曲线积分与路径无关的问题之证明

曲线积分与路径无关问题1. 第一型曲线积分(1)对弧长的曲线积分的模型：设给定一条平面曲线弧L ：AB ,其线密度为),(y x ρ求弧AB 的质量m 。

⎰=Lds y x f m ),(,(2)若BA L AB L ==21,，则⎰1),(L ds y x f =⎰2),(L ds y x f ，即对弧长的曲线积分与积分弧段有关,但与积分弧段的方向无关。

(3)对弧长的曲线积分的计算设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ ，)(βα≤≤t ,其中)(t ϕ、)(t ψ在[]βα,上具有一阶连续导数，且0)()(2'2'≠+t t ψϕ，则曲线积分⎰Lds y x f ),(存在，且⎰Lds y x f ),(=[]dt t t t t f )()()(),(2'2'ψϕψϕβα+⋅⎰ )(βα<特别,当1),(=y x f 时,⎰Lds y x f ),(表示曲线弧L 的弧长。

当曲线弧L 的方程为)(x g y = )(b x a ≤≤，)(x g 在[]b a ,上有连续的导数，则⎰Lds y x f ),(=[]dx x g x g x f da)(1)(,2'+⋅⎰；把线弧L 的方程为)(x f y =化作参数方程⎩⎨⎧==)(x g y xx ，)(b x a ≤≤，⎰Lds y x f ),(=[]dy y h y y h f dc)(1),(2'+⋅⎰ )(d y c ≤≤2. 第二型曲线积分(1) 第二型曲线积分的模型: 设有一平面力场j y x Q i y x P y x F ),(),(),(+=，其中),(),,(y x Q y x P 为连续函数,一质点在此力场的力作用下，由点A 沿光滑曲线L 运动到点B ，求力场的力所作的功W 。

dy y x Q dx y x P W L),(),(+=⎰，(2)设L 为有向曲线弧，L -为与L 方向相反的有向曲线弧，则dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰dy y x Q dx y x P L),(),(+-=⎰-即第二型曲线积分方向无关(3)设xoy 平面上的有向曲线L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ ，当参数t 单调地由α变到β时,曲线的点由起点A 运动到终点B ,)(t ϕ、)(t ψ在以α及β为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且0)()(2'2'≠+t t ψϕ，函数),(y x P 、),(y x Q 在L 上连续，则曲线积分dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰存在，且⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(=[][]{}dt t t t Q t t t P ⎰+βαψψϕϕψϕ)()(),()()(),(''这里的α是曲线L 的起点A 所对应的参数值，β是曲线L 的终点B 所对应的参数值，并不要求βα<。

曲线积分和路径无关的条件曲线积分是在曲线上对向量场进行积分的过程。

路径无关的条件是指，对于同一向量场和相同的起点和终点，不同的路径所得到的曲线积分值相等。

这个条件对于许多物理问题都具有重要意义，因为它允许我们在计算复杂路径上的积分时选择更简单或更方便的路径。

一、曲线积分的定义曲线积分可以看作是沿着一条曲线对一个向量场进行积分。

具体来说，设C是一条参数化曲线，即C可以表示为r(t)=(x(t),y(t),z(t))，其中t∈[a,b]。

向量场F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))是一个从三维空间中每个点到该点处的向量赋值函数。

则沿着C对F进行积分的结果为：∫CF·ds=∫baF(r(t))·r'(t)dt其中F(r(t))表示在r(t)处F的值，r'(t)表示r关于t的导数。

二、路径无关条件如果不同路径上所得到的曲线积分值相等，则称该向量场F在区域D内满足路径无关条件。

形式化地说，在D内如果任意两条起点和终点相同但路径不同的曲线C1和C2上，有∫C1F·ds=∫C2F·ds则称F在D内满足路径无关条件。

三、路径无关条件的判定对于一个向量场F，它是否满足路径无关条件取决于该向量场的旋度。

具体来说，如果F在D内存在一个连通区域，并且该区域内的旋度为零，则F在该区域内满足路径无关条件。

这个结论可以用斯托克斯定理来证明。

四、斯托克斯定理斯托克斯定理是曲线积分和曲面积分之间的一种联系。

它告诉我们，如果一个向量场在某个区域内旋度为零，那么该向量场在该区域内满足路径无关条件。

具体来说，设S是一个分段光滑的曲面，边界为曲线C。

如果向量场F在S上连续可微，则有：∫SF·dS=∫CF·ds其中左边是对曲面S进行的曲面积分，右边是对边界曲线C进行的曲线积分。

五、应用举例路径无关条件可以应用于许多物理问题中。

例如，在电磁学中，电场和磁场的旋度为零是电场和磁场满足路径无关条件的充分条件。

平面上曲线积分与路径无关的条件平面上曲线积分是微积分学中的一个重要概念，它通常用于计算沿着曲线的某个向量场的功或流量。

在实际应用中，我们经常需要计算一些与路径无关的曲线积分，这时就需要了解平面上曲线积分与路径无关的条件。

一、曲线积分的定义在平面上，设有一条光滑曲线C，其参数方程为：x=x(t)，y=y(t)，a≤t≤b设有一个向量场F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))，则沿着曲线C对向量场F进行的曲线积分为：∫CF·ds=∫baF(x(t),y(t))·(dx/dt,dy/dt)dt其中ds表示弧长元素。

二、路径无关的定义如果对于同一向量场F和两条起点和终点相同但路径不同的光滑曲线C1和C2，它们所对应的曲线积分相等，则称该向量场F沿任意闭合光滑曲线C所做的功（或流过任意闭合光滑曲线C所做的流量）与路径无关。

三、平面上曲线积分与路径无关的条件1. 向量场F是保守场如果向量场F是保守场，则沿任意光滑曲线C对F进行的曲线积分都与路径无关。

这是因为保守场的势函数只与起点和终点有关，与路径无关。

2. 曲线C是简单闭合曲线且向量场F在C内部连续如果曲线C是简单闭合曲线（即不自交且没有孔），并且向量场F在C内部连续，则沿任意光滑曲线C对F进行的曲线积分都与路径无关。

