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命题与证明是八年级数学上学期第十九章第一节内容，主要对演绎证明和命题、公理、定理的概念及举例证明进行讲解，重点是真假命题的判定，难点是改写出已知命题和举例证明．通过这节课的学习一方面为我们后面学习垂直平分线和角平分线等几何内容提供依据，另一方面也为后面学习直角三角形性质奠定基础．1、演绎证明的概念演绎证明：演绎推理的过程就是演绎证明．也就是说演绎证明是指：从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程．演绎推理是数学证明的一种常用的、完全可靠的方法．演绎证明是一种严格的数学证明，是我们现在要学习的证明方式，简称为证明．几何证明知识结构模块一：演绎证明知识精讲内容分析【例1】 填空：（1） 已知，如图∠ABC =∠ADC ，∠AED =∠EDC ，BF 、DE 分别平分∠ABC 和∠ADC ，求证：DE ∥EF证明：因为BF 平分∠ABC ，（________________________），所以∠ABF =12∠ABC （______________________________）．同理∠EDF =12∠ADC ． 因为∠ABC =∠ADC （________），所以∠ABF =∠EDF （________）， 又因为∠AED =∠EDC ，所以∠AED =∠ABF （________________）， 所以DE ∥EF （______________________________）．（2） 已知：如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，EB 交CD 于点F ，且AD =DF ．求证：AC =BF ．证明：因为CD ⊥AB ，BE ⊥AC （已知），所以∠AEB =∠BDC =∠ADC =90°(______________________________)， 因为∠A +∠B +∠AEB =180°（______________________），同理∠BFD +∠B +∠BDC =180°．所以∠A +∠B +∠AEB =∠BFD +∠B +∠BDC (___________________________)， 所以∠A =∠BFD ．（____________） 在△ADC 与△FDB 中，__________A BFD ADC FDB ∠=∠⎧⎪⎨⎪∠=∠⎩，所以△ADC ≌△FDB （____________） 所以____________________（____________________）（图1）（图2）【答案】略【解析】（1）已知；角平分线的定义；已知；等量代换；等量代换；同位角相等，两直线平例题解析AB CDE FA BCD EFABCD行；（2）垂直的意义；三角形内角和180°；等量代换；等式性质；AD DF =；ASA ；AC BF =；全等三角形的对应边相等．【总结】考查证明题证明过程的依据和相关条件．【例2】 （1）如图，由AB = AC ，AD ⊥BC ，得____________，依据是__________；（2）如图，由A B = AC ，BD = DC ，得________________，依据是__________．【答案】略．【解析】（1）BD CD BAD CAD =∠=∠或，等腰三角形三线合一；（2）AD BC BAD CAD ⊥∠=∠或，等腰三角形三线合一．【总结】考查等腰三角形“三线合一”的性质应用．【例3】 求证：等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等． 【答案】略【解析】已知：如图AB AC =，BD CD =，DE AB ⊥交AB 于点E ， DF AC ⊥交AC 于点F ．求证：DE DF =． 证明：AB AC =，BD CD =，BAD CAD ∴∠=∠DE AB ⊥，DF AC ⊥， 90DEA DFA ∴∠=∠=︒AD AD =， ADE ADF ∴∆≅∆DE DF ∴=【总结】考查等腰三角形性质定理的应用，作图，已知，求证，证明的完整过程．【例4】 求证：等腰三角形底边上的高上任意一点到两腰的距离相等． 【答案】略．E ABCDF AMEF【解析】已知：如图AB AC =，AD BC ⊥，M 为线段AD 上任意一点， ME AB ⊥交AB 于点E ，MF AC ⊥交AC 于点F ．求证：ME MF =． 证明：AB AC =，AD BC ⊥，BAD CAD ∴∠=∠．ME AB ⊥，MF AC ⊥，90MEA MFA ∴∠=∠=︒． AM AM =， AME AMF ∴∆≅∆．ME MF ∴=．【总结】考查等腰三角形性质定理的应用，作图，已知，求证，证明的完整过程．【例5】 如图，已知四边形ABCD 是凹四边形，求证：∠D =∠A +∠B +∠C ．【答案】略．【解析】证明：联结BC ． 180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，ACB ABD BDC ∠=∠+∠，ACB ACD DCB ∠=∠+∠180A ABD ACD DBC DCB ∴∠+∠+∠=︒-∠-∠ 180D DBC DCB ∠+∠+∠=︒ 180D DBC DCB ∴∠=︒-∠-∠D A ABD ACD ∴∠=∠+∠+∠【总结】考查三角形中的等量代换，利用三角形内角和180°即可解题．【例6】 如图，已知△ABC 中，求证：∠A +∠B +∠C =180°证明：过BC 上一点D ，分别作________，交AB 于点E ，交AC 于点F ， 因为___________________，所以∠A =______．