高等数学 第二类曲线积分与路径无关问题

多元微积分 . 题库课（五） 第二类曲线积分及积分与路径无关一、讨论题： 1．证明：0)(lim 222=++-⎰+∞→L R y xy x xdy ydx ，其中L 为正向圆周222R y x =+。

2．设),(),,(y x Q y x P 在曲线L 上连续，l 记曲线L 的长度。

),(),(max 22),(y x Q y x P M Ly x +=∈。

试证明：Ml dy y x Q dx y x P L≤+⎰),(),(3．计算)1ln(22+++⎰y x ydyxdx L， L 为任意不经过原点的闭曲线。

4．已知积分M yx ydxxdy L≡+-⎰2)(ϕ，M 为常数，其中1)(C x ∈ϕ，且1)1(=ϕ，L 围绕原点一周的任意正向闭曲线，求M x 及)(ϕ。

*5．设2)(C x f ∈，0)0(=f ，1)0(='f ，且⎰'+++'-Cxdy x f ydx ex f x f )(]4)(6)([与路径无关，试计算 dy x f ydx e x f x f I x )(]4)(6)([)1,1()0,0('+++'=-⎰。

6．计算221222cybxy ax ydx xdy I y x ++-=⎰=+，其中0,02>->bac a 。

7．计算dz y x dy x z dx z y IL)()()(222222+++++=⎰。

其中⎩⎨⎧=+=++rxy x Rx z y x L 22:22222， R r <<0，从z 轴正向看逆时针方向。

8． 设对任意点200),(R D y x ⊂∈，D 为开集，沿以),(00y x 点为圆心的上半圆c 的第二类曲线积分⎰=+c dy y x Q dx y x P 0),(),(，其中)(),(),,(1D C y x Q y x P ∈，试证明：0),(≡y x P ，D y x ∈∀),(。

§ 22.2曲线积分和路径的无关性引言第二类曲线积分不仅与曲线的起点和终点有关， 而且也与所沿的积分路径有关。

对同一个起点和同一个重点， 沿不同的路径所得到的第二类曲线积分一般是不相同的。

在什么样的 条件下第二类曲线积分与积分路径无关而仅与曲线的起点和重点有关呢？下面我们在平面 中情形来讨论这个问题。

定理1：若函数P x,y ，Q x, y 在区域D 上有连续的偏导数，D 是单连通区域，则 F 列命题等价：⑴对D 内任意一条闭曲线C ，有P x,y dx Q x, y dy 0。

C⑵对D 内任意一条闭曲线I ，曲线积分P x, y dx Q x, y dyI与路径无关（只依赖曲线的端点）。

⑶存在可微函数 U x, y ，使得D 内成立dU Pdx Qdy ；P Q⑷ 在D 内处处成立。

y x定义1：当曲线积分和路径无关时， 即满足上面的诸条件时，如令点A x o ,y o 固定而点 B x, y 为区域内任意一点，那么x,yU x, y Pdx Qdy x o ,y o在D 内连续并且单值。

这个函数 U x,y 称为Pdx Qdy 的原函数。

原函数的求法:（1）U x,y x P x, y dx x yQ x0, y dy C ；y o或x y（2）U x, y P x,y ° dx Q x, y dy C 。

y o 例1 :求原函数u(1) x2 2xy y2 dx x2 2xy y2 dy；2 2(2) 2xcosy y sinx dx 2ycosx x siny dy。

定义2：只绕奇点M —周的闭路上的积分值叫做区域D的循环常数，记为。

于是，对D内任一闭路CC Pdx Qdy n ,这里n为沿逆时针方向绕M的圈数。

例2：证明；xd x 今关于奇点的循环常数是0,0，从而积分与路径无关。

x y。

证明曲线积分在整个xoy面内与路径无关
曲线积分与路径无关的充要条件是：区域d是一个单连通域，函数p(x,y)及q(x,y)在d上有一阶连续偏导数，ap/ay=aq/ax。

对于满足一些条件的曲线，起点和终点的位置固定，沿不同的路线积分，其积分值相同，即曲线积分只与起点和终点有关，与路线的选取无关。

曲线积分分为：
（1）对弧长的曲线分数（第一类曲线分数）
（2）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）
两种曲线分数的区别主要是分数元素的差别，对弧长的曲线分数的分数元素就是弧长元素ds。

比如：对l的曲线分数∫f(x,y)*ds 。

对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对l’的曲线积分∫p （x,y）dx+q(x,y)dy。

但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。

(1)平面上的单相连区域与为丛藓科扭口藓相连区域
设d是平面xy.上的区域。

如果d内的任何封闭曲线l所围成的区域di，恒有d; c d ,则d称为单连通区域;否
则，d称作为丛藓科扭口藓相连区域。

(2)平面曲线积分与路径无关的条件
定理1 [1] 设d就是平面xy.上的单相连闭合区域，函数p(x, y)与q(x,y) 在d内具备一阶已连续略偏导数，则以下1° ~ 4°。

