不可约多项式和极小多项式

极小多项式？
在抽象代数中，一个域上的代数的元素之极小多项式（或最小多项式）是它满足的最低次多项式。

此概念对线性代数与代数扩张的研究极有助益。

1.形式定义
设为域，为有限维-代数。

对任一元素，集合张出有限维向量空间，所以存在非平凡的线性关系：
可以假设，此时多项式满足。

根据多项式环里的除法，可知这类多项式中只有一个次数最小者，称之为的极小多项式。

由此可导出极小多项式的次数等於，而且可逆若且唯若其极小多项式之常数项非零，此时可以表成的多项式。

2,矩阵的极小多项式
考虑所有矩阵构成的-代数，由於，此时可定义一个矩阵之极小多项式，而且其次数至多为；事实上，根据凯莱-哈密顿定理，可知其次数至多为，且其根属於该矩阵的特徵值集。

极小多项式是矩阵分类理论（约当标准形、有理标准形）的关键。

3,极小多项式与代数扩张
设为的有限扩张，此时可视为有限维-代数。

根据域的性质，极小多项式必为素多项式。

元素的迹数及范数等不变量可以从极小多项式的系数读出。

不可约多项式的判定及应用摘 要多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念. 本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳, 较为系统的给出不可约多项式的判定方法。

对于一般的不可约多项式的判定有Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、Perron 判别法、Browm 判别法等。

研究了各判定方法的等价和包含关系。

此外，我们还给出了不可约多项式的一些应用。

关键词不可约多项式；判定方法；应用2. 不可约多项式的概念及性质2.1 整除的概念设P 是一个数域，对于[]P x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠，一定有[]P x 中的多项式()q x ，()r x 存在，使得()()()()f x q x g x r x =+成立，其中(())(())r x g x ∂<∂或者()0r x =，并且这样的()q x ，()r x 是唯一决定的。

定义2.1 数域P 上的多项式()g x 称为能整除()f x ，如果有数域P 上的多项式()h x 使等式()f x =()()g x h x成立，我们用“()g x |()f x ”表示()g x 整除()f x ，用“()g x ()f x ”表示()g x 不能整除()f x 。

定理 2.1[1] 对于数域P 上的任意两个多项式()f x ,()g x ,其中()g x 0≠,()g x |()f x 的充分必要条件是()g x 除()f x 的余式为零。

证明: 如果()r x = 0那么()f x =()()q x g x ,即()g x |()f x 。

反过来，如果()g x |()f x ，那么()f x =()()q x g x =()()q x g x +0，即()r x = 0。

注1: 带余除法中()g x 必须不为零。

下面介绍整除性的几个常用性质:（1） 如果()f x |()g x ,()g x |()f x ,那么()()f x cg x =，其中c 为非零常数。

有限域第一次大作业一、实验内容（1）构造有限域202F .（2）找到有限域202F 上的任意元素的极小多项式；（3）找到2F 上的一个本原多项式。

二、算法设计（1）我们知道有限域()n q F q p =的表达有三种形式：()i {}q q F ααα==，α为 ()q h x x x =-的根；()ii []()()()[],p q p F x F f x F x n f x =∈的次不可约多项式； ()iii {}0,q q F F α=U 为上的一个生成元；在这里我们主要通过找到2F 上的一个20次可约多项式来构造有限域202F ，并进行相应的运算。

由于只要找到一个2F 上的不可约多项式，我们采用的算法：()a 随机生成一个20次2F 上的多项式，()b 判断多项式为不可约的，pari 代码见附录1；通过pari 我们得到了一个20次的不可约多项式()(x)f ，则[]()2(x)F x f 即为我们想要的有限域，在这有限域上可以直接进行相应的代数运算，pari 代码见附录2；（2）找到有限域202F 上的任意元素α的极小多项式()f x 的思路第一步：通过元素α的共轭元个数来判断极小多项式()f x 的次数；第二步：通过α的共轭元生成极小多项式()f x ；第三步：进一步判断该元素α是否为本原元，若是，则生成的极小多项式()f x 就是2F 上的本原多项式。

