一次分式函数最值问题

本稿件适合高三高考复习用有关函数最值问题 的十二种解题方法与策略贵州省龙里中学高级教师 洪其强（551200）一、消元法：在已知条件等式下，求某些二元函数(,)f x y 的最值时，可利用条件式消去一个参量，从而将二元函数(,)f x y 化为在给定区间上求一元函数的最值问题。

例1、已知x 、y R ∈且223260x y x +-=，求222x y +的值域。

解：由223260x y x +-=得222360y x x =-+≥，即02x ≤≤。

2222392262()22x y x x x +=-+=--+∴当32x =时，222xy +取得最大值92；当0x =时，222x y +取得最小值0。

即222x y +的值域为90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、判别式法：对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数()f x 出现在一个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件0∆≥来求出()f x 的最值。

例2、求函数22()1xf x x x =++的最值。

解：由22()1xf x x x =++得 []2()()2()0f x x f x x f x +-+=，因为x R ∈，所以0∆≥，即[]22()24()0f x f x --≥，解得22()3f x -≤≤。

因此()f x 的最大值是23，最小值是－2。

三、配方法：对于涉及到二次函数的最值问题，常用配方法求解。

例3、求2()234x x f x +=-在区间[]1,0-内的最值。

解：配方得 2224()2343(2)33x x x f x +=-=--+[]1,0x ∈- ，所以 1212x ≤≤，从而当223x =即22log 3x =时，()f x 取得最大值43；当21x =即0x =时()f x 取得最小值1。

四、辅助角公式：如果函数经过适当变形化为()sin cos f x a x b x =+(a、b均为常数），则可用辅助角公式sin cos arctan )ba xb x x a+=+来求函数()f x 的最值。

分式函数最值及函数值范围问题
在数学中，分式函数是由分子和分母分别是多项式的函数。

分式函数的最值和函数值范围问题是研究该类型函数的关键内容。

本文将介绍分式函数的最值以及如何确定函数值的范围。

1. 分式函数的最值问题
1.1 分式函数的最大值
要确定分式函数的最大值，我们可以通过以下步骤进行分析：
1. 找出函数的定义域，即使得分母不等于零的变量取值范围。

2. 找出函数的极值点，即导数为零或不存在的点，这些点可能是函数的最大值点。

3. 将定义域中的边界点和极值点一起代入函数，比较函数值，找出最大值。

1.2 分式函数的最小值
要确定分式函数的最小值，我们可以通过以下步骤进行分析：
1. 找出函数的定义域，即使得分母不等于零的变量取值范围。

2. 找出函数的极值点，即导数为零或不存在的点，这些点可能是函数的最小值点。

3. 将定义域中的边界点和极值点一起代入函数，比较函数值，找出最小值。

2. 分式函数的函数值范围问题
要确定分式函数的函数值范围，我们可以通过以下步骤进行分析：
1. 找出函数的定义域，即使得分母不等于零的变量取值范围。

2. 分析分子和分母的符号和关系，找出函数的正负性。

3. 综合考虑定义域边界点、极值点以及正负性，确定函数值的范围。

总结
分式函数的最值和函数值范围问题是研究分式函数的关键内容。

通过分析函数的定义域、极值点、边界点以及分子分母的符号和关系，我们可以确定分式函数的最值和函数值范围。

这些分析步骤可
以帮助我们更好地理解和运用分式函数。

测试时间：4月27日班级：姓名：函数的实际运用——最值问题一、分式方程+最值1.为提高学生的阅读量，某学校计划购进一批图书，已知A类图书的单价比B类图书的单价贵6元,用720元购买A类图书和用540元购买B类图书的数量相等.(1)A，B两类图书的单价分别为多少?(2)学校计划购买这两类图书共120本，其中购买A类图书不超过90本，且不少于B类图书数量的1.5倍，如何购买费用最低?最低费用是多少?2、端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售.经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同。