这个结论可以通过Green公式来证明。

Green公式指出，如果P和Q 在一个封闭区域D内有连续的一阶偏导数，则有：∫CF·ds=∫∫D(dQ/dx-P/dy)dxdy其中，C是D的边界，ds表示边界元素。

因此，如果向量场F=(P,Q)在简单闭合曲线C内部连续，则有：∫CF·ds=0这说明沿任意光滑曲线C对F进行的曲线积分都与路径无关。

3. 曲线C可以被分成若干条简单闭合曲线如果将曲线C分成若干条简单闭合曲线，并且向量场F在每个简单闭合曲线内部连续，则沿任意光滑曲线C对F进行的曲线积分都与路径无关。

这个结论可以通过对每个简单闭合曲线应用第二个条件来证明。

§ 22.2曲线积分和路径的无关性引言第二类曲线积分不仅与曲线的起点和终点有关， 而且也与所沿的积分路径有关。

对同一个起点和同一个重点， 沿不同的路径所得到的第二类曲线积分一般是不相同的。

在什么样的 条件下第二类曲线积分与积分路径无关而仅与曲线的起点和重点有关呢？下面我们在平面 中情形来讨论这个问题。

定理1：若函数P x,y ，Q x, y 在区域D 上有连续的偏导数，D 是单连通区域，则 F 列命题等价：⑴对D 内任意一条闭曲线C ，有P x,y dx Q x, y dy 0。

C⑵对D 内任意一条闭曲线I ，曲线积分P x, y dx Q x, y dyI与路径无关（只依赖曲线的端点）。

⑶存在可微函数 U x, y ，使得D 内成立dU Pdx Qdy ；P Q⑷ 在D 内处处成立。

y x定义1：当曲线积分和路径无关时， 即满足上面的诸条件时，如令点A x o ,y o 固定而点 B x, y 为区域内任意一点，那么x,yU x, y Pdx Qdy x o ,y o在D 内连续并且单值。

这个函数 U x,y 称为Pdx Qdy 的原函数。

原函数的求法:（1）U x,y x P x, y dx x yQ x0, y dy C ；y o或x y（2）U x, y P x,y ° dx Q x, y dy C 。

y o 例1 :求原函数u(1) x2 2xy y2 dx x2 2xy y2 dy；2 2(2) 2xcosy y sinx dx 2ycosx x siny dy。

定义2：只绕奇点M —周的闭路上的积分值叫做区域D的循环常数，记为。

于是，对D内任一闭路CC Pdx Qdy n ,这里n为沿逆时针方向绕M的圈数。

例2：证明；xd x 今关于奇点的循环常数是0,0，从而积分与路径无关。

x y。

证明曲线积分在整个xoy面内与路径无关
曲线积分与路径无关的充要条件是：区域d是一个单连通域，函数p(x,y)及q(x,y)在d上有一阶连续偏导数，ap/ay=aq/ax。

对于满足一些条件的曲线，起点和终点的位置固定，沿不同的路线积分，其积分值相同，即曲线积分只与起点和终点有关，与路线的选取无关。

曲线积分分为：
（1）对弧长的曲线分数（第一类曲线分数）
（2）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）
两种曲线分数的区别主要是分数元素的差别，对弧长的曲线分数的分数元素就是弧长元素ds。

比如：对l的曲线分数∫f(x,y)*ds 。

对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对l’的曲线积分∫p （x,y）dx+q(x,y)dy。

但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。

(1)平面上的单相连区域与为丛藓科扭口藓相连区域
设d是平面xy.上的区域。

如果d内的任何封闭曲线l所围成的区域di，恒有d; c d ,则d称为单连通区域;否
则，d称作为丛藓科扭口藓相连区域。

(2)平面曲线积分与路径无关的条件
定理1 [1] 设d就是平面xy.上的单相连闭合区域，函数p(x, y)与q(x,y) 在d内具备一阶已连续略偏导数，则以下1° ~ 4°。

曲线积分与路径无关性的证明在微积分中，曲线积分是一种重要的概念，它可以用来计算曲线上的某个向量场或标量场的总效应。

其中一个重要的性质是曲线积分与路径无关，即结果仅取决于起点和终点，而与路径的形状无关。

本文将对曲线积分与路径无关性进行证明。

假设有一条曲线C，它的起点为点A，终点为点B，我们希望证明路径的不同并不会影响曲线积分的结果。

首先，我们需要明确曲线积分的定义。

对于一个向量场F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j，其中P(x, y)和Q(x, y)分别是x和y的函数，曲线积分的计算公式如下：∫[C] F · dr = ∫[a, b] F(r(t)) · r'(t) dt其中，C是曲线，r(t)是曲线C上一个参数化表示，a和b是曲线C的参数范围。

现在，假设有两条曲线C1和C2，它们有相同的起点A和终点B。

我们将证明∫[C1] F · dr = ∫[C2] F · dr，即证明路径的不同并不会影响曲线积分的结果。

为了证明路径的无关性，我们可以构造一条新的曲线C，它由曲线C1和C2连接而成。

具体来说，我们可以将曲线C1的终点B与曲线C2的起点A连接起来，形成一条新的曲线C。

考虑曲线C上任意一点P，它既属于曲线C1，又属于曲线C2。

我们将证明在曲线C上，F · dr的积分绝对值必须与F · dr在曲线C1和曲线C2上的积分绝对值之和相等。

由于曲线C是由曲线C1和曲线C2连接而成，我们可以将曲线C的参数范围[a, b]划分为两个部分：[a, c]和[c, b]，其中c是曲线C上点P的参数值。

在参数范围[a, c]上，我们可以将曲线C的参数表示为r(t)，其中t范围为[a, c]，则曲线C1的参数表示可以表示为r1(t)，其中t范围为[a, b]。

同样地，在参数范围[c, b]上，我们可以将曲线C的参数表示为r(t)，其中t范围为[c, b]，则曲线C2的参数表示可以表示为r2(t)，其中t范围为[a, b]。

