2.2二次函数的图像与性质(1)(导学案)

关于二次函数的图像与性质的数学教案（9篇）二次函数的图像与性质的数学教案篇1【学问与技能】1.会用描点法画函数y=ax2(a＞0)的图象，并依据图象熟悉、理解和把握其性质.2.体会数形结合的转化，能用y=ax2(a＞0)的图象和性质解决简洁的实际问题.【过程与方法】经受探究二次函数y=ax2(a＞0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象讨论函数的阅历，培育观看、思索、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图，同学之间沟通争论，到达对二次函数y=ax2(a＞0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性.【教学重点】1.会画y=ax2(a＞0)的图象.2.理解，把握图象的性质.【教学难点】二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程.一、情境导入，初步熟悉问题 1 请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么外形呢?问题2 如何用描点法画一个函数图象呢?【教学说明】①略；②列表、描点、连线.二、思索探究，猎取新知探究1 画二次函数y=ax2(a＞0)的图象.画二次函数y=ax2的图象.【教学说明】①要求同学们人人动手，按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x2的图象，同学们画好后相互沟通、展现，表扬画得比拟标准的同学.②从列表和描点中，体会图象关于y轴对称的特征.③强调画抛物线的三个误区.误区一:用直线连结，而非光滑的曲线连结，不符合函数的变化规律和进展趋势.误区二：并非对称点，存在漏点现象，导致抛物线变形。

误区三:无视自变量的取值范围，抛物线要求用平滑曲线连点的同时，还需要向两旁无限延长，而并非到某些点停顿.二次函数的图像与性质的数学教案篇2一学习目标1、把握二次函数的图象及性质；2、会用二次函数的图象与性质解决问题；学习重点：二次函数的性质；学习难点：二次函数的性质与图像的应用；二学问点回忆：函数的性质函数函数图象a0a0性质三典型例题：例 1：已知是二次函数，求m的值例 2：（1）已知函数在区间上为增函数，求a的范围；（2）知函数的单调区间是，求a；例 3：求二次函数在区间[0，3]上的最大值和最小值；变式：（1）已知在[t，t+1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式。