(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元?(2)该超市计划购进这两种粽子共200个(两种都有)，其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为W 元.超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元?3、红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化.小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元.(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价；(2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元.①求出y与x之间的函数解析式；②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大?最大利润是多少元?二、二元一次方程组+最值4.2023年中考越来越近，班主任李老师打算在中考结束当天送班上每个同学一束花，李老师打算去斗南购买向日葵和香槟玫瑰组合的鲜花.已知买2支向日葵和1支香槟玫瑰共需花费14元，3支香槟玫瑰的价格比2支向日葵的价格多2元.(1)求买一支向日葵和一支香槟玫瑰各需多少元?(2)李老师准备每束花需向日葵和香槟玫瑰共15支，且向日葵的数量不少于6支，班上总共40个学生，设购买所有的鲜花所需费用为w元，每束花有香槟玫瑰x支、求w与x之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，并写出最少费用.5.近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大.某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元.(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元?(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售.如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小最小费用是多少元?6.某商场计划购进A，B两种服装共100件，这两种服装的进价、售价如表所示：(1)若商场预计进货用3500元，则这两种服装各购进多少件?(2)若商场规定A种服装进货不少于50件，应该怎样进货才能使商场销售完这批货时获利最多?此时利润为多少元?价格类型进价(元/件)售价(元/件)A3045B50707.某运动类商店准备购进一批足球和篮球共100个，这两种球的进价和售价如下表所示：(1)若该商店计划销售完这批球后，可获利2600元，则足球和篮球分别需购进多少个?(2)根据市场调研，商店决定购进足球的数量不少于篮球的2倍，求该商店购进足球和篮球各多少个时，才能使这批球全部销售完所获利润最大，最大利润为多少元?8.近年来，云南乘着高质量共建"一带一路"的东风，加快建设中国面向南亚东南亚的辐射中心，与南亚各国交流合作不断拓展.某普洱茶厂将480吨茶叶原材料制作成A、B两款普洱茶共计200吨，计划通过铁路将200吨普洱茶出口到甲地和乙地，已知制作A、B两款普洱茶每吨所需茶叶原材料以及出口A、B两款普洱茶到甲地、乙地的运费如下表：现计划出口100吨普洱茶到甲地，其余出口到乙地，设该厂向甲地出口A款普洱茶x吨，出口A、B两款普洱茶到甲地和乙地的总运费为y千元.根据上述信息，解答下列问题：(1)该厂出口的A、B两款普洱茶分别是多少吨?(2)若向乙地出口的A款普洱茶的重量不超过B款普洱茶的重量，则怎样出口茶叶，才能使总运费y最小，最小值是多少?三、函数解析式+最值9.某农户准备种植甲、乙两种水果.经市场调查，甲种水果的种植费用y(元)与种植面积x(m²)有关，如果种植面积不超过300m²，种植费用为每平方米14元；种植面积超过300m²，超过的面积种植费用为每平方米10元；乙种水果的种植费用为每平方米12元.(1)当甲种水果种植面积超过300m²时,求y与x的函数关系式；(2)甲、乙两种水果种植面积共1200m²,种植总费用为ω元，其中甲种水果的种植面积超过.300m²，不超过乙种水果的种植面积的3倍.请问怎样分配甲、乙两种水果种植面积才能使种植总费用w最少?最少的种植费用是多少?10.某公司经销一种绿茶，每千克成本为60元，市场调查发现，在一段时间内，销售量w(千克)随着销售单价x(元/千克)的变化而变化，具体关系式为：w=-2x+280，设这种绿茶在这段时间的销售利润为y(元).(1)求y和x的关系式;(2)当销售单价为多少元时，该公司获取的销售利润最大?最大利润是多少?11.某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半，电视机与洗衣机的进价和售价如下表：计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161800元.设计划购进电视机x台，销售完毕后的总利润为y元.(1)写出y与x的函数关系式；(2)求商店如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少。

拆项法求一类分式函数最值
傅红良
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】2002(000)006
【摘要】函数求最值是函数的一个重要内容，是教学中的一个难点．其方法多、形式杂，分式函数求最值更是如此．许多学生往往感到心中无数，甚至产生了恐惧心理，造成解题的心理障碍，笔者从教学实践中感到：要消除学生心理障碍必须着力培养学生解决这类问题之能力，其关键是使学生逐步学会抓住这类问题之本质特征找到相应的解题方法．
【总页数】3页(P21-23)
【作者】傅红良
【作者单位】浙江浦江县第二中学３２２２００
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.利用拆项法求一类幂级数的和函数 [J], 李高明
2.裂项法求一类非完全对称分式函数的最值 [J], 陈丽霞;孙建斌
3.解析几何法在求函数值域与最值中的研究——用斜率法求一类函数的值域与最值[J], 林娟娟;
4.用公式法求一类函数的最值 [J], 刘爱农
5.利用两个函数单调性求一类分式函数的最值 [J], 蔡道平
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探索探索与与研研究究分式三角函数比较常见，函数式中往往含有一个、两个，甚至多个不同名称的三角函数式，因而分式三角函数最值问题通常较为复杂，无法直接利用三角函数的单调性和有界性求得最值.此时需运用一些技巧，如运用化一法、换元、借助几何图形的性质等求解.下面结合实例进行探讨.例题：求函数f ()x =4sin xcos x +3的最小值.解法一：利用化一法若分式函数式中含有或可化为有关正弦、余弦函数的式子，则可采用化一法求函数的最值.首先令y =f ()x ，并将其化为整式；然后根据辅助角公式将函数式化为只含有一种三角函数名称的式子，如y =sin ()ωx +φ、y =cos ()ωx +φ；再根据正余弦函数的有界性和单调性来确定三角函数的最值.解：令y =4sin xcos x +3，则4sin x -y cos x =3y ，由辅助角公式得16+y 2sin ()x +φ=3y ，化简得sin ()x +φ=3y，由三角函数的有界性得()x +φ≤1，即1≤3y 16+y2≤1，得y ≥-2，所以函数f ()x 的最小值为-2.运用化一法求分式三角函数的最值，需灵活运用辅助角公式，以及正余弦函数的有界性和单调性.这就要求我们熟记辅助角公式a sin x +b cos x =a 2+b 2sin ()x +φ=a 2+b 2cos ()x +θ，熟练掌握正余弦函数的有界性和单调性.一般地，若x ∈R ，则|sin x |≤1，|cos x |≤1.解法二：利用换元法换元法是简化复杂函数式的重要方法.对于分式三角函数式，我们可以将分子、分母或频繁出现的式子用一个字母t 替换，将分式三角函数式化为简单的一元函数，根据一元函数的图象、性质进行求解，即可得到分式三角函数的最值.解：令t =cos x +3，则t ∈[]2,4，1t ∈éëùû14,12，则sin x =±1-cos 2x =±-t 2+6t -8，可得f ()x =4sin x cos x +3===，由二次函数的性质知，当1t ∈éëùû14,12时，-8æèöø1t -382+18∈éëùû0,18，则8[]0,2，所以f ()x ≥-2.令t =cos x +3，即可将分式函数式化为关于t 的一元函数式，根据一元二次函数和y =x 的性质，快速求得分式函数的最值.解法三：借助几何图形的性质形如y =a sin x +bc cos x +d的分式三角函数式与直线的斜率公式的结构类似，可将三角函数式看作单位圆上的点()cos x ,sin x 与点æèöøb a ,dc 连线的斜率.结合圆的性质以及两点的连线与单位圆的位置关系，寻找直线的斜率取得最值时的情形，即可解题.解：由题意得f ()x =4sin xcos x +3=4∙sin x -0cos x -()-3，可将该式看作圆上的点()cos x ,sin x 与点()-3,0连线的斜率k 的4倍，由图可知，当过定点()-3,0的直线y =k ()x +3与单位圆相切时直线的斜率k最小.由点到直线的距离公式可得||3k 1+3k2=1，解得k =，所以函数f ()x 的最小值为4×æèçø=-2.将函数式f ()x =4∙sin x -0cos x -()-3看作圆上的点()cos x ,sin x 与点()-3,0连线的斜率k 的4倍，即可将问题转化定点()-3,0的直线y =k ()x +3与单位圆的位置关系问题，利用圆的性质和点到直线的距离公式进行求解即可.（作者单位：西华师范大学）51Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