ABCDAB CD E F同理∠B =______，∠C =______． 因为_________________， 所以_________________．因为∠EDB +∠EDF +∠FDC =180°（），所以_________________． 【答案】略【解析】//DE AC ，//DF AB ；//DF AB ，CFD ∠；FDC ∠，EDB ∠；//DE AC ，EDF CFD A ∠=∠=∠；平角的意义；180A B C ∠+∠+∠=︒．【总结】考查三角形内角和的证明，利用平行线得到相等角等量代换即可．1、 命题：能界定某个对象含义的句子叫作定义；对某一件事情做出判断的句子叫作命题；其判断为正确的命题叫作真命题；其判断为错误的命题叫作假命题．数学命题通常由假设、结论两部分组成，可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”开始的部分是题设，“那么”开始的部分是结论．逆命题：在两个命题中，如果第一个名义的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．2、公理：人们从长期的实践中总结出来的真命题．它们可以作为判断其他命题真假的原始依据．3、定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题定理真假的依据，这样的真命题叫做定理．逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理．所有的命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理．【例7】 判断下列语句是不是命题?例题解析知识精讲模块二：命题、公理、定理（1） 直线AB 和直线CD 垂直； （2） 同旁内角不相等，两直线平行；（3） 天气预报播报，明天下雨的概率较大，大家出门带好雨具； （4） 两点之间，线段最短； （5） 对顶角相等； （6） 请把门关上！【答案】（2）、（4）、（5）是命题，（1）、（3）、（6）不是命题．【解析】根据命题的定义，对某一件事情做出判断的句子叫做命题，（2）（4）（5）是对一件事情做出判断的句子，是命题，（1）（3）（6）不是．【总结】考查对语句是否为命题的判断．【例8】 判断下列命题的真假．（1） 两个钝角的和还是钝角；（2） 两个等腰三角形必定可以拼成一个直角三角形； （3） 等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形；（4） 在一个三角形中，若一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形； （5） 若两个三角形全等，则这两个三角形关于某个点成中心对称； （6） 有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等．【答案】（1）、（2）、（3）、（5）、（6）是假命题，（4）是真命题．【解析】（1）两个钝角的和大于180°，不是钝角，是假命题；（2）两个等腰三角形的三边 长都不相等，则不能组合在一起，也不能拼成直角三角形，是假命题；（3）等边三角形 不是中心对称图形，是假命题；（4）这条中线将三角形分成两个等腰三角形，根据等腰 三角形两底角相等，可得这条边的对角为180°÷2=90°，即为直角三角形，是真命题； （5）两全等三角形的对应点不一定交于一点，则不一定关于某点中心对称，是假命题； （6）保持一边不变，过一个顶点作一条射线，另一个顶点向这条射线作垂线，并以这 点为圆心，长于垂线长的长度为半径作圆与射线有两个交点，形成三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，满足题目条件，但两个三角形明显不全等，是假命题．【总结】考查判断一个命题的真假，判断命题为假命题举一个反例即可． 【例9】 下列定理中有逆定理的是（）．A ．直角三角形中没有钝角；B ．互为相反数的数的绝对值相等；C ．同旁内角互补，两直线平行；D ．若22a b a b ==，则．【答案】C【解析】没有钝角的三角形可能为锐角三角形，A 错误；绝对值相等的数可能是相等也可能是互为相反数，B 错误；22a b =，a b =±，D 错误；C 选项逆命题为平行线判定定理．【总结】考查定理和相关逆定理，平行线三条性质定理都有逆定理．【例10】以下命题的逆命题为真命题的是（）．A．三个角相等的三角形是等边三角形；B．同角的余角相等；C．在三角形中，钝角所对的边最长；D．对顶角相等．【答案】A【解析】等边三角形三个内角相等，A的逆命题是真命题；余角相等的角是等角，不一定是同角，B的逆命题是假命题；根据“大边对大角”，最长边所对的角是三角形中最大角即可，三角形中的最大角不一定是钝角，例如直角三角形，C的逆命题是假命题；相等的角不一定为对顶角，同位角、内错角等，D的逆命题是假命题；故选A．【总结】考查对命题的逆命题的真假的判断，举反例即可．【例11】把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式：（1）等边对等角；如果____________________，那么______________________________；（2）同角的补角相等；如果____________________，那么______________________________；（3）平行于同一条直线的两条直线互相平行；如果____________________，那么______________________________；（4）全等三角形对应边相等；如果____________________，那么______________________________．