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第二讲 Ch.1 随机事件与概率§1.1 随机事件及其运算（续）3 互不相容关系(也称互斥关系) ①定义与记号：若事件A 与事件B 不能同时发生，则称事件A 与B 互不相容.记Φ=⋂B A(在讲解交运算后回头理解此记号). ②用集合论语言对互斥关系的描述：若事件A 与事件B 没有相同的样本点，则称事件A 与B 互不相容. ③V enn 图表示：Φ=⋂B A④例子：对于例1.1.2中的(2)2Ω＝{1,2,3,4,5,6}，若记A ＝“掷出奇数点”，B ＝“掷出偶数点”， 则A 与B 互不相容. 1.1.6 事件的运算Remark 参照集合的运算给出事件的并、交、差及余四种运算. 1 事件A 与B 的并 ①定义与记号：“事件A 与B 至少发生一个”这一新事件称为事件A 与B 的并.记作B A ⋃.ABΩ②用集合论语言对事件A 与B 的并的描述：事件A 与B 所包含的样本点的并集对应的事件称为事件A 与B 的并.③V enn 图表示：B A ⋃④例子：对于“例1.1.2”中的(2)2Ω＝{1,2,3,4,5,6}，若记A ＝“掷出奇数点”，B ＝“掷出的点数不超过3”， 则BA ⋃＝{1,2,3, 5}.2 事件A 与B 的交 ①定义与记号：“事件A 与B 同时发生”这一新事件称为事件A 与B 的交. 记作B A ⋂.简记为AB .②用集合论语言对事件A 与B 的并的描述：事件A 与B 所包含的样本点集的交集对应的事件称为事件A 与B 的交.③V enn 图表示：AB④例子：对于例“1.1.2中”的(2) 2Ω＝{1,2,3,4,5,6}，若记 A ＝“掷出奇数点”， B ＝“掷出的点数不超过3”， 则AB ＝{1,3}.BAΩRemarksi)事件A 与B 互斥⇔Φ=AB .ii)并与交的推广：如果事件列1A ，2A ，…为同一样本空间下的事件列，则分别称 ni i A 1=， +∞=1i i A 为有限并和可列并；而分别称 ni i A 1=，+∞=1i iA为有限交和可列交.3 事件A 对B 的差 ①定义与记号：“事件A 发生而事件B 不发生”这一新事件称为事件A 对B 的差.记作B A -.②用集合论语言对事件A 对B 的差的描述：从事件A 的样本点中去除属于事件B 的样本点后所剩的样本点集对就的事件称为事件A 对B 的差. ③V enn 图表示：B A - ④例子：i)对于“例1.1.2”中的(2)2Ω＝{1,2,3,4,5,6}，若记A ＝“掷出奇数点”，B ＝“掷出的点数不超过3”， 则B A -＝{5}.ii)设X 为..V R ，b a ,为实数，且a ＜b ,则""""""a X a X a X ==<-≤；ΩAB""""""b X a a X b X ≤<=≤-≤.4 对立事件——也称余运算(也称对立关系) ①定义与记号：“事件A 不发生”这一新事件称为事件A 的对立事件.记作A . ②用集合论语言对事件A 的对立事件的描述：从Ω中去除属于事件A 的样本点后所剩的样本点集对应的事件称为事件A 的对立事件. ③V enn 图表示：④例子：对于例“1.1.2中”的(2)2Ω＝{1,2,3,4,5,6}，若记A ＝“掷出奇数点”， 则A ＝{1, 3, 5}，而A ＝{2,4,6}.又若记B ＝“掷出的点数不超过3”，则B ＝{1, 2, 3}，而B ＝{4, 5,6} Remarksi)易见：A A -Ω=， A A -Ω= (体现A 与A 互为余运算的结果). ii)对同一随机现象中的A 与A 发生情况的描述：A 发生，则A 不发生；A 不发生，则A 发生，反之亦然(表明A 与A 具有对立关系).iii)事件A 与B 互为对立事件的充要条件是(有些教材以此为对立事件的定义)：Ω=AB ，Ω=B A .ΩA__Aiv)对事件A 与B 容易证明：B A B A =-，A A =，Φ=Ω，Ω=Φ.☆事件的关系与运算综合举例例1.1.8 从数字1，2，3，4，5，6，7，8，9中可重复地任取n 次(n ≥2)，每次只取1个数字.若记A ＝“所取n 个数字之积能被10整除”，B ＝“所取n 个数字中无数字5”， C＝“所取n 个数字中无偶数”.则容易看出事件A ＝“所取n 个数字之积不能被10整除”与事件B ，C有直接联系，事实上：A ＝C B (证明？----讨论题2).例1.1.9 设A 、B 、C 为同一Ω下的三个事件，则可用A 、B 、C 及它们的对立事件的运算表示以下新事件： (1)事件“A 、B 发生， C 不发生”； (2)事件“A 、B 、C 至少有一个发生”； (3)事件“A 、B 、C 至少有两个发生”； (4)事件“A 、B 、C 恰好有两个发生”； (5)事件“A 、B 、C 同时发生”； (6)事件“A 、B 、C 都不发生”； (7)事件“A 、B 、C 不全发生”. 