pari 代码见附录3；（3）由于上述方法（2）生成的极小多项式不一定是本原多项式，因此，我们还给出一个能找到上的本原多项式的方法，该方法也是基于随机生成多项式并判断是否为本原多项式，我们知道一个n 次不可约多项式()f x 是本原多项式的条件是其周期达到最大1n p -，由于()()11n p f x x --，所以只要11n k p p p -=L 时，若()|f x ()11 1,,n i p p x i k -⎛⎫ ⎪-= ⎪⎝⎭L ，则()f x 就是本原多项式，所用的算法思路如下第一步：随机产生一个2F 上的20次多项式()f x ；第二步：利用方法一判断该多项式()f x 是否为不可约的；第三步：进一步判断该多项式()f x 是否为本原多项式。

不可约多项式的判定及应用多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念.本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳，较为系统的给出不可约多项式 Perron 判别法、Browm 判别法等。

研究了各判定方法的等价和包含关系。

此外，我们还给 出了不可约多项式的一些应用。

关键词不可约多项式；判定方法；应用2.不可约多项式的概念及性质2.1整除的概念设P 是一个数域，对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)，其中g(x)H0，定有P[x]中的多项式q(x)， r(x)存在，使得f(x) =q(x)g(x)+ r(x)成立，其中c(r(x))<c(g(x))或者r(x)=0,并且这样的q(x)，r(x)是唯一决定的。

定义2.1数域P 上的多项式g(x)称为能整除f(x)，如果有数域P 上的多项式h(x)使等式f (x) = g(x)h(x)我们用g(x)|f(x) ”表示g(x)整除f(x)，用g(x) f (x) ”表示g(x)不能整除 f (x)。

定理2.1⑴ 对于数域P 上的任意两个多项式f(x) , g(x),其中的判定方法。

对于一般的不可约多项式的判定有 Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、 成立，H0, g(x) | f (x)的充分必要条件是g(x)除f (x)的余式为零。

证明：如果r(x) = 0那么f(x) = q(x)g(x),即g(x) | f (x)。

反过来，如果g(x) | f(x)，那么 f(x) = q(x)g(x) = q(x)g(x) +0, 即卩 r(x) = 0。

注1:带余除法中g(x)必须不为零。

F 面介绍整除性的几个常用性质：(1)如果 f(x) | g(x), g(x) | f (x)，那么 f(x)=cg(x)，其中 c 为非零常数。

(2)如果 f(x) | g(x), g(x) |h(x)，那么 f(x) | h(x)(整除的传递性)。

不可约多项式在数学中，由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式（若有减法：减一个数等于加上它的相反数）。

多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数不可约多项式是一种重要的多项式，它在多项式环中有类似于素数在整数环中的地位。

概念不可约多项式，顾名思义即不能写成两个次数较低的多项式之乘积的多项式。

有理系数的多项式，当不能分解为两个次数大于零的有理系灵敏多项式的乘积时，称为有理数范围内“不可约多项式”。

相应地可以定义实数系数或复数系数的不可约多项式。

“不可约”的意义随系数范围而不同。

X2-2在有理数范围内是不可约多项式，但在实数范围内就是可约多项式了。

一种重要的多项式。

它在多项式环中有类似于素数在整数环中的地位。

对于数域P上的任意多项式f(x)，P中非零数c与cf(x)总是f(x)的因式。

这两种因式称为f(x)的平凡因式，亦称当然因式。

其他的因式，称为f(x)的非平凡因式，亦称非当然因式。

设p(x)为P上的一个次数大于零的多项式，如果在P上p(x)只有平凡因式，则称p(x)在P上(或P[x]中)不可约，亦称p(x)是P上的不可约多项式，或既约多项式;如果p(x)除平凡因式外，在P上还有其他因式，则称p(x)在P上(或在P[x]中)可约，亦称p(x)是P上的可约多项式。

