不可约多项式和极小多项式
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极小多项式?
在抽象代数中,一个域上的代数的元素之极小多项式(或最小多项式)是它满足的最低次多项式。
此概念对线性代数与代数扩张的研究极有助益。
1.形式定义
设为域,为有限维-代数。
对任一元素,集合张出有限维向量空间,所以存在非平凡的线性关系:
可以假设,此时多项式满足。
根据多项式环里的除法,可知这类多项式中只有一个次数最小者,称之为的极小多项式。
由此可导出极小多项式的次数等於,而且可逆若且唯若其极小多项式之常数项非零,此时可以表成的多项式。
2,矩阵的极小多项式
考虑所有矩阵构成的-代数,由於,此时可定义一个矩阵之极小多项式,而且其次数至多为;事实上,根据凯莱-哈密顿定理,可知其次数至多为,且其根属於该矩阵的特徵值集。
极小多项式是矩阵分类理论(约当标准形、有理标准形)的关键。
3,极小多项式与代数扩张
设为的有限扩张,此时可视为有限维-代数。
根据域的性质,极小多项式必为素多项式。
元素的迹数及范数等不变量可以从极小多项式的系数读出。
不可约多项式的判定及应用摘 要多项式理论是高等代数的重要组成部分,而不可约多项式是多项式中重要的概念. 本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳, 较为系统的给出不可约多项式的判定方法。
对于一般的不可约多项式的判定有Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、Perron 判别法、Browm 判别法等。
研究了各判定方法的等价和包含关系。
此外,我们还给出了不可约多项式的一些应用。
关键词不可约多项式;判定方法;应用2. 不可约多项式的概念及性质2.1 整除的概念设P 是一个数域,对于[]P x 中任意两个多项式()f x 与()g x ,其中()0g x ≠,一定有[]P x 中的多项式()q x ,()r x 存在,使得()()()()f x q x g x r x =+成立,其中(())(())r x g x ∂<∂或者()0r x =,并且这样的()q x ,()r x 是唯一决定的。
定义2.1 数域P 上的多项式()g x 称为能整除()f x ,如果有数域P 上的多项式()h x 使等式()f x =()()g x h x成立,我们用“()g x |()f x ”表示()g x 整除()f x ,用“()g x ()f x ”表示()g x 不能整除()f x 。
定理 2.1[1] 对于数域P 上的任意两个多项式()f x ,()g x ,其中()g x 0≠,()g x |()f x 的充分必要条件是()g x 除()f x 的余式为零。
证明: 如果()r x = 0那么()f x =()()q x g x ,即()g x |()f x 。
反过来,如果()g x |()f x ,那么()f x =()()q x g x =()()q x g x +0,即()r x = 0。
注1: 带余除法中()g x 必须不为零。
下面介绍整除性的几个常用性质:(1) 如果()f x |()g x ,()g x |()f x ,那么()()f x cg x =,其中c 为非零常数。
有限域第一次大作业一、实验内容(1)构造有限域202F .(2)找到有限域202F 上的任意元素的极小多项式;(3)找到2F 上的一个本原多项式。
二、算法设计(1)我们知道有限域()n q F q p =的表达有三种形式:()i {}q q F ααα==,α为 ()q h x x x =-的根;()ii []()()()[],p q p F x F f x F x n f x =∈的次不可约多项式; ()iii {}0,q q F F α=U 为上的一个生成元;在这里我们主要通过找到2F 上的一个20次可约多项式来构造有限域202F ,并进行相应的运算。
由于只要找到一个2F 上的不可约多项式,我们采用的算法:()a 随机生成一个20次2F 上的多项式,()b 判断多项式为不可约的,pari 代码见附录1;通过pari 我们得到了一个20次的不可约多项式()(x)f ,则[]()2(x)F x f 即为我们想要的有限域,在这有限域上可以直接进行相应的代数运算,pari 代码见附录2;(2)找到有限域202F 上的任意元素α的极小多项式()f x 的思路第一步:通过元素α的共轭元个数来判断极小多项式()f x 的次数;第二步:通过α的共轭元生成极小多项式()f x ;第三步:进一步判断该元素α是否为本原元,若是,则生成的极小多项式()f x 就是2F 上的本原多项式。
pari 代码见附录3;(3)由于上述方法(2)生成的极小多项式不一定是本原多项式,因此,我们还给出一个能找到上的本原多项式的方法,该方法也是基于随机生成多项式并判断是否为本原多项式,我们知道一个n 次不可约多项式()f x 是本原多项式的条件是其周期达到最大1n p -,由于()()11n p f x x --,所以只要11n k p p p -=L 时,若()|f x ()11 1,,n i p p x i k -⎛⎫ ⎪-= ⎪⎝⎭L ,则()f x 就是本原多项式,所用的算法思路如下第一步:随机产生一个2F 上的20次多项式()f x ;第二步:利用方法一判断该多项式()f x 是否为不可约的;第三步:进一步判断该多项式()f x 是否为本原多项式。
不可约多项式的判定及应用多项式理论是高等代数的重要组成部分,而不可约多项式是多项式中重要的概念.本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳,较为系统的给出不可约多项式 Perron 判别法、Browm 判别法等。
研究了各判定方法的等价和包含关系。