解 (1)可表为C AB ，或CAB-(2)可表为CB A ⋃⋃，OR ABC BC A C B A C AB C B A C B A C B A ⋃⋃⋃⋃⋃⋃；(3)可表为ACBC AB⋃⋃，OR ABC BC A C B A C AB ⋃⋃⋃；(4)可表为BC A C B A C AB ⋃⋃； (5)可表为ABC ； (6)可表为C B A ； (7)可表为C B A ⋃⋃，OR BCA CB AC AB C B A C B A C B A C B A ⋃⋃⋃⋃⋃⋃.5 事件的运算性质①交换律 A B B A ⋃=⋃，BA AB =；②结合律 )()(C B A C B A ⋃⋃=⋃⋃，)()(BC A C AB =； ③分配律 BC AC C B A ⋃=⋃)(，))(()(C B C A C AB ⋃⋃=⋃； ④对偶律(德莫根公式----好用！)B A B A =⋃，B A AB ⋃=.推广：ni ini iAA11===， +∞=+∞==11i ii i AA ；ni in i iAA11===， +∞=+∞==11i ii i AA .选证 B A B A =⋃.证法1 用集合论语言叙述的证明过程见P. 8. 证法2 用概率论语言叙述的证明过程如下： 事件B A ⋃发生⇔事件B A ⋃不发生⇔事件“A 、B 至少有一个发生”不发生⇔A、B都不发生⇔A、B同时发生⇔BA发生.可见BA互相包含，从而证得A⋃与B⋃.A=ABBRemark 用德莫根公式可解决以下问题：事件“甲产品畅销，而乙产品滞销”的对立事件是“” .1.1.7 事件域(理论上为概率定义作准备)①事件域的定义：P. 9.事件域的记号F，可测空间记号)(FΩ.,②常见的4种事件域：例1.10 P.9.本节课外作业P.9-11.1.(1)，(3)4.(1) 6.3. 9.。
第二讲 §2 概率空间 1. 概率函数如何确定随机事件的概率？有这样两种想法。
客观方法：通过观测，统计事件出现的频率。
以值硬币为例：An n f n=。
思考题：以此确定概率有何不足？主观方法：如果硬币是均匀的，就应该假设正反面出现的概率是相同的。
但硬币是否均匀如何判断？事实上这正是许多情况下需要解决研究的问题。
定义（概率公理体系）对给定的样本空间(,)S ℑ，称定义在事件域上的集类函数:[0,1]P ℑ→，:Pr()P A A →，为概率函数，若满足条件， 1）Pr()1S =；2）可列可加性：设事件序列{,1,2,}n A n =互不相容，即i j A A φ=，i j ∀≠，一定有11Pr()Pr()n n n n A A ∞∞===∑。
思考题：为何不能要求一般的可加性，即参与并的事件个数必须是可列的？概率为零的事件与不可能事件是否有区别？ 2. 概率性质 1）Pr()0φ=；此性质可以推知：概率函数具有有限可加性； 2）减法公式：Pr()Pr()Pr()A B A AB -=-； 此性质说明：概率函数是单调增加的函数。
特殊情况：Pr()1Pr()A A =-。
3）加法公式：Pr()Pr()Pr()Pr()A B A B AB =+-； 此公式可推广到有限多个事件并的情形。
4）概率函数的连续性。
a) 若{,1,2,}n A n =是单调增加序列，即1n n A A +⊃，则1Pr(lim)lim Pr()n n n n n A A ∞→∞→∞==；b) 若{,1,2,}n A n =是单调减少序列，即1n n A A +⊂，则1Pr(lim)lim Pr()n n n n n A A ∞→∞→∞==；c) 对任意事件序列，1Pr(lim )Pr()lim Pr()n n n k k n kn kn A A A ∞∞∞→∞===→∞==，1Pr(lim )Pr()lim Pr()n n n n k k n kn kA A A ∞∞∞→∞→∞=====。
思考题 用语言描述事件序列的上下极限的直观含义。
§3 古典概型，几何概型概率函数并没有直接给出一个随机事件的概率，只是要求其满足直观的条件。
那么具体问题中，如何确定概率？必须考虑问题的特殊性。
古典概率是比较典型的例子。
1. 古典概型。
如果样本空间和概率函数满足下面的条件，则称该概率问题为古典概率问题， （1）样本空间的元素个数只有有限个；（2）基本事件的概率相等。
具体而言，1{,,}n S e e =，1Pr()Pr()n e e ==。
定理 对古典概型，11Pr()Pr()2n e e ===；#Pr()#AA S=。
