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【同步教育信息】沪科版八上第14.2命题与证明学习指导 一. 本周教学内容：1）了解证明的含义，理解证明的必要性； 2）初步了解综合法证明的步骤和书写格式；3）能够运用平行线、全等三角形的性质与判定证明一些简单的几何问题；4）运用三角形外角的概念、性质及其应用，了解辅助线在几何证明中的作用；5）通过证明步骤中由命题画出图形，写出已知、求证的过程，继续训练学生由几何语句正确画出几何图形的能力．二. 重点、难点：重点：公理、定理的含义；难点：综合法证明的步骤和书写格式；三角形外角的性质；三. 知识点回顾：1）公理和定理的含义 公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的命题叫做公理2）证明：根据题设、定义、以及公理、定理等，经过逻辑推理等判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明．3）平行线的公理及判定定理和性质定理的运用；4）三角形内角和定理、三角形外角和的定义和性质、全等三角形的对应中线、高、角平分线的关系；三角形外角和推论1）：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和； 三角形外角和推论2）：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角；注：像这样，由公理、定理直接得出的真命题，称为推论．四. 几何文字题的证明过程：第一步，画出命题的图形． 先根据命题的题设即已知条件，画出图形，再把命题的结论即求证的内容在图上标出．还要根据证明的需要，在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达．第二步，结合图形写出已知、求证．把命题的题设化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中．第三步，经过分析，找出由已知推得求证的途径，写出推理的过程．【典型例题】例1、已知：如图，180=∠+∠BOC AOB ，AOB ∠=∠211，BOC ∠=∠212．求证：OF OE ⊥．证明：∵180=∠+∠BOC AOB （已知），又∵AOB ∠=∠211，BOC ∠=∠212（已知）， ∴()902121=∠+∠=∠+∠BOC AOB ．∴OF OE ⊥（垂直定义）．例2、已知：如图，180=∠+∠B A ．求证：180=∠+∠D C ．证明：∵180=∠+∠B A （ ）， ∴BC AD //（ ）．∴180=∠+∠D C （ ）．答：已知；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．例3、已知：如图，AB ∥CD ，EF 分别交于AB 、CD 于E 、F ，EG 平分∠AEF ，FH 平分∠EFD ．求证：EG ∥FH ．证明：∵ AB ∥CD （已知） ∴ ∠AEF =∠EFD （______）∵ EG 平分∠AEF ，FH 平分∠EFD （______）， ∴∠______=∠AEF ，∠______=∠EFD （角平分线定义）∴∠______=∠______ ∴EG ∥FH （______）答：两直线平行，内错角相等，已知，∠GEF ，∠EFH ，∠GEF ，∠EFH ，内错角相等，两直线平行例4、已知：如图，EA ⊥AC 于A ，DC ⊥AC 于C ，B 是AC 上一点，AB =CD ，AE =BC ．求证：BE⊥BD．DEA B C证明：在ΔABE和ΔCDB中，≌又例5、已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：ED=EC．证明：在中，≌BAC∴AD=BC在中，≌例6、已知：ΔABC中，∠A=90°，AD是BC边上的高，BE是角平分线，且交AD于P．（1）求证：AE=AP；（2）如果∠C=30°，AE=1，求AC的长．（1）证明：在中，在中又（2）解：在中，，又AP=AE，是等边三角形．在中，，∴BE=2AE=2×1=2∵∠PBD=∠C【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、判断题下列各题正确的在括号内画“√”，错误的在括号内画“×”.1、两个全等三角形的对应边相等．（）2、两个等腰三角形一定是全等的三角形．（）3、全等三角形的两条对应中线一定相等．（）4、两个三角形若两角对应相等，则两角所对的边也相等．（）5、在一个直角三角形中，若一边等于另一边的一半，那么，一个锐角一定等于30°．（）二、选择题每小题只有一个正确答案，请将正确答案的序号填在括号内．