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概率论第二讲等可能概型

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1.4等可能概型(古典概型)

1.4等可能概型(古典概型)

例如，某人要从甲地到乙地去, 可以乘火车,
也可以乘轮船.
火车有两班
甲地 回答是 3 + 2 种方法
轮船有三班
乙地
乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?
2. 乘法原理
设完成一件事有n个步骤， 第一个步骤有m1种方法， 第二个步骤有m2种方法, …… 第n个步骤有mn种方法,
1 2
必须通过每一步骤, 才算完成这件事，
A P{ n 个人生日各不相同 } 365n 365 结果有点出 n A 365 P{ 至少有两人生日相同 } 1 乎人们意料 365n
n
n 20 25 30 40 50 55 100 p 0.41 0.57 0.71 0.89 0.97 0.99 0.9999997
例 4 将 3 个球随即放入 4 个杯子中, 问杯子中个 数最多的球分别为 1,2,3时 的概率各是多少? 解 设 A, B , C 分别表示 杯子中的个数最多的球数
2o 骰子问题 概率.
掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的
(答案 : p 3 63 )
5.古典概型的基本模型:球放入杯子模型
(1)杯子容量无限 问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.
3
3
3
3
4个球放到3个杯子的所有放法 3 3 3 3 34 种,
P ( D) 1 / 2.
四、几何概型
古典概型的特点： 有限个样本点 基本事件的等可能性 怎样推广到“无限个样本点”而又有 某种“等可能性”？ 例如：某5万平方公里的海域中，大约有40平方公里 的大陆架贮藏有石油。若在这海域中任选一点进行 钻探，问能够发现石油的概率是多少？ 解：认为任一点能钻探到石油是等可能的, 则所求 概率为 p 40 0.0008

1.3 等可能概型、几何概型

1.3 等可能概型、几何概型
2013年7月29日星期一 中央财经大学《概率统计》课件--孙 博 第一章 第三节 --第26页--
人们在长期的实践中总结得到“概率 很小的事件在一次实验中几乎是不发生的” （称之为实际推断原理）。这样小概率的 事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们 有比较大的把握怀疑这是魔术. 具体地说，可以99.9%的把 握怀疑这是魔术.
2013年7月29日星期一
中央财经大学《概率统计》课件--孙 博
第一章 第三节 --第3页--
例如，一个袋子中装有 10个大小、形状完全相同 的球. 将球编号为1－10 . 把球搅匀，蒙上眼睛，从 中任取一球.
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
2013年7月29日星期一
中央财经大学《概率统计》课件--孙 博
i 1, 2,, n .
中央财经大学《概率统计》课件--孙 博
其中
2013年7月29日星期一
n
第一章 第三节 --第6页--
古典概型的概率计算（概率的古典定义）
确定试验的基本事件总数
设试验结果共有n个基本事件ω1，ω2，...，ωn ， 而且这些事件的发生具有相同的可能性
确定事件A包含的基本事件数
P ( A1 A2 Ak ) P ( A1) P ( A2 ) P ( Ak ) 可列可加性
排列组合是计算古典概率的重要工具 .
2013年7月29日星期一 中央财经大学《概率统计》课件--孙 博 第一章 第三节 --第8页--
“等可能性”是一种假设，在实际应用中， 需要根据实际情况去判断。在许多场合， 由对称性和均衡性，我们就可以认为基本 事件是等可能的并在此基础上计算事件的 概率.
2013年7月29日星期一 中央财经大学《概率统计》课件--孙 博 第一章 第三节 --第10页--