赏析一道分式函数求最值问题的解法胡玉胜【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2018(000)020【总页数】2页(P12-13)【作者】胡玉胜【作者单位】云南省曲靖一中麒麟学校【正文语种】中文分式函数求最值问题是高中数学的常见题型之一,经常出现在高考试题中,主要考查考生对不等式知识的理解与运用能力,然而许多学生往往对此类题型感到束手无策,因而失去得分机会．其实分式函数求最值并不是无章可循的,只要我们在平时教学中注意总结解题规律,许多问题便可以迎刃而解．笔者在这里就以一道分式函数求最值为例展开探讨,揭示其解题规律,希望对读者有所帮助．例设正实数x,y满足则y的最小值是________.解法1 由去分母并整理得yx2+(1-y2)x+9y=0,因为x>0,y>0,所以方程yx2+(1-y2)x+9y=0在区间(0,+∞)上有实数根,所以⟹解得所以故答案为对于可以转化为二元二次方程的分式函数求最值,首选就是去分母,转化为二元二次方程,然后利用判别式求出值域,从而求出最值．解法2 由去分母并整理得xy2-(x2+9)y-x=0,解得(负值舍去),又x>0,所以设则因为x>0,所以当且仅当即x=3时,取等号.因为函数在区间[6,+∞)上单调递增,所以故答案为因为本题的分式方程可以转化为二元二次方程,所以要求y的最小值,可以利用求根公式将变量x,y进行分离,将y表示成x的函数,再求函数的最小值．解法3 由题意可知即当且仅当即x=3时,取等号. 由可知y2-6y-1≥0,解得故答案为通过将分式的分母与比值进行交换,实现分式的裂项,然后再通过适当移项,巧妙地实现变量x,y分离.根据x>0,求出的取值范围,从而得到的取值范围,再进一步求出y的最小值．解法4 设y-x=t,则x=y-t,代入得所以因为x>0,y>0,所以所以y-x>0,即t>0,所以当且仅当即时,取等号.由得所以或舍,因为此时所以故答案为利用增量代换,引进变量t,适当变形,出现多项式由于t与的乘积为定值,因此可以利用均值不等式求出y的最小值．解法5 设=t,则代入得所以设t-1=m,则t=m+1,所以因为x>0,y>0,所以所以y-x>0,所以y>x>0, t>1, m=t-1>0,所以所以当且仅当即时,取等号,所以故答案为通过比值代换,引进变量t,适当变形,实现变量y与t的分离,然后引进变量m,变形出现多项式由于9m与乘积为定值,因此可以利用均值不等式求出y的最小值．通过以上几种解法探讨,我们不难发现:解这种题型的关键就是实现变量的分离,而分离变量的方法有许多,如果能从不同角度出发进行思考,就不难找到解决方法．多角度思考对增加学生对数学学习的乐趣、消除数学学习的恐惧心理、提高数学的解题能力大有裨益．由此可见,作为一线教师任重而道远,需要引导学生在日常学习中培养其良好的思维习惯,让他们学会从多角度思考问题．。