探究第二类曲线积分与路径无关的条件
第二类曲线积分又称为弧长积分，是一个沿曲线的长度积分。

对于一个向量场F，我们希望找到一个路径无关性条件，使得F沿一条从A到B的路径的积分等于F沿另一条路径的积分，从而简化积分的计算。

首先我们需要了解一个概念：保守场。

如果一个向量场F满足一定条件，那么F就是保守场，这意味着路径积分只与A、B两点的位置有关，即与路径无关。

具体而言，F是连续可微的，并且满足旋度为零的条件，即curl F=0。

这个条件表明，F的散度为零，即场的通量经过任意一个闭合曲面都等于零。

总之，保守场是第二类曲线积分与路径无关的条件之一。

另外一个条件是单连通域。

一个域是单连通的，当且仅当从该域中任意一点出发的任意路径都可以被连续地收缩为一个点。

单连通域的存在保证了积分的路径无关性。

具体来说，如果F定义在单连通域上，F满足连续和可微的条件，并且：
∮_γF·ds=0
对于该域中任意两点A、B以及连接它们的任意两条路径都成立。

当然，这个定理的证明需要一定的拓扑学知识，这里不再详细阐述。

综上所述，第二类曲线积分与路径无关的条件包括保守场和单连通域。

在实际问题中，我们需要根据给定的向量场和曲线来判断是否满足这些条件，以确保积分的计算是正确的。

曲线积分与路径无关问题1. 第一型曲线积分(1)对弧长的曲线积分的模型：设给定一条平面曲线弧L ：AB ,其线密度为),(y x ρ求弧AB 的质量m 。

⎰=Lds y x f m ),(,(2)若BA L AB L ==21,，则⎰1),(L ds y x f =⎰2),(L ds y x f ，即对弧长的曲线积分与积分弧段有关,但与积分弧段的方向无关。

(3)对弧长的曲线积分的计算设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ ，)(βα≤≤t ,其中)(t ϕ、)(t ψ在[]βα,上具有一阶连续导数，且0)()(2'2'≠+t t ψϕ，则曲线积分⎰Lds y x f ),(存在，且⎰Lds y x f ),(=[]dt t t t t f )()()(),(2'2'ψϕψϕβα+⋅⎰ )(βα<特别,当1),(=y x f 时,⎰Lds y x f ),(表示曲线弧L 的弧长。

当曲线弧L 的方程为)(x g y = )(b x a ≤≤，)(x g 在[]b a ,上有连续的导数，则⎰Lds y x f ),(=[]dx x g x g x f da)(1)(,2'+⋅⎰；把线弧L 的方程为)(x f y =化作参数方程⎩⎨⎧==)(x g y xx ，)(b x a ≤≤，⎰Lds y x f ),(=[]dy y h y y h f dc)(1),(2'+⋅⎰ )(d y c ≤≤2. 第二型曲线积分(1) 第二型曲线积分的模型: 设有一平面力场j y x Q i y x P y x F ),(),(),(+=，其中),(),,(y x Q y x P 为连续函数,一质点在此力场的力作用下，由点A 沿光滑曲线L 运动到点B ，求力场的力所作的功W 。

dy y x Q dx y x P W L),(),(+=⎰，(2)设L 为有向曲线弧，L -为与L 方向相反的有向曲线弧，则dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰dy y x Q dx y x P L),(),(+-=⎰-即第二型曲线积分方向无关(3)设xoy 平面上的有向曲线L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ ，当参数t 单调地由α变到β时,曲线的点由起点A 运动到终点B ,)(t ϕ、)(t ψ在以α及β为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且0)()(2'2'≠+t t ψϕ，函数),(y x P 、),(y x Q 在L 上连续，则曲线积分dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰存在，且⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(=[][]{}dt t t t Q t t t P ⎰+βαψψϕϕψϕ)()(),()()(),(''这里的α是曲线L 的起点A 所对应的参数值，β是曲线L 的终点B 所对应的参数值，并不要求βα<。

曲线积分与路径无关性的应用摘要：本文介绍了第二型曲线积分与路径无关的四个等价条件，并结合实例说明了此定理的应用：计算曲线积分、求原函数、求微分方程的解、求微分方程中的未知函数，特别是在求未知函数的例子中，解决了与之相关的一系列利用曲线积分与路径无关性求微分方程中的未知函数的问题。

关键词：曲线积分全微分全微分方程路径对于第二型曲线积分，一般来说其积分值不仅与积分曲线的起点和终点位置有关，而且即便是同样的起点和终点，若沿的路线不同，其积分值也可能不同。