特殊二次函数的图像是九年级数学上学期第三章第二节的内容，本讲主要讲解二次函数和二次函数的图像及其性质．重点是通过学习抛物线平移得到二次函数和二次函数的方法，掌握二次函数和二次函数的直观性质，并体会图形运动的运用．熟练掌握特殊二次函数的图像是学习二次函数的基础．1、二次函数的图像一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向上（时）或向下（时）平移个单位得到．抛物线（其中a、c是常数，且）的对称轴是y轴，即直线x = 0；顶点坐标是（0，c）．抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．【例1】在同一平面直角坐标系中，画出函数、和的图像．【难度】★【答案】如图：【解析】略．【总结】本题考查二次函数的图像及平移．【例2】【难度】★【答案】【解析】抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是轴，即直线；顶点坐标是．抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下．【总结】本题考查抛物线的图像和性质．【例3】说出下列函数的图像如何由抛物线平移得到，再分别指出图像的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）；（2）．【难度】★【答案】（1）向上平移两个单位；开口向上，对称轴轴，顶点坐标；（2）向下平移一个单位；开口向上，对称轴轴，顶点坐标．【解析】二次函数的图像可以通过将抛物线向上（时）或向下（时）平移个单位得到．抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是轴，即直线；顶点坐标是．抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下．【总结】本题考查抛物线的平移，做题的关键是理解平移口诀“左加右减，上加下减”．【例4】在函数；；中，图像开口大小按题号顺序表示为（）A．>>B．>>C．>>D．>>【难度】★【答案】B．【解析】抛物线中，决定开口大小，越大，开口越小．【总结】本题考察抛物线的性质，主要理解开口大小由决定．【例5】抛物线，，共有的性质是（）A．开口向上B．对称轴都是y轴C．都有最高点D．顶点相同【难度】★【答案】B．【解析】抛物线开口向上，对称轴是轴，有最低点，顶点坐标；抛物线开口向下，对称轴是轴，有最高点，顶点坐标；抛物线开口向上，对称轴是轴，有最高点，顶点坐标．【总结】本题考查抛物线的性质．【例6】已知，点（a – 1，y1）、（a，y2）、（a + 1，y3）都在函数的图像上，则（）A．B．C．D．【难度】★★【答案】C．【解析】∵，∴，∴三点都在抛物线对称轴的左侧，∵在轴左侧随的增大而减小，∴．【总结】本题考查抛物线的性质，知道对称轴的两侧图像的增减性．【例7】将抛物线的图像绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是_____________．【难度】★★【答案】．【解析】抛物线顶点坐标为，绕原点O旋转180°后，旋转后抛物线顶点为，开口方向相反，∴旋转后解析式为．【总结】本题考查了抛物线旋转后解析式的变化，做题的关键是理解旋转前后图像的形状不变，找出旋转后的顶点坐标即可．【例8】如图，已知二次函数与反比例函数，它们在同一直角坐标系中的图像大致是（）【难度】★★【答案】A．【解析】当时，抛物线开口向上，顶点为，在轴正半轴上，反比例函数过第二、四象限；当时，抛物线开口向下，顶点为，在轴负半轴上，反比例函数过第一、三象限．【总结】本题考察抛物线和双曲线的性质，用假设法来解决这种数形结合是一种很好的方法．【例9】若函数的图像经过点（0，1），（1，2），求2a + b的值．【难度】★★【答案】．【解析】把（0，1），（1，2）分别代入得，解得，∴．【总结】本题考查待定系数法确定函数关系式．【例10】若二次函数，当x取，（）时，函数值相等，则当x取时，函数的值为________．【难度】★★【答案】．【解析】∵当取，（）时，函数值相等，∴，关于抛物线的对称轴轴对称，∴．【总结】本题考查了抛物线的对称性，抛物线上的两点，如果纵坐标一样，则横坐标关于对称轴对称．【例11】若抛物线的顶点在x轴下方，求m的值．【难度】★★【答案】．【解析】由得，，∵抛物线顶点在轴下方，∴，得，综上可得．【总结】本题考查了二次函数的概念和性质．【例12】若函数的函数值为5，则自变量x的值为__________．【难度】★★【答案】．【解析】把代入得，解得．【总结】本题考察了二次函数图像上点的坐标特征．【例13】若点P（-1，a）和点Q（1，b）都在抛物线上，求线段PQ的长．【难度】★★【答案】．【解析】把代入得，∴，同理可得，∴．【总结】本题考察了二次函数图像上点的坐标特征．【例14】如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）过点A作∥交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．【难度】★★★【答案】（1）、、；（2）．【解析】（1）把代入得，解得，，∴、；把代入得，∴．（2）易得直线的解析式为，∵∥，设直线的解析式为，把代入得，∴．联立，解得，，∴．∴．【总结】本题考查了二次函数的图像与性质及不规则四边形的面积求法，常采用割补法．【例15】如图，大桥拱形可以看作抛物线的一部分．在大桥截面1 : 10000的比例图上，跨度AB = 5厘米，拱高OC = 0.9厘米，线段DE表示大桥拱内桥长，DE // AB．在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1厘米作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系．（1）求出图中以这一部分抛物线为图像的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果DE与AB的距离OM = 0.45厘米，求大桥拱内实际桥长（备用数据：，计算结果精确到1米）．【难度】★★★【答案】（1）；（2）350米．【解析】（1）∵点在轴上，且OC = 0.9，∴设这部分的抛物线解析式为，∵点在抛物线上，∴，得．∴设这部分的抛物线解析式为．（2）∵点、点的纵坐标为，∴、．∴，因此实际桥长（米）．【总结】本题考查二次函数的应用，曲线上的点与方程的关系．1、二次函数的图像一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到．抛物线（其中a、m是常数，且）的对称轴是过点（-m，0）且平行（或重合）于y 轴的直线，即直线x = -m；顶点坐标是（-m，0）．当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．【例16】在同一平面直角坐标系中，画出函数、和的图像．【难度】★【答案】如图：【解析】略．【总结】本题考查了二次函数的图像及平移．【例17】将函数、与函数的图像进行比较，函数【难度】★【解析】抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是直线；顶点坐标是．抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下．【总结】本题考查了二次函数的图像及性质．