近世代数模拟试题及答案
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近世代数模拟试题二
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（ ）是子群。
A、a B、ea, C、3,ae D、3,,aae
2、下面的代数系统（G，*）中，（ ）不是群
A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法
C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法
3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ ）
A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b|
4、设1、2、3是三个置换，其中1=（12）（23）（13），2=（24）（14），3=（1324），则3=（ ）
A、12 B、12 C、22 D、21
5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。
A、不可能是群 B、不一定是群
C、一定是群 D、 是交换群
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群G中的元素a的阶等于50，则4a的阶等于------。
4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-------同构。
5、A={∩B=-----。
6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。
7、叫做域F的一个代数元，如果存在F的-----naaa,,,10使得010nnaaa。 8、a是代数系统)0,(A的元素，对任何Ax均成立xax，则称a为---------。
9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、---------。
10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是----------。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(1 2)}，写出H的所有陪集。
2、设E是所有偶数做成的集合，“•”是数的乘法，则“•”是E中的运算，（E，•）是一个代数系统，问（E，•）是不是群，为什么？
3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、若是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。
2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a〜b当且仅当m︱a–b。
近世代数模拟试题三
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。
A、2阶 B、3 阶 C、4 阶 D、 6 阶
2、设G是群，G有（ ）个元素，则不能肯定G是交换群。
A、4个 B、5个 C、6个 D、7个
3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。
A、偶数 B、奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幂
4、下列哪个偏序集构成有界格（ ）
A、（N,） B、（Z,）
C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系）） D、 (P(A),)
5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ ）
A、(1)，(123)，(132) B、12)，(13)，(23)
C、(1)，(123) D、S3中的所有元素
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。
2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则aff1----------。
3、区间[1，2]上的运算},{minbaba的单位元是-------。
4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。
5、环Z8的零因子有 -----------------------。
6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。
7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。
8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。
9、设群G中元素a的阶为m，如果ean，那么m与n存在整除关系为--------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？
2、S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。S1+S2也是子环吗？
3、设有置换)1245)(1345(，6)456)(234(S。
1．求和1；
2．确定置换和1的奇偶性。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。
2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。
近世代数模拟试题一 参考答案
一、单项选择题。
1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。
1、1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构;7、零、-a ；8、S=I或S=R ；9、域；
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：
)8)(247)(1653( )6)(57)(48)(123(
可知为奇置换，为偶置换。 和可以写成如下对换的乘积：
)27)(24)(16)(15)(13( )57)(48)(12)(13(
2、解：设A是任意方阵，令)(21AAB，)(21AAC，则B是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且CBA。若令有11CBA，这里1B和1C分别为对称矩阵和反对称矩阵，则CCBB11，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：1BB，1CC，所以，表示法唯一。
3、答：（mM，m）不是群，因为mM中有两个不同的单位元素0和m。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、对于G中任意元x，y，由于exy2)(，所以yxxyxyxy111)(（对每个x，从ex2可得1xx）。
2、证明在F里
)0,,(11bRbabaabab
有意义，作F的子集)0,,(bRbabaQ所有
Q显然是R的一个商域 证毕。 近世代数模拟试题二 参考答案
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)。
1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。
1、变换群；2、交换环；3、25；4、模n乘余类加群；5、{2}；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、解：H的3个右陪集为：{I,(1 2)}，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3 2 )，(2 3 )}
H的3个左陪集为：{I,(1 2)} ，{(1 2 3 )，(2 3)}，{(1 3 2 )，(1 3 )}
2、答：（E，•）不是群，因为（E，•）中无单位元。
3、解 方法一、辗转相除法。列以下算式：
a=b+102
b=3×102+85
102=1×85+17
由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339。
然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.
所以 p=4, q=-5.
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、证明 设e是群的幺元。令x＝a－1*b，则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的解。
若x∈G也是a*x＝b的解，则x＝e*x＝(a－1*a)*x＝a－1*(a*x)＝a－1*b＝x。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。
2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为Zm，每个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可记为a，称之为模m剩余类。若m︱a–b也记为a≡b(m)。
当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]。
近世代数模拟试题三 参考答案
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、唯一、唯一；2、a；3、2；4、24；5、；6、相等；7、商群；8、特征；9、nm；
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。
2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2 有a-b, ab∈S1∩S2：
因为S1，S2是A的子环，故a-b, ab∈S1和a-b, ab∈S2 ，
因而a-b, ab∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环。
S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：
3、解： 1．)56)(1243(，)16524(1；
2．两个都是偶置换。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、证明：假定是R的一个理想而不是零理想，那么a0，由理想的定