曲线积分与路径无关的问题之证明第一篇：曲线积分与路径无关的问题之证明设平面上的单连通区域G内分别以A和B两点为起点和终点的弧ρρρ有连续向量函数F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j，要使该函数的曲线积分与路径无关，就有⋯AFB，AEB和弧⋯⎰⋯AEBPdx+Qd=y⎰⋯AFBP+dx,于Qdy是有即⎰⎰⋯AEBPdx+Qdy-⎰⋯Pdx+Qdy=0,AFB⋯AEB⋯Pdx+Qdy+⎰⋯Pdx +Qdy=0,实际上弧⋯AEB和弧BFABFA构成了一封闭曲线L，上式等价为内可以取⋯⎰Pdx+Qdy=0L任意大小。

，记L围起的区域为D，D 在G用格林公式∂Q∂P(-)dxdy=⋯Pdx+Qdy⎰⎰⎰L∂x∂yD，因为⋯⎰∂Q∂PPdx+Qdy=0，得到⎰⎰(-)dxdy=0，又因为L∂x∂yD∂Q∂P∂Q∂P=-=0D可以取任意小，于是有，或者∂x∂y。

这就得到了函数∂x∂y曲面积分与路径无关的条件。

第二篇：曲线积分与格林公式总结一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上,已知曲线形构件在点(x, y)处的线密度为μ(x, y).求曲线形构件的质量.把曲线分成n小段,∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆sn(∆si也表示弧长);任取(ξi ,ηi)∈∆si,得第i小段质量的近似值μ(ξi ,ηi)∆si;整个物质曲线的质量近似为M≈∑μ(ξi,ηi)∆si;i=1n令λ=max{∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆sn}→0,则整个物质曲线的质量为M=lim∑μ(ξi,ηi)∆si.λ→0i=1n这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.定义设L为xOy面内的一条光滑曲线弧,函数f(x,y)在L上有界.在L 上任意插入一点列M1, M2,⋅⋅⋅, Mn-1把L分在n个小段.设第i个小段的长度为∆si,又(ξi,ηi)为第i个小段上任意取定的一点,作乘积f(ξi,ηi)∆si,(i=1, 2,⋅⋅⋅, n),并作和∑f(ξi,ηi)∆si,如果当各小弧i=1n段的长度的最大值λ→0,这和的极限总存在,则称此极限为函数f(x, y)在曲线弧L上对弧长n的曲线积分或第一类曲线积分,记作lim∑f(ξi,ηi)∆si.⎰Lf(x,y)ds,即⎰Lf(x,y)ds=λ→0i=1其中f(x, y)叫做被积函数, L 叫做积分弧段.设函数f(x, y)定义在可求长度的曲线L上,并且有界.将L任意分成n个弧段:∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆sn,并用∆si表示第i段的弧长;在每一弧段∆si上任取一点(ξi,ηi),作和∑f(ξi,ηi)∆si;i=1n令λ=max{∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆sn},如果当λ→0时,这和的极限总存在,则称此极限为函数f(x,y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作n⎰Lf(x,y)ds,即lim∑f(ξi,ηi)∆si.⎰Lf(x,y)ds=λ→0i=1其中f(x, y)叫做被积函数, L 叫做积分弧段.曲线积分的存在性:当f(x, y)在光滑曲线弧L上连续时,对弧长的曲线积分是存在的.以后我们总假定f(x, y)在L上是连续的.⎰Lf(x,y)ds根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分⎰Lμ(x,y)ds的值,其中μ(x, y)为线密度.对弧长的曲线积分的推广:lim∑f(ξi,ηi,ζi)∆si.⎰Γf(x,y,z)ds=λ→0i=1n如果L(或Γ)是分段光滑的,则规定函数在L(或Γ)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和.例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2,则规定⎰L+L12f(x,y)ds=⎰f(x,y)ds+⎰f(x,y)ds.L1L2闭曲线积分:如果L是闭曲线,那么函数f(x, y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作⎰Lf(x,y)ds.对弧长的曲线积分的性质:性质1 设c1、c2为常数,则⎰L[c1f(x,y)+c2g(x,y)]ds=c1⎰Lf(x,y)ds+c2⎰Lg(x,y)ds;性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2,则⎰Lf(x,y)ds=⎰Lf(x,y)ds+⎰L1f(x,y)ds;2性质3设在L上f(x, y)≤g(x, y),则⎰Lf(x,y)ds≤⎰Lg(x,y)ds.⎰Lf(x,y)ds|≤⎰L|f(x,y)|ds 特别地,有|二、对弧长的曲线积分的计算法根据对弧长的曲线积分的定义,如果曲线形构件L的线密度为f(x, y),则曲线形构件L的质量为⎰Lf(x,y)ds.x=ϕ(t), y=ψ(t)(α≤t≤β),另一方面,若曲线L的参数方程为则质量元素为f(x,y)ds=f[ϕ(t), ψ(t)]曲线的质量为即ϕ'2(t)+ψ'2(t)dt,⎰αβf[ϕ(t), ψ(t)]ϕ'2(t)+ψ'2(t)dt.f(x,y)ds=⎰f[ϕ(t), ψ(t)]ϕ'2(t)+ψ'2(t)dt.αβ⎰L定理设f(x, y)在曲线弧L上有定义且连续, L的参数方程为x=ϕ(t), y=ψ(t)(α≤t≤β),其中ϕ(t)、ψ(t)在[α,β]上具有一阶连续导数,且ϕ'2(t)+ψ'2(t)≠0,则曲线积分且⎰Lf(x,y)ds存在,⎰Lf(x,y)ds=⎰f[ϕ(t),ψ(t)]ϕ'2(t)+ψ'2(t)dt(ααβ证明（略）应注意的问题:定积分的下限α一定要小于上限β.