近世代数题库

近世代数题库(总12页)

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一、填空题

1. 设4)(xxf是复数集到复数集的一个映射, 则)1(1f={_______}.

2. 设=(134),=(13)(24), 则=____________________.

3. 群G的元素a的阶是m，b的阶是n，baab，则ab ，如果),(mn = 1，则ab

_____.

4. 设是任意一个循环群.若|a|=，则与________________同构；若|a|=n，则与______________同构.

5. 设=（14）（235），=（153）（24），则|| = ____，1 =______.

6. 设群G的阶为m，Ga，则ma .

7. 设“～”是集合A的一个关系，如果“～”满足_________________，则称“～”是A的元素间的一个等价关系.

8. 设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S5，那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)， 是 (奇、偶)置换.

9. 设群G中元素a的阶为m，如果ean，那么m与n存在整除关系为 .

10. 一个群G的非空子集H做成一个子群的充分必要条件是 .

11. 设G为群，若对于任意的元Gba,，都有baab，则称群G为 群.

12.n次对称群nS的阶是____________.

13.设G=是10阶循环群，则G的全部生成元有 ，G的子群有 个，分别是 .

14.设H是群G的子群，Gba,，则HbHa .

15.设G=是循环群，则G与整数加群同构的充要条件是 .

16．在3次对称群3S中，H＝{(1),(123),(132)}是3S的一个正规子群，则商群HS3中的元素(12)H＝.

17．如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则aff1 .

18.设集合A有一个分类，其中iA与jA是A的两个类，如果jiAA，那么jiAA .

19. 凯莱定理说：任一个群都与一个 同构.

20. 设G=是12阶循环群, 则G的生成元集合为｛ ｝.

21. 一个群G的一个子群H的右陪集（或左陪集）的个数叫做H在G中的 .

22. 设G是一个pq阶群，其中qp,是素数，则G的子群的一切可能的阶数是 ____ .

23. 写出S3的一个非平凡的正规子群_____.

24. 已知群G中的元素a的阶等于50，则4a的阶等于 .

25. 一个有限非可换群至少含有____________个元素.

26. 设G是p阶群（p是素数），则G的生成元有____________个.

27. 一个有限群中元素的个数叫做这个群的 .

28.设R是实数集，规定R的一个代数运算abba2:，（右边的乘法是普通乘法），就结合律、交换律而言，“”适合如下运算律： .

29. 设H是群G的子群，Gba,，则bHaH

.

30. 写出三次对称群3S的子群13,1H的一切左陪集 .

31. 如果G是一个含有15个元素的群，那么，G有 个5阶子群，对于aG，则元素a的阶只可能是___________.

32.设G是一个pq阶群，其中qp,都是素数，则G的真子群的一切可能的阶数是 ，G的子群的一切可能的阶数是 .

33. 已知群G中的元素a的阶等于n，则ka的阶等于n的充分必要条件是 .

34. 设(G，·)是一个群，那么对于ba,G，(ab)－1＝___________.

35. 群中元素a的阶为n3，ka的阶为n，则)3,(nk= . 36．若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的方幂，则G称为 .

37．5-循环置换)31425(，那么1 .

38．设G为群，GN，且对于任意的Ga，有 ，则N叫做G的正规子群.

39. 设G为乘群，Ga，则能够使得eam的最小正整数m，叫做a的___________.

设G为加群，Ga，则能够使得 的最小正整数m，叫做a的阶.

40．设τ＝(1243)(235)5S，那么1＝___ _.是 (奇、偶)置换.

41. 设～是集合A的元间的一个等价关系，它决定A的一个分类：则a所在的等价类a={ ｝.

42. 设A={dcba,,,}，则A到A的映射共有________个，A到A的一一映射共有 ________个，AA到A的映射共有________个（A上可以定义 个代数运算）.

43. 设G是6阶循环群，则G的生成元有____________个.

44. 非零复数乘群C中由i生成的子群是____________.

45. )125(，)246(，则的阶数等于 .

46．素数阶群G的非平凡子群个数等于____________.

47. 设G是一个n阶交换群，a是G的一个m（nm）阶元，则商群

aG的阶等于 .