这里#A 表示集合A 中元素的个数。
所以，古典概型问题就转化为计数问题。
2. 排列组合 计数的两个基本原理 1） 加法原理； 2） 乘法原理。
典型的排列组合问题1. Sampling with replacement and with ordering (m balls labeled within the urn) Draw n balls sequentially, each ball drawn being put back, recording the numbers on the balls. Result: n m2. Sampling without replacement and with ordering (m balls labeled within the urn) Draw ()n m ≤ balls sequentially, each ball drawn being left out, recording the numbers on the balls. Result: (1)(1)m m m n --+3. Sampling without replacement and without ordering (m balls labeled within the urn)Draw n balls sequentially, each ball drawn being put back, not recording the numbers on the balls.Result: nm C4. Permutation m balls distinguishable by r groups: 1r m m m =++.Arrange m balls, balls in each group are not distinguishable. Result:1!!!r m m m5. Sampling with replacement and without ordering (m balls labeled within the urn) Draw n balls sequentially, each ball drawn being put back, without paying attention to their order.Result: 11m m n C -+-3. 古典概型计算例子为了叙述问题方便起见，引入随机变量概念，在第二章将详细讨论，这里只是为描述问题方便起见而引入此概念。
定义（随机变量）给定样本空间和相应的事件域：(,)S F 。
称可测函数1:X S R →，为随机变量，这里1R 上的σ域如为Borel 域。
注 随机变量把随机试验的结果与数字相联系。
例 掷硬币，骰子问题中的随机变量，均匀分布。
随机变量的例子：通常定义的函数均是可测的。
定义（随机变量的分布函数）对给定的随机变量，称()Pr{}F x X x =≤为该随机变量的分布函数。
下面给出一些典型的古典概率计算问题。
例题1 （抽样问题）Urn 中共有黑白两种颜色球n 个，其中黑球b 个，白球n b -个，随机抽取r 个球。
这里，抽取球的方式有如下两种，a)（无放回抽样）同时随机抽取r 个球；或每次随机抽取，但抽出的球不放回； b)（有放回抽样）每次随机抽取一球，随后放回，再抽取第二个球，共进行r 次抽样。
如果以随机变量X 记录抽到黑球的个数。
分别计算Pr{}X m =的概率。
解 a) 显然，概率不为零时，要求min{,}m r b ≤，且则Pr{}0X m ==。
在m b ≤是，Pr{}m r mb n brnC C X m C --==； 而如果是逐个不放回抽取，结果是一样的：(1)()()[()()1]Pr{}(1)bb m n b n b n b r m X m n n r -+-----+==-+。
但样本空间是不同的。
但整个样本空间的元素个数和事件元素个数是同比例扩大和缩小。
b) 有放回时，则0,1,,m r =，此时()Pr{}1mr mm r mm m r r r b n b b b X m C C n n n ---⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
例2 （盒子模型，生日问题，p.21）例3 （配对问题，p.34）参加某聚会的n 个人都向房子中央扔出自己的帽子。
充分混合后，个人随机地抽取帽子。
问 1） 没有一个人选到自己帽子的概率是多少？ 2） 恰好有k 个人选到自己的帽子的概率是多少？ 解 1） 记事件“第i 个人选择自己的帽子”为i E ，则1111()(1)()nnj j i n j i j P E C P E E -===-∑。