讨论:(1)若曲线L的方程为y=ψ(x)(a≤x≤b),则提示:L的参数方程为x=x, y=ψ(x)(a≤x≤b),⎰Lf(x,y)ds=? ⎰Lf(x,y)ds=⎰f[x,ψ(x)]1+ψ'2(x)dx.ab(2)若曲线L的方程为x=ϕ(y)(c≤y≤d),则提示:L的参数方程为x=ϕ(y), y=y(c≤y≤d),⎰Lf(x,y)ds=? ⎰Lf(x,y)ds=⎰cdf[ϕ(y),y]ϕ'2(y)+1dy.(3)若曲Γ的方程为x=ϕ(t), y=ψ(t), z=ω(t)(α≤t≤β),则⎰Γf(x,y,z)ds=?提示:⎰Γf(x,y,z)ds=⎰f[ϕ(t),ψ(t),ω(t)]ϕ'2(t)+ψ'2(t)+ω'2(t)dt.αβ例1 计算⎰Lyds,其中L是抛物线y=x2上点O(0, 0)与点B(1, 1)之间的一段弧.解曲线的方程为y=x2(0≤x≤1),因此⎰L11yds=⎰x21+(x2)'2dx=⎰x1+4x2dx=1(55-1).0012例2 计算半径为R、中心角为2α的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为μ=1).解取坐标系如图所示,则I=曲线L的参数方程为x=Rcosθ, y=Rsinθ(-α≤θ于是I=α⎰Ly2ds.⎰Ly2ds=⎰R2sin2θ(-Rsinθ)2+(Rcosθ)2dθ-α=R3⎰-αsin2θdθ=R(α-sinα cosα).3α例3 计算曲线积分⎰Γ(x2+y2+z2)ds,其中Γ为螺旋线x=acost、y=asint、z=kt上相应于t从0到达2π的一段弧.解在曲线Γ上有x2+y2+z2=(a cos t)2+(a sin t)2+(k t)2=a2+k 2t 2,并且ds=(-asint)2+(acost)2+k2dt=a2+k2dt,于是⎰Γ(x2+y2+z2)ds=⎰(a2+k2t2)a2+k2dt02π=2πa2+k2(3a2+4π2k2).3小结:用曲线积分解决问题的步骤:(1)建立曲线积分;(2)写出曲线的参数方程(或直角坐标方程),确定参数的变化范围;(3)将曲线积分化为定积分;(4)计算定积分.§10.对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念与性质变力沿曲线所作的功:设一个质点在xOy面内在变力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,试求变力F(x, y)所作的功.用曲线L上的点A=A0, A1, A2,⋅⋅⋅, An-1, An=B把L分成n个小弧段,设Ak=(xk , yk),有向线段AkAk+1的长度为∆sk,它与x轴的夹角为τk ,则AkAk+1={cosτk,sinτk}∆sk(k=0, 1, 2,⋅⋅⋅, n-1).→→)显然,变力F(x,y)沿有向小弧段Ak Ak+1所作的功可以近似为F(xk,yk)⋅AkAk+1=[P(xk,yk)cosτk+Q(xk,yk)sinτk]∆sk;于是,变力F(x, y)所作的功W=∑从而W=⎰[P(x,y)cosτ+Q(x,y)sinτ]ds.L这里τ=τ(x, y), {cosτ, sinτ}是曲线L在点(x, y)处的与曲线方向一致的单位切向量.n-1→F(xk,yk)⋅AkAk+1k=1n-1→≈∑[P(xk,yk)cosτk+Q(xk,yk)sinτk]∆sk,k=1把L分成n个小弧段: L1,L2,⋅⋅⋅,Ln;变力在Li上所作的功近似为:F(ξi,ηi)⋅∆si=P(ξi,ηi)∆xi+Q(ξi,ηi)∆yi ;变力在L上所作的功近似为:∑[P(ξi,ηi)∆xi+Q(ξi,ηi)∆yi];i=1nn变力在L上所作的功的精确值:W=limλ→0∑[P(ξi,ηi)∆xi+Q(ξi,ηi)∆yi],i=1其中λ是各小弧段长度的最大值.提示:用∆si={∆xi,∆yi}表示从Li的起点到其终点的的向量.用∆si表示∆si 的模.对坐标的曲线积分的定义:定义设函数f(x, y)在有向光滑曲线L上有界.把L分成n个有向小弧段L1,L2,⋅⋅⋅,Ln;小弧段Li的起点为(xi-1,yi-1),终点为(xi,yi),∆xi=xi-xi-1,∆yi=yi-yi-1;(ξi,η)为Li上任意一点,λ为各小弧段长度的最大值.如果极限limλ→0∑f(ξi,ηi)∆xi总存在,则称此极限为函数i=1n f(x, y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分,记作⎰Lf(x,y)dx,即lim∑f(ξi,ηi)∆xi,⎰Lf(x,y)dx=λ→0i=1如果极限limnλ→0∑f(ξi,ηi)∆yi总存在,则称此极限为函数i=1n f(x, y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分,记作⎰Lf(x,y)dy,即lim∑f(ξi,ηi)∆yi.⎰Lf(x,y)dy=λ→0i=1设L为xOy面上一条光滑有向曲线, {cosτ, sinτ}是与曲线方向一致的单位切向量,函数P(x, y)、Q(x, y)在L上有定义.如果下列二式右端的积分存在,我们就定义n⎰LP(x,y)dx=⎰LP(x,y)cosτds,⎰LQ(x,y)dy=⎰LQ(x,y)sinτds,前者称为函数P(x,y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分,后者称为函数Q(x, y)在有向曲线L上对坐标y的曲线积分,对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分.定义的推广:设Γ为空间内一条光滑有向曲线, {cosα, cosβ, cosγ}是曲线在点(x, y,z)处的与曲线方向一致的单位切向量,函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x, y, z)在Γ上有定义.我们定义(假如各式右端的积分存在) ⎰ΓP(x,y,z)dx=⎰ΓP(x,y,z)cosαds,⎰ΓQ(x,y,z)dy=⎰ΓQ(x,y,z)cosβds,⎰ΓR(x,y,z)dz=⎰ΓR(x,y,z)cosγds.nlim∑f(ξi,ηi,ζi)∆xi,⎰Lf(x,y,z)dx=λ→0i=1lim∑f(ξi,ηi,ζi)∆yi,⎰Lf(x,y,z)dy=λ→0i=1lim∑f(ξi,ηi,ζi)∆zi.