【例18】说出下列函数的图像如何由抛物线平移得到，再分别指出图像的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）；（2）．【难度】★【答案】（1）向左平移两个单位；开口向下，对称轴为直线，顶点坐标；（2）向右平移四个单位；开口向下，对称轴为直线，顶点坐标．【解析】二次函数的图像可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到．平移口诀，“左加右减，上加下减”；抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是直线；顶点坐标是．抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下．【总结】本题考查了二次函数的性质及平移．【例19】已知函数，当x = ______时，函数取得最______值，为______；已知函数，当x = ______时，函数取得最______值，为______．【难度】★【答案】，小，0；，大，0．【解析】二次函数（）的对称轴是直线，顶点为；当时，开口向上，函数有最小值，为0；当时，开口向下，函数有最大值，为0．【总结】本题考查了二次函数的性质．【例20】把抛物线向左平移2个单位得到抛物线____________；若将它向下平移2个单位，得到抛物线____________．【难度】★【答案】；．【解析】二次函数的图像可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到．平移口诀，“左加右减，上加下减”．【总结】本题考查了二次函数的平移，做题关键掌握平移口诀，“左加右减，上加下减”．【例21】已知抛物线，当x > 1时，y随着x的增大而______；当x < 1时，y随着x的增大而______．【难度】★【答案】减小；增大．【解析】∵抛物线开口向下，在对称轴的右侧二次函数的y值随x的增大而减小，在对称轴的左侧二次函数的y值随x的增大而增大，即当时，二次函数的值随的增大而减小，当时，二次函数的值随的增大而增大．【总结】本题考查了二次函数的性质．【例22】如图，已知二次函数与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图像大致是（）【难度】★★【答案】A．【解析】A：由抛物线可知，，由直线知，，∴A正确；B：由抛物线可知，，由直线知，，∴B错误；C：由抛物线可知，，由直线知，，∴C错误；D：由抛物线可知，，由直线知，，∴D错误；【总结】本题考察二次函数和一次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数与一次函数的图像与性质是做题的关键，用假设法来解决这种数形结合是一种很好的方法．【例23】顶点坐标为（-5，0）且开口方向、形状与函数相同的抛物线是____________．【难度】★★【答案】．【解析】设抛物线解析式为，∵该抛物线与的开口方向、形状相同，∴．【总结】本题考查抛物线的图像与性质，两个抛物线的形状相同，说明相同．【例24】若抛物线的对称轴为直线x = -1，且它与抛物线的形状相同，开口方向相反，则点（a，m）关于原点的对称点为______．【难度】★★【答案】．【解析】∵抛物线的对称轴为直线，∴，∵抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，∴．∴关于原点的对称点为．【总结】本题考查抛物线的图像与性质及关于原点对称的两个点的坐标特征．【例25】一台机器，原价50万元，如果每年折旧率为x，两年后这台机器的价格为y 万元，则y与x的函数关系式为（）A．B．C．D．【难度】★★【答案】A．【解析】因为原价为50万元，每年折旧率为，所以1年后的价格为万元，1年后的价格为万元，∴．【总结】本题是平均折旧率的问题，可用公式来解题．【例26】下列命题中，错误的是（）A．抛物线不与x轴相交B．抛物线与形状相同，位置不同C．抛物线的顶点坐标为（，0）D．抛物线的对称轴是直线【难度】★★【答案】D．【解析】D选项：抛物线的对称轴是直线．【总结】本题考察抛物线的图像和性质．【例27】已知二次函数图像的顶点在x轴上，且图像经过点（2，2）与（-1，8），求此函数解析式．【难度】★★【答案】或．【解析】∵二次函数图像的顶点在轴上，∴设抛物线解析式为，把（2，2）与（-1，8）代入得，解得，，∴抛物线解析式为或．【总结】本题考查待定系数法确定函数关系式，当顶点在轴上时，可设抛物线解析式为．【例28】已知二次函数的顶点坐标为，且过点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点在这个函数图像上吗？（3）如何通过左右平移函数图像，使它经过点B？【难度】★★【答案】（1）；（2）不在；（3）向右平移1个单位．【解析】（1）把、代入得，，∴解析式为．（2）把代入得，∴点不在函数图像上．（3）把代入平移后的解析式为，得，∴平移后的解析式为，∴函数向右平移1个单位，能使它经过点．【总结】本题考察待定系数法确定函数关系式，会判断点与函数的位置关系，注意平移的口诀“左加右减，上加下减”．【例29】已知抛物线的顶点为C，直线y = 2x + 4与抛物线交于A、B两点．试求．【难度】★★★【答案】．【解析】联立解析式得，解得：，，∴、．法一：如图，过点作∥轴交于点，由题意得．易得直线解析式为，∴．∴．法二：过作轴于点，则．【总结】本题考察了直线与抛物线的交点坐标求法，坐标系中求三角形面积常采用的方法为割补法．【例30】为了参加科技节展览，同学们制作了一个截面为抛物线形的隧道模型，用了三种正方形钢筋支架．在如图所示的设计图中，如果在直角坐标系中，抛物线的函数解析式为，正方形ABCD的边长和正方形EFGH的边长之比为5 : 1，求：（1）抛物线解析式中常数c的值；（2）正方形MNPQ的边长．【难度】★★★【答案】（1）；（2）边长为．【解析】（1）设，则，∵抛物线关于轴对称，∴、，代入得，解得，∴抛物线解析式中常数的值为．（2）由（1）得，抛物线解析式为．设正方形的边长为，则，代入得：，解得（舍负）．∴正方形的边长为．【总结】本题考察了函数与几何的简单结合，观察各点坐标之间的关系，通过巧妙设点，减少未知量，用待定系数法求出函数关系式．【习题1】函数的图像是________，开口________，对称轴是________，顶点坐标是________，它的图像有最_________点，这个点的纵坐标是_______，此函数的图像是由的图像向________平移________个单位得到的．【难度】★【答案】抛物线，向下，轴，，高，1，上，3．【解析】抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是轴，即直线；顶点坐标是．抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下，图像平移口诀“上加下减，左加右减”．【总结】本题考查抛物线的性质及抛物线的平移．【习题2】函数的图像是________，开口________，对称轴是________，顶点坐标是________，它的图像有最_________点，这个点的纵坐标是_______，此函数的图像是由的图像向________平移________个单位得到的．【难度】★【答案】抛物线，向下，直线，，高，0，左，4．【解析】二次函数的图像可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到．平移口诀，“左加右减，上加下减”；抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是直线；顶点坐标是．抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下．【总结】本题考查抛物线的性质及抛物线的平移．【习题3】已知抛物线，当x______时，y随x的增大而增大；当x______时，y随x的增大而减小．【难度】★【答案】，．【解析】∵抛物线开口向下，在对称轴的右侧二次函数的值随的增大而减小，在对称轴的左侧二次函数的值随的增大而增大，即当时，二次函数的值随的增大而减小，当时，二次函数的值随的增大而增大．【总结】本题考查了二次函数的性质．【习题4】函数与函数的图像的形状相同，开口方向相反．将函数图像沿y轴向上平移2个单位，所得的函数解析式是______．【难度】★★【答案】．【解析】由题意得，∴，图像向上平移两个单位得函数解析式是．【总结】本题考查了二次函数的性质及平移．【习题5】二次函数的图像关于直线对称，那么它的解析式是______________，图像的顶点坐标是______________．【难度】★★【答案】，．【解析】二次函数的图像的对称轴为直线，可得，∴抛物线解析式为，顶点为．【总结】本题考查了二次函数的性质．【习题6】二次函数图像经过点（1，）、（0，1），求此函数解析式，并求出开口方向、顶点坐标．【难度】★★【答案】，开口向下，顶点坐标．【解析】把（1，）、（0，1）代入得，解得，∴函数解析式为，开口向下，顶点坐标．【总结】本题考查了待定系数法确定函数关系式及二次函数的性质．【习题7】抛物线绕顶点旋转180°后，再向左平移3个单位得到的抛物线是_____________．【难度】★★【答案】．【解析】抛物线绕顶点旋转180°后，得到解析式为，再向左平移3个单位得到的抛物线是．【总结】本题考查了抛物线旋转后解析式的变化及图像的平移，做题的关键是理解旋转前后图像的形状不变及理解平移口诀．【习题8】已知二次函数，当a为何值时，图像的顶点在x轴上．【难度】★★【答案】．【解析】∵，当时，顶点为，在轴上；当时，函数为常值函数，不符合题意．【总结】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点在轴上．【习题9】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y = 3x + 4交y轴与点A，在抛物线上能否存在一点P，使的面积等于10（平方单位）？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【难度】★★★【答案】存在，、．【解析】由题意得，设，则，解得：，，∴存在、．【总结】本题将二次函数与三角形结合在一起，通过三角形的面积确定图像上点的坐标．【习题10】二次函数的图像如图，已知，，试求该抛物线的解析式．【难度】★★★【答案】．【解析】由题意得，∴、，∵，∴，解得（舍），．∴该抛物线的解析式为．【总结】本题考查了二次函数与几何的简单综合．【作业1】抛物线是由抛物线（）得到的．A．向上平移2个单位B．向下平移2个单位C．向上平移3个单位D．向下平移3个单位【难度】★【答案】C．【解析】根据平移口诀“左加右减，上加下减”．【总结】本题考查了抛物线的平移．【难度】★【解析】抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是轴，即直线；顶点坐标是．抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上，对称轴左侧随增大而减小，减小而增大；当时，开口向下，对称轴左侧随增大而增大，减小而减小．【总结】本题考查抛物线的图像和性质．【作业3】二次函数的最大值为______，二次函数的最大值为______．【难度】★【答案】0，．【解析】二次函数顶点坐标为，∵开口向下，∴有最大值0；二次函数顶点坐标为，∵开口向下，∴有最大值．【总结】本题考查了二次函数的性质，开口向下，顶点纵坐标为最大值；开口向下，顶点纵坐标为最小值．【作业4】在平面直角坐标系中，如果抛物线不动：（1）把x轴向上平移2个单位，在新坐标系下抛物线的解析式是_____________；（2）把y轴向右平移2个单位，在新坐标系下抛物线的解析式是_____________．【难度】★★【答案】（1）；（2）．【解析】（1）把轴向上平移2个单位，抛物线形状不变，顶点为，∴解析式为．（2）把轴向右平移2个单位，抛物线形状不变，顶点为，∴解析式为．【总结】本题考查抛物线的平移，坐标轴平移可以看成抛物线向相反方向平移．【作业5】任给一些不同的实数n，得到不同的抛物线，关于这些抛物线有以下结论，其中判断正确的个数是（）、开口方向都相同；、对称轴都相同；、形状都相同；、都有最低点．A．1个B．2个C．3个D．4个【难度】★★【答案】D．【解析】抛物线，开口向上，有最低点，对称轴为轴，形状相同．【总结】本题考查了二次函数的性质．【作业6】如图，已知二次函数与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图像大致是（）【难度】★★【答案】C．【解析】A：由抛物线可知，，由直线知，，∴A错误；B：由抛物线可知，，由直线知，，∴B错误；C：由抛物线可知，，由直线知，，∴C正确；D：由抛物线可知，，由直线知，，∴D错误．【总结】本题考察二次函数和一次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数与一次函数的图像与性质是做题的关键，用假设法来解决这种数形结合是一种很好的方法．【作业7】抛物线顶点坐标是（0，2），且形状与相同，求抛物线的解析式．【难度】★★【答案】或．【解析】由题意知，把（0，2）代入得，∴或．【总结】本题考查待定系数法确定函数关系式，抛物线形状相同，说明相同．【作业8】已知抛物线与x轴的交点的横坐标分别是-2、2，且与y轴的交点的纵坐标是-3，求该抛物线的解析式．【难度】★★【答案】．【解析】∵抛物线与x轴的交点的横坐标分别是-2、2，∴图像关于y轴对称，设抛物线解析式为，将点、代入，得，解得，∴抛物线解析式为：．【总结】本题通过已知条件分析出抛物线的图像关于y轴对称，从而能够确定出解析式的形式，再根据所经过的点的具体坐标，确定出解析式来．【作业9】某地遭受自然灾害，某空军部队奉命空投物资．已知空投物资离开飞机后在空中沿抛物线降落，抛物线顶点为机舱舱口A（如图所示），如果空投物资离开A处后下落的垂直高度AB = 160米，它到A处的水平距离BC = 200米，那么要使飞机在垂直高度AO= 1000米的高度进行空投，物资恰好准确地落在居民点P处，飞机到P处的水平距离OP应为多少米？【难度】★★★【答案】500米．【解析】根据题意得，．设抛物线表达式为，把代入得，解得，∴．当时，，解得，（舍）∴飞机到P处的水平距离OP应为500米．【总结】本题考查二次函数的实际应用，求的长即是当时的值．【作业10】二次函数的图像如图所示，点A0位于坐标原点，点A1、A2、A3、…、A100在y轴的正半轴上，点B1、B2、B3、…、B100在二次函数位于第一象限的图像上，若、、、…、都为等边三角形，则的边长= ______．【难度】★★★【答案】100．【解析】∵是等边三角形，∴，∴的解析式为，联立，解得，（为原点，舍去），∴点，∴等边的边长为，同理，的解析式为，联立，解得，（在第二象限，舍去），∴点，∴等边的边长为，同理可求出，∴等边的边长为，，以此类推，系列等边三角形的边长为从1开始的自然数，的边长．【总结】本题主要考查二次函数图像上点的坐标特征，等边三角形的性质；发现等边三角形的边长为从1开始的连续自然数是解题的关键．。