第1.3节 等可能概型

第1.3节 等可能概型

定义:
概率论所讨论的问题中,有一类问题最简单直观,这类问题
所涉及到的试验具有下面两个特征：
1)(有限性)试验的样本空间的元素只有有限个; 2)(等可能性)试验中每个基本事件发生的可能性相同. 把具有上述两个特征的试验称为等可能概型或古典概型.
例如,抛一枚质地均匀的硬币,或者出现正面或者出现反面,只
方法２ （利用对立事件的概率关系）
P ( A ) 1 P ( A ) 1 P ( A0 ) 1 C 20
甲、乙两人同时向目标射击一次，设甲击中的概率
为 0.85 ，乙击中的概率为 0.8 ．两人都击中的概率为
0.68 ．求目标被击中的概率．
解
设Ａ表示甲击中目标，Ｂ表示乙击中目标，
有两种结果,且每种结果出现的可能性相同.又如抛一颗骰子, 观察出现的点数,则共有6种结果,且每一种结果出现的可能性 相同.
设古典概率 E 的样本空间为 S e1 , e2 , , en .
由于在试验中每个基本事件发生的可能性相同 , 即
P e1 P e 2 P e n
得 P(A1)
m A1 n

3 8
.
( 2 ) A 2 { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH }.
因此
P(A2)
m A2 n

7 8
.
例 2 一口袋装有 6 只球,其中 4 只白球、 只红球. 从 2 袋中取球两次,每次随机地取一只.考虑有放回和无放 回两种抽样,试分别就这两种情况求:(1) 取到的两只 球都是白球的概率,(2) 取到的两只球颜色相同的概 率,(3) 取到的两只球中至少有一只是白球的概率.

《等可能性》课件

《等可能性》课件

概率的乘法原理
交事件的概率
两个事件同时发生的概率，等于各个 事件概率的乘积。
完备事件的概率
所有可能发生的事件的总概率等于1， 即完备事件的概率之和为1。
条件概率与独立性
条件概率的定义
在某个事件B已经发生的条 件下，另一个事件A发生 的概率。
独立事件的性质
两个独立事件同时发生的 概率等于它们各自的概率 的乘积。
之间。
必然事件的概率
表示一定会发生的事件的概率 ，取值为1。
不可能事件的概率
表示一定不会发生的事件的概 率，取值为0。
独立事件
两个事件之间没有相互影响， 一个事件的发生不影响另一个
事件发生的概率。
概率的加法原理
并事件的概率
两个或多个事件同时发生的概率 ，等于各个事件概率的和。
互斥事件的概率
两个事件不能同时发生，它们的 概率之和等于它们包含的总事件 的概率。
等可能数或小数表示 。
02
例如，抛硬币出现正面的概率为 0.5，抽样调查中每个样本被选中 的概率为1/n（n为样本总数）。
02
等可能性的概率计算
概率的基本概念
01
02
03
04
概率的定义
表示随机事件发生的可能性大 小的数值，取值范围在0到1
确定性是指在实验或事件中，只有一个结 果会发生，其他可能的结果都不会出现。 等可能性则是在实验或事件中，每个可能 的结果都有相同的可能性发生。确定性是 等可能性的一个特例，即其中一个可能的 结果成为现实，其他可能的结果都不发生 。
等可能性与主观概率
总结词
等可能性是主观概率的客观基础，主观概率 是对等可能性的主观评估。
详细描述
等可能性是指在实验或事件中，每个可能的结果都是相等的，没有偏好或偏向。随机性则是在等可能 性的基础上，引入了实验或事件的实际发生，即某些可能的结果成为现实。在随机性中，等可能性是 必要条件，但不是充分条件。

