高等概率论课件

§2.3 连续型随机变量及其分布一. 连续型随机变量的概率分布二. 三种常用分布一. 连续型随机变量及其分布定义2-4 注1：连续型v r .X 的分布函数)(x F 是连续函数。

注2：概率密度)(x f 具有如下性质：（1）0)(≥x f ；（2）⎰∞+∞-=1)(dx x f ；（3）⎰=-=<≤21)()()(}{1221x x dx x f x F x F x X x P ；若v r .X 的分布函数)(x F 可表示成 ⎰∞-=xdu u f x F )()( （2-7）其中)(x f 为一非负可积函数，则称X 为连续型v r .，)(x f 称为X 的概率密度(或概率分布、分布密度)。

（4）若)(x f 在x 点连续，则)()(x f x F ='。

由（2-8）式知，若不计高阶无穷小，则有 xx f x x X x P ∆=∆+<≤)(}{即X 落在小区间),[x x x ∆+上的概率近似等于x x f ∆)(。

注3：若X 是连续型v r .，则R a ∈∀,0}{==a X P 。

结论：若A 是不可能事件，则0)(=A P ，反之不然。

}{b X a P <≤}{b X a P <<= }{b X a P ≤<=}{b X a P ≤≤=几种常用分布：（1）均匀分布:设随机变量X 在有限区间][b a ，内取值,且其分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他，，01)(bx a a b x f ,则称X在有限区间][b a ，上服从均匀分布,记为)(~b a U X ，。

其分布函数为（自行验证）⎪⎩⎪⎨⎧>≤<--≤=b x b x a a b ax a x x F ，，，10)(Uniform Distribution⎩⎨⎧≤>-=-0001)(x x e x F x，，λ 一般地,若随机变量X 的概率密度⎩⎨⎧≤>=-000)(x x e x f x，，λλ其中0>λ为常数，则称X 服从参数为 λ的指数分布。

§5.3 假 设 检 验再如糖厂用自动包装机装糖，每箱的标准重量规定为100kg ，某日开工后，抽测了9箱，其重量如下（单位kg ）：99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，99.5，102.1，100.5，问此包装机是否正常工作。

例如要检查纺织厂中纱的强力是否达到了标准，我们只能抽出一小部分纱，然后根据这部分纱的质量来推断整批纱的质量是否合格。

上面两例具有一个共同特点，就是从样本出发，对总体的某种假设作出判断——假设是否成立。

如包装机装糖一例中，用μ表示糖箱的平均重量，则问题即为对假设1000=μ：H 作出肯定或否定的回答。

在统计上,对总体所作的种种假设称为统计假设, [引例] 某厂有一批产品共200件，须经检验合格才能出厂，按照国家标准次品率不得超过1%，今在其中任意抽取5件，发现这个5件中有次品，问这批产品能否出厂？解：设这批产品的次品率为μ，则问题化为检验假设01.00≤μ：H 是否成立。

由样本出发来判断统计假设是否成立称为假设检验。

现假定0H 成立，看会出现什么结果，此时200件产品中最多有二件次品，任意抽取5件，那么5件中无次品的概率为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=件中没有件次品时。

，当件中有一件次品时；，当件中有两件次品时；，当无次品200200200)(520052005200519952005198C C C C C C P 显然 95.052005198>≥C C P （无次品） 05.0<（有次品）P 上面的分析讨论中，我们基于一个基本原理——实际推断原理，同时用了反证法的思想.假设总体），（2~σμN X ，n X X X ,,,21 为来自总体X 的一个样本，其观察值为n x x x ，，， 21 。

一.2σ已知，检验假设000(μμμ=：H 已知) 构造统计量n X U 20σμ-= （5-49）则当0H 成立时，U 服从标准正态分布，即)10(~，N U ，对于给定的10<<α（α通常比较小），由 αλ=>}{U P （5-50）查标准正态分布表可求得λ。

第二章随机变量及其分布§2.1随机变量及其分布函数§2.2 离散型随机变量及概率分布§2.3 连续型随机变量及概率分布§2.4 多维随机变(向)量及其分布§2.5 随机变量的独立性§2.6随机变量函数的分布基本要求重点与难点JXHD2-7概率篇CH2LX基本要求1．理解随机变量、随机变量的分布函数概念及性质。