二次函数的性质与图像教案一、教学目标：1. 理解二次函数的定义和标准形式；2. 掌握二次函数的性质，包括对称轴、顶点、开口方向等；3. 能够绘制和分析二次函数的图像；4. 能够应用二次函数解决实际问题。

二、教学内容：1. 二次函数的定义和标准形式；2. 二次函数的性质：对称轴、顶点、开口方向；3. 二次函数的图像：抛物线的基本形状；4. 实际问题中的应用。

三、教学方法：1. 讲授法：讲解二次函数的定义、性质和图像；2. 案例分析法：分析实际问题中的二次函数；3. 互动讨论法：引导学生参与课堂讨论，巩固知识点；4. 实践操作法：让学生动手绘制二次函数的图像，加深理解。

四、教学准备：1. 教学PPT：包含二次函数的定义、性质、图像及实际问题；2. 练习题：用于巩固所学知识；3. 绘图工具：如直尺、圆规等，用于绘制二次函数的图像。

五、教学过程：1. 导入：通过一个实际问题引入二次函数的概念；2. 讲解：讲解二次函数的定义、性质和图像，引导学生理解；3. 案例分析：分析实际问题中的二次函数，让学生学会应用；4. 互动讨论：引导学生参与课堂讨论，巩固知识点；5. 实践操作：让学生动手绘制二次函数的图像，加深理解；6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点；7. 布置作业：让学生通过练习题巩固所学知识。

六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对二次函数定义和性质的理解；2. 练习题：布置针对性的练习题，评估学生对二次函数图像分析的能力；3. 小组讨论：评估学生在团队合作中解决问题的能力；4. 作业反馈：收集学生作业，评估其对课堂所学知识的掌握程度。

七、教学拓展：1. 探讨二次函数在实际生活中的应用，如抛物线镜面、物理运动等；2. 介绍二次函数相关的数学历史故事，激发学生兴趣；3. 引导学生探究二次函数的其它性质，如最大值、最小值等；4. 组织数学竞赛，提高学生的学习积极性。

八、教学反思：1. 反思教学方法：根据学生反馈，调整教学方法，提高教学效果；2. 反思教学内容：确保教学内容符合学生认知水平，适当调整难度；3. 反思教学过程：关注学生在课堂上的参与度，优化教学过程；4. 及时与学生沟通：了解学生的学习需求，调整教学策略。

2.2 二次函数的图象与性质第1课时二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质学习目标:经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究二次函数性质的经验．掌握利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质．能够作为二次函数y=－x2的图象，并比拟它与y=x2图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系．学习重点:利用描点法作出y=x2的图象过程中，理解掌握二次函数y=x2的性质，这是掌握二次函数y=ax2＋bx＋c〔a≠0〕的根底，是二次函数图象、表达式及性质认识应用的开始，只有很好的掌握，才会把二次函数学好．只要注意图象的特点，掌握本质，就可以学好本节．学习难点:函数图象的画法，及由图象概括出二次函数y=x2性质，它难在由图象概括性质，结合图象记忆性质．学习过程:一、作二次函数y=x的图象。

二、议一议：1.你能描述图象的形状吗？与同伴交流。

2.图象与x轴有交点吗？如果有，交点的坐标是什么？3.当x<0时，y随着x的增大，y的值如何变化？当x>0时呢？4.当x取什么值时，y的值最小？5.图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴交流。

三、y=x的图象的性质：四、例题：【例1】a＜－1，点〔a－1，y1〕、〔a，y2〕、〔a＋1，y3〕都在函数y=x2的图象上，那么〔〕A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3例2．求直线y=x与抛物线y=x2的交点坐标．五、练习1．函数y=x2的顶点坐标为．假设点〔a，4〕在其图象上，那么a的值是．2．假设点A〔3，m〕是抛物线y=－x2上一点，那么m= ．3．函数y=x2与y=－x2的图象关于对称，也可以认为y=－x2，是函数y=x2的图象绕旋转得到．4．假设二次函数y=ax2〔a≠0〕，图象过点P〔2，－8〕，那么函数表达式为．5．函数y=x2的图象的对称轴为，与对称轴的交点为，是函数的顶点．6．点A〔，b〕是抛物线y=x2上的一点，那么b= ；点A关于y轴的对称点B 是，它在函数上；点A关于原点的对称点C是，它在函数上．7．假设a＞1，点〔－a－1，y1〕、〔a，y2〕、〔a＋1，y3〕都在函数y=x2的图象上，判断y1、y2、y3的大小关系？8．如图，A、B分别为y=x2上两点，且线段AB⊥y轴，假设AB=6，那么直线AB的表达式为〔〕A．y=3 B．y=6 C．y=9 D．y=36第12章乘法公式与因式分解12.1 平方差公式一、导入激学灰太狼开了租地公司，一天他把一边为a米的正方形土地租给慢羊羊种植。

