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整式乘除全章讲义集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#幂的乘方【学习目标】1．会根据乘方的意义推导幂的乘方法则．2．熟练运用幂的乘方法则进行计算． 预习案一、知识3(-5)底数为_______，指数为_____，幂为______二、探究新知1想一想()3210等于多少分析：()3210将括号里的数看作整体，()3210表示3个210相乘，即（210）×（210）×（210）321010222⨯==++2.仔细阅读第一上面部分，计算下列各式，并说明理由。
（1）()426=（ ）×（ ）×（ ）×（ ）=()()()()()()⨯+++=66=（2）32)(a =（ ）×（ ）×（ ）=()()()()()⨯++=a a（3）2)(m a =（ ）×（ ）=()()()()⨯+=a a（4）n m a )(=（ ）×（ ）×……×（ ）×（ ）=()()()()()⨯+++=a a总结为:()=nma ____即：幂的乘方，底数______，指数______ 3牛刀小试 （1）()5310=_______(2)()24a =____________(3) ()3m a =___________ ⑷()4mx =_________(5)x 2·x 4+(x 3)2=___________ (6)、()()()()234612====x教学案 例1、⑴ ()1033 ⑵ ()x 32 ⑶()x m 5- ⑷ ()a a 533•（5）()4p p -⋅- （6） ()2332)(a a ⋅（7）()t t m⋅2（8）()()8364x x -例2、已知3,2==n m a a (m 、n 是正整数).求n m a 23+ 的值.例3.已知3460x y +-=，求816x y ⋅ 当堂检测1、43)2(2、()23a -3、2221⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛ 4、()423)(p p -⋅- 5、 －（a2）7 6、（103）37、4332⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛8、()[]436-9、（x3）4·x 2 ； 10；()()3232a a a --⋅（11）［－(a ＋b )4］3（12）523423)()(2)()(c c c c ----⋅⋅2若()[]1223xxm=，则m=________。
整式的乘除培优讲义考点·方法·破译1．整式的乘法包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式等. 2．整式的除法包括单项式除以单项式、多项式除以单项式、多项式除以多项式等. 3．乘法公式：⑴()()22b a b a b a -=-+.⑵()2222b ab a b a +±=±⑶()bc ac ab c b a c b a 2222222+++++=++⑷()()3322b a b ab a b a ±=+±⑸()3223333b ab b a a b a ±+±=±经典·考题·赏析【例１】 计算：⑴()()c b a c b a 3232-+-- ⑵()()()31222-+-+x x x⑶()()()2222211412x x x ++-【解法指导】⑴两个项数相同的多项式相乘，若两个多项式中只存在相同的项与相反的项，则将相同的项结合，相反数的项结合，然后利用平方差公式计算；⑵多项式的积作为减数时一定要将积添上括号，作为一个整体；⑶观察式子的特点，将能够利用公式的项先整合.解：⑴()()c b a c b a 3232-+--＝()[]()[]()22222496432323b c ac a b c a b c a b c a -+-=--=+--- ⑵()()()31222-+-+x x x ＝()3224422---++x x x x＝10864244222++-=++-++x x x x x x⑶()()()2222211412x x x ++-＝()()()[]22141212++-x x x ＝()()[]2221414+-x x ＝()1322561164824+-=-x x x 【变式题组】01．计算：⑴()()()22933y x y x y x ++- ⑵()()c b c b --+22⑶()()c b a c b a -++-3232 ⑷()()()()221222513-+-+-+m m m m02．规定一种运算“＊”：对于任意实数对（x ,y ）恒有（x ,y ）＊(x ,y )＝(x ＋y ＋1),x 2－y －1).若实数a ,b 满足（a ,b ）＊(a ,b )＝(b ,a ),则a ＝__________,b ＝_________ 【例２】在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的正方形（ a ＞b ）（如图甲），把余下部分拼成一个矩形（（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）A .()2222b ab a b a ++=+ B .()2222b ab a b a +-=-C .()()b a b a b a -+=-22D .()()2222b ab a b a b a -+=-+【解法指导】图甲中阴影部分面积为22b a -，图乙中阴影部分面积为()()b a b a -+.故选C .【变式题组】01．如图，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）.把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，验证求法公式 .02．完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数式也可以用这种形式表示，例如()()22322b ab a b a b a ++=++就可以用图1的形式表示. ⑴请写出图2所表示的代数恒等式 ；⑵请画出一个几何图形，使它的面积能表示成：()()22343b ab a b a b a ++=++a甲乙第1题图 baa aab a a a a ab b bbbb第2题图弦图1图2。
学科教师辅导讲义 学员编号：年 级：七年级 课 时 数：3 学员姓名：辅导科目：数学 学科教师： 授课主题第01讲---整式的乘除 授课类型T 同步课堂 P 实战演练 S 归纳总结 教学目标① 掌握幂的有关运算性质（同底数幂的乘除、积的乘方与幂的乘方） ② 掌握整式的乘除运算法则，会利用其性质进行化简求值。
授课日期及时段T （Textbook-Based ）——同步课堂一、知识框架二、知识概念（一）同底数幂的乘法1、同底数幂的乘法的运算性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，用公式表示为m n m n a a a +•=（m,n 都是正整数，底数a 不仅可以表示具体的数，也可以表示单项式与多项式）2、同底数幂的乘法运算性质的推广及逆用：①(,,m n p m n p a a a a m n p ++••=都是正整数） ②(,m n m n a a a m n +=•都是正整数）（二）幂的乘方与积的乘方体系搭建2、单项式与多项式相乘法则：根据分配律用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。
