近世代数试题库

近世代数

一、单项选择题

1、若A={1，2，3，5}，B={2，3，6，7}，则BA=（）A、{1，2，3，4} B、{2，3，6，7} C、{2，3} D、{1，2，3，5，6，7} 答案：C 2、循环群与交换群关系正确的是（）A、循环群是交换群 B、交换群是循环群C、循环群不一定是交换群 D、以上都不对答案：A 3、下列命题正确的是（）

A、n次对换群nS的阶为!n B、整环一定是域C、交换环一定是域 D、以上都不对答案：A 4、关于陪集的命题中正确的是（）设H是G的子群，那么A、对于,,bHaH有bHaH或bHaHB、以上都对答案：D 5、设A=R（实数域）， B=R+（正实数域） f?:a→10a??aA 则 f 是从A到B的（）A、单射 B、满射 C、一一映射 D、既非单射也非满射答案：D 6、有限群中的每一个元素的阶都（）A、有限 B、无限

C、为零 D、为1 答案：A 7、整环（域）的特征为（）A、素数 B、无限C、有限 D、或素数或无限答案：D 8、若S是半群,则( ) A、任意,,,Scba都有a(bc)=(ab)c B、任意,,Sba都有ab=ba C、必有单位元 D、任何元素必存在逆元答案：A 9、在整环Z中，6的真因子是（）A、1,6 B、2,3

C、1,2 D、3,6答案：B 10、偶数环的单位元个数为（）A、0个 B、1个C、2个 D、无数个答案：A 11、设nAAA,,,21和D都是非空集合，而f是nAAA21到D的一个映射，那么（）

A、集合DAAAn,,,,21中两两都不相同；B、nAAA,,,21的次序不能调换；

C、nAAA21中不同的元对应的象必不相同；

D、一个元naaa,,,21的象可以不唯一。答案：B 12、指出下列那些运算是二元运算（）A、在整数集Z上，abbaba；

B、在有理数集Q上，abba；

C、在正实数集R上，babaln；D、在集合0nZn上，baba。答案：D 13、设是整数集Z上的二元运算，其中baba,max（即取a与b中的最大者），那么

在Z中（）A、不适合交换律； B、不适合结合律；C、存在单位元； D、每个元都有逆元。答案：C 14、设,G为群，其中G是实数集，而乘法kbaba:，这里k为G中固定的常数。

那么群,G中的单位元e和元x的逆元分别是（）

A、0和x； B、1和0； C、k和kx2； D、k和)2(kx。答案：D 15、设cba,,和x都是群G中的元素且xacacxbxcax,12，那么x（）

A、11abc； B、11ac； C、11bca； D、cab1。答案：A 16、设H是群G的子群，且G有左陪集分类cHbHaHH,,,。如果6，那么G的阶G（）A、6； B、24； C、10； D、12。答案：B 17、设21:GGf是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（）

A、f的同态核是1G的不变子群；B、2G的不变子群的逆象是1G的不变子群；

C、1G的子群的象是2G的子群；

D、1G的不变子群的象是2G的不变子群。答案：D 18、设21:RRf是环同态满射，baf)(，那么下列错误的结论为（）A、若a是零元，则b是零元； B、若a是单位元，则b是单位元；C、若a不是零因子，则b不是零因子；D、若2R是不交换的，则1R不交换。答案：C 19、下列正确的命题是（）A、欧氏环一定是唯一分解环； B、主理想环必是欧氏环；C、唯一分解环必是主理想环； D、唯一分解环必是欧氏环。答案：A 20、若I是域F的有限扩域，E是I的有限扩域，那么（）A、FIIEIE:::； B、IEFIEF:::；

C、IFFEFI:::； D、FIIEFE:::答案：D 二、填空题1、集合A的一个等价关系需满足自反性、对称性和（）。答案：传递性

2、设A,B都为有限集，且,,nBmA则BA（）. 答：mn 3．设R是集合A＝｛平面上所有直线｝上的关系：

121lRll∥2l或21ll（All21,），则R（）等价关系。答：是4、设群G中的元素a的阶为m，则ean的充要条件是（）。

答：nm5、群G的非空子集H作成G的一个子群的充要条件是（）。

答：,,Hba有Hab1

6、n次对称群nS的阶是（）。答：!n

7、设G是有限群，H是G的子群，且H在G中的指数为n，则G（）。

答：Hn

8、设G是一个群,e是G的单位元，若,Ga且a=a,则（）答：a=e 9、最小的数域是（）。答：有理数域10、设集合A=｛1,2｝,则A×A=（）,2A＝（）。答：｛（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）｝，｛Φ，｛1｝，｛2｝，｛1，2｝｝

11、设f是A的一个变换，AS，则Sff1（）Sff1。答：

12、设21,RR是集合A上的等价关系，21RR（）等价关系。答：是13、若群G中每一个元素x都适合方程exn，则G是（）群。答：交换群14、n阶群G是循环群的充要条件是（）。