等可能概型和几何概型

等可能概型和几何概型

在人工智能领域，等可能概型和 几何概型用于机器学习和深度学 习的模型训练，如分类器设计、 神经网络训练等。Βιβλιοθήκη 5等可能概型和几何概型的扩展
条件概率
条件概率的定义
在某一事件A发生的条件下，另一事件B发生的概率，记作 P(B|A)。
条件概率的计算公式
P(B|A) = P(AB) / P(A)，其中P(AB)表示事件A和事件B同时 发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。
性质
等可能概型的概率具有均匀性，即每个基本事件的概率相等。
在等可能概型中，概率计算公式为P(A) = m/n，其中m为事件A包含的基本事件数，n为基本事件的总数。
等可能概型举例
投掷一枚质地均匀的骰子，出现1、2、3、4、5、6点的概率均为 1/6，属于等可能概型。
从一副无重复的扑克牌中随机抽取一张牌，每张牌被抽中的概率均 为1/52，也属于等可能概型。
互斥事件概率的加法法则
在等可能概型中，如果两个事件是互斥的，则它们的概率可以直接相加。即如 果$A$和$B$是互斥事件，则$P(A+B)=P(A)+P(B)$。
几何概型举例
投掷骰子
投掷一个六面体的骰子，观察出 现的点数，这是一个典型的等可 能概型问题。
抽签
在一组有限且数量相等的签中随 机抽取一根，也是一个等可能概 型问题。
等可能概型和几何概型
目
CONTENCT
录
• 等可能概型的定义和性质 • 几何概型的定义和性质 • 等可能概型与几何概型的比较 • 等可能概型和几何概型的应用 • 等可能概型和几何概型的扩展
01
等可能概型的定义和性质
定义
等可能概型是指试验中所有可能结果 出现的概率相等。

1.3 等可能概型

1.3 等可能概型

表示“两只都是红球”
若直接考虑： b.无放回 (考虑先后顺序) (乘法原理) S：6×5=30 (1)
(2) (3)
注：在使用排列组合时，分子分母要保持一致。
10
例4. 某教研室共有11 名教师, 其中男教师7 人, 现 在要选 3 名优秀教师, 问其中至少有一女教师概率 解 (方法一) 设 A = “ 3 名优秀教师中至少有一名女教师”
(2) 设 B = “n个人中至少有两个人生日相同”
当 n 等于64时，在64人的班级中，B发生的概率
接近于1，即 B几乎 总是会出现。
16
二、几何概率
样本空间的基本事件数为无限的几何概率。 其周期 例8 某十字路口自动交通信号的红、绿灯， 求随机到达 为60秒， 其中由南至北方向红灯为 15 秒， （由南至北）该路口的一辆汽车恰遇红灯的概率。 直观可得 例9 一片面积为S 的树林中有一块面积为 S0 的空地。 一架飞机随机地往树林内空投一只包裹。 求这包裹落
等可能概型也称为古典概型。
2
2.计算公式：
①
1 P ei i 1, 2, , n n ② 若事件A包含k个基本事件，即
其中(
表示
中的k个不同的数)
k 则有 P A n
3
例1 投两枚骰子，事件A——“点数之和为3”，求 解法一：出现点数之和的可能数值
11 12 21
第三节 等可能概型
一、等可能概型的定义 二、计算公式 三、计算方法
一、等可能概型
例：E1—抛均匀硬币,观察哪面朝上 S1 ={ H,T }
E2—投一均匀骰子,观察点数 S2 ={1,2,3,4,5,6} 1.定义：具备以下两个条件的随机试验称为等可能概型，

等可能概型


例5 把1, 2, 3, 4, 5诸数各写在一张纸片上，任取其
中三张排成自左而右的次序，问：
（1）所得三位数是偶数的概率是多少？
（2）所得三位数不小于200的概率是多少？
2 2 A 解： （1） P( A ) 34 2 A5 5
4A 4 （2）P( B ) 5 A
2 4 3 5
称此种试验的数学模型为等可能概型，也称为
古典概型。
2. 古典概型的计算 设样本空间 S {e1 , e2 , , en } 随机事件A含有k个样本点, A {e , e , i1 i2 则
k A所含样本点个数 P ( A) n S中所含样本点总数
, eik }，
例1. 将一枚均匀硬币连抛两次，观察正反面出现
种具体的方法(i=1,2, …,n) ，则完成这件事情共有
m
i 1
n
i
种不同的方法 加法原理与乘法原理的区 别在于前者完成一步即完 成一件事；而后者须n步均 完成才中取 r 个，有多少种取法？ 不计序 计序
重复(放回)
不重复(不放回)
r n
r n
nr
不讨论
★
3C C C （2）P 5 5 C15 C10 C55
2 12 5 10
5 5
6 0.0659 91
保留4位小数
例4.（生日问题） 某班级有50人，问至少2人生日
相同的概率是多少？
50 A365 解 对立事件为生日全不相同 P ( A) 36550 50 A365 0.97 P ( A) 1 P ( A) 1 50 365 0.12 n 10 一般 n 个人 0.41 n 20 n A365 P ( A) 1 n 365 0.71 n 30 0.89 n 40