而1()!()!j n j P E E n -=。
所以，1111()(1)!n n j i i j P E j -===-∑。
即得要求的事件的概率为：111(1)1()1!j nni i j P E j -==--=-∑。
2） 在1）解决后，较容易。
该事件必须两个事件k B =“有k 个人拿到自己的帽子”和k C “其余n k -个人没有拿到自己的帽子”同时发生。
因此22()!111Pr()Pr()Pr(|)(1)(1)!!!!k n kn k i i n k k k k k i i n k C B C B C B n i k i --==-==⨯-=-∑∑。
4. 几何概型。
这里讨论不要求元素个数的有限，但仍保留等可能性假设的一个概率问题：区间上的均匀分布。
样本空间：[,]S a b =，事件域：ℑ为Borel 集。
其上的概率函数由[,]S a b =上的测度函数{(,]}c dm c d b a-=-确定。
思考题：把均匀分布推广到平面上。
习题1.21. 除代数方法，希望能用排列组合的方法给出证明。
2. 如果不能区分两枚硬币，则问题有何不同，还是古典概型吗？得到的结果是否相同？在两枚硬币可以区分时，用概率性质来做。
如果1A 表示事件“第一枚硬币是正面”，2A 表示事件“第二枚是正面”。
则需要计算的事件概率为12121213()()()()144P A A P A P A P A A =+-=-=。
（所以在引入事件独立性和条件概率这些概念后，问题更容易计算）3. 需要把问题明确。
如何随机地选取一个证整数？基本事件和样本空间是什么？例如,{(,)}m n S e m n ==，一般的想法应该是每个事件是等可能发生的，但样本空间是可列的，所以,Pr{}0m n e =。
所以，在此模型下，无法考虑问题。
如果先限定所取的数有限：,m n N ≤，此问题的解：022(1)22()1N N N P A N ⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-；022(1)22()N N N P A N ⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=。
则011lim ()lim ()2N N N N P A P A →∞→∞==，但已改变了问题。
应该考虑事件域是什么。
如果确实能构造这样的概率空间(,,)S P F ，且0A ∈F ，1A ∈F ，01()()P A P A =，那么由于01A A S =，01A A φ=，所以，01()()1/2P A P A ==。
最简单的构造方法，是01{,,,}S A A φ=F ，但这样此问题就没有意义了。
此问题值得探索。
下面是从随机过程出发的一个论述。
If we solve the problem in the set {1,,}n , a random variable can be defined:1n X ⎧=⎨⎩, if the selected number is even, 0n X =, otherwise, 1n X =.The probability space,{1,,}n S n =,10{,,{21,0,,},{2,1,,}}22n n n n n n S A k k A k k φ⎡⎤⎡⎤==+===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦F , 02Pr{}n n A n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=, 102Pr{}1n A n⎡⎤⎢⎥⎣⎦=-.(21)0n X k +=, (2)0nX k =.1122()(1)()22nitXit it n n n t Ee e t e n n φφ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦==+-→=+. That means , the series {,1}n X n ≥ convergences in distribution to X . The probability space: 1n n S S N ∞===;10{,,,,1,2,,{1,3,5,,},{2,4,6,}}n n S A A n φ==F .Hence, we will find exactly the meaning of the random process.16. 2#(531)S =⨯⨯，#531421A =⨯⨯⨯⨯⨯。