⎰Lf(x,y,z)dz=λ→0i=1对坐标的曲线积分的简写形式:nn⎰LP(x,y)dx+⎰LQ(x,y)dy=⎰LP(x,y)dx+Q(x,y)dy;⎰ΓP(x,y,z)dx+⎰ΓQ(x,y,z)dy+⎰ΓR(x,y,z)dz⎰ΓP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz.=对坐标的曲线积分的性质:(1)如果把L分成L1和L2,则⎰LPdx+Qdy=⎰LPdx+Qdy+⎰LPdx+Qdy.2(2)设L是有向曲线弧,-L是与L方向相反的有向曲线弧,则⎰-LP(x,y)dx+Q(x,y)d=-⎰LP(x,y)dx+Q(x,y)dy.两类曲线积分之间的关系:设{cosτi, sinτi}为与∆si同向的单位向量,我们注意到{∆xi,∆yi}=∆si,所以∆xi=cosτi⋅∆si,∆yi=sinτi⋅∆si,lim∑f(ξi,ηi)∆xi ⎰Lf(x,y)dx=λ→0i=1n=limf(ξi,ηi)cosτi∆si=⎰f(x,y)cosτds,∑Lλ→0i=1nnlim∑f(ξi,ηi)∆yi⎰Lf(x,y)dy=λ→0i==limλ→0∑f(ξi,ηi)sinτi∆si=⎰Lf(x,y)sinτds.i=1n即⎰LPdx+Qdy=⎰L[Pcosτ+Qsinτ]ds,⎰LA⋅dr=⎰LA⋅tds.或其中A={P, Q}, t={cosτ, sinτ}为有向曲线弧L上点(x, y)处单位切向量, dr=tds={dx, dy}.类似地有或⎰ΓPdx+Qdy+Rdz=⎰Γ[Pcosα+Qcosβ+Rcosγ]ds,⎰ΓA⋅dr=⎰ΓA⋅tds=⎰ΓAtds.其中A={P, Q, R}, T={cosα, cosβ, cosγ}为有向曲线弧Γ上点(x, y, z)处单们切向量, dr=T ds ={dx, dy, dz }, A t为向量A在向量t上的投影.二、对坐标的曲线积分的计算:定理:设P(x, y)、Q(x, y)是定义在光滑有向曲线 L: x=ϕ(t), y=ψ(t),上的连续函数,当参数t单调地由α变到β时,点M(x, y)从L的起点A沿L运动到终点B,则讨论:提示:β⎰LP(x,y)dx=⎰αP[ϕ(t),ψ(t)]ϕ'(t)dt,⎰LQ(x,y)dy=⎰Q[ϕ(t),ψ(t)]ψ'(t)dt.αβ⎰LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=？⎰LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=⎰{P[ϕ(t),ψ(t)]ϕ'(t)+Q[ϕ(t),ψ(t)]ψ'(t)}dt.αβ定理:若P(x, y)是定义在光滑有向曲线L:x=ϕ(t), y=ψ(t)(α≤t≤β)上的连续函数, L的方向与t的增加方向一致,则β⎰LP(x,y)dx=⎰αP[ϕ(t),ψ(t)]ϕ'(t)dt.简要证明:不妨设α≤β.对应于t点与曲线L的方向一致的切向量为{ϕ'(t),ψ'(t)},所以cosτ=ϕ'(t),22ϕ'(t)+ψ'(t)从而⎰LP(x,y)dx=⎰LP(x,y)cosτds=β⎰αβP[ϕ(t),ψ(t)]ϕ'(t)ϕ'2(t)+ψ'2(t)dtϕ'2(t)+ψ'2(t)=⎰αP[ϕ(t),ψ(t)]ϕ'(t)dt.应注意的问题:下限a对应于L的起点,上限β对应于L的终点,α不一定小于β.例1.计算⎰Lxydx,其中L为抛物线y=x上从点A(1,-1)到点B(1, 1)的一段弧.2解法一:以x为参数. L分为AO和OB两部分:AO的方程为y=-x, x从1变到0; OB 的方程为y=x, x从0变到1.因此⎰Lxydx=⎰AOxydx+⎰OBxydx=⎰1x(-10x)dx+⎰xxdx=2⎰0113x2dx=4. 05第二种方法:以y为积分变量. L的方程为x=y2, y从-1变到1.因此.22'4xydx=yy(y)dy=2ydy=⎰L⎰-1⎰-151例2.计算⎰Ly2dx.(1)L为按逆时针方向绕行的上半圆周x2+y2=a2 ;(2)从点A(a, 0)沿x轴到点B(-a,0)的直线段.解(1)L 的参数方程为 x=a cosθ, y=a sinθ,θ从0变到π.因此4a3.22232ydx=asinθ(-asinθ)dθ=a(1-cosθ)dcosθ=-⎰L⎰0⎰032-aππ(2) L的方程为y=0, x从a变到-a.因此⎰Lydx=⎰a0dx=0.2例3计算⎰L2xydx+x2dy.(1)抛物线y=x上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧;(2)抛物线x=y2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧;(3)从O(0, 0)到A(1, 0),再到R(1, 1)的有向折线OAB .解(1)L: y=x2, x从0变到1.所以⎰L2xydx+x2dy=⎰(2x⋅x2+x2⋅2x)dx=4⎰x3dx=1.0021211(2)L: x=y2, y从0变到1.所以⎰L2xydx+xdy=⎰0(2y⋅y⋅2y+y)dy=5⎰y4dy=1 .041(3)OA: y=0, x从0变到1; AB: x=1, y从0变到1.⎰L2xydx+x2dy=⎰OA2xydx+x2dy+⎰AB2xydx+x2dy=(2x⋅0+x2⋅0)dx+(2y⋅0+1)dy=0+1=1.⎰01⎰01例4.计算⎰Γx3dx+3zy2dy-x2ydz,其中Γ是从点A(3, 2, 1)到点B(0,0, 0)的直线段AB.解:直线AB的参数方程为x=3t, y=2t, x=t,t从1变到0.所以所以I=87.3223[(3t)⋅3+3t(2t)⋅2-(3t)⋅2t]dt=87tdt=-⎰1⎰1400例5.设一个质点在M(x, y)处受到力F的作用, F的大小与M到原点O的距离成正比, Fx2+y2=1的方向恒指向原点.此质点由点A(a,0)沿椭圆2按逆时针方向移动到点B(0,b),2ab 求力F所作的功W.x2+y2=1例5.一个质点在力F的作用下从点A(a, 0)沿椭圆2按逆时针方向移动到点ab2B(0, b), F的大小与质点到原点的距离成正比,方向恒指向原点.