1.5_等可能概型_古典概型

k −1 (a + b − 1)(a + b − 2)L[a + b − 1 − ( k − 1) + 1] =Aa + b−1 k −1 种取法, 种取法 于是 B中包含 a ⋅ Aa + b −1个基本事件 , 故根据
(4.1)式得到 式得到
P (B ) = a ⋅ A
k −1 a + b −1
P= 4 4 10 4
4 × 3 × 2 ×1 = 10 × 9 × 8 × 7
1 . = 210
二、典型例题
例1 将一枚硬币抛掷三次 . (1) 设事件 A1 为“恰有一
, 次出现正面 ” 求 P ( A1 ). ( 2) 设事件 A2 为 至少有一 “ 次出现正面” , 次出现正面” 求 P ( A2 ).
m A所 含 本 的 数 包 样 点 个 . P( A) = = n 样 点 数 本 总
称此为概率的古典定义. 称此为概率的古典定义
3. 古典概型的基本模型 摸球模型 古典概型的基本模型:摸球模型
(1) 无放回地摸球 问题1 问题 设袋中有4 只黑球, 设袋中有 只白球和 2只黑球 现从袋中无 只黑球 放回地依次摸出2只球 求这 只球都是白球的概率. 放回地依次摸出 只球,求这 只球都是白球的概率 只球 求这2只球都是白球的概率 解 设 A = {摸得 2 只球都是白球 }, 6 基本事件总数为 , 2 4 A 所包含基本事件的个数为 , 所包含基本事件的个数为 2 4 6 2 故 P ( A) = = . 2 2 5
D N − D 种, k n − k N . n
D N − D 于是所求的概率为 p = k n − k

§3、等可能概型

（2）两数之和小于1，且两数之积大于0.09. 〖解〗设所取两数分别为x，y，样本点（x，y）为正 方形区域S=[0，1；0，1]，即样本空间为该正方形S。 （1）事件A=“两数之和小于1.2”对应的平面区域为：
S A {( x, y) | x y 1.2, ( x, y) S}.
故由几何概率计算公式得：
因此，“n人中至少有两人生日相同”的概率为：
P q 1 p 1 . 365
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14
n 365 n
概率论与数理统计
n人中至少有两人生日相同的概率
n p n p 20 0.411 30 0.706 40 0.891
50 64 0.970 0.977
100 0.9999997
（2）B所含的样本点分两类：先红后黑——相当于 “从编号1-5中取1个，再从编号6-11中取1个”，由乘法 原理知：共有5×6个不同样本点；先黑后红——相当于 “从编号中6-11取1个，再从编号1-5 中取1个”，由乘法 原理知：共有6×5个不同样本点；因此由加法原理知：B 所含样本点总数为
kB 5 6 6 5 60,
~ nk k k C N D CD P( A) ~ . n n CN
■
许多问题[如正品次品,男生女生等]与本例属于相同 的数学模型。这种类型概率称为超几何分布。
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12
概率论与数理统计
【例3】 将n只球随机地放入N个盒子中去(N≥n),
试求“每个盒子至多有一球”的概率(设盒子容量不限).
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19
12
星期几=“盒 ”
概率论与数理统计
计算古典概率的基本思路 理解题意：分析随机试验的基本事件，构造尽可能 简单的等可能的样本空间，特别是不同方法求解时， 必须在同一样本空间中进行计算； 设好事件: 一般在理解题意前提下，设出一些简单 事件，使其它复杂事件能利用简单事件的关系与运 算表达出来； 正确计数：计算样本点总数[基本事件总数]和事件

