近世代数模拟试题一

近世代数模拟试题一

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（ ）

A、满射而非单射 B、单射而非满射

C、一一映射 D、既非单射也非满射

2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（ ）个元素。

A、2 B、5 C、7 D、10

3、在群G中方程ax=b，ya=b， a,b∈G都有解，这个解是（ ）乘法来说

A、不是唯一 B、唯一的 C、不一定唯一的 D、相同的(两方程解一样)

4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（ ）

A、不相等 B、0 C、相等 D、不一定相等。

5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（ ）

A、倍数 B、次数 C、约数 D、指数

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、设集合1,0,1A；2,1B，则有AB---------。

2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的--------。

3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个------。

4、偶数环是---------的子环。

5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个--------。

6、每一个有限群都有与一个置换群--------。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a的逆元是-------。

8、设I和S是环R的理想且RSI，如果I是R的最大理想，那么---------。

9、一个除环的中心是一个-------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、设置换和分别为：6417352812345678，2318765412345678，判断和的奇偶性，并把和写成对换的乘积。2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

3、设集合)1}(,1,,2,1,0{mmmMm，定义mM中运算“m”为amb=(a+b)(modm),则（mM，m）是不是群，为什么？

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、设G是群。证明：如果对任意的Gx，有ex2，则G是交换群。

2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。

近世代数模拟试题二

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（ ）是子群。

A、a B、ea, C、3,ae D、3,,aae

2、下面的代数系统（G，*）中，（ ）不是群

A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法

C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法

3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ ）

A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b|

4、设1、2、3是三个置换，其中1=（12）（23）（13），2=（24）（14），3=（1324），则3=（ ）

A、12 B、12 C、22 D、21

5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。

A、不可能是群 B、不一定是群

C、一定是群 D、 是交换群

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。

2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。

3、已知群G中的元素a的阶等于50，则4a的阶等于------。

4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-------同构。

5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B=-----。

6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。

7、叫做域F的一个代数元，如果存在F的-----naaa,,,10使得010nnaaa。 8、a是代数系统)0,(A的元素，对任何Ax均成立xax，则称a为---------。

9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、---------。

10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是----------。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(1 2)}，写出H的所有陪集。

2、设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E中的运算，（E，）是一个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？

3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、若是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。

2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a〜b当且仅当m︱a–b。

近世代数模拟试题三

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。

A、2阶 B、3 阶 C、4 阶 D、 6 阶

2、设G是群，G有（ ）个元素，则不能肯定G是交换群。

A、4个 B、5个 C、6个 D、7个

3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。

A、偶数 B、奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幂

4、下列哪个偏序集构成有界格（ ）

A、（N,） B、（Z,）

C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系）） D、 (P(A),)

5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ ）

A、(1)，(123)，(132) B、12)，(13)，(23)

C、(1)，(123) D、S3中的所有元素

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。

2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则aff1----------。

3、区间[1，2]上的运算},{minbaba的单位元是-------。

4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。

5、环Z8的零因子有 -----------------------。

6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。

8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。

9、设群G中元素a的阶为m，如果ean，那么m与n存在整除关系为--------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？

2、S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。S1+S2也是子环吗？

3、设有置换)1245)(1345(，6)456)(234(S。

1．求和1；

2．确定置换和1的奇偶性。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。

2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。

近世代数模拟试题一 参考答案

一、单项选择题。

1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；

二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。

1、1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构;7、零、-a ；8、S=I或S=R ；9、域；

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：

)8)(247)(1653( )6)(57)(48)(123(

可知为奇置换，为偶置换。 和可以写成如下对换的乘积：

)27)(24)(16)(15)(13( )57)(48)(12)(13(

2、解：设A是任意方阵，令)(21AAB，)(21AAC，则B是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且CBA。若令有11CBA，这里1B和1C分别为对称矩阵和反对称矩阵，则CCBB11，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：1BB，1CC，所以，表示法唯一。

3、答：（mM，m）不是群，因为mM中有两个不同的单位元素0和m。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）

1、对于G中任意元x，y，由于exy2)(，所以yxxyxyxy111)(（对每个x，从ex2可得1xx）。

2、证明在F里

)0,,(11bRbabaabab

有意义，作F的子集)0,,(bRbabaQ所有

Q显然是R的一个商域 证毕。