【答案】略．【解析】（1）如果一个三角形中有两条边相等，那么这两条边所对的角相等；（2）如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等；（3）如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行；（4）一对全等三角形中，如果两条边是这对全等三角形的对应边，那么这两条边相等．【总结】考查命题“如果……那么……”形式的改写，注意加入适当的描述性的语句，使得语句更通顺好理解．【例12】写出以下命题的逆命题，并判断真假：（1）等边三角形的三个内角相等；（2）有两边及一角对应相等的两个三角形全等；（3）等腰三角形的底角相等；（4）全等三角形对应角相等；（5）全等三角形面积相等．【答案】略．【解析】（1）逆命题：三个内角相等的三角形是等边三角形，真命题；（2）逆命题：两个三角形是全等三角形，这两个三角形中两条对应边和其中一个对应角都相等，真命题；（3）逆命题：如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，真命题；（4）逆命题：对应角相等的两个三角形是全等三角形，假命题；（5）逆命题：面积相等的两个三角形是全等三角形，假命题．【总结】考查对命题的逆命题的真假的判断．【例13】以下说法中正确的有（）个．（1）逆定理一定是真命题；（2）一个定理一定有逆定理；（3）互逆命题一定是互逆定理；（4）互逆定理一定是互逆命题．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】逆定理的前提是真命题，（1）正确；定理对应的逆命题不一定为真命题，则没有逆定理，（2）错误；定理一定是命题，但命题不一定是定理，可知互逆定理一定是互逆命题，但互逆命题不一定是互逆定理，（3）错误，（4）正确；综上，（1）（4）正确，故选B．【总结】考查定理和命题的区别和联系．【例14】下列命题是假命题有（）个．（1）若000，则；>>>a b ab（2）两直线相交，只有一个交点；（3）等腰三角形是锐角三角形；（4）等边三角形是等腰三角形．A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】（1）正确，是真命题；（2）正确是真命题；等腰三角形顶角有可能为钝角，则为钝角三角形，（3）是假命题；等边三角形是特殊的等腰三角形，（4）是真命题；综上（3）是假命题故选A．【总结】考查命题的真假的判断．【例15】判断下列命题的真假，若是假命题，举出反例．（1）如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等；（2）有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等．【答案】略【解析】（1）假命题，组成角的两条射线，一条方向相同，一条相反，则两角互补；（2）假命题，保持一边不变，过一个顶点作一条射线，另一个顶点向这条射线作垂线，并以这点为圆心，长于垂线长的长度为半径作圆与射线有两个交点，形成三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，满足题目条件，但两个三角形明显不全等．【总结】考查命题的真假的判断，假命题举反例即可．【例16】写出下列命题的逆命题，判断逆命题的真假，并说明其中哪些是逆定理．（1）等腰三角形两腰上的中线相等；（2）内错角相等，两直线平行；（3）等边对等角；（4）两条平行直线被第三条直线所截，截得的同旁内角的角平分线互相垂直．【答案】略．【解析】（1）逆命题：如果一个三角形中有两条边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形，真命题，不是逆定理；（2）逆命题：两直线平行，内错角相等，真命题，是逆定理；（3）逆命题：等角对等边，真命题，是逆定理；（4）逆命题：如果两条直线被第三条直线所截，截得的一对同旁内角的角平分线互相垂直，那么这两条直线平行，真命题，不是逆定理．【总结】考查一个命题的逆命题的写法，以及对命题真假的判断．证明两直线平行的一般方法： （1） 平行线的判定和性质；（2） 利用全等得出结论证明两直线平行．【例17】 如图，若AB ∥CD ，直线EF 分别与AB 和CD 相交于点E 和F ，EP ⊥EF ，∠EFD 的平分线与EP 相交于点P ，且∠BEP =40°，则∠EPF =____________．【答案】65°．【解析】90PEF ∠=︒，40BEP ∠=︒， 130BEF PEF BEP ∴∠=∠+∠=︒ //AB CD ， 180BEF EFD ∴∠+∠=︒ 50EFD ∴∠=︒PF 是EFD ∠的角平分线，1252EFP EFD ∴∠=∠=︒18065EPF PEF EFP ∴∠=︒-∠-∠=︒例题解析模块三：证明举例知识精讲ACEB DFP【总结】考查平行线的性质定理的应用，两直线平行，同旁内角互补．【例18】 已知AB ∥CD ，∠1=2∠GBH ．求证：BH 平分∠DHG ．【答案】略． 【解析】证明：//AB CD1DHG GBH DHB ∴∠=∠∠=∠， 12GBH ∠=∠，1B GHB ∠=∠+∠ GHB GBH DHB ∴∠=∠=∠即证BH 平分∠DHG【总结】考查平行线的性质定理的应用，两直线平行，内错角相等．【例19】 已知：如图，AB ∥CD ，且FH 、EG 分别是∠BFE 、∠CEF 的平分线，求证：FH ∥EG ． 【答案】略 【解析】证明：//AB CD ， CEF BFE ∴∠=∠，GE 是CEF ∠的角平分线，12GEF CEF ∴∠=∠，同理12EFH BFE ∠=∠GEF EFH ∴∠=∠， //FH EG ∴．