第4章杆件横截面上的正应力分析

工程力学中的杆件和梁的应力分析工程力学是工程学科的重要分支之一，它研究物体在受力作用下的力学性质。

在工程实践中，杆件和梁是常见的结构构件，其应力分析是工程设计和计算的基础。

本文将从杆件和梁的应力分析角度探讨工程力学中的相关知识。

一、杆件的应力分析杆件是一种细长的结构构件，承受轴向力的作用。

在杆件的静力学中，应力是一个重要参数，用于描述杆件内部受力的强度和稳定性。

杆件的应力可以分为正应力和切应力。

1. 正应力正应力是指垂直于杆件截面的作用力在该截面上的单位面积，通常用σ表示。

正应力的计算可以使用公式：σ = F / A其中，F为作用力的大小，A为截面积。

正应力可以分为拉应力和压应力两种情况。

当作用力沿着杆件的轴向，方向与截面的法线方向一致时，称为拉应力。

拉应力是正值，表示杆件受拉的状态。

当作用力沿着杆件的轴向，方向与截面的法线方向相反时，称为压应力。

压应力是负值，表示杆件受压的状态。

2. 切应力切应力是指杆件截面上作用力的切向力与该截面上的单位面积之比，通常用τ表示。

切应力的计算可以使用公式：τ = F / A其中，F为作用力的大小，A为截面积。

切应力主要存在于杆件的连接部分，例如螺纹连接、焊接连接等。

切应力会引起杆件的剪切变形和破坏，需要在设计过程中加以考虑。

二、梁的应力分析梁是一种用于承受弯曲力的结构构件，具有横截面的特点。

在梁的应力分析中，主要考虑的是弯矩和截面弯曲应力。

1. 弯矩弯矩是指作用在梁上的力对其产生的弯曲效应。

在工程实践中，梁通常是直线形状，因此弯矩在横截面上呈现出分布的特点。

弯矩可以通过力学平衡和弹性力学原理进行计算。

弯矩的大小与力的大小和作用点的位置有关，计算公式为：M = F * d其中，M为弯矩，F为作用力的大小，d为作用点到梁的某一端的距离。

2. 截面弯曲应力截面弯曲应力是指由于弯曲效应，在梁的横截面上产生的应力。

截面弯曲应力的大小与弯矩和横截面的几何形状有关，计算可以使用弯曲应力公式进行。

第四章弹性杆横截面上的切应力分析——教学方案第四章弹性杆横截面上的切应力分析对于实心截面杆件以及某些薄壁截面杆件，当其横截面上仅有扭矩(M x)或剪力(F Qy或F Qz)时，与这些内力分量相对应的分布内力，其作用面与横截面重合。

这时分布内力在一点处的集度，即为切应力。

分析与扭矩和剪力对应的切应力的方法不完全相同。

对于扭矩存在的情形，依然借助于平衡、变形协调与物性关系，其过程与正应力分析相似。

对于剪力存在的情形，在一定的前提下，则仅借助于平衡方程。

本章重点介绍圆截面杆在扭矩作用下其横截面切应力以及薄壁杆件的弯曲切应力分析。

§4-1圆轴扭转时横截面上的切应力工程上将传递功率的构件称为轴，且大多数情形下均为圆轴。

当圆轴承受绕轴线转动的外扭转力偶作用时(图4-1)，其横截面上将只有扭矩一个内力分量，轴受扭时，其上的外扭转力偶矩M e （单位为Nm ）与轴传递的功率P （单位为kW ）和轴的转速n （单位为r/min ）有如下关系：{}{}{}min/.9549r kW m N e n P M = （4-1）不难看出，受扭后，轴将产生扭转变形，如图4-2b 所示。

圆轴上的每个微元(例如图4-2a 中的ABCD)的直角均发生变化，这种直角的改变量即为切应变，如图4-2c 所示。

这表明，圆轴横截面和纵截面上都将出现切应力(图中AB 和CD 边对应着横截面；AC 和BD 边则对应着纵截面)，分别用τ和τ'表示。

应用平衡关系不难证明：ττ'-= （4-2）这一关系称为切应力互等定理或切应力成对定理。

1. 平面假设及变形几何关系 变形协调方程如图4-3a 所示受扭圆轴，与薄圆筒相似，如用一系列平行的纵线与圆周线将圆轴表面分成一个个小方格，可以观察到受扭后表面变形有以下规律：(1) 各圆周线绕轴线相对转动一微小转角，但大小，形状及相互间距不变；(2) 由于是小变形，各纵线平行地倾斜一个微小角度γ，认为仍为直线；因而各小方格变形后成为菱形。