等可能概型


第一章 概率论的基本概念
333 2000
等可能概型
250 83 P ( A) , 同理得 : P ( B) , P ( AB) . 2000 2000 其中 B ={8, 16, … 2000 }, AB = {24, 48 … 199 2 }，
AB 为“既被 6 整除又被 8 整除”或“能被 24 整除”
所以，
b Pk 1 b a b 1 P A ． ab Pk ab
注意：结果与 i 无关．
此结果适用于：抓阄，买彩票等问题
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第一章 概率论的基本概念
等可能概型
例 6 在 1~2000 的整数中随机的取一个数，问取 到的整数既不能被 6 整除，又不能被 8 整除的概 率是多少？ 解：设 A 为事件“取到的整数能被 6 整除”， B 为 “ 取到的整数能被 8 整除”，则所求的概率为：
n N n
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第一章 概率论的基本概念
等可能概型
该数学模型可用于许多实际问题：
n(n 365)个人在365天的生日,可看成是n个球 放入365个盒子中。随机取n ( 365) 人他们的生日 各不相同的概率为
365 364 ( 365 n 1) P ( A) , n 365
率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型。
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第一章
概率论的基本概念
等可能概型
基本事件的概率:
设 S ={e1, e2, …en }, 由古典概型的等可能性，得
P({e1 }) P({e2 }) P({en })
又由于基本事件两两互不相容，所以
1 P ( S ) P ({e1 }) P ({e2 }) ( P{en }),
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?
（2）
P
?
2 ? 104 2? 105
?
0.1
? 例6 （女士品茶问题）一位常喝奶茶的女士声称她能辨别 出冲好的奶茶是先放茶还是先放奶，并且她在10次试验中 都正确地辨别了出来，问她的说法是否可信？
? 每次试验只有两个结果，或者先放茶后放奶，或者先放奶
后放茶，十次试验共有 2 ? 2 ? L ? 2 ? 210 不同结果。
P（A）= nA/n
例1. 盒中装有5个球，三白两红，从中 任取一个，问：取到白球的概率是多少？ 若从中任取两个，问两个球全是白球的概 率是多少？（考虑50个球的情形：计数原 理和排列组合）
解：
P =3/5
P2=3*2/(5*4)=3/10
? 1. 从n个元素中任取 k个，有
Cnk
?
n ?n ? 1??n ? 2?L k ?k ? 1?L
?n ? k ? 1??
2 ?1
n!
k!?n ? k?!
种不同的结果；
? 2. 一件事情分几个步骤完成，则互相之间用乘法， 一件事情有若干种方法来完成，则互相之间用加 法，这就是所谓的计数原理。
例2. 一个盒子中装有10个晶体管，其中 3个是不合格品。从这个盒子中依次随机地 取2个，在有放回与无放回抽样的二种情况 下求2个中恰有1个是不合格品的概率。
①每次试验只有有限种可能的试验结果， 即样本点总数有限。
②每次试验中各基本事件出现的可能性是 相同的，即等可能性。
? 在概率论中，把具有上述两个特点 的试验叫做古典型试验，它的数学模 型称为古典概型。
? 在古典概型中，记n为样本点总个数， 如果事件A中包含nA个样本点，（或 称有利于A的样本点个数为nA ）那么 规定