公式如下： ()(,,,m a b c ma mb mc m a b c ++=++都是单项式）3、多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
公式如下：()()(,,,m n a b ma mb na nb m n a b ++=+++都是单项式）（五）同底数幂的除法1、同底数幂的除法的运算性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减，用公式表示为m n m n a a a -÷= （0,,a m n ≠都是正整数）2、同底数幂的乘法运算性质的推广及逆用：①(,,m n p m n p a a a a m n p ++÷÷=都是正整数）②(,m n m n a a a m n -=÷都是正整数），0的非零次幂都为03、零指数幂与负整数幂①010)a a =≠（ ②1(0p p a a p a -=≠，是正整数），此式也可逆用，即11()(0,p p a a p p a a-==≠为正整数） 4、用科学计数法表示小于1的正数一般地，一个小于1的正数可以表示为10n a ⨯的形式，其中1≤a ＜10，n 是负整数，且n 的绝对值等于原数的左边第一个非零数字前零的个数（包括小数点前面的零）。
第一讲 整式的乘除（一）【知识梳理】1.同底数幂乘法法则：=n m a a · （m.n 都是正整数）；逆运算=+n m a .2.幂的乘方法则：()=nma （m.n 都是正整数）；逆运算=mn a .3.积的乘方法则：()=nab （n 为正整数）；逆运算=n n b a .4.同底数幂除法法则：=÷n m a a （a ≠0，m.n 都是正整数）；逆运算=-n m a .5.零指数的运算：=0a ）（0≠a ； 6.负整数指数幂的运算：=-pa.,是正整数）（p a 0≠ 【重点难点】同底数幂的计算法则及其逆运算的运用，必须做到非常熟练。
【典例精析】例1：计算：（1）3352a a a a a ⋅⋅+⋅ （2）()3823222b a b a ⋅-（3）()()2442432a a a a a -++⋅⋅ （4）()3-30311-32⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛（5）()1-2-331-211⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+- （6）()02-1-32018-31312∏+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-（7）()()4322a b b a -⋅- （8）()()()y x x y y x -⋅-⋅-510例2:已知5,3==n ma a，求（1）n m a 32+的值；（2）n m a 2-3的值.变式练习2：（1）已知2x a =，3y a =，求3x y a +；yx a -2（2）如果339+=x x，求x 的值；（3）已知2x m =，2y n =,求8x y +的值（用m 、n 表示）．例3:计算：（1）（-4）2×0.252 （2）0.1253×（-8）3 （3）()20042002200315.132-⨯⨯⎪⎭⎫⎝⎛变式练习3: （1）（-0.125）2007×（-8）2008（2）20102011324143⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-【巩固练习】1. 计算（3a 2b 3）3，正确的结果是（ ）A ．27a 6b 9B ．27a 8b 27C ．9a 6b 9D ．27a 5b 62.()()()2323a a a -⋅⋅-的结果正确的是（ ） A.11a B.11-a C.10-a D.13a3. 下列运算中，正确的是（ ）A.5552a a a =+ B.1055a a a =+C. 10552a a a =+D.3322y x xy y x =+4. 计算3221⎪⎭⎫⎝⎛-y x 的结果正确的是（ ）A.y x2441 B. y x 3681 C. yx 3581- D. yx3681-5. 下列各计算题中正确的是（ ）． A ．m ma a a22=⋅ B ．624)(a a = C ．623x x x x =⋅⋅ D ．632)(ab ab =6.下列计算： ① 0(1)1-=- ② 1(1)1--=- ③ 21222-⨯=④ 2213(0)3a a a-=≠ ⑤ 22()()m m a a -=- ⑥ 32321a a a a÷⨯=正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 7.a 为任意实数，则下列等式中恒成立的是（ ）A.236a a a =÷B.632a a a =•C.2842a a a =⨯D.a a a =-2334 8.下列运算中，正确的是（ ）A ．32523a a a =+ B.532a a a =⋅ C.832)(a a = D.326a a a =÷9.下列计算正确的是（ ） A.0)2.0(0=- B.1)1.0(3=- C.33310=÷- D.)0(44≠=÷a a a a11.（x ﹣y ）4•（y ﹣x ）3可以表示为（ ） A ．（x ﹣y ）7 B ．﹣（x ﹣y ）7 C ．（x ﹣y ）12 D ．﹣（x ﹣y ）1212.计算（1）()()3122122-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+----π （2）()1012201021---+⎪⎭⎫ ⎝⎛π（3）()()1-02013221-3-1-3-3-⎪⎭⎫ ⎝⎛∏⨯++ （4）()()()3310a b a b b a -÷-÷-（5）3221--÷⎪⎭⎫⎝⎛---)()(πx （6）()()()()a b b a a b b a -•-+-•-432（7）()()()()()()x x x x x x x x -⋅-⋅--⋅-+223322422413.（1）若4323==yx ，求y x -27的值．（2）已知2x +5y -3=0，求yx324⋅的值．（3）若63=m，23=n，求1323+-n m 的值．【强化训练】1. 填空题：（1）=⋅⋅53a a a （2）()()=⋅a a 33 （3）=⋅⋅-+11m m m X X X .（4）()()=+⋅+2355x x （5）54253a a a a ⋅+⋅= .（6）()()()()()=++++-+⋅+5432574n m n m n m n m n m .2. 若34m a a a =,则=m ____；若416a x x x =,则=a ____；3. 若2,5m n a a ==,则m n a += ；4. 若310510==n m ,，求n m 3210-的值。
2021-2022学年七年级数学【赢在寒假】同步精讲精练系列第1章整式的乘除第02讲整式的乘法【考点梳理】考点1：单项式、多项式及整式的概念1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。