求力F所作的功W.解:椭圆的参数方程为x=acost, y=bsint , t从0变到→π.r=OM=xi+yj, F=k⋅|r|⋅(-其中k>0是比例常数.r)=-k(xi+yj),|r|)xdx+ydy.于是W=⎰)-kxdx-kydy=-k⎰A ABB=-k⎰02(-a2costsint+b2sintcost)dt⎰ππ=k(a2-b2)02sintcostdt=k(a2-b2).三、两类曲线积分之间的联系由定义,得⎰LPdx+Qdy=⎰L(Pcosτ+Qsinτ)ds ⎰L⎰L={P,Q}⋅{cosτ,sinτ}ds=F⋅dr,其中F={P, Q}, T={cosτ, sinτ}为有向曲线弧L上点(x, y)处单位切向量, dr=Tds={dx, dy}.类似地有⎰ΓPdx+Qdy+Rdz=⎰Γ(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds ⎰Γ⎰Γ={P,Q,R}⋅{cosα,cosβ,cosγ}ds=F⋅dr.其中F={P, Q, R}, T={cosα, cosβ, cosγ}为有向曲线弧Γ上点(x, y, z)处单们切向量, dr=T ds ={dx, dy, dz }.一、格林公式单连通与复连通区域:设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.对平面区域D的边界曲线L,我们规定L的正向如下:当观察者沿L 的这个方向行走时, D内在他近处的那一部分总在他的左边.区域D的边界曲线L的方向:定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数P(x,y)及Q(x, y)在D上具有一阶连续偏导数,则有⎰⎰(D∂Q∂P-)dxdy=⎰Pdx+Qdy,L∂x∂y其中L是D的取正向的边界曲线.简要证明:仅就D即是X－型的又是Y－型的区域情形进行证明.设D={(x, y)|ϕ1(x)≤y≤ϕ2(x), a≤x≤b}.因为∂P连续,所以由二重积分的计算法有∂y∂Pdxdy=b{ϕ2(x)∂P(x,y)dy}dx=b{P[x,ϕ(x)]-P[x,ϕ(x)]}dx.21⎰⎰∂y⎰a⎰ϕ1(x)∂y⎰aD另一方面,由对坐标的曲线积分的性质及计算法有⎰LPdx=⎰LPdx+⎰LPdx=⎰aP[x,ϕ1(x)]dx+⎰bP[x,ϕ2(x)]dx12ba={P[x,ϕ1(x)]-P[x,ϕ2(x)]}dx.因此-⎰ab∂Pdxdy=Pdx.⎰⎰∂y⎰LD设D={(x, y)|ψ1(y)≤x≤ψ2(y), c≤y≤d}.类似地可证∂Q⎰⎰∂xdxdy=⎰LQdx.D由于D即是X－型的又是Y－型的,所以以上两式同时成立,两式合并即得⎛∂Q∂P⎫-⎪dxdy=⎰Pdx+Qdy.⎰⎰L∂x∂y⎭D⎝应注意的问题:对复连通区域D,格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分,且边界的方向对区域D来说都是正向.设区域D的边界曲线为L,取P=-y, Q=x,则由格林公式得2⎰⎰dxdy=⎰Lxdy-ydx,或A=⎰⎰dxdy=2⎰Lxdy-ydx.D1D例1.椭圆x=a cosθ, y=b sinθ所围成图形的面积A.分析:只要∂Q∂P∂Q-=1,就有⎰⎰(-∂P)dxdy=⎰⎰dxdy=A.∂x∂y∂x∂yDD解:设D是由椭圆x=acosθ, y=bsinθ所围成的区域.令P=-1y, Q=1x,则∂Q-∂P=1+1=1.∂x∂y2222于是由格林公式,A=1ydx+1xdy=1-ydx+xdy dxdy=-⎰⎰⎰L222⎰LD=2π112π(absin22θ+abcosθ)dθ=ab⎰dθ=πab.⎰0220例2 设L是任意一条分段光滑的闭曲线,证明⎰L2xydx+x2dy=0.∂Q∂P-=2x-2x=0.∂x∂y证:令P=2xy,Q=x2,则因此,由格林公式有⎰L2xydx+x2dy=±⎰⎰0dxdy=0.(为什么二重积分前有“±”号？) D2例3.计算⎰⎰e-ydxdy,其中D是以O(0, 0), A(1, 1), B(0, 1)为顶点的三角形闭区域.D分析:要使∂Q∂P-y22-=e,只需P=0, Q=xe-y.∂x∂y2解:令P=0, Q=xe-y,则∂Q∂P-y2-=e.因此,由格林公式有∂x∂y-y2⎰⎰eD-y2dxdy=OA+AB+BO⎰xedy=⎰xeOA-y2dy=⎰xe-xdx=1(1-e-1).0212例4 计算xdy-ydx⎰Lx2+y2,其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L的方向为逆时针方向.-y∂Qy2-x2∂Px22解:令P=2, Q=2.则当x+y≠0时,有.==∂x(x2+y2)2∂yx+y2x+y2记L 所围成的闭区域为D.当(0,0)∉D 时,由格林公式得xdy-ydx⎰Lx2+y2=0;当(0, 0)∈D时,在D内取一圆周l: x2+y2=r 2(r>0).由L及l围成了一个复连通区域D 1,应用格林公式得xdy-ydxxdy-ydx⎰Lx2+y2-⎰lx2+y2=0,其中l的方向取逆时针方向.2πr2cos2θ+r2sin2θxdy-ydxxdy-ydxdθ=2π.=⎰22 =⎰于是⎰0Lx2+y2lx+yr2解记L 所围成的闭区域为D.当(0, 0)∉D时,由格林公式得xdy-ydx∂Q∂P=(⎰Lx2+y2⎰⎰∂x-∂y)dxdy=0.D当(0, 0)∈D时,在D内取一圆周l: x2+y2=r2(r>0).由L及l围成了一个复连通区域D1,应用格林公式得xdy-ydx∂Q∂P=(⎰L+lx2+y2⎰⎰∂x-∂y)dxdy=0,D1即xdy-ydxxdy-ydx⎰Lx2+y2+⎰lx2+y2=0,其中l的方向取顺时针方向.于是xdy-ydxxdy-ydx2πr2cos2θ+r2sin2θdθ=2π.=⎰Lx2+y2⎰l-x2+y2=⎰0r2-y∂Qy2-x2∂Px22分析:这里P=2,Q=2,当x+y≠0时,有.==∂x(x2+y2)2∂yx+y2x+y2第三篇：曲线积分与曲面积分重点总结+例题高等数学教案曲线积分与曲面积分第十章曲线积分与曲面积分【教学目标与要求】1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