【总结】考查平行线的判定定理，内错角相等，两直线平行．【例20】 如图，已知E 是△ABC 一边AC 的中点，F 是AB 上的一点，FE 的延长线与CD 交于点D ，且FE = DE ．求证：DC ∥AB ． 【答案】略． 【解析】证明：E 是AC 的中点，AE CE ∴=．ACED BFHGCABF DEG CAEFDB1HACFBED G A C EDFBOFE DE AEF DEC =∠=∠，， AEF CED ∴∆≅∆．A ECD ∴∠=∠， //DC AB ∴．【总结】考查平行线的判定定理，内错角相等，两直线平行．【例21】 如图，BE 、CE 分别为∠B 、∠C 的平分线，且∠BEC =90°，求证：AB ∥CD ．【答案】略【解析】证明：90BEC ∠=︒， 90EBC ECB ∴∠+∠=︒BE 是ABC ∠的角平分线，2ABC EBC ∴∠=∠，同理2DCB ECB ∴∠=∠，()2180ABC DCB EBC ECB ∴∠+∠=∠+∠=︒//AB CD ∴【总结】考查平行线的判定定理，同旁内角互补，两直线平行．【例22】 如图，已知∠ADE =∠B ，FG ⊥AB ，∠EDC =∠GFB ，求证：CD ⊥AB ． 【答案】略【解析】证明：ADE B ∠=∠， //DE BC ∴， EDC BCD ∴∠=∠ EDC GFB ∠=∠， DCB GFB ∴∠=∠， //GF DC ∴．FG AB ⊥， CD AB ∴⊥．【总结】考查平行线的性质和判定定理的相互转换应用．【例23】 如图，已知BO =OC ，AB =DC ，BF ∥CE ，且A 、B 、C 、D 、O 在同一直线上．求证：DE ∥AF ．【答案】略【解析】证明：//BF CE ， BFO CEO ∴∠=∠ BO OC BOF COE =∠=∠， BOF COE ∴∆≅∆ OE OF ∴= BO OC AB CD ==，BO AB OC CD ∴+=+，即AO OD =AOF DOE ∠=∠ AOF DOE ∴∆≅∆AEDBCAB DFEACEDB 1 2A D ∴∠=∠ //DE AF ∴【总结】考查平行线的判定定理，内错角相等，两直线平行与全等三角形性质的应用．【例24】 已知：如图所示，AB = AC ，AD = CE ，BD = AE ，∠1=∠2．求证：AE ∥BC ． 【答案】略 【解析】证明：AB AC =， 2ACB ∴∠=∠AB AC AD CE BD AE ===，， ABD CAE ∴∆≅∆，1CAE ∴∠=∠12∠=∠， 12CAE ACB ∴∠=∠=∠=∠//AE BC ∴【总结】考查平行线的判定定理，内错角相等，两直线平行结合全等三角形性质的应用．【例25】 如图：已知CD 、BE 是三角形ABC 的中线，AB =AC ,求证：DE ∥BC ．【答案】略【解析】证明：CD 是ABC ∆的中线，12AD AB ∴=． 同理12AE AC =．AB AC =， AD AE ABC ACB ∴=∠=∠， ADE AED ∴∠=∠180180A ADE AED A ABC ACB ∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒，()11802ADE A ABC ∴∠=︒-∠=∠， //DE BC ∴．【总结】考查平行线的判定定理和等腰三角形性质的综合应用．【例26】 如图，已知在三角形ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点D ，EF 过点D ，且EF ∥BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，求证：EF = BE +CF ． 【答案】略【解析】证明：BD 是ABC ∠的角平分线， EBD DBC ∴∠=∠ //EF BC ， EDB DBC ∴∠=∠， EBD EDB ∴∠=∠BE DE ∴=，同理DF CF =，EF ED DF BE CF ∴=+=+【总结】考查角平分线与平行线结合产生等腰三角形的基本模型． AB CEDABE CDFABCDEF 【例27】 如图所示，在四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，CF 平分∠BCD ，∠BAD 和∠BCD 互补，∠DFC 和∠DCF 互余． 求证：∠AEB =∠FCB ． 【答案】略 【解析】证明：AE 平分BAD ∠，12DAE BAD ∴∠=∠．同理12DCF BCD ∠=∠．BAD ∠和BCD ∠互补， 180BAD BCD ∴∠+∠=︒， 90DAE DCF ∴∠+∠=︒． DFC ∠和DCF ∠互余， 90DFC DCF ∴∠+∠=︒， DFC DAE ∴∠=∠//AE CF ∴，AEB FCB ∴∠=∠．【总结】考查平行线性质定理和判定定理的综合应用．【例28】 如图，在四边形ABCD 中，∠A =∠C ，BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC ．求证：BE ∥DF ． 【答案】略【解析】证明：BE 平分ABC ∠，12ABE ABC ∴∠=∠，同理12FDE ADC ∠=∠，360A ABC C ADC ∠+∠+∠+∠=︒，A C ∠=∠， 3602ABC ADC A ∴∠+∠=︒-∠BED A ABE ∠=∠+∠()1113602180222BED FDE A ABC ADC A A ∴∠+∠=∠+∠+∠=∠+︒-∠=︒//BE DF ∴【总结】考查平行线的判定定理，同旁内角互补，两直线平行．