一个多项式是否可约，与其基域有关。

例如，x-2在有理数域上不可约，但在实数域上可约，因为此时它有非平凡因式x+与x-。

数域P上的不可约多项式有如下的基本性质：1。

若p(x)不可约，且c≠0，c∈P，则cp(x)也不可约。

2。

若p(x)不可约，f(x)是任一多项式，则(p(x)，f(x))=1或者p(x)|f(x)。

3。

若p(x)不可约，且p(x)|f(x)g(x)，则p(x)|f(x)或者p(x)|g(x)。

不可约多项式整除任意多项式的概念随着数学的不断发展，不可约多项式整除任意多项式的概念逐渐成为了数学研究中的一个重要课题，在代数学、数论和计算机科学等领域都有着广泛的应用。

本文将深入探讨不可约多项式整除任意多项式的概念，阐明其理论意义和实际应用。

一、不可约多项式的定义我们来回顾一下不可约多项式的定义。

在代数学中，如果一个多项式不能被分解为两个次数更低的非零多项式的乘积，则称其为不可约多项式。

不可约多项式在数论、代数几何和编码理论等领域有着重要的应用，因此对其性质和特征进行研究具有重要意义。

二、不可约多项式整除的概念对于两个多项式P(x)和Q(x)，如果存在另一个多项式R(x)，使得P(x)=Q(x)·R(x)，则称P(x)可整除Q(x)，记作Q(x)|P(x)。

而对于不可约多项式来说，如果一个不可约多项式整除任意多项式，其特性将会是怎样呢？三、质数环中的不可约多项式整除在质数环中，不可约多项式的整除性质更加复杂和多样化。

对于给定的质数p，我们可以考察在有限域Fp上的多项式环中的不可约多项式。

通过适当的构造和分解，可以得到不可约多项式对其他多项式的整除规律，这为解决一些数论和计算机科学中的问题提供了重要的数学工具。

四、应用举例1. 数论领域通过对不可约多项式整除的相关性质进行研究，可以在数论领域中应用到素性测试以及大整数的分解等问题上。

在RSA公钥密码系统中，不可约多项式整除的概念被广泛应用于加密算法的设计和安全性分析中。

2. 代数几何领域在代数几何领域，不可约多项式整除的概念被应用于构造椭圆曲线密码系统和几何编码理论等方面。

通过对不可约多项式整除性质的研究，可以设计更加安全和高效的密码算法，并在信息传输和存储中发挥重要作用。

五、不可约多项式整除的研究现状目前，关于不可约多项式整除的研究还存在一些未解决的问题和挑战。

在高维空间中的多项式整除性质、不可约多项式整除与素数分解的关系等方面仍然需要更加深入和系统的研究。

复数域上的不可约多项式
不可约多项式是指在复数域上的多项式，它不能被分解为两个或多个复数域上的多项式的
乘积。

它们是复数域上的最基本的多项式，它们的系数可以是任意复数，而不仅仅是实数。

不可约多项式的最基本的例子是一元多项式，它可以表示为：
P(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + ... + a_nz^n
其中，a_0，a_1，a_2，...，a_n是复数，z是复数变量。

不可约多项式的应用非常广泛，它们可以用来描述复数域上的函数，例如，可以用不可约
多项式来描述复数域上的椭圆函数，也可以用不可约多项式来描述复数域上的指数函数。

此外，不可约多项式还可以用来描述复数域上的复数函数，例如，可以用不可约多项式来
描述复数域上的正弦函数和余弦函数。

不可约多项式也可以用来描述复数域上的线性系统，例如，可以用不可约多项式来描述复
数域上的线性方程组。

此外，不可约多项式还可以用来描述复数域上的矩阵，例如，可以
用不可约多项式来描述复数域上的矩阵的特征值和特征向量。

不可约多项式也可以用来描述复数域上的概率分布，例如，可以用不可约多项式来描述复
数域上的正态分布。

此外，不可约多项式还可以用来描述复数域上的统计模型，例如，可
以用不可约多项式来描述复数域上的回归模型。

总之，不可约多项式在复数域上具有重要的应用，它们可以用来描述复数域上的函数、线性系统、矩阵、概率分布和统计模型等。

因此，不可约多项式在复数域上具有重要的理论
意义和实际应用价值。

不可约多项式的判定及应用摘 要多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念. 本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳, 较为系统的给出不可约多项式的判定方法。