答：G中存在n阶的元素

15、设1,GG是有限循环群，,,1nGmG则1G是G的同态象的充要条件是

（mn）。

答：mn

16、如果环R的乘法满足交换律，即,abR，有abba，则称R为（）环答：交换环17、数集关于数的加法和乘法作成的环叫做（）环。

答：数环18、设有限域F的阶为81，则的特征p（）。答：3 19、已知群G中的元素a的阶等于50，则4a的阶等于（）。答：25 20、一个有单位元的无零因子（）称为整环。答：交换环21、如果1a是一个国际标准书号，那么a（）。答：6 22.剩余类加群Z12有（）个生成元. 答：6 23、设群G的元a的阶是n，则ak的阶是（）答：n/(k,n)（(k,n)表示k和n的最大公约数）24、6阶循环群有（）个子群. 答：3 26、模8的剩余类环Z8的子环有（）个. 答：6

27、设集合1,0,1A；2,1B，则有AB（）。

答：1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1

28、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则aff1（）。答：a29、设集合A有一个分类，其中iA与jA是A的两个类，如果jiAA，那么jiAA（）。答：31、凯莱定理说：任一个子群都同一个（）同构。答：变换群

32、给出一个5-循环置换)31425(，那么1（）。答：1352433、若I是有单位元的环R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为（）。答：Ryxayxiiii,,34、若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么IR是一个域当且仅当I是（）。答：一个最大理想35、整环I的一个元p叫做一个素元，如果（）。答：p既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子36、若域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域，如果（）。答：E的每一个元都是F上的一个代数元三、判断题1、设A与B都是非空集合，那么BAxxBAx且。（×）2、设A、B、D都是非空集合，则BA到D的每个映射都叫作二元运算。（×）3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射1f。（√）4、如果循环群aG中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。（√）5、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。（×）6、群G的子群H是不变子群的充要条件为HHggHhGg1;,。（√）7、如果环R的阶2，那么R的单位元01。（√）8、若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。（√）9、)(xF中满足条件0)(p的多项式叫做元在域F上的极小多项式。（×）10、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与pZ同构的子域，这里Z是整数环，p

是由素数p生成的主理想。（×）

四、解答题1、A={数学系的全体学生}，规定关系R：同在一个班级与baaRbAba,,，证明R是A的一个等价关系。答案：自反性：自己与自己显然在同一个班级对称性：若a与b同在一个班级,显然b与a同在一个班级传递性：若a与b同在一个班级, b与c同在一个班级,显然a与c同在一个班级. 2、在R中的代数运算是否满足结合率和交换率？（等式右边指的是普通数的运算）

答：因为对于Rcba,,，有cabbacba

cabbacabbaabcbcaccabba，根据实数的加法与乘法的运算率得cbacba。又abbaababbaba。所以，R的代数运算既满足结合率，又满足交换率。

3、设集合,,,,,,AabcdBcde，求,,,()()ABABABABBAUIU。

答案：,,,,,,,ABcdABabcdeUI

4、设132,123,23,13,12,13SG，12,1H，求G关于子群H的左陪集分解。

答：HHH)12(1，123,13)123(13HH，132,23)132(23HH。因而，G关于子群H的左陪集分解为HHHG)23(13。

5、设半群?,S既有左单位元e，又有右单位元f，证明fe，而且是S的唯一单位元。答：证明eef（因f是右单位元），fef（因e是左单位元），得fe；

若S还有单位元1e，则11eeee，故e是S的唯一单位元。abbaba6、对于下面给出的Z到Z的映射,,fgh

计算,,,,fggfghhgfghoooooo。答案：7、设H是G的不变子群，则Ga，有HaHa1。答：因H是G的不变子群，故对于Ga，有HaaH，于是

HHeaaHaHaaaHaHa1111。8、设0是环R的零元，则对于Ra，000aa。

答：因为Ra，有aaaa00)00(0，由于R关于加法作成群，即R对于加法满足消去律，在上式中两边同时消去a0，得00a。

同理可得00a。

9、如果半群G有一个左单位元e，并且对于Ga，存在左逆元Ga1，使得eaa1，则G是一个群。

答：Ga，由条件知，有左逆元Ga1，使得eaa1，而对于1a在G中也存在左逆

元'a，使得eaa1'，则有

所以，a的左逆元1a也是a的右逆元，即a在G中有逆元1a，

又由于aeaaaaaaaae11，知e是G的单位元。故G是一个群。10、证明R为无零因子环的充分必要条件是在环R中关于乘法左消去律成立。

答：设环R没有左零因子，如果有acab，则有0)(cbaacab，当0a时，由于R没有左零因子，得0cb，即cb，R中关于乘法左消去律成立。

反之，若在R中关于乘法左消去律成立，如果0a，有0ab，即00aba，左消去a得0b，即R中非零元均不是左零因子，故R为无零因子。

11、若21,II是R的两个理想，则

22112121,IxIxxxII也是R的一个理想。答：RrIIyx,,21，则有

2121,yyyxxx，),;,(222111IyxIyx，从而

212211)()(IIyxyxyx；

212121)(IIrxrxxxrrx；

212121)(IIrxrxrxxxr。

所以，21II是R的一个理想。

12、设)}132(),123(),23(),13(),12(),1{(3SG,)}12(),1{(H,则H是G的一个子群，写出G关于H的所有左陪集的分解. 答案：HHH)12()1(, HH)123()}123(),13{()13(, HH)132()}132(),23{()23(, 因而，G关于H的左陪集的分解为. 13、在Q中的代数运算是否满足结合率和交换率？

答：取,3,2,1cba则933232122，8193132122

又1112,422122。所以，Q的代数运算既不满足结合率，又不满足交换率。