如：bc a 22-的系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。
2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。
如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。
3、整式：单项式和多项式统称整式。
注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。
也不是单项式和多项式。
4、多项式按字母的升（降）幂排列：如：1223223--+-y xy y x x 按x 的升幂排列：3223221x y x xy y +-+--按x 的降幂排列：1223223--+-y xy y x x 按y 的升幂排列：3223221yy x xy x --++-按y 的降幂排列：1223223-++--x xy y x y 考点2：单项式及多项式的乘法法则1、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
注意：①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。
②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。
③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
如：=∙-xy z y x 32322.单项式乘以多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)注意：①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
李甲数学让高分成为习惯第151讲整式的乘除法专题乘法运嘗•込够垃三方if 血.二 -（方伽:■、本节重点 1. 幕的乘法运算： （1） 同底数幕的乘法：同底数幕相乘底数不变指数相加 •（注意当底数互为相反数时要化成同底数幕，再运用同底数幕 乘法法则进行运算）.表示：a m a n a m n （ m, n 都是整数）（2） 幕的乘方：幕的乘方，底数不变指数相乘 ^a ma mn （ m,n 都是整数）；逆运算：a mn（3）积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘 nn nn nn表示： ab a b （ n 是整数）；逆运用：a b ab2. 同底数幕的除法：同底数幕相除，底数不变，指数相减.表示：a m a n a mn （ a 0,m,n 都是整数）3. 整式的乘法运算：（1） 单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含 有字母，连同它的指数作为积的一个因式 .（2） 单项式与多项式相乘：单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项 式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加（3） 多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的 每一项，再把所得的积相加. 4. 整式的除法运算：（1） 单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幕分别相除，作为商的因式，对于只在被除 式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；（2） 多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商 相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数、知识框架表示: 反丸1袖魅三、学生笔记四、经典题型题型一：幕的乘法运算 1.计算（1） a 3 a 22. (1) 如果 n 2 8 n16411 ,则 n(2)已知x 5y 35, x y 7，则 1 x 8 y 的值为2(3) 已知3m a 3,b 31 n 2，求 a 2m 3b n 3a 2mb n a 4m b 2n 的值 3. 若 nab 2 2 与 9a 2b' m互为相反数，求 m n 的值4.( 1)已知 a 8131,b 2741,C 961，则 a,b,c 的大小关系 ___________________________ (2)比较 3555,4 444,5333 的大小 _________________________ .题型二：同底数幕的除法35. （ 1） a 3a4(3)3a 2 3ab 2(4) 2x 2y 3 8 x 2 $ x 2(5)150.1252152003 132320023 mn 2(6) x yy x24(2) st t s st(2)3x -818. 若 3x 4,9y 7，则 3x 2y 的值 _________________ . 9. 已知x 2x 31，整数x 的值为 __________________ 10. 计算 10 2 3,10-，求 106 12 的值•51 已知 x 5y 6，求 x2 5xy 2 已知 x+y 5,xy 6，求 x y11. (1)c3 c 22a 3a4a5a 51 2 2(2) a b 3ab a b4(3) x 3 x 1x x 2 12(4) x 1 x 1题型三：整式的乘法运算 5a ab b 22x 2 x 46. 用科学记数法表示下列各数：（1）0.00005127. 计算：（用科学记数法表示结果）（1） 9 10418 107(2)-0.0000071(2) 2 102 10 7 312. 30y 的值.2xy 的值.李甲数学让高分成为习惯2 213. x xy 2y x 7y 6 x 2y A x y B .求A李甲数学让高分成为习惯题型四：整式的除法运算 16. （ 1） 12a 3b 5c 23a 2b 318. 若x 取整数，则使分式的值为整数的x 值有 _____________ 个. 2x 1219. 若x13，则〒的值为 _____________________________ .xx x 114.若多项式x 22px 8和多项式x3x q 的乘积中不含x 3和x 2项，求p 和q 的值. 15.先化简，再求值:x y x 2y12 2x 3y x 2y ，其中 x2,y17.化简求值:25x 4y 4y 5x 4y5x ，其中 x 1,y 3.(2)21 2」4 4 a b c 3 1 ,3 2ab c-a 3b 2248。
一 整式的乘除一、同底数幂的乘法1．同底数幂的乘法法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即：mnm na a a +⋅=（m ，n 都是正整数）。
这个公式的特点是：左边是两个或两个以上的同底数幂相乘，右边是一个幂，指数相加。