但是在一定的条件下，第二型曲线积分完全可以做到与积分曲线的路线无关，只与曲线的起点和终点位置有关，这就是下面介绍的定理：定理设是单连通闭区域，函数在区域内连续，且有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价：(1) 沿内任一按段光滑的闭曲线，有；(2)对内任一按段光滑的曲线，曲线积分与路线无关，只与的起点和终点有关；(3)是内某一函数的全微分；(4)在内每一点处有。

此定理的主要应用是在求第二型曲线积分中，若在单连通闭区域内可以做到，则沿内任一按段光滑的曲线，曲线积分只与的起点和终点有关，从而可以选择合适的路线（一般是折线）。

但是由于在定理的条件下，还等价于是内某一函数的全微分，故此定理还可以运用于与全微分方程相关的一些微分方程的求解。

现将此定理的应用总结如下：1 此定理可用来求曲线积分例1 设为圆周的上半圆，顺时针方向。

求曲线积分。

解：令，，则在不包含曲线的任何区域都有由定理知，在曲线的上方或下方区域内沿任何按段光滑曲线的曲线积分与路径无关，而在曲线的上方，故只要起点和终点与相同，则沿曲线的上方任一按段光滑曲线的曲线积分都与所求积分相同。

设的起点为，终点，，，由上面的讨论可知，原曲线积分与沿折线上的曲线积分相同。

故因在区间上是奇函数，故，从而。

注意：虽然沿直线上的曲线积分计算量要少，但是与所求曲线积分值却不同，这是因为直线含曲线上的点。

因此运用此定理时要特别注意定理的条件：是单连通闭区域，在内且有一阶连续偏导数。

曲线积分与路径无关
在多元函数的积分中，从起点到终点可以有无数条积分路径。

有的时候，无论选择哪一条路径，积分结果不变，只和起点和终点有关，那么这就是积分与路径无关。

这种情况在“场”的概念下常见。

曲线积分在区域内与路径无关的充分必要条件是：对于内任意一条简单逐段光滑闭曲线，沿的曲线积分为零，即：既然该曲线积分在对应区域内任意一条闭合曲线积分都等于零，又因为对于之间任意给定的两条路径，总是可以构成一条闭合曲线，那么该矢量函数在任何路径上的积分都相等，也即积分与路径无关。

曲线积分与路径无关问题1. 第一型曲线积分(1) 对弧长的曲线积分的模型：设给定一条平面曲线弧L : AB,其线密度为「(x,y)求弧AB的质量m。

m =L f (x, y)ds ,⑵若L^ AB, L^ BA，贝U L f(x,y)ds= L f(x, y)ds，即对弧长的曲线积分■Li"L2与积分弧段有关，但与积分弧段的方向无关。

(3)对弧长的曲线积分的计算设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为」x"(t),片屮(t)(：rt冬'-),其中(t)、(t)在J」上具有一阶连续导数，且」2(t)宀'2(t) = 0, 则曲线积分［f (x, y)ds存在，且(t)r‘2(t)dt (: J)特别，当f(x,y)=1时,〔f(x,y)ds L f (x, y)ds=「f “t)「⑴丨T2表示曲线弧L的弧长。

当曲线弧L的方程为y=g(x) (a乞x乞b), g(x)在a,b】上有连续的导数，则f f (x,y)ds= a f Rg(x)】J l + g'2(x)dx ；L arx = x把线弧L的方程为y=f(x)化作参数方程丿,(a兰x^b),^ = g(x)L f (x, y)ds= f f 片(y),yhjl +h'2(y)dy (c 疋y Md)2. 第二型曲线积分(1) 第二型曲线积分的模型：设有一平面力场F(x, y)二P(x, y)i Q(x,y)j ,其中P(x, y),Q(x, y)为连续函数，一质点在此力场的力作用下，由点A沿光滑曲线L运动到点B，求力场的力所作的功WW = [ P(x, y)dx +Q(x, y)dy ,(2) 设L为有向曲线弧，-L为与L方向相反的有向曲线弧，则L P(x, y)dx Q(x, y)d^ -丄P(x, y)dx Q(x, y)dy即第二型曲线积分方向无关"x=d(t) 一(3) 设xoy平面上的有向曲线L的参数方程为丿'丿，当参数t单调地由ot(t)变到1时，曲线的点由起点A运动到终点B, (t)、(t)在以〉及为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且：:'2(t)」「'2(t) = 0，函数P(x, y)、Q(x,y)在L上连续,则曲线积分l P(x, y)dx Q(x, y)dy存在，且P(x,y)dx Q(x, y)dy= 中；:(t)「(t) ：'(t) Q ：:(t),‘- (t)】这里的〉是曲线L的起点A所对应的参数值，1是曲线L的终点B所对应的参数值，并不要求〉：：：1 o若曲线L的方程为y二f (x), x = a对应于L的起点，x二b应于L的终点，则L P(x, y)dx Q(x, y)dy = ^ P -x, f (x)〕Q f (x) If (x) dx ;若曲线L的方程为x =g(y), y =c对应于L的起点，y =d应于L的终点，则(p(x, y)dx +Q(X, y)dy = f Sb(y),y右(y) +Q^(y),y山y。

