近世代数模拟试题集
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近世代数模拟试题集
近世代数模拟试题集
一. 单项选择题
1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（ A ）. A. 0 B.
1 C. －1 D. 1/n，n是整数 2、下列说法不正确的是（ D ）.
A . G只包含一个元g，乘法是gg＝g . G对这个乘法来说作成一个群; B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群; C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群; D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群.
3. 如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( D ). A . 反身性 B. 对称性 C. 传递性 D. 封闭性 4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（ A ）.
A. Z没有生成元. B. 1是其生成元. C. －1是其生成元. D. Z是无限循环群. 5. 下列叙述正确的是（C ）.
A. 群G是指一个集合. B. 环R是指一个集合.
C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在. D. 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在. 6. 设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射?：x→x＋2，?x∈R，则?是从A到B的（ C ） A、满射而非单射 C、一一映射
B、单射而非满射 D、既非单射也非满射
7 设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（ D ）个元素. A、2
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B、5 C、7
D、10
8. 在群G中方程ax=b，ya=b， a,b∈G都有解，这个解是（ B）乘法来说 A、不是唯一 B、唯一的 C、不一定唯一的 D、相同的(两方程解一样) 9.当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（ C ） A、不相等 B、0 C、相等 D、不一定相等. 10. n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（ D ） A、倍数 B、次数 C、约数 D、指数 11．A?{所有整数},令?: a?( B )
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aa?1,当a是偶数;a?,当a是奇数.则?为 22(A) 单射变换 (B) 满射变换
(C) 一一变换 (D) 不是变换 12．若G?(a),且a的阶为有限整数n,则下列说法正确的是 ( A ) (A) G与模n的剩余类加群同构 (B) G的阶可能无限 (C) 元a?2,a?1,a0,a1,?,an?2中没有相同元 (D) G与整数加群同构
13．若R是一个特征为有限整数n的无零因子环，且a,b?R，则 （ D ）
(A) ab?0?a?0,b?0 (B) n?n1n2，其中n1,n2 为素数 (C) 存在R中元c的阶为无限整数 (D) R对乘法成立两个消去律 14．若Q是一个域, 不正确的是 ( B ) (A) Q是交换除环 (B) Q对乘法作成群
(C) Q无零因子 (D) Q中不等于零的元都有逆元 二、填空题
1,2?，则有B?A? {（1，-1),（1,0），1．设集合A???1,0,1?；B??（1,1),(2,-1),(2,0,(2,1)} 3 / 5
2．若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的 单位元
3．环的乘法一般不交换.如果环R的乘法交换，则称R是一个 交换群
4．偶数环是 整数环 的子环.
5．一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个 变换群
6．每一个有限群都有与一个置换群 同构 7．全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是 1 ，元a的逆元是
1/a 8. 一个除环的中心是一个 域 9. 若群G和集合G同态,则G是 一个群 ,并且有G中元e和a的象为G中元 e__和a .
10. 在无零因子环R中,如果对a,b?R有ab?0, 那么必有 a=0或b=0 .
11.群的元a的阶是n，若d是整数r和n的最大公因子，则a的阶是 n/d .
12. 在群G中, a,b?G, 则方程ya?b有唯一解为 y=b/a . 13. 若G是由集合A的全体一一变换所作成, 则G是一个 变换 群. 14.若R是有单位元的交换环,则R的主理想(a)中的元有形式为 r9a) 15.n次对称群Sn的元素个数为 n! .
16. 设G是p阶群（p是素数），则G的生成元有 p-1 个. 17.
除环的理想共有 2 个.
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r?118. 模6的剩余类环Z6的子环S?{[0],[2],[4]}的单位元是 [0]
19.设 S3?{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}, H?{(1),(12)}, 则 S3 中 H
的右陪集H(13)? {(1,3) (132)} , H(23)? {(23)
(123)} .
20.设?是环R与R的同态满射, 0与0分别是环R与R的零元,则?(0)? 0 .
21. 模6的剩余类环Z6的零因子有 【3】 . 三. 计算题
1. 设G是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群，试求中G中下列各个元素c??C.c=
2. 设G＝{1，－1，i，－i}，关于数的普通乘法作成一个群，求各个元素的阶. 4 / 5
3. 试求出三次对称群 S3??(1),(12),(13),(23),(123),(13. 2)?的所有子群
4. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗？若是，请给予证明.
解：
?12??13??,d???及cd，的阶. ?01??0?1?e是R的单位元.事实上，任取a,b?R,
则因e是R的左单位元，故
(ae?a?e)b?a(eb)?ab?eb?ab?ab?b?b,
即 ae?a?e也是R的左单位元.故有题设得 ae?a?e?e,?ae?a. 即
e是R的单位元.
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5. 用循环置换的方法写出三次对称群S3的全体元.说明集合N?{(1),(23)}是S3的子群,并且写出N的所有左陪集.
四. 证明题.
1. 证明: 在群中只有单位元满足方程x2?x.
证明： 设e是G的单位元，则e显然满足所说的方程 另外，
设a?G且a?a，则有
2a?1a2?a?1a, 即a?e, 即只有e满足方程 x2?x.
2．
设G是正有理数乘群，G是整数加群. 证明：
n ?:2??n是群G到G的一个满同态，其中a,b是整数，而(ab,2)?1. 3． 设S是环R的一个子环.证明: 如果R与S都有单位元，但不相等，则S的单位
元必为R的一个零因子.
证明： 分别用e和e?表示R与S的单位元，且e?e?，于是e?不是R的单位元.
因此，存在0?a?R，ae??a或e?a?a
如果ae??a，则ae??a?0，且(ae??a)e??ae??ae??0,
即e?是R的（右）零因子. 同理，如果e?a?a,则e?是R的（左）零因子. 4. 设G是群.证明：如果对任意的x?G，有x?e，则G是交换群 证明： 5 / 5
5. 证明: H1和H2是群G的两个子群, 则交集H1?H2还是群G的子群. 6. 证明: 整数集对于普通加法和乘法作成环.
7. 若H是G的不变子群，K是G的子群，试证H?K是K的不变子群. 8 证明:
由实数域上所有n级矩阵作成的集合Mn(R)对于普通加法来说是一个群.
2ba - 4 -