此外,我们还给 出了不可约多项式的一些应用。
关键词不可约多项式;判定方法;应用2.不可约多项式的概念及性质2.1整除的概念设P 是一个数域,对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x),其中g(x)H0,定有P[x]中的多项式q(x), r(x)存在,使得f(x) =q(x)g(x)+ r(x)成立,其中c(r(x))<c(g(x))或者r(x)=0,并且这样的q(x),r(x)是唯一决定的。
定义2.1数域P 上的多项式g(x)称为能整除f(x),如果有数域P 上的多项式h(x)使等式f (x) = g(x)h(x)我们用g(x)|f(x) ”表示g(x)整除f(x),用g(x) f (x) ”表示g(x)不能整除 f (x)。
定理2.1⑴ 对于数域P 上的任意两个多项式f(x) , g(x),其中的判定方法。
对于一般的不可约多项式的判定有 Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、 成立,H0, g(x) | f (x)的充分必要条件是g(x)除f (x)的余式为零。
证明:如果r(x) = 0那么f(x) = q(x)g(x),即g(x) | f (x)。
反过来,如果g(x) | f(x),那么 f(x) = q(x)g(x) = q(x)g(x) +0, 即卩 r(x) = 0。
注1:带余除法中g(x)必须不为零。
F 面介绍整除性的几个常用性质:(1)如果 f(x) | g(x), g(x) | f (x),那么 f(x)=cg(x),其中 c 为非零常数。
(2)如果 f(x) | g(x), g(x) |h(x),那么 f(x) | h(x)(整除的传递性)。
不可约多项式在数学中,由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式(若有减法:减一个数等于加上它的相反数)。
多项式中的每个单项式叫做多项式的项,这些单项式中的最高项次数,就是这个多项式的次数不可约多项式是一种重要的多项式,它在多项式环中有类似于素数在整数环中的地位。
概念不可约多项式,顾名思义即不能写成两个次数较低的多项式之乘积的多项式。
有理系数的多项式,当不能分解为两个次数大于零的有理系灵敏多项式的乘积时,称为有理数范围内“不可约多项式”。
相应地可以定义实数系数或复数系数的不可约多项式。
“不可约”的意义随系数范围而不同。
X2-2在有理数范围内是不可约多项式,但在实数范围内就是可约多项式了。
一种重要的多项式。
它在多项式环中有类似于素数在整数环中的地位。
对于数域P上的任意多项式f(x),P中非零数c与cf(x)总是f(x)的因式。
这两种因式称为f(x)的平凡因式,亦称当然因式。
其他的因式,称为f(x)的非平凡因式,亦称非当然因式。
设p(x)为P上的一个次数大于零的多项式,如果在P上p(x)只有平凡因式,则称p(x)在P上(或P[x]中)不可约,亦称p(x)是P上的不可约多项式,或既约多项式;如果p(x)除平凡因式外,在P上还有其他因式,则称p(x)在P上(或在P[x]中)可约,亦称p(x)是P上的可约多项式。
一个多项式是否可约,与其基域有关。
例如,x-2在有理数域上不可约,但在实数域上可约,因为此时它有非平凡因式x+与x-。
数域P上的不可约多项式有如下的基本性质:1。
若p(x)不可约,且c≠0,c∈P,则cp(x)也不可约。
2。
若p(x)不可约,f(x)是任一多项式,则(p(x),f(x))=1或者p(x)|f(x)。
3。
若p(x)不可约,且p(x)|f(x)g(x),则p(x)|f(x)或者p(x)|g(x)。
不可约多项式和极小多项式
多项式是数学中重要的概念,它是由各种系数和指数构成的函数,可以用来描述很多数学模型和问题。
不可约多项式和极小多项式是多项式的两个重要概念,对于理解多项式的性质和应用具有重要意义。
一、不可约多项式的概念及性质
不可约多项式是指一个多项式不能够分解为两个多项式的乘积,其中两个多项式的次数均小于原来的多项式。
由此可以知道,不可约多项式是多项式分解的最小单位,因为所有的多项式都可以分解为若干个不可约多项式的乘积。
例如,多项式x^2+1就是一个不可约多项式,因为它不能够被分解成两个次数小于2的多项式的乘积。
不可约多项式具有以下的性质:
1.不可约多项式的次数必须大于等于2,因为1次多项式和常数函数都可以被分解为两个次数小于2的多项式的乘积。
2.每个不可约多项式都是唯一的,这是由于它的分解方式是唯一的。
3.每个多项式都可以分解为若干个不可约多项式的乘积,这是多项式分解定理的基础。
二、极小多项式的概念及性质
极小多项式是指一个线性变换在某个向量空间上的约化矩阵的最小不可约多项式,它描述了向量空间中的每个向量在这个线性变换下的特征,因此对于矩阵和向量空间的研究非常重要。
给定一个向量空间V和它上面的线性变换A,如果存在一个非零向量v属于V,使得对于任意的k≥0,都有A^kv=0,那么v被称为A 的一个特征向量,A^k的零空间被称为A的第k个特征空间。
如果存在一个特征向量v,使得它所在的特征空间不等于任何一个前面的特征空间,那么这个特征向量所在的特征空间就是A的不变子空间,它可以分解为一个约化矩阵。
极小多项式具有以下的性质:
1.A的约化矩阵的极小多项式是唯一的,因为如果两个多项式都是它的极小多项式,那么它们的度数必须相等,因此它们必须是相等的。
2.如果一个多项式是A的约化矩阵的极小多项式,那么它就是A 的不变子空间的刻画,因为它的次数是最小的不可约多项式。
3.极小多项式可以用来求解矩阵的特征值和特征向量,因为它的零点就是A的特征值,并且每个特征值对应的特征向量都在A的不变子空间中。
总之,不可约多项式和极小多项式是多项式和矩阵理论中非常重要的概念,它们的性质和应用有助于我们更深入地理解这些数学概念的本质和内在联系。