【例29】 如图，AB ∥CD ，分别探讨下面4个图形中∠BPD 、∠ABP 、∠CDP 的关系，（直接写出关系即可），并对第3个图得到的关系进行证明（至少用两种方法）．C ABPDABCDP图1图2【答案】图1：+360BPD ABP CDP ∠∠+∠=； 图2：BPD CDP ABP ∠=∠-∠； 图3：BPD ABP CDP ∠=∠+∠； 图4：BPD ABP CDP ∠=∠-∠． 【解析】证明：方法1：延长BP 交CD 于点M ， //AB CD ， ABP PMD ∴∠=∠BPD PMD CDP ABP CDP ∴∠=∠+∠=∠+∠；方法2：过点作射线//PN AB ，则有ABP BPN ∠=∠，//AB CD ， //CD PN ∴， CDP DPN ∴∠=∠BPD BPN DPN ABP CDP ∴∠=∠+∠=∠+∠．【总结】考查平行线的性质定理和三角形外角性质的结合应用，本题中4个小题都可通过作平行或延长简单证明．【例30】 如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =∠DCB ，AB =CD ，AE =DF .（1） 求证：BF =CE ；（2） 当点E 、F 相向运动，形成图2时，BF 和CE 还相等吗?证明你的结论．【答案】（1）略；（2）相等． 【解析】（1）证明：//AD BC ，180180BAD ABC ADC BCD ∴∠+∠=︒∠+∠=︒， ABC DCB ∠=∠ BAD ADC ∴∠=∠AE DF =AE AD DF AD ∴+=+，即DE AF = AB CD =EDC FAB ∴∆≅∆ABCDPABCDP图3图4A ABCDFED BC（E ） （F ）图1图2BF CE∴=（2）相等，证明：同（1）可证BAD ADC∠=∠，，==ED AF AB CD∴∆≅∆EDC FABBF CE∴=【总结】考查等腰梯形的性质的证明，实际为后面等腰梯形性质的学习打下基础．随堂检测【习题1】下列命题中，属于公理的有（）．A．三角形的内角和为180°B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等C．等腰三角形两个底角相等D．在所有联结两点的线中，线段最短【答案】D【解析】公理是人们从长期的实践中总结出来的真命题．它们可以作为判断其他命题真假的原始依据，D是公理，A、B、C都是定理．【总结】考查对公理的判断．【习题2】下列判断错误的是（）．A．底角对应相等的两个等腰三角形全等B．有一腰和顶角对应相等的两个等腰三角形全等C．腰相等的两个等腰直角三角形全等D．边长相等的两个等边三角形全等【答案】A【解析】由A只能确定两个等腰三角形的三个内角对应相等，缺少边相等的条件，不能判定全等，故选A．【总结】考查与等腰三角形结合的全等三角形的判定．【习题3】将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式：（1）等角对等边；（2）同角的余角相等；ACED B 1 2 CBAFME（3）全等的三角形的对应边上的高相等． 【答案】略【解析】（1）如果一个三角形中有两个相等的角，那么这两个角所对的边也相等； （2）如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等； （3）如果两个三角形全等，那么这两个三角形对应边上的高相等．【总结】考查命题“如果……那么……”形式的改写，注意加入适当的描述性的语句，使得语句更通顺好理解．【习题4】 如图，已知AC ∥DE ，∠1=∠2，求证：AB ∥CD ． 【答案】略 【解析】证明：//AC DE ， 2ACD ∴∠=∠．12∠=∠， 1ACD ∴∠=∠，//AB CD ∴．【总结】考查平行线的性质定理和判定定理的综合应用，等角转化．【习题5】 如图，AM 是△ABC 底边BC 上的中线，点F 在AM 上，点E 在AM 的延长线上，且EM =MF ． 求证：//CE BF ． 【答案】略 【解析】证明：AM 是ABC ∆的中线， BM CM ∴=EM MF CME BMF =∠=∠， CME BMF ∴∆≅∆E MFB ∴∠=∠ //CE BF ∴【总结】考查三角形的全等证明与平行线的判定定理的综合应用．【习题6】 如图，已知AF ∥BE ∥CD ，∠A =∠D ．求证：AB ∥ED ．【答案】略 【解析】证明：////AF BE CD ，180180A ABE D DEB ∴∠+∠=︒∠+∠=︒，．A D ∠=∠， ABE DEB ∴∠=∠，ADBECF//AB ED ∴．【总结】考查平行线的性质和判定定理的结合应用，先利用性质再进行判定．【习题7】 如图，已知B 、E 、C 、F 在同一条直线上，AB ∥DE ，且AB =DE ，BE =CF ．求证：AC ∥DF . 【答案】略 【解析】证明：//AB DE ， B DEF ∴∠=∠．BE CF =，BE EC EC CF ∴+=+，即BC EF =．AB DE =，ABC DEF ∴∆≅∆． ACB F ∴∠=∠ //AC DF ∴【总结】考查全等三角形的判定和平行线的性质和判定定理的综合应用．【习题8】 如图，已知AB ∥CD ，∠1=∠2．求证：∠BEF =∠EFC ．证明：__________________________． 因为_________________________（），所以∠ABC =∠BCD （）． 又因为__________________（ ）， 得______________________（ ）， 所以_____________________（），所以∠BEF =∠EFC （）．