注意：（1）同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数.（2） 在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算.公式拓展：p n m a a a ⋅⋅= 。
【典型例题】例1：计算：（1）821010⨯； （2）23x x ⋅-（-）（）； （3）32)(x x -⋅例2：计算：（1）)()()(32b a a b b a +⋅+⋅+ （2）23x 2y y x -⋅（）（2-）（3）)()()(25y x x y y x -⋅-⋅- （4）n 2n 1n a a a a ++⋅⋅⋅总结()()(),n nn a n a a n ⎧⎪-=⎨-⎪⎩为偶数,为奇数 ()()()()()n nnb a n a b b a n ⎧-⎪-=⎨--⎪⎩为偶数为奇数例3、计算：31213)(2x x x x x x n n n ⋅+⋅--⋅-+ 4236)()()()(a a a a -⋅-⋅-⋅-例4：已知x 22m +=，用含m 的代数式表示x 2。
【变式练习】(1) –ｘ2·(-ｘ3) (2) –ａ·(-ａ)2·ａ3(3) –ｂ2·(-ｂ)2·(-ｂ)3(4) ｘ·(-ｘ2)·(-ｘ)2·(-ｘ3)·(-ｘ)3(5) 1+-•n n x x x (6)x 4－m ·x 4+m·(-x)(7) x 6·(-x)5-(-x)8·(-x)3(8) -ａ3·(-ａ)4·(-ａ)52 逆用同底数幂的法则逆用法则为：n m nm a a a •=+（m 、n 都是正整数）【典型例题】1．（1）已知x m=3，x n=5，求x m+n。
-5x 4÷2x 3y 2÷丄x 2y 4-xy 3-6,在这里只考虑X 的指数,而不考虑英它字母；按y 的升幕排列为 2-6-5x 4+2x 3y 2-xy 3+1 x 2y 4.要点诠释. (1) 检新排列多项式时,每一项一定要连同它的正负号一起移动： (2) 含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一个字母的升幕排列或降幕排列. 要点三、整式单项式与多项式统称为整式.要点诠释：(I)单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示. 即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立. (2) 分母中含有字母的式子一泄不是整式.【典型例题】类型一、整式概念辨析1. 指出下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式?举一反三：【高清课堂：整式的概念 例1】【变式】下列代数式：(D-1；®- —④X1;⑤2"丄;⑥X )2.2Fy+)九3 π 2 X其中是单项式的是 _______________ ，是多项式的是 ______________ O类型二、单项式¢^2.判断下列各代数式是否是单项式.如果不是，请简要说明理由；如果是，请指出它 的系数和次数：1 3 (1) a+2 (2) - (3) πr 2 (4) --a 2h(5) m (6) -3×104tX 2 举一反三：【变式1】1∙单项式3χ2y3的系数是【变式2】(泰州)下列结论正确的是()・A. 没有加减运算的代数式叫做单项式.B. 单项式竺匚的系数是3,次数是2・ 7C. 单项式m 既没有系数，也没有次数.D. 单项式一勺“？的系数是T,次数是4・10, 6xy +1» —X -m 2n, 2疋-A ・-5, 7 x 2+x式类型三、多项式¢^3.多项式—-x2y + -x4y2-x + ↑,这个多项式的最高次项是什么？一次项的系数是什么？常数项是什么？这是几次几项式?4.已知多项式-6心2 _7严)，2 +二),_疋),_5 .(1)求多项式各项的系数和次数.(2)如果多项式是七次五项式，求m的值.举一反三：【高清课堂：整式的概念……练习题…3】【变式】多项式(Λ-4)√-√+X-/?是关于X的二次三项式，求"与b的差的相反数.类型四、整式的综合应用5.已知多项式-3X2∕Π+2+√-2X2--是六次四项式，单项式-？宀),5七的次数与此多项式的次数相同，求(H-Hl)2(K)5的值.举一反三：【变式】已知同=F,试确定六次单项式丄Jm中“的取值，并在上述条件下求多项式aα10-α9-l 的值.整式（不分层）巩固练习【巩固练习】一、选择题1.下列说法中错误的个数是（）.①单独一个数O不是单项式：②单项式-a的次数为0；③多项式-a2+abc+l是二次三项式：④-a2b的系数是1.A・ 1 B. 2 C. 3 D・ 44Λ2 V2.已知单项式-一，下列说法正确的是（）・3A.系数是-4,次数是34B.系数是一工，次数是334C.系数是工，次数是334D.系数是一一，次数是233.如果一个多项式的次数是3,那么这个多项式的任何一项的次数（）.A.都小于3B.都等于3C.都不小于3D.都不大于34.下列式子:a+2b, —, -（X2-Γ）, 0中，整式的个数是（）.23“A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个5.关于单项式-2'F）,z,下列结论正确的是（）.A.系数是-2,次数是4B.系数是-2,次数是5c・系数是-2,次数是8D.系数是-"，次数是56.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2011应标在（）・A.第502个正方形的左下角B.第502个正方形的左下角右下角C.第503个正方形的左上角D.第503个正方形的右下角IE^形第3个励形第4个1EΛ形二.填空题7.代数式二W -X2/,丄二二-ab2c3, O, G +3C —1中是单项式的是 __________________ ,是3 3 •2多项式的是_______ .8.关于X的多项式｛m - l)x3一2x" + 3x的次数是2,那么m = ________ , n = _______ .9.多项式2x2-3x+5是_ ______ 次_____ 项式.10.-必2广】是关于X. y的五次单项式，且系数为3,则a+b的值为 __________ ・,1∙有一组单项式：几—y请观察它们的构成规律'用你发现的规律写出第10个单项式：________ .12.关于X的二次三项式的一次项的系数为5,二次项的系数为-3,常数项为-4,按照X的次数逐渐降低排列，这个二次三项式为 ________ •13.某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒……按此规律，请你推测第n组应该取种子数是_______ 粒.14.请把多项式3√y-3,√ +-V3-5/重新排列：按y降幕排列：_____________________________________按y升幕排列：_______________________________________三、解答题15.下图是一个数值转换机的示意图，请你用x、y的多项式表示输出结果，并求输入X的值为3, y的值为-2时的输岀结果.16.已知单项式一-x4y3的次数与多项式a2+Su",^h + a2b2的次数相同，求加的值.217. 已知多项式-βl2+fl ,⅛-Λ2 + …+ 肿一矿,（1） 请你按照上述规律写出该多项式的第5项，并指岀它的系数和次数:（2） 这个多项式是几次几项式？1&将连续的奇数135,7,…排列如图所示数表:（1）十字框中的五个数的和与中间数23有什么关系？（2设中间的数为α,用代数式表示十字框中的五个数之和：（3） 若将十字框上、下、左、右平移，可框住另外五个数，这五个数还有这种规律吗？（4） 十字框的五个数之和能等于2010吗？若能，请写出这五个数：若不能，请说明理由・ 117 33 49 3 5 7 9 11 13 15。
