二元分式函数最值的几种求法

本稿件适合高三高考复习用有关函数最值问题 的十二种解题方法与策略贵州省龙里中学高级教师 洪其强（551200）一、消元法：在已知条件等式下，求某些二元函数(,)f x y 的最值时，可利用条件式消去一个参量，从而将二元函数(,)f x y 化为在给定区间上求一元函数的最值问题。

例1、已知x 、y R ∈且223260x y x +-=，求222x y +的值域。

解：由223260x y x +-=得222360y x x =-+≥，即02x ≤≤。

2222392262()22x y x x x +=-+=--+∴当32x =时，222xy +取得最大值92；当0x =时，222x y +取得最小值0。

即222x y +的值域为90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、判别式法：对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数()f x 出现在一个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件0∆≥来求出()f x 的最值。

例2、求函数22()1xf x x x =++的最值。

解：由22()1xf x x x =++得 []2()()2()0f x x f x x f x +-+=，因为x R ∈，所以0∆≥，即[]22()24()0f x f x --≥，解得22()3f x -≤≤。

因此()f x 的最大值是23，最小值是－2。

三、配方法：对于涉及到二次函数的最值问题，常用配方法求解。

例3、求2()234x x f x +=-在区间[]1,0-内的最值。

解：配方得 2224()2343(2)33x x x f x +=-=--+[]1,0x ∈- ，所以 1212x ≤≤，从而当223x =即22log 3x =时，()f x 取得最大值43；当21x =即0x =时()f x 取得最小值1。

四、辅助角公式：如果函数经过适当变形化为()sin cos f x a x b x =+(a、b均为常数），则可用辅助角公式sin cos arctan )ba xb x x a+=+来求函数()f x 的最值。

分析 先求闭区间上的函数的极值，再与端点函数值比
较大小，确定最值．
解析 因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝
－1(舍正)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，
比较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17.故填3， －17. 点评 (1)利用导数法求函数最值的三个步骤：第一， 求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函 数值f(a)、f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值 的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值及最小 值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存 在的点及其端点．
三、换元法 换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换 原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决 的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有 两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体 问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复 杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从 而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2 ＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y 2 xz
的最小值为________． 分析 先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基 本不等式求得最值．
解析 因为x－2y＋3z＝0，
x＋3z
y2 x2＋9z2＋6xz
所以y＝
2
，所以 ＝ xz
4xz
.
y2 6xz＋6xz
又x，z为正实数，所以由基本不等式，得 ≥
∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y4)≥0，11
解得7≤y≤7(y≠1)．综上得ymax＝7，ymin＝7.
点评 判别式法的应用，对转化的(y－1)x2＋(3y＋3)x ＋4y－4＝0来说，应该满足二次项系数不为0，对二次 项系数为0时，要另行讨论，对本题若y－1＝0，即 y＝1，有(3＋3)x＋4－4＝0，所以x＝0.一般来说， 利用判别式法求函数的最值，即根据g(y)x2＋h(y)x＋

二元二次函数求最值
二元二次函数求最值的方法如下：
像这种分子分母都是二次的,就用"判别式法" (核心思想:函数化方程,再用不等式(从判别式来)求最值) 具体方法如下:设
y=[(3m+1)^2]/(5m^2+6m+2) 分母的判别式△=6^2-4*5*2=-4<0,又分母的二次项系数大于0,故分母恒正.所以可以将分母移到等式左边。

二元二次方程的最大值公式
1、x无限制，则定义域为R，此时该函数图像的最高点的y值为最值，即x的值取对称轴的值时（x=-(b/2a)），对应的y值即为最值。

同时，a的大小决定了函数开口方向，当a<0时，函数图像开口向下，
则顶点的值为最大值；当a>0时，函数图像开口向上，则顶点的值为最小值。

2、x给定了一个变化范围,它只能取到抛物线的一部分,这时需要判断x能够取到的范围是否包括抛物线的对称轴x=-b/2a.
如果包括,那它的一个最值一定在对称轴处得到（最大值还是最小值要由a的正负判断,a正就是最小值,a负就是最大值）.另外一个最值出现在所给定义域的端点,此时可以把两个端点值都带入函数,分别计算y值,比较一下就可以；如果给的是代数形式,也可以用与对称轴距离的大小来判断,与对称轴距离大的那个端点能够取到最值。

二元函数最值定理
二次函数y二ax＾2＋bxtc，当a＞o，有最小值为y最小二（4aC 一b＾2）／4a。

当a＜o，有最大值y最大＝（4ac一b＾2）／4a。

二元函数最大值最小值1. 二元函数的定义及性质二元函数是指具有两个自变量的函数，可以表示为f(x,y)，其中x和y是实数。

二元函数在数学和其他学科中都有广泛的应用。

在这篇文章中，我们将探讨二元函数的最大值和最小值。

2. 求二元函数最大值最小值的方法求二元函数最大值和最小值的方法有很多种，下面将介绍其中几种常见的方法：2.1 方程法方程法是一种常用的求二元函数最大值最小值的方法。

具体步骤如下：1.对二元函数进行求导，得到关于x和y的偏导数；2.解关于x和y的偏导数的方程组，求得关键点；3.计算关键点对应的函数值，并比较大小，得到最大值和最小值。

2.2 极值法极值法是另一种常用的求二元函数最大值最小值的方法。

具体步骤如下：1.对二元函数进行求偏导，得到关于x和y的偏导数；2.解关于x和y的偏导数的方程组，求得关键点，即导数等于0的点；3.判断关键点是否为极值点，可以通过求二阶偏导数来确定；4.计算关键点对应的函数值，并比较大小，得到最大值和最小值。

2.3 Lagrange乘子法Lagrange乘子法是一种求二元函数在一定条件下的最大值和最小值的方法。

具体步骤如下：1.设置约束条件，即给出一个或多个限制条件；2.根据Lagrange乘子法的原理，建立相关方程组；3.解方程组，求得最大值和最小值。

3. 求解二元函数最大值最小值的示例假设有一个二元函数f(x,y) = x^2 + y^2，我们将通过上述三种方法来求解它的最大值和最小值。

3.1 方程法求解最大值最小值对f(x,y) = x^2 + y^2求偏导，得到关于x和y的偏导数：∂f/∂x = 2x，∂f/∂y = 2y令∂f/∂x = 0，∂f/∂y = 0，解得关键点为(x,y) = (0,0)。

计算关键点对应的函数值：f(0,0) = 0^2 + 0^2 = 0所以函数f(x,y) = x^2 + y^2的最大值和最小值都为0。

3.2 极值法求解最大值最小值对f(x,y) = x^2 + y^2求偏导，得到关于x和y的偏导数：∂f/∂x = 2x，∂f/∂y = 2y令∂f/∂x = 0，∂f/∂y = 0，解得关键点为(x,y) = (0,0)。