1按从小到大可以排列为： 。
5、若02log 2log b a ，则b a ,及0 ，1按从小到大可以排列为： 。
6、下列不等式中，正确的有 ： ① 3.04.05.05.0 ② 3.0log 4.0log 5.05.0 ③ 5.05.03.04.0 ④ 23.03.02--7、⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为 二、典型例题解析： 例1、设132log <a，则实数a 的取值范围是 . 例2、若函数的图象经过第二且)10(1)(≠>-+=a a b a x f x、三、四象限，则实数b a ,的取值范围分别是 ， 。
例3、⎩⎨⎧≤+-=1,log 1,4)13()( x x x a x a x f a 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是例4、设10<<a ，)22(log )(2--=xx a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是 例5、若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则c b a ,,的大小关系为：例6、对于函数f (x )定义域中任意的x 1，x 2（x 1≠x 2），有如下结论： ① f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)； ② f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2) ③1212()()f x f x x x -->0；④ 1212()()()22x x f x f x f ++<. 当x x f 2log )(=时，上述结论中正确结论的序号是例7、已知函数)2(log ax y a -=在]1,0[上是x 的减函数，则a 的取值范围是例8、已知函数)1,0(11log )(≠--=a a x mxx f a 是奇函数， （1）求m 的值及函数的定义域；（2）判断)(x f 在（1，＋∞）上的单调性； （3）当)2,(,1-∈a r x a 时，)(x f 的值域是（1，＋∞），求a ，r 的值三、练习：1、64log 2log 273＝2、设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩，则1(())2g g =__________3、函数x y 2log 2-=的定义域为：4、若函数)1,0)(1(log )(≠+=a a x x f a 的定义域和值域都是]1,0[，则a ＝5、若1,10- b a ，则函数b a x f x+=)(的图象不经过第 象限。
6、方程1)3lg(lg =++x x 的解x ＝ ；7、设函数⎩⎨⎧≤=-1,log 1,2)(81 x x x x f x ，则满足41)(=x f 的x ＝ ；8、若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数，则a ＝参考解答：课前热身：1、① 2 ② 1 ③bab 21+ 2、}1,0{},0{≠≠y y y x x 且 3、]132(，4、c d a b 105、10 a b6、③7、1，3例题解析：1、),1(32,0(+∞ 2、0,10 b a 3、)31,71[4、)3log ,(a -∞5、b a c6、②③7、)2,1(8、（1）1-=m ，定义域),1()1,(+∞--∞ （2）当1 a 时，增函数 ；当10 a 时，减函数 （3）1,32-=+=r a课堂练习：1、21 2、213、]4,0(4、25、一6、27、38、22。