【答案】略【解析】联结BC ；//AB CD ，已知；两直线平行，内错角相等；12∠=∠；已知；EBC BCF ∠=∠；等式性质；//BE CF ，内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【总结】考查平行线的性质和判定定理的综合运用．ABCDEF12ABCDEF【习题9】 如图，一条公路修到湖边时，需绕湖而过，如果第一次拐弯的角∠A 是120°，第二次拐弯的角∠B 是150°，第三次拐弯的角是∠C ，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，求∠C 的度数．【答案】150°【解析】延长AB 交DC 延长线于点E ，由两道路平行，可得120E A ∠=∠=︒，150ABC ∠=︒ 18030CBE ABC ∴∠=︒-∠=︒12030150BCD E CBE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒【总结】考查平行线的性质和三角形外角性质的综合应用．【习题10】 已知：如图，∠ABC =∠ADC ，BF 和DE 分别平分∠ABC 和∠ADC ，且CF =CB ．求证：∠1=∠2【答案】略【解析】证明：DE 平分ADC ∠，12CDE ADC ∴∠=∠，同理12CBF ABC ∴∠=∠，ABC ADC ∠=∠ CDE CBF ∴∠=∠ CF CB = CFB CBF ∴∠=∠ CDE CFB ∴∠=∠ //DE FB ∴12∴∠=∠【总结】考查平行线的性质定理和判定定理的综合应用．DCEABF21 ACBDE【习题11】 如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ．（1） 联结AC 、BD 相交于点O ，若OD = OB ，求证：OA = OC ．（2） 若E 、F 分别是DA 、BC 延长线上的一点，且AE = CF ．联结EF ，交AB 、CD于点G 、H ，交BD 于点O ．求证：OG = OH 且O 是BD 的中点．【答案】略【解析】证明：（1）//AB CD ，AD ∥BC ，ADO CBO DAO BCO ∴∠=∠∠=∠， OD OB = ADO CBO ∴∆≅∆ OA OC ∴=（2）//AB CD ，∴ABD BDC ∠=∠，FHC FGB ∠=∠，//AD BC ，AGE FGB ∠=∠ E F AGE CHF ∴∠=∠∠=∠，ABD BDC ∠=∠AE CF = AGE CHF ∴∆≅∆ EG HF ∴=BD BD = ABD CDB ∴∆≅∆ AD BC ∴= AE CF =AE AD CF BC ∴+=+，即DE BF = EDO FBO ∴∆≅∆ DO BO EO FO ∴==， EO EG FO FH ∴-=-即证OG OH =且O 是BD 的中点【总结】考查根据平行线和三角形的全等证明平行四边形的相关性质，为后面学习平行四边形的性质打好基础．AB CGDEFHO 图2AB CDO图1课后作业【作业1】以下命题的逆命题是真命题的是（）．A．等边三角形的三个角相等；B．同角的补角相等；C．在三角形中，钝角所对的边长最长；D．同位角相等．【答案】A【解析】三个内角相等的三角形是等边三角形，A的逆命题是真命题；补角相等的角相等，但不一定为同角，B的逆命题是假命题；根据“大边对大角”，最长边所对的角是三角形中最大角即可，三角形中的最大角不一定是钝角，例如直角三角形，C的逆命题是假命题；相等的角不一定为同位角，D的逆命题为假命题；故选A．【总结】考查命题的逆命题真假的判定，判定为假命题举反例即可．【作业2】把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出这个命题的题设和结论判断出命题的真假．（1）轴对称图形都是等腰三角形；（2）等腰三角形顶角的角平分线就是底边上的高；（3）等角的余角相等．【答案】略【解析】（1）如果一个图形是轴对称图形，那么这个图形是等腰三角形；题设：如果一个图形是轴对称图形，结论：那么这个图形是等腰三角形，假命题；（2）如果过等腰三角形的顶角作顶角的角平分线，那么这条角平分线是等腰三角形底边上的高；题设：如果过等腰三角形的顶角作顶角的角平分线，结论：那么这条角平分线是等腰三角形底边上的高，真命题；（3）如果两个角是两个相等的角的余角，那么这两个角相等；题设：如果两个角是两个相等的角的余角，结论：那么这两个角相等，真命题．【总结】考查命题“如果……那么……”形式的改写，注意加入适当的描述性的语句，使得语句更通顺好理解，同时考查命题真假的判断．【作业3】 以下说法正确的有（）个．①每个命题都有逆命题； ②假命题的逆命题是假命题； ③真命题的逆命题都是真命题； ④每个定理都有逆定理． A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】①显然正确，②③显然错误，定理的逆命题必须为真命题则为定理，④错误， 综上只有①正确，故选A ．【总结】考查命题和逆命题、定理和逆定理的相关定义．【作业4】 如图，已知：∠AEC =∠A +∠C ．求证：AB ∥CD ． 【答案】略【解析】证明：延长AE 交CD 于点F ，AEC C EFC AEC A C ∠=∠+∠∠=∠+∠， EFC A ∴∠=∠ //AB CD ∴【总结】考查平行线的判定定理和三角形外角性质的综合应用．【作业5】 已知：如图，AB //CD ，∠B =110°，∠C =35°．求∠E 的度数．【答案】105°【解析】延长AB 交CE 延长线于点F ，//AB CD 35F C ∴∠=∠=︒ 110ABE ∠=︒18070FBE ABE ∴∠=︒-∠=︒7035105BEC FBE F ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒【总结】考查平行线的判定定理和三角形外角性质的综合应用．