杆件横截面正应力计算公式在工程领域中，杆件的设计和计算是非常重要的。

杆件在受力作用下会产生正应力，而正应力的计算对于杆件的安全性和稳定性具有重要意义。

本文将介绍杆件横截面正应力的计算公式及其应用。

杆件横截面正应力计算公式如下：σ = P/A。

其中，σ为杆件横截面上的正应力，P为作用在杆件上的力，A为杆件的横截面积。

在实际工程中，杆件通常会受到拉伸、压缩、弯曲等不同形式的受力。

对于不同形式的受力，杆件横截面正应力的计算公式也会有所不同。

首先，我们来看一下杆件受拉伸力作用下的正应力计算。

当杆件受到拉伸力P 作用时，横截面上的正应力可以通过上述公式计算得到。

在这种情况下，横截面上的正应力与拉伸力P成正比，横截面积A越大，正应力σ越小，杆件的承载能力也就越大。

接下来，我们来看一下杆件受压缩力作用下的正应力计算。

当杆件受到压缩力P作用时，横截面上的正应力同样可以通过上述公式计算得到。

在这种情况下，横截面上的正应力也与压缩力P成正比，横截面积A越大，正应力σ越小，杆件的承载能力也就越大。

此外，杆件在受力作用下还会产生弯曲。

在弯曲情况下，杆件横截面上的正应力计算公式为：σ = Mc/I。

其中，σ为杆件横截面上的正应力，M为弯矩，c为横截面上的某一点到中性轴的距离，I为横截面的惯性矩。

在弯曲情况下，横截面上的正应力与弯矩M成正比，c越大，正应力σ越小，杆件的承载能力也就越大。

而横截面的惯性矩I则反映了杆件抵抗弯曲变形的能力，I越大，杆件的抗弯能力越强。

综上所述，杆件横截面正应力的计算公式为σ = P/A，对于不同形式的受力，计算公式也会有所不同。

在实际工程中，我们需要根据杆件受力情况选择合适的计算公式，并结合材料的力学性能参数进行计算，以保证杆件的安全性和稳定性。

同时，合理设计杆件的横截面形状和尺寸，也可以有效地提高杆件的承载能力和使用寿命。

希望本文对杆件横截面正应力的计算有所帮助，谢谢阅读！。

2习题4－2图第4章 基本概念4－1 确定下列结构中螺栓的指定截面Ⅰ－Ⅰ上的内力分量，井指出两种结构中的螺栓分别属于哪一种基本受力与变形形式。

解：(a) N P F F =，产生轴向拉伸变形。

(b) Q P F F =，产生剪切变形。

4－2 已知杆件横截面上只有弯矩一个内力分量M z ，如图所示。

若横截面上的正应力沿着高度y 方向呈直线分布，而与z 坐标无关。

这样的应力分布可以用以下的数学表达式描述：Cy ＝σ其中C 为待定常数。

按照右手定则，M z 的矢量与z 坐标正向一致者为正，反之为负。

试证明上式中的常数C 可以由下式确定：zzI M C ＝－并画出横截面上的应力分布图。

(提示：积分时可取图中所示之微面积dA ＝b d y )证明：根据内力分量与应力之间的关系，有()2d d z AAzM A yC y A CI σ==−=−∫∫由此得到习题4－1图F NF Q3习题4一3图zzI M C ＝－。

于是，横截面上的正应力表达式为：z zM yI σ−＝ 据此，可以画出横截面上的正应力分布图：4－3 图示矩形截面直杆，右端固定，左端在杆的对称平面内作用有集中力偶，数值为M 。

关于固定端处横截面A －A 上的内力分布，有4种答案，如图所示。

请根据弹性体横截面连续分布内力的合力必须与外力平衡这一特点，分析图示的4种答案中哪一种比较合理。

正确答案是 C 。

解：首先，从平衡的要求加以分析，横截面上的分布内力只能组成一个力偶与外加力偶矩M 平衡。

二答案（A ）和（B ）中的分布内力将合成一合力，而不是一力偶，所以是不正确的。

直杆在外力偶M 作用下将产生上面受拉、下面受压的变形。

根据变形协调要求，由拉伸变形到压缩变形，必须是连续变化的，因而，受拉与受压的材料之间必有一层材料不变形，这一层材料不受力。

因此，答案（D ）也是不正确的。

正确的答案是（C ）。

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习题8-4图材料力学_第二版_范钦珊_第4章习题答案第4章 弹性杆件横截面上的切应力分析4 — 1扭转切应力公式()M x /I p 的应用范围有以下几种，试判断哪一种是正确的。

(A) 等截面圆轴，弹性范围内加载； (B) 等截面圆轴； (C )等截面圆轴与椭圆轴；(D )等截面圆轴与椭圆轴，弹性范围内加载。

正确答案是_A _。

解：()M x . I p 在推导时利用了等截面圆轴受扭后，其横截面保持平面的假设，同时推导过程中 还应用了剪切胡克定律，要求在线弹性范围加载。

4 — 2两根长度相等、直径不等的圆轴受扭后，轴表面上母线转过相同的角度。

设直径大的轴和直径 小的轴的横截面上的最大切应力分别为 ^ax 和2max ，切变模量分别为 G l 和G 2。

试判断下列结论的正确性。

(A) 1 max > 2 max ；(B)1 maxV 2max ；(C) 若 G l >G 2,则有 1 max >2 max ；(D)若 G 1 > G 2，则有 1maxV2 max 。

正确答案是_c _。

解：因两圆轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应变相同，即12 由剪切胡克定律 G知G 1 G 2时， 1 max2 max4 — 3承受相同扭矩且长度相等的直径为d 1的实心圆轴与内、外径分别为 d 2、D 2( d 2/D 2)的空心圆轴，二者横截面上的最大切应力相等。

关于二者重之比(W 1/W 2)有如下结论，试判断哪一种是正确(1 )代入(2)，得W (1 工 W 124 — 4由两种不同材料组成的圆轴， 里层和外 层材料的切变模量分别为 G 1和G 2,且G 1 = 2 G 2o(A ) (14)32 ； (B ) (1 4)32(12)；(C ) (1 424)(1 2)；(D ) (1 4)2 3/(1 2) 正确答案是D 0解： 由 1 max2 max 得16M x16M x.3n d 1n d 22(14)即d 1 1(14)3D 2wA d 12W A 2 D ；(1 2 )(1) (2)1A'习题4-7图圆轴尺寸如图所示。