人教版数学九年级上册22.1《二次函数的图象和性质（1）》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册第22.1节《二次函数的图象和性质（1）》是本册教材的重要内容，主要介绍二次函数的一般形式、图象特点以及一些基本性质。

通过本节内容的学习，学生可以掌握二次函数的基本知识，为后续学习二次函数的应用打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本概念和一次函数的性质，具备一定的函数知识基础。

但二次函数相对复杂，学生对其理解和掌握可能存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生通过观察、思考、探索等方式，自主发现和总结二次函数的性质。

三. 教学目标1.理解二次函数的一般形式和图象特点。

2.掌握二次函数的顶点坐标、开口方向和判别式的概念。

3.能够运用二次函数的性质解决一些实际问题。

四. 教学重难点1.二次函数的一般形式和图象特点。

2.二次函数的顶点坐标、开口方向和判别式的理解与应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、探索等方式自主学习。

2.利用多媒体课件辅助教学，直观展示二次函数的图象和性质。

3.注重数学语言的训练，引导学生规范表达。

六. 教学准备1.多媒体课件。

2.相关练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，引导学生思考如何用数学模型来描述这些问题。

例如，抛物线运动、物体抛掷等。

从而引出二次函数的概念。

2.呈现（10分钟）利用多媒体课件，呈现二次函数的一般形式和图象特点。

引导学生观察并总结二次函数的性质。

3.操练（10分钟）让学生通过计算器或者绘图软件，自己动手绘制一些二次函数的图象，并观察其性质。

同时，教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生运用所学的二次函数知识解决问题。

教师及时批改并给予反馈，帮助学生巩固所学知识。

5.拓展（10分钟）引导学生思考二次函数在实际生活中的应用，例如抛物线射门、跳水运动等。

教学过程一、复习预习回忆如何描绘一次函数的回忆如何描绘一次函数的图像，并在练习本上画出一次函数的图像1、启发学生回忆如何描绘一次函数的图像。

2、总结如何画函数图象:先列表格后描点画图．题目：画出y=2x+3函数图象。

学生思考如何画函数y=x²-2x+3的图象。

3 结合引入，指导学生对新问题的注意。

4 并观察学生画y=x²-2x+3图象的情况。

二、知识讲解本节课主要知识点解析，中高考考点、易错点分析考点/易错点1准确理解二次函数的定义及y=ax²+bx+c的性质，根据图像准确认识图像的开口方向，对称轴，顶点坐标考点/易错点2二次函数y=a（x+h）²+k及图像的（抛物线）其开口方向，顶点，对称轴。

三、例题精析【例题1】【题干】已知二次函数.(1) 求顶点坐标和对称轴方程；（2）求该函数图象与x标轴的交点坐标；（3）指出x为何值时，；当x为何值时，.【答案】（1）顶点坐标：(2,1) 对称轴：x=2（2） (1,0) (3,0)（3）当x<1,x>3时，y>0；当1<x<3时，y<0【解析】把二次函数配方成顶点式观察可得到答案，当y值为0时解二次方程可得到坐标再根据图像的增减性得到第三问答案【例题2】【题干】已知：二次函数的图象开口向上，并且经过原点.（1）求的值；（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标.【答案】解：（1）a=1；（2）抛物线顶点坐标为【解析】把原点.代入得到a=1配方得到顶点坐标【例题3】【题干】、如图，已知抛物线的顶点为A（1，4）、抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点.点P是x轴上的一个动点.（1）求此抛物线的解析式.（2）当PA+PB的值最小时，求点P的坐标．【答案】解：（1）∵抛物线顶点坐标为（1,4）∴设y=a(x-1)2+4由于抛物线过点B(0，3)∴3=a(0-1)2+4解得a=-1∴解析式为y=-(x-1)2+4即y=-x2+2x+3（2）作点B关于x轴的对称点E（0，-3），连接AE交x轴于点P. 设AE解析式y=k x+b，则解得∴y AE=7x-3当y=0时，x=∴点P坐标为(，0)【解析】设抛物线的顶点式的解析式，代入A（1，4）B（0，3）得到解析式为y=-(x-1)2+4再根据对称问题得到点P坐标为(，0)四、课堂运用【基础】1.已知抛物线y=x2-4x+3，求出它的对称轴和顶点坐标.答案解：y=x2-4x+3= x2-4x+4-4+3= x2-4x+4-1=(x-2)2-1∴抛物线的对称轴为x=2;顶点坐标为（2,-1）解析由二次函数配方可以得到顶点坐标和对称轴2.已知二次函数的图象对称轴为，且过点B（－1，0）．求此二次函数的表达式.答案解：此二次函数图象的对称轴为解得：此二次函数的表达式为点B（-1，0）在此函数图象上，解得：此二次函数的表达式为解析由二次函数图象的对称轴为可以求得a的值，把a代入解析式可得c的值。