? 概率论中“实际推断原理” :一个小概率事件在 一次试验中实际上是不会发生的．
? 因此按“实际推断原理”事件Ａ实际不会发生， 这与实际试验结果相矛盾，因此假设“女士纯粹 是猜测”不成立，有理由断言该女士的说法是可 信的．
? 例7 （抽奖券问题）某超市有奖销售，投 放n张奖券只有一张有奖。每位顾客可抽一 张。求第k位顾客中奖的概率。（无放回抽 样）（1≤k≤n）
? 例5，某城市的电话号码升为 6位数，且第一位为 6或8。求（1）随机抽取的一个电话号码为不重 复的六位数的概率；（ 2）随机抽取的电话号码 末尾数是 8的概率。
?
6
8
8
8
? 解（1） P ? 2 ? 9 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 0.1512
2 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10
二. 几何概率
例：在一个匀称陀螺的圆周上均匀的刻上 区间[0，3）上的各数字，旋转该陀螺，考 察陀螺停下时接触地面的点的刻度恰好为2 的概率。
以等可能性为基础，借助于几何上的度量 来合理地规定的概率，称为几何概率。 一般地，设样本空间是某个区域Ω（直线、 平面或空间）每个样本点等可能地出现， 规定事件A的概率为
注意抽样的区别：有放回抽样和无放回 抽样。
有放回的情况下 p=(7×3+3×7)/102=0.42
在无放回的情况下 p=(7×3+3×7)/(10×9)=0.47
例3. 两封信随机地向四个邮筒投寄，求 A∶第二个邮筒恰好被投入一封信的概率， B∶两封信在同一邮筒的概率。
解：
P(A)=(3+3)/42=3/8
P（A）=m（A）/m（Ω）
这里m（·）分别表示长度、面积或体积。
例8，在半圆区域0≤y≤ 2ax ? 内x2 随机地投 入一点，求该点与原点的连线与x轴的夹角
不超过 ? /的4 概率.
0Leabharlann 2a例9 ． 在单位圆O的一条直径MN上随机 地取一点Q，试求过Q且与MN垂直的弦的 长度超过1的概率。
例10 ． 甲、乙两艘轮船都要在某个泊 位停靠6h，假定它们在一昼夜时间段中 随机到达。试求这两艘船中至少有一艘在 停靠泊位时必须等待的概率。
? 自然地规定 P（Ω）=1， P（φ）=0。 0≤p(A) ≤1
?
在现实问题中，有很大一类随机现象具有一些
共同的特征，可以直接计算出事件的概率。比如：
? （1）一盒灯泡 100个，任取一个检查其质量， 则100个灯泡被抽取的机会相同。
（2）抛一枚匀称的硬币，出现正面和反面的可 能性相同。
这两个试验的共同特点是：
P(B)=4/42=1/4
? 在古典概型中显然有 P(ā)=(n -nA)/n=1-p(A)
例4，掷两颗骰子，试求出现的点 数之和小于10的概率。
解：样本空间共含36个样本点，点数之 和大于等于10含样本点(5，5），（4，6）， （6，4），（5，6），（6，5），（6，6） 共6个。
P=1-6/36=5/6
? 而10次都正确的结果只有 1? 1? L ? 1 ? 110 ? 1
一种！
? 解：假设该女士的说法不可信，即该女士纯粹是 猜测，则每次试验的两个可能结果：茶＋牛奶或 牛奶＋茶是等可能的．
? Ａ＝｛该女士在１０次试验中都正确的辨别出 来｝，则
?
p（Ａ）=1/210=0.0009766
? 这是一个小概率事件．
第二讲 等可能概型
一 等可能概型的概述 二 古典概率 三 几何概率
等可能概型的概述
一、定义：样本空间中的每个样本点在一次 试验后以相等的可能性出现，即等可能性。
二、注意：搞清楚样本空间，事件，基本事 件的关系。
一. 古典概率
? 随机事件发生的可能性大小常用区间 [0，1]中的 一个数值来刻划，这个数值称为概率，记为 p （A）。