对于一般的不可约多项式的判定有Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、Perron 判别法、Browm 判别法等。

研究了各判定方法的等价和包含关系。

此外，我们还给出了不可约多项式的一些应用。

关键词不可约多项式；判定方法；应用2. 不可约多项式的概念及性质2.1 整除的概念设P 是一个数域，对于[]P x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠，一定有[]P x 中的多项式()q x ，()r x 存在，使得()()()()f x q x g x r x =+成立，其中(())(())r x g x ∂<∂或者()0r x =，并且这样的()q x ，()r x 是唯一决定的。

定义2.1 数域P 上的多项式()g x 称为能整除()f x ，如果有数域P 上的多项式()h x 使等式()f x =()()g x h x成立，我们用“()g x |()f x ”表示()g x 整除()f x ，用“()g x ()f x ”表示()g x 不能整除()f x 。

定理 2.1[1] 对于数域P 上的任意两个多项式()f x ,()g x ,其中()g x 0≠,()g x |()f x 的充分必要条件是()g x 除()f x 的余式为零。

证明: 如果()r x = 0那么()f x =()()q x g x ,即()g x |()f x 。

反过来，如果()g x |()f x ，那么()f x =()()q x g x =()()q x g x +0，即()r x = 0。

注1: 带余除法中()g x 必须不为零。

下面介绍整除性的几个常用性质:（1） 如果()f x |()g x ,()g x |()f x ,那么()()f x cg x =，其中c 为非零常数。

第二章 多 项 式§2.1 一元多项式的定义和运算2.1.1 教学目的2.1.1.1 掌握多项式、多项式相等、多项式次数的概念。

2.1.1.2 掌握多项式加法、减法与乘法的法则和性质。

2.1.2 教学重点多项式的概念，多项式的运算法则和性质。

2.1.3 教学难点对多项式形式表达式的理解。

2.1.4 教学过程本节所说的R ，指的是含1的数环。

一、一元多项式的一些基本概念Def 1： 数环R 上文字x 的多项式或一元多项式指的是形式表达式 n n 2210x a x a x a a ++++ （1） 这里n 是非负整数，0a ，1a ，…，a n 是R 中的数。

在（1）中0a 叫零次项或常数项，i i x a 叫i 次项，i a 叫i 次项的系数， 一元多项式常用f(x)、g(x)表示.Def 2： 若是数环R 上两个多项式f(x)和g(x)有完全相同的项或者只差一些系数为零的项，则称f(x)=g(x).如 1+0x+5x 2+0x 3=1+0x+5x 2=1+5x 2 ，3+1x+2x 2=3+x+2x 2≠3+x+x 2 Def 3：在多项式中n n 2210x a x a x a a ++++ ，若a n ≠0，n n x a 叫多项式的最高次项，非负整数n 叫多项式的次数多项式f(x)的次数记作0∂（f(x)）. 零多项式记为0且是唯一不定义次数.所以以后谈到多项式)x (f 的次数时总假定0)x (f ≠。

非零常数是零次多项式，它的次数为0，有次数。

二、多项式的运算 （一）运算的定义设nn x a x a x a a x f ++++= 2210)(， 或∑==ni ii x a x f 0)(mm x b x b x b b x g ++++= 2210)(, 或∑==mj j j x b x g 0)(； 是数环R 上两个多项式，并且m ≤n ，则定义：一）加法f(x)+g(x)=(a 0+b 0)+(a 1+b 1)x+…+(a m +b m )x m +…+(a n +b n )x n当m<n 时取b m+1=…=b n =0，或∑=+=+ni ii i x b a x g x f 0)()()(. 二）减法设f(x)=a 0+a 1x+…+a n x n ，把－f(x)=－a 0－a 1x －…－a n x n 叫f(x)的负多项式，则定义：f(x)－g(x)=f(x)+(－g(x))，或∑=-=-n i ii i x b a x g x f 0)()()(1）在Def1中文字x 不一定代表“数”，可以是一个矩阵A ，或一个变换等，因此不能把x 当作“未知数”2）“n 为非负整数”说明表达式x 1x ,x 1+等都不是多项式。