曲面积分与路径无关条件一、曲面积分的概念曲面积分是研究向量场在曲面上的积分，它是向量分析中的重要内容。

曲面积分可以用来计算物理学中的电场、磁场等物理量。

二、曲面积分的计算方法1.第一类曲面积分第一类曲面积分是指被积函数只与曲面上点的位置有关，与法向量无关。

计算公式为：∬Sf(x,y,z)dS=∫∫Df(x,y,z)∣r_u×r_v∣dudv其中，D为曲面S在uv平面上的投影区域，r(u,v)为参数方程。

2.第二类曲面积分第二类曲面积分是指被积函数同时与位置和法向量有关。

计算公式为：∬Sf(x,y,z)ds=±∫∫Df(x,y,z)·n(x,y,z)dxdy其中，±表示取正负号，D为投影区域，n(x,y,z)为单位法向量。

三、路径无关条件路径无关条件是指对于一个向量场F，在同一起点和终点之间的两条不同路径所做的线积分相等。

即：C1：r1(t)，a≤t≤bC2：r2(t)，a≤t≤b∫C1F·dr=∫C2F·dr四、路径无关条件与保守场保守场是指存在一个标量函数φ(x,y,z)，使得F=∇φ。

对于保守场，路径无关条件成立。

因为：∫C1F·dr=∫C1(∇φ)·dr=φ(B)−φ(A)∫C2F·dr=∫C2(∇φ)·dr=φ(B)−φ(A)所以，对于保守场，只需要知道起点和终点就可以计算线积分。

五、曲面积分与路径无关条件对于一个向量场F在曲面S上的曲面积分，如果满足路径无关条件，则可以用高斯公式进行计算。

高斯公式为：∬S(F·n)dS=∭V(div F)dV其中，n为单位法向量，div F为向量场F的散度。

六、应用举例例如，在电磁学中，电荷密度ρ产生的电场强度E是一个向量场，在某个闭合曲面S内部的电通量可以表示为：ΦE=∬SE·dS根据高斯公式可得：ΦE=1/ε0 ∭VρdV其中，ε0为真空介质中的介电常数。

曲线积分与路径无关性的证明在微积分中，曲线积分是一种重要的概念，它可以用来计算曲线上的某个向量场或标量场的总效应。

其中一个重要的性质是曲线积分与路径无关，即结果仅取决于起点和终点，而与路径的形状无关。

本文将对曲线积分与路径无关性进行证明。

假设有一条曲线C，它的起点为点A，终点为点B，我们希望证明路径的不同并不会影响曲线积分的结果。

首先，我们需要明确曲线积分的定义。

对于一个向量场F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j，其中P(x, y)和Q(x, y)分别是x和y的函数，曲线积分的计算公式如下：∫[C] F · dr = ∫[a, b] F(r(t)) · r'(t) dt其中，C是曲线，r(t)是曲线C上一个参数化表示，a和b是曲线C的参数范围。

现在，假设有两条曲线C1和C2，它们有相同的起点A和终点B。

我们将证明∫[C1] F · dr = ∫[C2] F · dr，即证明路径的不同并不会影响曲线积分的结果。

为了证明路径的无关性，我们可以构造一条新的曲线C，它由曲线C1和C2连接而成。

具体来说，我们可以将曲线C1的终点B与曲线C2的起点A连接起来，形成一条新的曲线C。

考虑曲线C上任意一点P，它既属于曲线C1，又属于曲线C2。

我们将证明在曲线C上，F · dr的积分绝对值必须与F · dr在曲线C1和曲线C2上的积分绝对值之和相等。

由于曲线C是由曲线C1和曲线C2连接而成，我们可以将曲线C的参数范围[a, b]划分为两个部分：[a, c]和[c, b]，其中c是曲线C上点P的参数值。

在参数范围[a, c]上，我们可以将曲线C的参数表示为r(t)，其中t范围为[a, c]，则曲线C1的参数表示可以表示为r1(t)，其中t范围为[a, b]。

同样地，在参数范围[c, b]上，我们可以将曲线C的参数表示为r(t)，其中t范围为[c, b]，则曲线C2的参数表示可以表示为r2(t)，其中t范围为[a, b]。