1、在△ABC和△DEF中，已知AC=DF，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要的条件是（）A、∠A=∠DB、∠C=∠FC、∠B=∠ED、∠C=∠D2、下列命题中是假命题的是（）A、两条中线相等的三角形是等腰三角形B、两条高相等的三角形是等腰三角形C 、两个内角不相等的三角形不是等腰三角形D 、三角形的一个外角的平分线平行于这个三角形的一边，则这个三角形是等腰三角形3、如图，已知AB =AC ，BE =CE ，D 是AE 上的一点，则下列结论不一定成立的是（ ） A 、∠1=∠2 B 、AD =DE C 、BD =CD D 、∠BDE =∠CDE4、如图，已知AC 和BD 相交于O 点，AD ∥BC ，AD =BC ，过O 任作一条直线分别交AD 、BC 于点E 、F ，则下列结论：①OA =OC ②OE =OF ③AE =CF ④OB =OD ，其中成立的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、45、若等腰三角形的周长是18，一条边的长是5，则其他两边的长是（ ） A 、5，8 B 、6.5，6.5 C 、5，8或6.5，6.5 D 、8，6.56、下列长度的线段中，能构成直角三角形的一组是（ ） A 、543，，； B 、6， 7， 8；C 、12， 25， 27；D 、245232，， 7、如图，AC =AD BC =BD ，则下列结果正确的是（ ）A 、∠ABC =∠CAB B 、OA =OBC 、∠ACD =∠BDC D 、AB ⊥CD8、如图，△ABC 中，∠A =30°，∠C =90°AB 的垂直平分线交AC 于D 点，交AB 于E 点，则下列结论错误的是（ ）A 、AD =DB B 、DE =DC C 、BC =AED 、AD =BC三、填空题 1、如图，AD =BC ，AC =BD ， AC 与BD 相交于O 点，则图中全等三角形共有 对．2、如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，AC=DF，若根据“ASA”说明△ABC≌△DEF，则应添加条件= 或∥．3、一个等腰三角形的底角为15°，腰长为4cm，那么，该三角形的面积等于．4、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于45°，则这个三角形的顶角等于．5、命题“如果三角形的一个内角是钝角，则其余两个内角一定是锐角”的逆命题是．6、用反证法证明：“任意三角形中不能有两个内角是钝角”的第一步：假设．7、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，BC的垂直平分线DE交AB于D，则CD= ．四、证明题1、已知：如图，AB∥CD，F是AC的中点，求证：F是DE中点．2、已知：如图，AB=AD，CB=CD，E，F分别是AB，AD的中点．求证：CE=CF．3、如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：（1）AD⊥EF；（2）当有一点G从点D向A运动时，GE⊥AB于E，GF⊥AC 于F，此时上面结论是否成立？【试题答案】一、判断题1、√2、×3、√4、×5、×二、选择题1、B2、C3、B4、D5、C6、D7、D8、D三、填空题1、三；2、∠ACB=∠DFE，AC∥DF；3、4cm2；4、90°；5、如果三角形的两个内角是锐角，那么另一个内角是钝角；6、三角形有两个内角是钝角；7、4cm；四、证明题：1、证明（略）2、连结AC先证△ABC≌△ADC再证△AEC≌△AFC3、（1）先证△AED≌△AFD得AE=AF∠EAD=∠FAD由等腰三角形三线合一得AD⊥EF（或证AE=AF DE=DF得A点在EF的中垂线上，D点在EF的中垂线上）（2）略。
第1页 共1页 A ．有两边相等的平行四边形是菱形
B ．有一个角是直角的四边形是矩形
C ．四个角相等的菱形是正方形
D ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
A ．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B ．等腰三角形顶角的平分线把它分成两个全等三角形
C ．有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形
D ．顶角相等的两个等腰三角形全等
第3题. 下列判断正确的是（ ）
A ．25a 是2b a 与213a 的公分母
B ．3ab 是213a b 与213ab
的公分母 C ．两个分式的和还是分式
D ．两个分式的差可能是整式 A ．①②③ B ．①②④
C ．①③④
D ．②③④
A ．若∠A =∠C －∠
B ，则∠
C =90º
B ．若∠
C =90º，则222c b a =+ C ．若∠A =30º，∠B =60º，则AB =2BC
D ．若2
()()a b a b c +-=，则∠C =9
A ．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B ．等腰三角形顶角的平分线把它分成两个全等三角形
C ．有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形
D ．顶角相等的两个等腰三角形全等
Ａ．１个 Ｂ．２个
Ｃ．３个 Ｄ．４个
参考答案：
1. 答案：C ．
2. 答案：D ．
3. 答案：D ．
4. 答案：C ．
5. 答案：一个角是三角形的外角；等于和它不相邻的两个内角的和．
6. 答案：D ．
7. 答案：D ．
8. 答案：B。
