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第2"卷第1期2021年1月高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol.2"，No.1Jan. , 2021doi ： 10. 3969/j. issn. 1008-1399. 2021. 01. 017关于矩阵奇异值的若干性质尹小艳，杨丹丹(西安电子科技大学数学与统计学院，陕西西安J10071)摘要探讨矩阵奇异值的性质及其与范数、谱半径、特征值等矩阵“大小”度量的关系，帮助学生建立这些概念之间的内在联系，强化对相关概念的理解和掌握.关键词奇异值；谱半径；范数"条件数中图分类号 O151.2 文献标识码 A文章编号 1008 - 1399(2021)01 - 0056 - 03Properties of Singular Values of MatricesYIN Xiaoyan and YANG Dandan(School of Mathematics and S t a t i s t i c s，Xidian University，Xi’an 710071)Abstract W e gather several properties of singular values and investigate the relations between singular values and some other measures on matrices such as n o r m，spectral radius，eigenvalues and so on.This work m a y lead the students to a deeper comprehension of these concepts.Keywords singular value，spectral radius，n o r m，condition number1引言矩阵的奇异值是矩阵的重要数字特征，在矩阵 计算、误差分析、图像处理、数据挖掘、推荐系统等理 论和实际问题中应用广泛&一2'矩阵作为有限维 线性空间上线性变换的数学模型，除奇异值外，对矩 阵的“大小”，还有着多种不同的度量，比如大家熟知 的矩阵范数、特征值、谱半径等.本文介绍奇异值的一些重要性质，并深人探讨这几个概念之间的有机联系，帮助同学们更好地理解和掌握矩阵的这几种数值'收稿日期！ 2020 - 03 - 17 修改日期2020- 07 -05基金项目：西安电子科技大学矩阵分析与计算精品课程建设项目；西 安电子科技大学教学改革项目一研究型教学在矩阵分析与计算课程中的探索与实践，西安电子科技大学高等代数MOOC建设项目.作者简介：尹小艳（1979 —），女，陕西咸阳人，副教授，博士，从事矩阵 理论研究工作.Email:xyyin@.2奇异值的概念定义&]设A)crx"，称'")=槡)，("*")，4=1，2，…，-为矩阵"的正奇异值，简称奇异值.因为对任意矩阵crx"，总有")= -(a)，从而矩阵"的正奇异值的个数总是等于"的$.3奇异值的基本性质(1)对任意 A)crx"，A=0L'1")=…='r(A)=0.证明设A为任意复矩阵，A=0 l a2a=0L)1 (A2a)=…=A…(A2a)=0L'1(A)=…='(A)=0.第2"卷第1期尹小艳，杨丹丹：关于矩阵奇异值的若干性质57(2) 对任意w阶方阵A，有A非奇异Lff，(A)>0，i=1,2，…，w.(3) 对任意w R复方阵A，有|det(A) |y^A) - ■••f f…(A).这里|det(A) |表示矩阵A的行列式的模.证明设A为任意w阶复方阵，det(A)2 =det(A*A)=Ai(A*A)…A…(A*A)='!(A)…'!(A)(4) 奇异值具有转置、共轭、酉不变性.即对任意A)CTx"，i=1，2,…，r，有'(A*)='(A)='(A T)='(A)，at(U A V)=at(A)，这里A*，A T，A分别表示矩阵A的共轭转置、转置和共轭矩阵，U@分别为适当阶的酉矩阵.证明对任意A)Crx"，'2(A *)=)i(AA *)=)i(A *A)=ai(A)，'(A T)=A!((A T)* A T)=A，（(A*)TA T)=A，（(A A*)T)=)i(AA * )=A；(A *A)=ai(A)，a!(A T)=a!((A T)* )=(a(A)，a i(U A V)=A t(V*A*U*U A V)=At(A*A)=a2(A).(5) 奇异值分解（S T O)定理对任意A)CTx"，必存在™•阶酉矩阵U和w阶酉矩阵@，使得0]U*A V=，其中'Y d i a g'，•••'），'！，•••，'r 为 A的奇异值.奇异值分解在图像处理、数值计算等方面有着极为重要的应用，关于这一定理的重要意义及其应用后续文章会深人探讨.(6) 奇异值的几何意义先看一个具体的例子•设30' 3 0]* ;1A=U〇1.V=(«! w2)$ 1.其中 “1=(1，“2=(f，>#)'于是对V x Y h V i+h V i，有A v#=3«i ,A v2=m2故！=A# =ZiMi +Z2m2=3〇i M1+02a2.此时，若I I # I I 2=1即〇2Z〇2=i，则对应向量！满足32+/2 = 1.这表明4把财2中的单位圆{•r)N2，|| z || 2=1}变成了椭圆{：V =A：r，|| z || 2=1}，而两个奇异值恰好是这一椭圆的两个半轴长，长轴所在直线span+1}，短轴所在直线span {m2 }，它们分别是spanV h s p a n+z}的像.一般地，设A)C，"，记null(A)的正交补空间为W，A B r维子空间W中的单位复球面映成C™中的复椭球面，其中A的奇异值'1，…，〇，即为该椭球面的r个半轴长.3奇异值与矩阵其它度量的关系3.1奇异值与特征值的关系(1) 对任意w阶复方阵A,最大、最小奇异值构 成矩阵特征值的模的上下界•即V A)A(A)，有f f m i n(A)"|A I(A)证明设A为任意w阶方阵，对V A)A(A)，设#为A的属于特征值A的单位特征向量，A# =A#，I I # I I =1，由Amm (A *A)3"A*A"Am… (A *A)3可知，a?i n(A)=Amin(A*A)"#*A*A#= |A |2#* #=|A |z"Ama X(A*A)=a?ax(A)•(2) 设A为w阶方阵，对；=1,2，••，，,|(A) |模>0，若A正规a,(A)=1 |(A) |绝对值>0，若 A* =AU(A)，A>。
