分式函数的图象及性质和值域（4，13班） 耿
在近几年的高考和模拟考试题目中，经常会出现求解模型函数为分式函数值域的题目，而分式函数的值域求法有共同的规律，本节课给大家介绍解法并总结出通法！ 【知识要点】
1．函数(0,)ax b
y c ad bc cx d
+=≠≠+
（1）定义域：{|}d x x c ≠-（2）值域：{|y y ≠单调区间为(,),(,+)d d
c c
-∞--∞（4）直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d a
c c
-
（5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数。（62．函数(0,0)b
y
ax a b x
=+
>>的图象和性质： （1）定义域：{|0}x x ≠（2）值域：{|y y y ≥或（3）奇偶性：奇函数（4
）单调性：在区间+),(∞上是增函数；在区间上是减函数（5以y 轴和直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。 3．函数(0,0)b
y ax a b x
=+
><的图象和性质： （1）定义域：{|0}x x ≠（2）值域：R （3调性：在区间(0,+)∞和(,0)-∞上是增函数。（5直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。 4．函数(0)b
y ax a x
=+
<
类型一：(,,,)ax b
y a b c d R cx d
+=
∈+（
“一次比一次”型） 备注：本质上一定是反比例函数上下或左右平移而来，所以一定是中学对称函数，可以从图像观察出其值域范围。 例1。函数1
1
+-
=x y 的图象是 （ ）
A B C D
例2、画出函数21
1
x y x -=
-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。 【分析】212(1)112111x x y x x x --+=
==+---，
即函数211x y x -=-的图像可以经由函数1
y x
=的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示：
12
111211
y y y x x x =
−−→=−−→=+--右上 由此可以画出函数21
1
x y x -=
-的图像，如下： 单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞； 值域：(,2)
(2,)-∞+∞；
x
O
y
x
O
y
1
2
x
O
y 1
对称中心：(1,2)。
例3.不等式1
4x x
>
的解集为 （ ）
1111111. (,0)(,) . (-,)(,) . (,0)(0,,+) .(,0)(0,)
2222222A B C D -+∞∞-+∞-∞-
类型二：22,bx c dx ex f
y or y dx ex f bx c
+++==+++，（“一次比二次”或“二次比一次”型）
备注：处理这种分式函数时主要用换元法，即“照着低次配高次”，然后在分离变形。
例4、设1x >，求函数221
1
x x y x -+=-的最小值．
例5、 求2710
(1)1
x x y x x ++=
>-+的值域。
例6：1
43442122+-=⋅=∆k k PQ d S OPQ
，求面积函数的取值范围
例7、求函数22
54
x y x +=
+的值域。
例8.已知函数2
()ax b
f x x c
+=+的图象如图所示，则,,a b c 的大小关系为
（ ）
. . . .A a b c B a c b C b a c Db c a >>>>>>>>
类型三：22
ax bx c y dx ex f
++=++，（“二次比二次”型） 备注：处理这种分式函数时主要是先分离，再用类型二的方法去处理。
例9：函数221
x x
y x x -=-+的值域是
例10、求函数22
45
(),[0,2]43
x x f x x x x ++=∈++的值域．
类型四：“二次比四次型”
备注：处理这种分式函数时，若二次仅有二次项，则直接将其换元后分离，若二次项比较复杂时，则先将二次转化为完全平方因式，再用换元法拆分后变形
例11．求
42
21
x x
y
x
-
=
+
的值域
例12．
求
24
2
2
2
e e
e
λ
-
=
-
．的值域，
类型五：“四次比四次型”：
例13
：2
()1)
ABC
S f k k
∆
==>，求面积函数的取值范围
例14求四边形PMQN面积S=
)2
()
1(2 4
2
2
2
2 +
+
k k k
的取值范围