【作业6】 已知：如图，A 、E 、F 、D 四点在一条直线上，AE =FD ，AB //CD ，且AB =CD ．EABDCFABCDEFABCONM EDCBA求证：BF //CE ． 【答案】略 【解析】证明：//AB CD ， A D ∴∠=∠AE FD =AE EF FD EF ∴+=+，即AF DE = AB CD = ABF DCE ∴∆≅∆CED BFA ∴∠=∠ //BF CE ∴【总结】考查平行四边形和全等三角形性质的综合应用．【作业7】 已知：如图，已知点O 在直线AB 上，OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC ，那么OM ⊥ON 吗?为什么? 解：因为OM 平分∠AOC （）， 所以∠MOC=______________________（），同理____________=_________________． 又因为∠AOC+∠BOC=180°（）， 所以0119022AOC BOC ∠+∠=（）， 得____________+____________=090，（ ）所以OM _______________ON （）．【答案】略【解析】已知；12AOC ∠，角平分线的意义；CON ∠，12BOC ∠；平角的意义；等式性质；MOC ∠，CON ∠，等量代换；⊥，垂直的意义． 【总结】考查证明题的判定应用和相应的定理的把握．【作业8】 如图，AC =CE ，DE =BD ，∠AEB =90°．求证：AC //BD ．【答案】略ABCDEF90CEA DEB ∴∠+∠=︒ AC CE =A CEA ∴∠=∠，同理B DEB ∠=∠，180180A CEA C D DEB B ∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒，18021802C CEA D DEB ∴∠=︒-∠∠=︒-∠，()3602180C D CEA DEB ∴∠+∠=︒-∠+∠=︒//AC BD ∴【总结】考查平行线的性质定理和等腰三角形性质的综合应用．【作业9】 已知CE 、BD 是△ABC 的高，AB =AC ，求证：DE ∥BC ．【答案】略【解析】证明：CE 、BD 是ABC ∆的高，90ADB AEC ∴∠=∠=︒ A A AB AC ∠=∠=，ABD ACE ABC ACB ∴∆≅∆∠=∠，AE AD ∴= ADE AED ∴∠=∠180180A ADE AED A ABC ACB ∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒，()11802AED A ABC ∴∠=︒-∠=∠//DE BC ∴【总结】考查平行线的判定定理和等腰三角形性质的综合应用．【作业10】 已知：如图，∠B =∠C ， ∠BDE =∠CDF ，BD = CD ，求证：EF //BC ．【答案】略ACBDEFEDCBACABDRQP180180BDE EDC BDF CDF ∠+∠=︒∠+∠=︒，180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=︒()11802BDF CDE BDE EDF ∴∠=∠∠=︒-∠，BD CD B C =∠=∠，BDF CDE ∴∆≅∆ DE DF ∴=DEF DFE ∴∠=∠180DEF EDF DFE ∠+∠+∠=︒()11802DEF EDF BDE ∴∠=︒-∠=∠//EF BC ∴【总结】考查三角形的全等，等腰三角形性质，三角形内角和的综合应用．【作业11】 已知：如图在四边形ABCD 中，∠BAD =∠BCD ，∠ABC 的角平分线交直线AD 的延长线于点P ，经过点A 与BP 垂直的直线交直线BC 的延长线于点Q ． 求证：PQ ∥CD ．【答案】略【解析】证明：BP 是ABC ∠的角平分线， PBQ PBA ∴∠=∠． AQ BP ⊥， 90BRQ BRA ∴∠=∠=︒．BR BR =， BRQ BRA ∴∆≅∆， BQ BA ∴=．BP BP =， BPQ BPA ∴∆≅∆， BQP BAP ∴∠=∠． BAD BCD ∠=∠， BCD BQP ∴∠=∠//PQ CD ∴【总结】考查三角形的全等判定和平行线的判定的综合应用．。
命题与证明一、命题1、命题：凡是可以判断出真（正确）、假（错误）的语句叫做命题.2、命题分类真命题：正确的命题命题假命题：错误的命题3、命题的组成：每个命题都由条件和结论两部分组成.4、互逆命题：将命题“如果p，那么q”中的条件与结论互换，便得到一个新命题“如果q，那么p”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.每个命题都有逆命题.5、反例：符合命题条件，但不满足命题结论的例子称为反例.原命题：如果p，那么q；逆命题：如果q，那么p.（说明：交换一个命题的条件和结论就是它的逆命题.）二、公理、定理与证明1、几何推理中，把那些从长期实践中总结出来，不需要再作证明的真命题叫做公理. 如：经过两点，有且只有一条直线；两点之间，线段最短；两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行；平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直.2、正确性已经过推理得到证实，并被选定作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.如：对顶角相等；内错角相等，两直线平行；在平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行.