曲线积分和路径无关的条件一、引言曲线积分是微积分中的重要概念，用于计算沿曲线上的向量场的工作量或环流。

在某些情况下，曲线积分的结果与路径无关，即无论路径如何选择，得到的结果都是相同的。

本文将详细探讨曲线积分和路径无关的条件及其重要性。

二、曲线积分的定义曲线积分是对曲线上的向量场沿路径进行积分的过程。

设曲线为C，向量场为F，曲线积分的计算公式如下：其中，C为曲线，F为向量场，d?为曲线元素。

三、曲线积分的路径无关性曲线积分的路径无关性意味着积分结果与路径的选择无关。

换句话说，不同路径下的曲线积分结果相同。

这对于简化计算和研究向量场的特性非常重要。

四、证明路径无关的条件1. 梯度场的路径无关性如果向量场F是某个标量场ϕ的梯度场，即F=∇ϕ，那么曲线积分就与路径无关。

这是因为∇ϕ是保守场，曲线积分只与起点和终点有关。

2. 保守场的路径无关性如果向量场F是保守场，即存在一个标量场ϕ，使得F=∇ϕ，那么曲线积分也与路径无关。

这是因为保守场的环流为零，曲线积分只与起点和终点有关。

3. 围道积分的路径无关性如果曲线C是一个简单闭合曲线，且向量场F在C内部处处连续，那么围道积分也与路径无关。

围道积分表示在闭合曲线内部的曲线积分。

4. 向量场的旋度为零如果向量场F的旋度为零，即∇×F=0，那么曲线积分与路径无关。

旋度为零表明向量场没有局部旋转性，因此曲线积分结果是路径无关的。

五、曲线积分和路径无关的重要性曲线积分和路径无关的条件在物理学和工程学中具有重要应用。

以下是一些应用示例：1. 势能函数和功在物理学中，势能函数可以表示为标量场ϕ，并且力场可以表示为梯度场F=∇ϕ。

根据路径无关性，势能函数的变化只与起点和终点有关，与路径无关。

势能函数的变化等于沿任意路径的曲线积分，这样可以简化势能的计算。

2. 电场和电势在电磁学中，电场可以表示为向量场E。

如果电场是一个保守场（旋度为零），那么曲线积分和路径无关。

在这种情况下，电场可以表示为电势的梯度，即E=∇V，其中V是电势函数。

微积分中的曲线积分与路径无关性研究曲线积分是微积分中的重要概念，用于计算曲线上的积分值。

在微积分的学习中，我们经常遇到这样一个问题：曲线积分的结果是否与路径的选择相关？这个问题引发了很多讨论和研究，最终得出了路径无关性的结论。

本文将深入探讨微积分中的曲线积分与路径无关性的研究结果。

1. 曲线积分的定义曲线积分是微积分中用来计算曲线上的函数值的方法。

它是将函数沿着指定路径的弧长进行积分的过程，通常表示为∮f(x,y)ds。

其中，f(x,y)是曲线上的函数，ds表示路径的弧长元素。

曲线积分可以用来求解曲线上的质量、质心、流量等物理问题，是应用广泛的工具。

2. 路径无关性的概念路径无关性是指，如果两条曲线的起点和终点相同，且曲线上的函数在这两条曲线上有相同的连续导数，则曲线积分的结果是相同的。

也就是说，曲线积分的结果只与积分函数f(x,y)在曲线上的取值有关，而与具体的路径选择无关。

3. 曲线积分与路径无关性的证明要证明曲线积分的路径无关性，可以通过参数化曲线、做路径分割、使用定理等方法进行推导。

其中最重要的是格林公式和斯托克斯公式。

格林公式是指二维空间中的曲线积分与曲线所围成的区域的面积之间的关系。

它通过对曲线进行参数化，将曲线积分转化为两个变量的重积分。

格林公式的证明过程中，不涉及路径的选择，因此曲线积分的结果与路径无关。

斯托克斯公式是指三维空间中的曲线积分与曲线所围成的曲面的积分之间的关系。

它通过将曲线所围成的曲面分成小面元，然后对每个小面元应用格林公式得到结果。

由于小面元的选择不影响最后的结果，所以曲线积分的路径无关性得到了证明。

4. 曲线积分的应用曲线积分在物理学、工程学、计算机图形学等领域有广泛的应用。

例如，它可以用来计算电场沿着闭合路径的环路积分，从而得到电势差；在流体力学中，曲线积分可以用来计算液体沿着曲线的流量；在计算机图形学中，曲线积分可以用来计算光线在曲线路径上的衰减。

总结：微积分中的曲线积分与路径无关性是一个重要的研究课题。

证明曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关是微积分中一个重要的结论，它在物理、工程学和数学领域都有着广泛的应用。

在这篇文章中，我们将从定义、性质和证明三个方面详细介绍曲线积分与路径无关的原理。

首先，我们来回顾一下曲线积分的定义。

设有一曲线C，其参数方程为x=f(t)，y=g(t)，a≤t≤b。

曲线积分的定义是通过对曲线上的每一点的函数值与微元弧长的乘积进行累加，从而得到一个数值。