2．理解概率分布的概念及其性质。

3．会利用概率分布及分布函数计算有关事件的概率。

4．掌握六种常用分布，会查泊松分布、正态分布表。

5．了解多维随机变量的概念。

了解二维随机变量的联合分布函数及其性质,了解二维随机变量的联合概率分布及其性质,并会用它们计算有关事件的概率。

6．知道二维随机变量的边缘分布以及与联合分布的关系，了解条件分布。

7．理解随机变量独立性的概念及应用独立性进行有关计算。

8．会求简单随机变量函数的概率分布及两个独立随机变量的函数（和、最大值、最小值）的分布。

重点与难点1．随机变量的分布函数概念及性质。

2．概率分布（离散型随机变量的分布律,连续型随机变量的概率密度）的概念及性质。

3．概率分布与分布函数的关系及正态分布的有关计算。

4．二维随机变量的边缘分布以及与联合分布的关系。

5．随机变量独立性及应用。

6．简单随机变量函数的分布。

1．随机变量的分布函数、概率分布及其关系。

2．二维随机变量的边缘分布及计算。

3．随机变量函数的分布及两个独立随机变量的函数的分布。

§2.1 随机变量及其分布函数掷骰子试验}654321{，，，，，=Ω； 掷硬币试验}{T H ，=Ω 一．随机变量 [引例1] 掷骰子试验，}654321{，，，，，=Ω，令 ），，，，，（654321)(==i i i X 则X 是定义在Ω上的单值实函数，称X 为随机变量。

[引例2] 掷硬币试验，样本空间}{T H ，=Ω，令⎩⎨⎧===Te H e e Y ，，01)(则Y 是定义在Ω上的单值实函数，称 Y 为随机变量。

§3.3 相关系数与相关阵一．协方差(Covariance) 与相关系数当Y X ，独立时，0))((=-=--EXEY EXY EY Y EX X E 定义3-5 设X 与Y 是两个随机变量，若))((EY Y EX X E --存在，则称其为随机变量X 与Y 的协方差，记为)(Cov Y X ，，即)(Cov Y X ， =))((EY Y EX X E -- （3-17）称 DY DX Y X XY ),(Cov =ρ （3-18） 为X 与Y 的相关系数或标准协方差。

Correlation Coefficient Standard Covariance由前讨论知)(Cov Y X ， EXEY EXY -= （3-19）且易证下面的等式DY DX Y X D +=+)(+2)(Cov Y X ， （3-20） 由协方差的定义容易得到它有如下性质：（1）)(Cov Y X ，=)(Cov X Y ，；（2）)(Cov bY aX ，=ab )(Cov Y X ，，其中b a ，为常数；（3）)(Cov 21Y X X ，+=)(Cov 1Y X ，+)(Cov 2Y X ， 只证（3），其它自证。

（3）)(Cov 21Y X X ，+=)(Cov 1Y X ，+)(Cov 2Y X ，事实上，)(Cov 21Y X X ，+))](([2121EY Y X X E X X E -+-+=+--=))([(11EY Y EX X E )])((22EY Y EX X --+--=))((11EY Y EX X E ))((22EY Y EX X E --)(Cov 1Y X ，=)(Cov 2Y X ，+ 定理3-4 设XY ρ是随机变量X 与Y 的相关系数，则有1≤XY ρ；且1=XY ρ的充要条件是X 与Y 依概率1线性相关，即存在常数b a ，使1}{=+=bX a Y P 。

第六章回归分析回归分析是研究变量间相关关系的一个统计分支，它主要解决以下面几个问题：（1）确定几个特定的变量之间是否存在相关关系，如果存在，找出它们之间合适的数学表达式；（2）根据一个或几个变量的值，预测或控制另一个变量的取值，并且要知道这种预测或控制可达到什么样的精确度；（3）进行因素分析，在共同影响一个变量的许多变量(因素)之间找出哪些因素重要，哪些因素次要，这些因素之间有什么关系等。

回归分析一元线性回归多元线性回归逐步回归非线性回归与回归诊断一元线性回归建立模型参数估计显著性检验预测预报一.建立模型引例1.一个作匀速直线运动的质点，在时刻t 的位置是S ，则S a bt =+,其中 a 为质点在t =0时刻的初始位置,b 为平均速度。

观测到的数据是ε+=s y ,其中ε是随机误差（测量误差）。

于是我们有ε+=s y ε++=bt a （6-1） 其中t 是非随机的，ε是随机的，通常认为E ε=0，显然y 也是随机的。

为了估计a 、b ，现在 n 个不同时刻作观察，得n 组观察值)(i i y t ，n i ,21 ，，=。

即 y i =i i bt a ε++ (i n =12，，， )用向量矩阵形式表示如下：εβ+=X Y 其中，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n y y y Y 21，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n εεεε 21，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n t t t X 21111，⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a β。

问题:如何利用Y X 、的观测值来估计参数a 、b ，进一步预测未来时刻t 质点的位置。

引例2.在硝酸钠（3NaNO ）的溶解度试验中，测得在不同温度C X 0下溶解于100份水中的硝酸钠份数y 数据见下表:x i 0 4 10 15 21 29 36 51 68y i 66.7 71.0 76.3 80.6 85.7 92.9 99.4 113.6 125试找出X 与Y 之间的关系。