杭州电子科技大学研究生考试卷（A卷）课程名称：工程矩阵理论一、单项选择题（每题4分，共20分）1. 设A∈C m⨯n，对A的奇异值分解，下列说法正确的是：（1）存在且唯一（2）存在但不唯一（3）可能不存在（4）可能存在但不唯一2. 设A∈C n⨯n，则A的幂序列E，A，A2/2!, A k/k!,（1）收敛于零（2）发散（3）收敛与否与具体A有关（4）收敛3. 设A∈C n⨯n满足A3= E，则下列说法正确的是：（1）A的最小多项式与特征多项式相同（2）A不可对角化（3）A的约当标准型中约当块的数目为n（4）不能确定A是否可对角化4. 设A为n阶方阵，则有：（1）R(A) ⊕ N(A)= C n , （2）R(A) + N(A)= C n（3）R(A) ⊕ N(A T)= C n, （4）R(A T) ⊕ N(A T)= C n5. 设A为n阶Hermite矩阵，则：（1）A的n个特征值全大于零（2）存在可逆矩阵P使得P H AP=E（3）存在正线上三角矩阵R使得A=R H R（4）存在酉矩阵U使得U H AU=Λ，其中Λ为实对角矩阵二、填空题（每题4分，共20分）1. 设ε1, ε2, ε3为3维线性空间V的一组基，σ是V到自身的一个线性变换。
σ在基ε1, ε2, ε3下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211a a a a a a a a a ，则σ在基ε3, 2ε2, 3ε1下的矩阵为。
2. 设方阵A 满足A 2= 3A, 则sin (3A ) = 。
3.矩阵A = diag 21312,,0203⎛⎫⎡⎤⎡⎤ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭，则A 的最小多项式为 。
4. 设X = (x 1, x 2, , x n )T 为变向量，α = (a 1, a 2, , a n )T 为常向量，H = (h ij )n ⨯n 为常矩阵，则：，()=HX X XT D D。
5. 设A ∈C n ⨯n 为Hermite 矩阵，X ∈C n ，A 的n 个特征值为λ1，λ2， ，λn ，满足λ1 ≤ λ2 ≤ ≤ λn ，则： XX AXX H X H 0max ≠ =。
毕业设计（论文）题目矩阵可交换成立的条件与性质学院理学院专业数学与应用数学年级 2008级班级 0814 姓名吴锦娜学号 2008530088 指导教师李伟职称副教授矩阵可交换成立的条件与性质[摘要］矩阵是高等数学中一个重要内容，在数学领域以及其他科学领域有着重大的理论意义．众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的，即在通常情况下，BAAB ．但是,在某些特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律．可交换矩阵有着很多特殊的性质和重要的作用．本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质及应用，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵．[关键词］矩阵可交换条件性质应用The Conditions for The Commutation of Matrix and Its Some Properties［Abstract] Matrix， a important content in altitude－mathematics， has a great theoretic significance in the aspect of both mathematics and other science field。
As far as we have concerned，the multiplication of matrix could not satisfy the exchange rule under the normal condition, that is to say, normally，AB≠BA。
Whereas, in some certain conditions, the multiplication of matrix could satisfy the exchange rule。
The exchangeable matrix has many special properties and important effection。
怎样学好矩阵理论——以非负矩阵为例作者：徐大举赵慧婷来源：《教学研究》 2012年第5期徐大举1赵慧婷2(1．山东交通学院理学院，山东济南250023;2．阳谷县第三中学，山东阳谷252300)[摘要] 矩阵理论在自然科学和社会科学领域都有广泛的应用，然而大学生在学习线性代数矩阵理论时，往往感到枯燥、难学、不易掌握。
提出学好矩阵理论的几点建议，其中重要的一点是了解某些概念的实际应用意义。
并以非负矩阵为例，给出非负矩阵的分类及其谱理论。
最后，指出可约矩阵、不可约矩阵及其特征值和特征向量在投入产出分析经济学中的具体经济意义。
[关键词] 非负矩阵；可约矩阵；中间投入系数矩阵；投入产出分析[中图分类号]G642．O [文献标识码] A [文章编号] 1005-4634 (2012) 05-0094-040 引言关于矩阵论的发展史，至少可以追溯到Syl-vester和Cayley，尤其是Cayley在1858年所作的工作。
近代数学如代数结构理论与泛函分析，都可以在矩阵论中寻到它们的根源。
作为一种基本工具，矩阵理论在应用数学与工程技术学科，比如微分方程、概率统计、最优化、运筹学、计算数学、控制论与系统理论等学科有着广泛的应用。
同时，这些学科的发展反过来又极大地促进了矩阵理论的发展。
所以，近几十年来，矩阵理论不仅在自然科学领域得到了完美的应用和发展，在社会科学领域也越来越得到应用和重视，比如在数理经济学、社会统计学等领域，矩阵的理论都得到了很好的应用。
因此，对大学生来说，学好矩阵理论具有非常重要的意义。
然而，大学生在学习矩阵理论时，经常会感到非常吃力，觉得矩阵理论的逻辑符号十分繁琐，运算方法不易理解，定义定理很难掌握，最后导致学习的效率不高、效果不好。
比如，实际中经常用到的是非负矩阵及其特征值和特征向量的性质，在教学的过程中，发现学生经常出现问题，经常搞混非负矩阵的分类以及它们的特征值的性质。
出现的问题有：非负方阵是否有正特征值，如果有的话，是否惟一；是否有正的特征向量，如果有的话，是否惟一，等等。