曲线积分可以分为第一类和第二类曲线积分，其中第一类曲线积分是对于标量函数的积分，而第二类曲线积分是对于矢量函数的积分。

其次，我们来讨论曲线积分与路径无关的性质。

具体来说，如果两条曲线C1和C2具有相同的起点和终点，并且在同一方向上遍历，即两条曲线的参数范围相同且方向相同，那么曲线积分就与路径无关。

这个性质非常重要，因为它意味着我们可以选择任意一条与曲线C有相同起点和终点的路径来计算曲线积分，而不必考虑具体的路径形状。

这简化了计算过程，提高了效率。

最后，我们来证明曲线积分与路径无关的原理。

假设有两条曲线C1和C2，它们都具有相同的起点A和终点B，并且在同一方向上遍历。

我们可以将曲线C1和C2连接起来，形成一条新的曲线C，即先沿着C1从A到B，再沿着C2从B到A。

根据路径无关性质的定义，我们知道对于整条曲线C的曲线积分可以表示为两段曲线C1和C2的积分之和。

即∮Cf(x,y)ds=∮C1f(x,y)ds+∮C2f(x,y)ds。

然而，由于C是由C1和C2连接而成的闭合曲线，我们可以将上式进一步化简为∮Cf(x,y)ds=0，其中0表示积分结果为零。

这样，我们就得到了曲线积分与路径无关的证明。

无论我们选择哪条具有相同起点和终点的路径，只要它们在同一方向上遍历，曲线积分的结果都将相同且为零。

这个证明表明了曲线积分在具有相同起点和终点的路径上是保持不变的，说明曲线积分与路径无关。

综上所述，曲线积分与路径无关是一条重要的数学原理，它简化了计算过程，提高了效率。

曲线积分与路径无关问题1. 第一型曲线积分(1)对弧长的曲线积分的模型：设给定一条平面曲线弧L ：AB ,其线密度为),(y x ρ求弧AB 的质量m 。

⎰=Lds y x f m ),(,(2)若BA L AB L ==21,，则⎰1),(L ds y x f =⎰2),(L ds y x f ，即对弧长的曲线积分与积分弧段有关,但与积分弧段的方向无关。

(3)对弧长的曲线积分的计算设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ ，)(βα≤≤t ,其中)(t ϕ、)(t ψ在[]βα,上具有一阶连续导数，且0)()(2'2'≠+t t ψϕ，则曲线积分⎰Lds y x f ),(存在，且⎰Lds y x f ),(=[]dt t t t t f )()()(),(2'2'ψϕψϕβα+⋅⎰ )(βα<特别,当1),(=y x f 时,⎰Lds y x f ),(表示曲线弧L 的弧长。

当曲线弧L 的方程为)(x g y = )(b x a ≤≤，)(x g 在[]b a ,上有连续的导数，则⎰Lds y x f ),(=[]dx x g x g x f da)(1)(,2'+⋅⎰；把线弧L 的方程为)(x f y =化作参数方程⎩⎨⎧==)(x g y xx ，)(b x a ≤≤，⎰Lds y x f ),(=[]dy y h y y h f dc)(1),(2'+⋅⎰ )(d y c ≤≤2. 第二型曲线积分(1) 第二型曲线积分的模型: 设有一平面力场j y x Q i y x P y x F ),(),(),(+=，其中),(),,(y x Q y x P 为连续函数,一质点在此力场的力作用下，由点A 沿光滑曲线L 运动到点B ，求力场的力所作的功W 。

dy y x Q dx y x P W L),(),(+=⎰，(2)设L 为有向曲线弧，L -为与L 方向相反的有向曲线弧，则dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰dy y x Q dx y x P L),(),(+-=⎰-即第二型曲线积分方向无关(3)设xoy 平面上的有向曲线L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ ，当参数t 单调地由α变到β时,曲线的点由起点A 运动到终点B ,)(t ϕ、)(t ψ在以α及β为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且0)()(2'2'≠+t t ψϕ，函数),(y x P 、),(y x Q 在L 上连续，则曲线积分dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰存在，且⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(=[][]{}dt t t t Q t t t P ⎰+βαψψϕϕψϕ)()(),()()(),(''这里的α是曲线L 的起点A 所对应的参数值，β是曲线L 的终点B 所对应的参数值，并不要求βα<。