48. 设是集合A到集合B的一个映射,则存在B到A的映射,使A1 为 ;

存在B到A的映射,使B1为 .

49. 若群G中的每个元素的阶都有限,则称G为 群. 若群G中除了单位元外,其余元素的阶都无限,则称G为 群.

50. n阶循环群有 个生成元,有且仅有 个子群.

51. 若nk,则n阶循环群aG必有k阶子群,其k阶子群为 .

52. 在同构意义下,4阶群只有两个,一个是4阶循环群,另一个是 .

53. 在同构意义下,6阶群只有两个,一个是6阶循环群,另一个是 .

54. 非交换群G的每个子群都是其正规子群,则称G为 群.

55. n元置换)(21kiii的阶为 ，12121)])([(mkjjjiii .

二、选择题

1. 设RBA (实数集)，如果A到B的映射Rxxx,2:,则是从A到B的（ ）.

A) 满射而非单射; B) 单射而非满射;C) 一一映射; D) 既非单射也非满射.

2.3S中可以与(123)交换的所有元素有（ ）.

A) (1),(123),(132); B) (12),(13),(23); C) (1),(123); D)3S中的所有元素.

3.设15Z是以15为模的剩余类加群，那么15Z的子群共有（ ）个.

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8.

4. 设cba,,和x都是群G中的元素且xacacxbxcax,12，那么x（ ）.

A) 11abc B) 11ac C) 11bca D) cab1.

5. 设f是复数集到复数集的一个映射. 如果对任意的复数x，有4)(xxf，则))1((1ff=( ).

A) {1，-1}; B) {i，-i}; C) {1， -1，i，-i}; D) 空集.

6. 设A={所有实数}，A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集A的同态满射的是( ).

A) xx10 B) xx2 C) xx D) xx.

7. 设G是实数集，定义乘法kbaba:，这里k为G中固定的常数,那么群,G中的单位元e和元x的逆元分别是（ ）.

A) 1和x； B) 1和0； C) -k和kx2； D)k和)2(kx.

8.下面的集合对于给定的代数运算不能成为群的是( ).

A) 全体整数对于普通减法; B) 全体不为零的有理数对于普通乘法;

C) 全体整数对于普通加法; D) 1的3次单位根的全体对于普通乘法.

9. 设G是群,cba,,是群G中的任意三个元素, 则下面阶数可能不相等的元素对为( ).

A)baab, B) bacabc, C) 1,baba D) 1,aa. 10. 设R是实数集合,规定R的元素间的四个关系如下,( )是R的等价关系.

A)baaRb; B) 0abaRb; C) 022baaRb; D) abaRb<0.

11.设G是一个半群，则下面的哪一个不是做成群的充要条件( ).

A) G中有左单位元，同时G中的每个元素都有左逆元；

B) 对于G中任意元素a和b，G中恰好有一个元素x满足ax=b；同时G中恰好有一个元素y满足ya=b；

C) G中有单位元，同时G中的每个元素都有逆元；

D) 在G中两个消去律成立.

12.设H是群G的子群，且G有左陪集分类cHbHaHH,,,. 如果子群H的阶是6，那么G的阶G（ ）.

A) 6 B) 24 C) 10 D) 12

13. 三次对称群3S= {(1),(12),(13),(23),(123),(132)}，那么下面关于3S的四个论述中，正确的个数是( ).

(1) 3S是交换群；(2) 3S的2阶互异子群有三个；(3) 3S的3阶互异子群有两个；(4) 3S的元素(123)和(132)生成相同的循环群.

A) 1 B ) 2 C) 3 D) 4

14. 设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（ ）个。

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8

15.指出下列那些运算是二元运算（ ）

A) 在整数集Z上，abbaba； B) 在有理数集Q上，abba；

C) 在正实数集R上，babaln；D) 在集合0nZn上，baba.

16.设是整数集Z上的二元运算，其中baba,max（即取a与b中的最大者），那么在Z中（ ）.

A) 不适合交换律；B)适合结合律；C) 存在单位元；D)每个元都有逆元.