二次函数的图像与性质（第一课时）目标导向【学习目标】1.经历探索二次函数2x y =的图像的作法和性质的过程，获得利用图像研究函数性质的经验；2.能够利用描点法作出二次函数2x y =的图像，并能根据图像认识和理解二次函数2x y =的性质；3.能够作出二次函数2x y -=的图像，并能够比较出与2x y =的图像的异同，初步建立二次函数表达式与图像之间的联系. |【重点】二次函数2x y =与2x y -=的图像特点. 【难点】二次函数2x y =图像特点的探索过程.自学导向1．预读教材P32—P34，了解本节课基本内容，并标记知识点. 2．完成练习册《学考精练》P125课前练兵. 3．相关知识链接：⑴二次函数的概念：一般地，若两个变量y x ,之间的对应关系可以表示成_______(c b a ,,是常数，______)的形式，则称y 是x 的二次函数. $⑵画函数图像的一般步骤为：______、______、______.合作导向探究点·一：二次函数2x y =的图像的画法（1）观察2x y =得关系式，选择适当的x 值，并计算出相应的y 值，完成下表：x …… -3 | -2-1 0 1 2 3 ……2x y =）……【……（2）在平面直角坐标系中描点.xy–1–2–3–4–5–6–7–812345678–1–2–3–412345678910O（3）用平滑的曲线连接各点，得二次函数2x y =的图像.【针对练习】作出二次函数2x y -=的图像.xy–1–2–3–4–5–6–7–812345678–1–2–3–4–5–6–7–8–9–10123O【归纳小结】二次函数2x y =与2x y -=的图像是一条_______.》探究点·二：二次函数2x y =与2x y -=的图像和性质观察思考，认真完成下表： 二次函数2x y =2x y -=大致图像xyO《xyO图像形状 开口方向对称轴 <顶点坐标增减性当0<x 时，y 的值随x 值得增大而____；当0>x 时，y 的值随x值得增大而____当0<x 时，y 的值随x 值得增大而____；当0>x 时，y 的值随x值得增大而____、最值当x =____时，y 有最___值为___ 当x =____时，y 有最___值为___若把二次函数2x y =的图像和二次函数2x y -=的图像画在同一平面直角坐标系中，则两图像既关于_______对称，又关于_______成中心对称. 【针对练习】1．比较二次函数y=x 2与y=﹣x 2的图象，下列结论错误的是（ ） A ．对称轴相同 B ．顶点相同]C ．图象都有最高点D ．开口方向相反2.已知点A （-1，m ），B （-2，n ）在二次函数y=x 2的图像上，则m______n （填“>”“<”或“=”）拓展导向 自测反馈 【基础达标】1.下列点不在二次函数y=x 2图像上的是（ ）A.(-1，1)B.(1，-1)C.(2，4)D.(-2，4)…2．抛物线y=，y=x 2，y=﹣x 2的共同性质是：①都是开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y 轴为对称轴；④都关于x 轴对称．其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3.点（x 1,y 1）， (x 2,y 2)都在二次函数y=﹣x 2的图像上，如果x 1< x 2<0,那么y 1与 y 2的大小关系是（ ）A. y 1< y 2<0B. y 2 < y 1<0C. y 1> y 2>0D. y 2> y 1>04. 设正方形的边长为a ，面积为S ，试作出S 随a 的变化而变化的图象．5.若点A （2，m ）在抛物线y=x 2上，求点A 关于y 轴对称点B 的坐标，并判断点B 是否也在抛物线y=x 2上.？【能力提升】1.已知a<-1，点（a-1，y 1）, （a ，y 2）, （a+1，y 3）都在y=x 2的图像上，则（ ） A. y 1< y 2< y 3 B. y 1< y 3 <y 2 C. y 3 < y 2< y 1 D. y 2 < y 1< y 32．如图，⊙O 的半径为2．C 1是函数y=x 2的图象，C 2是函数y=﹣x 2的图象，则阴影部分的面积是 ．课堂总结{通过这节课我学会了____________________________________________________，我还有疑问_________________________________________________________________.课后作业《学考精炼》P125—P126。