初中数学整式乘除培优考试要求:知识点汇总：模块一壽的运算需的运算概念：求〃个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幕，在/中，α叫做底数, n叫做指数. 含义：水中，"为底数，〃为指数，即表示α的个数，/表示有刃个α连续相乘.例如：3'表示3×3×3×3×3 , (一3f 表示(一3)x(-3)x(-3)x(-3)x(-3) , -3'表示 -(3×3×3×3×3)5. . 2x2x2x2x2z2 < . . 2 2 2 2 2 27 7 7 7 7 7 7 7特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号.“奇负偶正” 口诀的应用：口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：⑴多重负号的化简，这里奇偶指的是“一”号的个数，例如：一[-(一3)] = -3； -[+(-3)] = 3・⑵有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：(—3) × (—2) × (—6) = —36,而(—3) × (—2) X (+6) = 36 ・⑶有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则嫌为负；指数为偶数，则幕为正，例如：(一3)‘ = 9 , (一3)、= 一27 ・特别地：当“为奇数时，(一")”=一『：而当“为偶数时，(-a)n =a n・负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正数正数的任何次幕都是正数，1的任何次幕都是1,任何不为O的数的O次幕都是⑴・(1)同底数幕相乘・同底数的彖相乘，底数不变，指数相加.用式子表示为：(m√ι都是正整数)・(2) 策的乘方.幕的乘方的运算性质：幕的乘方.底数不变，指数相乘.用式子麦示为: (町=旷(m 9n 都是正整数)・ ⑶积的乘方.积的乘方的运算性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的無相乘•用 式子表示为： (ab)n ≈a fl h fl(“是正整数)・ (4)同底数彖相除・同底数的幕相除，底数不变，指数相减.用式子表示为:模块二整式的乘法⑴单项式与单项式相乘：系数、同底数幕分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有的 字母，则连同它的指数作为积的一个因式・以下举例说明单项式与单项式相乘的规则如下：Ub • 3a 2b y c 2= 3a^c 2,两个单项式的系数分 别为1和3,乘积的系数是3,两个单项式中关于字母α的幕分别是α和/,乘积中d 的幕 是才,同理，乘积中b 的幕是戻，另外，单项式“b 中不含C 的幕，而3i l 2b i c 2中含¢2,故乘 积中含疋・ ⑵单项式与多项式相乘：单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加，公式为：m(a + b + c) = ma + mb + me ,其中加为单项式，a+b + c为 多项式.⑶多项式与多项式相乘:将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单 项式相乘，然后把积相加，公式为：(∕π + n)(a + b) = ma + mb + Ha + Hh模块三整式的除法(1) 单项式除以单项式^系数、同底数的幕分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有 的字母，則连同它的指数作为商的一个因式•如：3a 2b 3c 2*ab = 3ab 2c 2,被除式为3a 2b 3c 2, 除式为肪，系数分别为3和1,故商中的系数为3, α的彖分别为/和α,故商中α的 幕为∕τ=α,同理，〃的幕为，，另外，被除式中含Y,而除式中不含关于c ・的策，故 商中e 的幕为c'・(2) 多项式除以单项式：多项式中的每一项分别除以单项式，然后把所得的商相加， 公式为：(" + b + c ∙)÷∙m = "*"2 + b*m + c*"?,其中加为单项式，a + h + c 为多项式.(3) 多项式除以多项式后有专题介绍.模块四平方差公式(a+ h){a-b) = a 2 -h 2平方差公式的特点：即两数和与它们差的积等于这两数的平方差。
(1)左边是一个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数。
(π≠0 , In , ⑸规定 π0= l (α≠O);“都是正整数) (α≠0, P 是正整数)・(2)右边是乘方中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)。
注意：(1 )公式中的G和〃可以是具体的数也可以是单项式或多项式。
如：(d + 2)(r∕-2) = «2 -4 ； (x + 3y)(x-3y)=x? -9y2: (a + h + c){a + b-c) = (U + h)2 -C2；(a3+b5)(a3-b5) = a6-b w t>(2)不能直接运用平方差公式的，要基于转化变形，也可能运用公式。
如：97 × 103 = ( 1OO - 3)( 1OO + 3) = 9991 ；(α + b)^b + a) = (a + b)(a -b) = a2-b2.模块五完全平方公式(a+b)2=a2 + 2ab+b2; (a-b)2 =a2-2ab + b11即两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们积的2倍。
完全平方公式的特点：左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中的毎一项的平方，另一项是左边二项式中二项乘积的2倍，可简单概括为口诀：“首平方，尾平方，首尾之积2倍加减在中央S注意：(1)公式中的“和b可以是单项式，也可以是多项式。