三、三角形内角和定理、外角及其推论1、三角形的内角和为180°.2、推论1：直角三角形的两锐角互余.3、三角形的外角：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.三角形的外角与它相邻的内角互补.4、推论2：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.5、推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.【专题解析】1.已知△ABC的高为AD，∠BAD=70º，∠CAD=20º，求∠BAC的度数.2.如图，已知AB ∥DE ，试求证：∠A +∠ACD +∠D =3600（你有几种证法?）3.在研究三角形内角和等于180°的证明方法时，小明和小虎分别给出了下列证法. 小明：在△ABC 中，延长BC 到D ，∴∠ACD =∠A +∠B （三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）.又∵∠ACD +∠ACB =180°（平角定义），∴∠A +∠B +∠ACB =180°（等式的性质）.小虎：在△ABC 中，作CD ⊥AB ，∵CD ⊥AB （已知），∴∠ADC =∠BDC =90°（直角定义）.∴∠A +∠ACD =90°，∠B +∠BCD =90°（直角三角形两锐角互余）.∴∠A +∠ACD +∠B +∠BCD =180°（等式的性质）.∴∠A +∠B +∠ACB =180°.请你判断上述两名同学的证法是否正确,如果不正确，写出一种你认为较简单的证明三角形内角和定理的方法，与同伴交流.4.如图，已知AB CD ∥，探究123∠，∠，∠之间的关系，并写出证明过程．【综合提升】一、选择题1、在平面内，下列命题中正确的有（ ）（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 （2）两点之间，线段最短（3）垂线段最短 （4）两点确定一条直线A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2、命题“相交的两条直线不一定互相垂直”的条件是（）A、两条直线B、两条直线垂直C、两条直线相交D、它们不一定垂直3、若△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是（）A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、钝角三角形或锐角三角形4、如图，在△ABC值，∠A＝70°，∠B＝60°，点D在BC的延长线上，CE是∠ACD的平分线，则∠ACE的度数为（）A、60°B、65°C、100°D、135°5、如图是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠ABC＝140°，∠CDE＝120°，则∠C的度数为（）A、120°B、100°C、140°D、90°6、下图能说明∠1＞∠2的是（）7、如图，直线BD∥EF，AE与BD交于点C.若∠ABC=30°，∠BAC=75°，则∠CEF的大小为（）A、60°B、75°C、90°D、105°二、填空题8、下列语句中哪些是命题，哪些不是命题？请在横线上填“是”或“不是”.（1）延长AB至C. _______；（2）这两条直线平行吗？________；（3）若x＝2，则1－5x＞0. ________；（4）明天可能会下雨. ________；（5）绝对值等于3的数是3. ________；（6）两个负数的商是正数. _________；（7）在同一平面内的两条直线不相交就平行. ________；（8）同角的补角相等. ________；（9）画线段AB＝3cm. ________；（10）直角三角形一定不是轴对称图形. ________.9、若一个三角形的三个内角之比是6:2:1，则这个三角形中最大内角的外角是______度.10、如图，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=158°，则∠EDF＝______.11、如图，AD∥BC，AB∥CD，∠B=110°，延长AD至F，延长CD至E，连接EF，则∠E＋∠F＝_______.12、把“相交成直角的两条直线互相垂直”改写成“如果……那么……”的形式为___________________________________________________________________________. 13、如图，∠DAC是△ABC的一个外角，则∠DAC＝∠_____＋∠_____；∠DAC＞∠_____，∠DAC＞∠______.依据是____________________________________________________________________.14、如图，∠1是△ABC的一个外角，直线DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，∠1＝120°，则∠2的度数是_______.三、解答题15、如图，AB⊥BC，AD⊥CD.求证：∠A＋∠C＝180°.16、如图，在△ABC中，∠BAD=∠B，∠C=∠ADC，∠BAC=60°，求∠DAC的度数.17、如图，（1）根据图形说明∠1、∠2、∠A的大小关系；（2）若∠ABD=25°，∠ACE=30°，∠A=80°，求∠1的度数.18、如图，∠ABC=∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF=∠F，EC与DF平行吗？若平行，给出证明；若不平行，请说明理由.。