第二章 二次函数《二次函数的图象与性质（第1课时）》一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在前面已经学习过一次函数、反比例函数，经历过探索、分析和建立两个变量之间的一次函数、反比例函数关系的过程，并学会了用描点法画函数图象的方法.在本章第一节课中，又学习了二次函数的概念，经历了探索和表示二次函数关系的过程，获得了用二次函数表示变量之间关系的体验.学生活动经验基础：在学习一次函数、反比例函数过程中，学会了用描点法画函数图象的方法，学生已具备了一定的作图能力，并经历了利用一次函数、反比例函数图象探索函数性质的活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数形结合的必要性和重要性，获得了一些探究函数图象和性质的数学活动经验基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.二、教学任务分析教科书基于学生对二次函数的概念认识，提出了本课的具体学习任务：能利用描点法画函数2x y ±=的图象，并能根据图象认识和理解二次函数2x y ±=的性质.为此，本节课的教学目标是：知识与技能1．能够利用描点法画函数2x y =的图象，能根据图象认识和理解二次函数2x y =的性质．2．猜想并能作出2x y -=的图象，能比较它与2x y =的图象的异同． 过程与方法1．经历探索二次函数2x y =的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．2．由函数2x y =的图象及性质，对比地学习2x y -=的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．情感与态度1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．教学重点：作出函数2x ±的图象，并根据图象认识和理解二次函数2x y ±=的性质.教学难点：由2x y =的图象及性质对比地学习2x y -=的图象及性质，并能比较出它们的异同点.教学过程分析（一）创设问题情境，引入新课［师］我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征.知道正比例函数的图象是过原点的一条直线.一般地一次函数的图象是不过原点的一条直线，反比例函数的图象是双曲线.上节课我们学习了二次函数的一般形式为c bx ax y ++=2（其中c b a 、、均为常数且0≠a ）.那么它的图象是否也为直线或双曲线呢？本节课我们将一起来研究有关问题.（二）新课讲解1、作函数2x y =的图象［师］一次函数的图象是一条直线.二次函数的图象是什么形状呢？让我们先看最简单的二次函数2x y =.大家还记得画函数图象的一般步骤吗？［生］记得. 列表，描点，连线.［师］非常正确，下面就请同学们跟我按上面的步骤作出2x y =的图象.（1）列表：（2）在直角坐标系中描点.（3）用光滑的曲线连结各点，便得到函数图象.［师］同学们有没有什么疑惑？们都是直接用直线来连接各点的，我这里画出的是折线图，难道不对吗？［师］这个问题提得好.二次函数图象是到底用直线连接还是用光滑的曲线来连接更为合理呢？不知同学们考虑这个问题没有：列表时我们取的点都是整数点，在整数点之间还有许多小数的点并未取，如自变量1与2之间还有无数个小数，假设我们把点取得更多一些我们就能看出二次函数图象的真正面貌了.不妨取20个点试试，再取50个点试试.[生]老师，我明白了，取的点足够多时我们就能看出其本来面貌的.2、议一议对于二次函数2x y =的图象，（1）你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流.（2）图象与x 轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？（3）当0<x 时，随着值的增大，的值如何变化？当0>x 时呢？（4）当x 取什么值时，y 的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？（5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请找出几对对称点，并与同伴进行交流.［生］（1）图象的形状是一条曲线，就像抛出的物体所进行的路线的倒影.（2）图象与x 轴有交点，交于原点，交点坐标就是（0，0）.（3）当0<x 时，图象在y 轴的左侧随着x 值的增大，y 的值逐渐减小；当0>x 时，图象在y 轴的右侧，随着x 值的增大，y 的值逐渐增大.（4）观察图象可知，当x=0时，y 的值最小，最小值为0.（5）观察图象是轴对称图形，它的对称轴是y 轴，从刚才的列表中可找到对应点（-1，1）和（1，1）；（-2，4）和（2，4）；（-3，9）和（3，9）.［师］大家分析判断能力很棒，下面我们系统地总结一下.3、2x y =的图象的性质［师］二次函数________2的图象是一条x y =，它的开口________,且关于______对称.对称轴与抛物线的交点是抛物线的________,它是图象的_________.同学们在补充一下：［生］（1）最低点坐标是（0，0）.（2）在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大.（3）图象与x 轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为（0，0）.（4）因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x ＝0时，y 最小值＝0.4、做一做PPT 显示：2x y -=二次函数图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象.它与二次函数2x y =的图象有什么关系？与同伴进行交流.［师］请大家按照画图的步骤作出函数2x y -=的图象.［生］2x y -=的图象如右图：形状还是抛物线，只是它的开口方向向下，它与2x y =的图象形状相同，方向相反，这两个图形可以看作是关于x［师］下面我们试着讨论2x y -=的图象的性质.［生］（1）抛物线的开口方向是向下.（2）它的图象有最高点，最高点坐标是（0，0）.（3）它是轴对称图形，对称轴是y 轴.在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小.（4）图象与x 轴有交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最高点，坐标为（0，0）.（5）因为图象有最高点，所以函数有最大值，当0=x 时，y 最大值＝0.［师］大家总结得非常棒.5、2x y =函数与的2x y -=图象的比较.我们观察函数2x y =与2x y -=的图象，并对图象的性质作系统的研究，现在我们再来比较一下它们的图象的异同点.（1）、开口方向不同，2x y =开口向上，2x y -=开口向下.（2）、函数值随自变量增大的变化趋势不同，在2x y =图象上，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随x 着的增大而减小，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大.在2x y -=的图象上正好相反.（3）、在2x y =中y 有最小值，即0=x 时，y 最小值＝0；在2x y -=中，y 有最大值.即当0=x 时，y 最大值＝0.（4）、2x y =有最低点，2x y -=有最高点.相同点：（1）、图象都是抛物线.（2）、图象都与x 轴交于点（0，0）.（3）、图象都关于y 轴对称.联系：它们的图象关于x 轴对称.6、思考拓展.［师］从上面的比较中，还有没有什么问题要提出来？［生］从2x y =和2x y -=两个二次函数的解析式来比较，只是相差一个符号，而图象的张口方向却正好相反.那么二次函数的图象的开口方向到底跟什么有关呢？［师］很善于思考.我们现在来看这几个二次函数的图象22x y =、23x y =（二次项系数均为正值），再来看另几个二次函数图象22x y -=、23x y -=（二次项系数均为负值），你们发现了什么规律？［生1］原来二次项系数为正时，抛物线开口朝上，二次项系数为负时，抛物线开口朝下.［生2]老师，我还发现从二次项系数的绝对值来看，绝对值越大，开口越小，绝对值越小，开口越大.［师］说得非常好，对于2ax y =这类二次函数来说，a 与其张口大小、张口方向都有关系.（并就本节整体内容进行总结，并给学生以感想的时间.）（三）布置作业设计思路：先通过列表描点连线初步得到2x y =的图象，进而通过增加满足函数的点数感悟此函数的真正图象，并通过观察图象来了解2x y =函数图象的性质特征.利用相同办法同时研究2x y -=图象的性质，并对两函数进行对比，体会造成图象不同的原因，并进而引发学生产生是不是二次函数二次项系数a 为正开口向上、二次项系数为负开口向下的疑问并画图验证，而由此又生发出a 的绝对值对其张口大小的思考，教师通过课件解惑并归纳.。