(2) 一些本来不是二项式的式子的平方也可以利用完全平方公式来计算，如：(a+b + c)2=[(α + Z?) +CF =(a + b)2+2(a + b)×c + c1=a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 =U I +b2 + C2 + 2ab + 2ac + IbC立方和公式：(a+b)(a2 -Ub + h2) = U S + b' J立方差公式：(ii-b)(a2 + ah + b2) = a" -b' ;和的完全立方公式：(<∕ + ∕√ =a3+3a2b + 3ab2 +b3；差的完全立方公式：(a - b)' =/ -3∕b + 3ub~ - c'・例题精讲：板块一：幕的运算【例1】已知“ =5 b = -∖.“为正整数，你能求出a2n+2b2n b2的值吗？【解析】幕运算的综合应用【答案】a2^2b2n b2≈(ab^2∣2"∙ 2当a1^1b2n b2≈(ab)2^2^9原式= 5×【例2】若(9x2)3∙⅛ =4,求P的值【解析】略【答案 1 (9√)3∙ψ8 =[(3x)2 J-(I)8=1(√)2 Λ(√)2=36/. X3= ±6【例3】已知—b互为相反数Od互为倒数，兀的绝对值等于2, 试求：X2 - (a + h + Cd)X + (U + b)2∞∙' + (-α∕)20°3的值.【解析】由题意可知a + b = O 9 Cd= 1 , x = ±2x2-(a + b + Cd)X+ (α + b)200i + (-cd)20°3 = (±2)‘ 一(O + I)x(±2) + O2003 +(-∖)20ai当 X = 2 吋，A-2-(a + b + Cd)X + (a + b)2,xB + (-α∕)20°3 = 1当 x = -2∏t, X2一(a + h + Cd)X + (U + b)2∞' + (-<γ∕)2αβ = 5【答案】见解析【例4】已知:“ =2002 + 2001× 2002 + 2001× 2000' + …+ 2001 x 2OO22(XX)+ 2001× 20022∞,, b= 2002≡2试比较α与〃的大小・【解析】变形α时，注意从简单情况入手找规律.【答案】“ = /?［例5 ］你能比较两个数20082∞9和2009z≡的大小吗？为了解决这个问题，我们先写岀它的一般形式，即比较严与5 + 1)"的大小("是自然数)，然后，我们分析n = 2, H =2, H =3,…中发现规律，经归纳，猜想得出结论・⑴通过计算，比较下列各组中两个数的大小(在空格中填写“ > ”、“ =J 号)φl2_21；② 2'_32；③3'_43；④4'_54：⑤5&_65∙∙∙⑵从帝)题的结果丽归纳，而猜想出严诵5 + 1)”的齐、关系是_____________ •⑶根据上而归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小2008'∞9 2009咖・【解析】从简单情况找规律.【答案］(1XD12<2I;②23<32;③34>43;④45>54;⑤56>65∙∙∙(2) ∏n+l <(n + l)n (n = l 9 2), n"+, >(n + l)π (n≥3); (3)2∞82009 >2OO92008.【巩固】符号川表示正整数从1到刃的连乘积，读作卄的阶乘.例如5! = lx2x3x4x5•试比 较3“与(n + l)!的大小(n 是正整数)【解析】当 H = I 时，3M=3, (n + l)!=l×2 = 2当 n = 2Ht, 3π=9 , (n + l)!=l×2×3 = 6 当农=3时.3π=27, (n + l)! = l×2×3×4 = 24 当 ∏=43t, 了=81, (H + 1)! = 1×2×3×4×5 = 120 当 /7 = 5 Ht, 3“ =243, (H + 1)! = 6! = 720当 n = l, 2, 3 时，3Λ>(Λ + 1)!,当 n>3Bt3fl<(w + l)l.【答案】见解析【巩固】比较/与(α为正数，"为正整数)的大小. 【解析】略【答案】方法1T“>0, 〃为正整数，∆6∕π>0,√,+2=√-√,, •••分三种情况：当 a>∖i 則 / > 1, Ir>Cr : 当 a = ∖9 则 u 2=l, a^2 =a π当 OVdVl,则 a 2<∖ 9 则 a r ^2<a n・方法 2 V a >09 ”为正整数，∙∙∙∕>0, T 一 = tr,U n•••分三种请况：①当 a>l f SU 2>1, a n ^2>a n ;②当 U = I f 则 a 2 = ∖ , απ+2=απ:③当 0 — Vi, RU 2 <1,2< a n ・【例6】 计算：2-22 -23 -24 -25 -26 -27 一28 -2® +2,° = _____________【解析】可直接计算求出结果，也可通过观察式子的特点，注意到2H)询面为“ + ”号，提 取公因式，再进行计算.原式= 2l ° -29 -28 -27 -26 -25 -24 -23 -22+2= 29(2-1)-28 -27 -26 -25 -24 -23 -2Z+2 .......... = 22(2-l) + 2 = 6教师不防在此回忆巩固下面两个典型题目的计算： 厂 1 1 1 IIIII 1 IlI l l2丿 刁+歹+尸+・・・+ 莎 +亍=厅+尹+歹+・・・+时 +歹+歹一亍=1一乔 ② 20+2I+22 + 23 + 24+∙∙∙+2Π=20+20+2I+22+23+24 + (2)-20=2,HBl-I 见解析【例7】 已知：a n=2> a m=3, a k=4,则a?"" 2k 的值为 ________________ 【解析】利用同底数彖的乘法和除法法则的逆运算进行计算. 【答案】当 a n=2, a m=3. a k=4 l ⅛,a2n+m '2k=a 2n∙a m÷a 2k= (a n) 2∙a m÷ (a k) 2=4×3÷16=4・4T ①②③【答案】【例8】比较3555, 4444, 5333的大小关系，用大于号连接为____________ .【解析】由于3个麻的底数与指数都不相同，观察发现，它们的指数有最大公约数111,所以逆用幕的乘方的运算性质，可将3个幕都转化为指数是Ill的幕的形式，然后只需比较它们的底数即可.【答案］V3555=35XlII= (35) 111=243111,4444=44Xlll= (44) 111=256111,5333=53x1II=(53)叫125】11,又 V256>243>125,Λ256111>243111>125111,即 4444>3555>5B3.【巩固】比较2100与375的大小2100 __________ 375.【解析】把两个数化成指数相同底数不同的数，通过比较底数比较大小.【答案］V21∞= (24) 25=162∖ 375= (33) 25=2725,且 1625 < 2725,Λ2100<375・【例9】比较3555, 4444, 5333的大小关系，用大于号连接为____________ .【解析】由于3个纂的底数与指数都不相同，观察发现，它们的指数有最大公约数111,所以逆用嫌的乘方的运算性质，可将3个幕都转化为指数是Ill的幕的形式，然后只需比较它们的底数即可.【答案】•・•护S=35×111=(35)111=243111,4444=44xl Il= (44) 111=256111,5333=53XllI=(53)叫125】1】,又 V256>243>125,Λ256111>243111>125111,即 4444>3555>5B3.【巩固】比较2100与375的大小2100 __________ 375.【解析】把两个数化成指数相同底数不同的数，通过比较底数比较大小.【答案】∙∙∙2wo=≡ (24) 25=162S, 375= (33) 25=272∖且 1625<2725,Λ2100<375•【例10】比较下列各题中幕的大小.