图6-1bx a +εy =+(6-2)20406080100120140020406080 Y X =+βε 问题：如何利用观测值来估计参数a 、b ，从而确定y 与x 的近似线性关系。

00.10.2
0.3
0.4
0.5
-4-3-2-101234
概率论与数理统计
电子教案研制单位：石油大学应用数学系
概率论与数理统计
绪论篇
概率论篇
数理统计篇
概率论篇
第一章随机事件与概率
第二章随机变量及其分布
第三章随机变量的数字特征第四章大数定律与中心极限定理
数理统计篇数理统计初步因素分析回归分析正交试验设计
数理统计是一个应用非常广泛的数学分支，它以概率论作为理论基础。

它的任务是：研究如何用有效地方法去搜集、整理和分析带有随机性影响的数据，并对所关心的问题作出推断和预测，直接为决策行动提供依据和建议。

凡是有大量数据出现的地方都要用到数理统计。

也就是说，数理统计是直接从随机现象的观察值去研究它的客观规律。

第四章大数定律与中心极限定理大数定律中心极限定理要求：1.理解解切比雪夫（Chebyshev）不等式；理解切比雪夫定理和伯努利定理。

2.理解林德伯格-列维定理（独立同分布的中心极限定理）和棣莫弗拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限）。

概率篇引理（Chebyshev’s 不等式）：若r v .X 具有期望EX =μ，方差DX =σ2，则对于任意的ε>0有 P X {}-≥≤μεσε22 （4-1） 证明：(只证连续型）设X 的概率密度为f x ()，则 ⎰≥-=≥-εμεμx dx x f X P )(}{dx x f x x )()(22⎰≥--≤εμεμ2222)()(1εσμε=-≤⎰∞+∞-dx x f x §4.1 大数定律 或 P X {}-<≥-μεσε122 （4-2） 若X N ~(,)μσ2，则P X {}.-<=μσ30997，即事件“X -<μσ3”的发生几乎是可以肯定的。

但对任意的随机变量X （不知其分布），若EX DX ==μσ，2，那么事件“X -<μσ3”的概率又如何来估计呢？law of large numbers上式说明随机变量X 取值于开区间)(εμεμ+-，的概率不小于221εσ-，例如：设X 的分布未知，记EX =μ，DX =σ2，取εσ=3，则 显然方差2σ越小则221εσ-越大，从而随机变量X 取值于开区间)(εμεμ+-，的概率也越大。

即X 的取值越集中在均值μ的附近， 这说明方差是刻画随机变量的概率分布对均值的集中程度。

P X {}.-<≥-=-≈μσσσ3191190888922例如：设X 的分布未知，记EX =μ，DX =σ2，取εσ=3，则 P X {}.-<≥-=-≈μσσσ3191190888922若取σε4=，则P X {}.-<≥-=-≈μσσσ411611160935722这就是说无论X 服从什么分布，它落在σμ4<-x 内的概率不小于0.93，这种估计在实际应用中形成了所谓σ—原则。

§1.5 条件概率条件概率乘法公式全概率公式贝叶斯（Bayes) 公式CH1事件B 已发生的条件下事件A 发生的概率，记为)(B A P [引例] 设10件产品中有5件不合格品，而5件不合格品中有3件次品2件废品，现从10件产品中任取一件，求（1）取得废品的概率；（2）已知取到的是不合格品,它是废品的概率。

解：设事件A 表示“取得废品”；事件B 表示“取得不合格品”，则（1）取得废品的概率5/1)(=A P （2）已知取到的是不合格品，它是废品的概率为52)|(=B A P )()(B n AB n =)()()()(ΩΩ=n B n n AB n )()(B P AB P =条件概率Conditional Probabilitydef 1-3 可以验证)|(B A P 满足公理化定义，即（1）1)|(0≤≤B A P ；（2）1)|(=ΩB P ； （3）若 ，，n A A A ,,21是两两互不相容的事件，则 )|()|((11∑∞=∞==n n n n B A P B A P （1-4）B 为样本空间Ω中的两个事件，))B AB （1-3） 发生的条件下事件A 发生的条件概率。

设BA 、为样本空间Ω中的两个事件，0)(>B P ，则称)()(ˆ)|(B P AB P B A P = （1-3） 为事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率。

思考题：条件概率与无条件概率有何区别与联系？由引例及定义1-3不难总结出求条件概率的一般方法：1B 在缩小的样本空间中计算A 发生的概率)|(B A P ；0)(AB P 、)(B ，再按 既然不用定义1-3也可求条件概率)|(B A P ，因此上述定义式可反过来应用，即先求概率)|(B A P 、)(B P ，由此计算)(AB P 。

即得计算积事件概率的乘法公式：事件发生后，在缩小的样本空间中计算事件 02在样本空间中先计算)(AB P P 定义计算)|(B A P 。