⑴比较大小：U = -OA 29 〃 = -4巴2(-丄严，(I = C 丄)°・4 4 ⑵LL 知“ =81" , b = 2741, c = 961»比较d, b , C 的大小关系. (3) 比较2匕344 , 53∖ 6"这4个数的大小关系・(4) 15,6与3屮的大小关系是1严 _____ 33° (填“ >”、“ < ”或).(5) 已知 Λ∕=62∞,+72cm , 7V = 6≡5+72∞,,比较 M 、N 的大小关系. ⑹已知P =畚,Q =器,比较P 、0的大小关系.3≡> + [ a 2007+1⑺已知A = 討，B = =，试比较A 与〃的大小•⑻对于“>b>c>o,加>心0(〃八〃是正整数)，比较汽r, /b, “V H的大小 关系.【解析】本题介绍了幕的大小比较常用的8个方法.(1 )</ = —0.16 , b = —= —0.0625 , C = I6, d = 1 . a <b<d <c .直接计算. (2)W = (34)3,=3,24, h = (33)4,=3,23 t C= (32)6,=3,22,所以a>b>c.比较指数.⑶255=(25),,=32H, 344=(34),,=81,1, 533 =(53)u=125n, 622= (62)n=36", 32u<36"<81,,<12511, 255<622<344<533.比较底数.(4)15,6<16l6=2ω・ 33l3>32n= 265>2ω,所以 1516<33n .放缩. ⑸因为 M-N= 6如 + 7≡3-(6≡,+ 72∞1)= 62(XH+ 72∞5 - 62αB 一 72∞,=62oω(1-62) + 72∞∣(72-1)=48X 72(IO,-35×6≡,>O , 所以M>N.作差.⑹因为厶竺』I=空—Q理 99° 9"119(7H 殳32∞6=O ,则 A= tA而]_ — • _ 亠 J — ' ______ — ____ ' ___ — 1 4_ \、1 }3L TfB^3t∕ + 1 9t∕ + l ^ (3" + l)2^9√+6<∕ + l ^ 9√+6t∕ + Γ '(8)因为 a>b>c>0 9 m >/?>0 (In , m + n-p = 0 为正整数)， 故可取 “ =3, Z? =2 , c = l, tn =3 , n = 2 , 则 √,7∕=33×22=1O8 ,h ,,c ,n =22×∖i =4 , Cv n =I 2×33 = 27 . 所 以O m b n > c n a m >b n c m ・见解析板块二：整式的乘除【例 11 】计算(2x+l)→(3x -2)×(6Λ-4)→(4x +2). 【解析】原式=[(2x +1)→(4Λ + 2)] [(6Λ-4)→(3Λ∙ — 2)] =(2x + l)→[2(2% + !)] [2(3X— 2)*(3x 一2)]=1・在乘除混合运算中，巧用结合律，有时可简化运算.实际上，我们利用除法是乘法的逆运算，除以一个整式，相当于乘以该整式的倒数•q 9° Q 9 X119 q 9° TF =^L T?= L 所以P=Q -作商. ->0, B = ^I>0.3" +1 9“ +1 6/ + 1 3a + ∖ α + l)(9α + l) 9∕ + 10d + l【答案】通过约分，可更容易地解决问题・其解如下：原式= (2x + D×-J-×(6x-4)×-!—3x-2 4x + 2 (2X +1).(6Λ-4)I(3x-2)∙(4x + 2)【答案】见解析【巩固】计•算：（3Ay）2（才2 一『2）_（4牙2y2）2壬字+9χ2/・【解析】原式=9√y2（x2-y2）-16x4/ ÷8y2 +9x2/ =9x4y2 -9x2y4 -2x4y2+9√∕ =7x4y2【答案】见解析【例12】已知a=v5 - 1,贝∣J 2a3+7a2・2a - 12的值等于______ ・【解析】将a = y∕5一1转化为(a+l) 2=5,再进一步转化a2+2a=4将2a3 + Ja2一2“ 一 12转化为2/ + Aa2 + Ia + 3/ 一牝一 12,对前三项提取公因式2纸运用完全平方公式变为2a(a + ∖)2+3a2-4a-n此时将(a+l) 2=5代入上式，变为3∕+6d-12,再对祈两项提取公因数2,变为 3(/+2d) —12此时将a2 + 2a = 4代入上式.最终问题得以解决.【答案】解：由已知得(a+l) 2=5,所以a2+2a=4則原式=2a3÷4a2+2a+3a2 - 4a - 12=2a (a2+2a+l) +3a' - 4a - 12=2a (a+l) '+3a' - 4a - 12=2a×5+3a2 - 4a - 12=3a2÷6a - 12=3 (a2+2a) - 12=3×4 - 12=O故答案0【例 13】先化简♦英中 x=-l> y=l,则-2 (3x2 - xy) ÷^∙( - 6x2+3xy - 1) = __________ ・【解析】此题多项式中含有括号，則先进行去括号，然后合并同类项得到最简式，最后将X, y 的值代入最简式求多项式的值.［答案】解：原式=-(6x' - 2xy) + ( - 2x"÷xy - J)=-6x'+2Xy - 2x~+xy -扌=-8x^+3Xy -扌当X=-L y=l吋,原式=-S - 3 -寺=-11吉・【例14】先化简，再求值：(1)若 a=2, b=-2, (2a⅛+2b2a) - [2 (a2b- 1) +3ab2+2]= _______________ :(2)已知：A - 2B=7a2 - 7ab> 且 B= - 4a2+6ab+7,φA=____________ ；②若∣a+l∣+ (b-2) 2=0,则 A= ____________ ・(3)已知多项式(2mx2-χ2+3x+l) - (5x2→y2+3x)化简后不含Q项.则多项式 2m3 - [3m3 - (4m - 5) +ιn]=___________ .【解析】(1) (2)关馋是化简，然后把给定的值代入求值.(3)先化简，再根据不含F项，即疋项的系数为0,得关于m的方程.求解再代入多项式2m3 -[3m3 -(4m-5) + m]化简求值.【答案】解：(1)原Λ=2a⅛+2b2a - [2a2b - 2+3ab2+2]=2a2b+2b2a - 2a⅛+2 - 3ab2 - 2=-ab2当 a=2, b= - 2 时,原式=-2× ( - 2 ) 2= - 8・(2)由题意知，A= (7a2-7ab) +2B=(7a2- 7ab) +2 ( - 4a2+6ab+7)=7a2 - 7ab - 8a2+12ab+14=-a2+5ab+14V∣a+l∣+ (b-2) 2=0,∙'∙a+l=0, b - 2=0,即 a= - L b=2・当 a= - L b=2 时，原式=-I- 10+14=3.(3 ) (2mx2 - X2+3X+1)-(5x2 - 4y2+3χ)=2mx2 - X2+3X+1 - 5x2+4y2 - 3x=(2m - 6) x2+4y2+l•••不含X2项.φ. 2m - 6=0 > 解得 m=3 ・∙'∙2m'・[3m' - (4m -5) +m]=2m j - [3n? - 4m+5÷m]=2m' - 3m'+4m - 5 -In=-m'+3m - 5当m=3时原式=- 27+9 - 5=- 23 ・【例 15】已知 2x+y=7, x2+y2=5t 则(4x+2y) 2 - 3x2 - y2+2 (1 - y2)的值为____________ ・【解析】把(4.r + 2y)2一3x2一y2 + 2(1-/)化简为[2(2Λ∙+y)f -3x2-y2+2-2y2,合并同类项得4(2x + y)2-3(x2 + y2) + 2, V2x+y=7, x2+y2=5,代入可求值.【答案】解：原式=[2 (2x+y) J2 - 3X2 - y2+2 - 2y2=4 (2x+y ) 2 - 3 (x2+y2 ) +2 V2x+y=7, x2+y2=5•••原式=183.【例 16】若 Y=箸■，则壬(9y-3) +33 (9y-3) = ________________ .【解析】把原式去括号，合并同类项，再代入求值.【答案】解：解法一：I (9y-3) +33 (9y- 3) =3y - l+297y - 99=3OOy - 100,7∩∩Q当尸塔孑时，原式=2009 - 100=1909・解法二：I (9y-3) +33 ({9y- 3})=(9y-3)(扣3)=(9y-3) X晋=30Oy- 100 (以下同法一)・【例 17】计算:(1)(X5-1)÷(Λ∙-1); (2)(3X4-5√+Λ∙2+2)÷(X2+3).【解析】⑴用竖式除法A2+X÷1X-I)A-3+0Λ∙2÷0Λ-1Λ-3-√X2 + Ox兀一1A-I所以，商式为x2+x+l,余式为0.3F-5x-8(2) X2 + 3)3疋一5丘+十+0.丫 + 23疋 +9F—5x* - 8A^*÷OX—5x3— 1SX-8A∙2+15Λ +2-8十-2415x+26所以，商式为3Λ∙2-5X-8,余式为15x+26・说明：多项式的除法总可以用竖式除法来计算•计算时注意降慕排列，缺项补0(或空位)，同次项对齐等等・对多项式除法，我们有带余除法，即：被除式=除式X商式+余式，其中余式的最鬲次数低于除式的最爲次数・当余式为O吋，我们也称除式整除被除式，用“除式I被除式"表示・如⑴，我们可记^(A-I)I(X3-I):当余式不为O时，被除式不能整除被除式：当余式为常数时，我们也称余式为余数.显然，当除式为一次多项式时，余式必为常数・后有专题讲解！【答案】见解析板块三：乘法公式【例18】若×2+kxy+49y2是一个完全平方式，则k= ____________ .【解析】这里首末两项是X和7y这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去X和7y枳的 2倍.【答案】∙∙∙χ2+kxy+49y2是一个完全平方式，Λ±2×x×7y=kxy,.φ. k=±14 ・【例19】已知m2+2km+16是完全平方式，则k= _______________ -【解析】这里首末两项是m和4这两个数的平方.那么中间一项为加上或减去m和4积的 2倍. 【答案】∙.∙m2+2km+16是完全平方式，Λ2kιn=±8m,解得k=±4.【例20】用简便方法计算：2∞12 - 4002×2000+20002= ____________ ・【解析】观察可得原式可整理得：200P-2×2001×2000-20002r 2001和2000两数的平方和减去他们它们乘积的2倍，符合完全平方公式结构特紅，因此可应用完全平方公式进行计算.【答案】20012 - 2×2001×2000+20002,=(2001 - 2000) 2,=I2=I.【例21】a2x2 - 4x+b2是一个完全平方式，则ab= _____________ ・【解析】这里首末两项是ax和b这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去ax和b积的 2 倍，故2ab=±4, ab=±2 ・【答案】中间一项为加上或减去ax和b积的2倍，故2ab=±4,ab=±2故填±2.【例22】用乘法公式计算：(1) 59.8×60.2= ___________ : (2) 1982= ______________ ・ 【解析】(1) 59.8与60.2都与60差Oz 所以可变形为(60・0.2) (60+0.2)后利用平方 差公式解题；(2)中可变形为(200 - 2) 2后利用完全平方公式计算.【答案】(1)原式=(60 - 0.2) (60+0.2)=60— 0.22=3599.96 (2)原式=(200 - 2) 2=2002- 2×200×2+22=39204・【例23】1232・122×124= ___________ ・【解析】观察可得122=123 - 1, 124=123+1,代入原式后，配成平方差公式，应用该公式解 题可得答案.【答案】原式=1232- (123 - 1) × (123+1) =1232- (1232- 1) =1.【例24】P 二ψζ=( )612-392【解析】先根据平方差公式分别对分子、分母进行因式分解，然后计算即可. (53 +47)(53 ・ 47) (61 + 39)(61 - 39) 100X6 100X22故选A.【例25】推导(a + b)2+(b + c)2+(c + a)2的展开式，并总结公式.【解析】(d + by + (b + c)2+(c + a)2= 2(a 2+ b 2+ c 2+ Ub + he + Ca)或 *[(“ + b)2+(b + c)2 +(c + a)2] = 6∕2 +h 2 +c 2 + Clb + be + Ca • 帮助学生认淸每一项是由哪一部分产生的！【答案】见解析3 AX — 11 7 Cx - 11B 、D 、 5_H 2 H【答案】 53三竺612-392【巩固】根据例题结论请直接写岀下而式子的答案・(∖)(a + b)2 + (h - c)2 +(c + a)2(2) (a + b)2 +(b-c)' +(c-d)'【解析】(I)(U+ b)2 +(b-c)2 +(c + a)2 = 2(Cr +b2 +c2 +ab-bc + ca)(2) (a + b)2 + (b — Cy + (c - a)2 = 2(a2 +b2 +c2 + Ub一be — Ca)【答案】见解析[巩固】填空：(1)^2+b2 + c2 -ab-be-ca = _______________________________ :(2)Cr +b2 + c2 + Uh + be — Ca = ________________________ ；(3)a2 +h2 + c2 - Uh + be _ Ca = ____________________________【解析](1)1 [(α-b)2 +(b-c)? + (c-“)2]:⑵ * [(" + b)2 +(b + c)2 +{c-a)2 J : (3)∙1[(" 一 b)2 +(b + c)2 +(c-a)2【答案】见解析【例26】推导(a + b + c)2 > (a + h + c + d)2的公式，比较(a + b)2 X (a + h + c)2 X (a + b + c +d)2 的公式，并探索规律.【解析】(a + b)2=a2+b2+2ab(a+ h + c)2 = u2 +b2 + c2 + 2ab + 2hc + 2ca(a + b + c + d)2 = (U + b)2 + 2(a + b)(c + d) + (c + J)2=U2 + Iy +c2 +d2 + 2ab + 2cιc + 2cιd + Tbc + Uxl + 2ccl观察上述三个公式，可发現如下规律：一、项数：设字母(或者说元)的个数为“，则公式的展开式的项数为［丄。
