高三数学文科试卷(含答案)(打印版)

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 函数y=3x-2的图象与直线x+y=1的图象的交点个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 无限个2. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1+a4+a7=21，a3+a6+a9=63，则d的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 93. 下列命题中正确的是（）A. 函数y=x^2在定义域内单调递增B. 二项式定理展开式中，r=3时的项为C(5,3)x^3y^2C. 对称轴为x=2的抛物线开口向上D. 三角形ABC的三个内角均为锐角4. 已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图象与x轴的交点为（1，0），（3，0），则f(2)的值为（）A. -5B. 0C. 5D. -25. 已知等比数列{an}的公比为q，若a1+a2+a3=24，a4+a5+a6=72，则q的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 66. 下列函数中，有最大值的是（）A. y=x^2+2x+1B. y=-x^2+2x-1C. y=x^2-2x+1D. y=-x^2-2x+17. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，则f(-1)的值为（）A. -3B. 1C. 3D. 58. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1+a4+a7=21，a3+a6+a9=63，则a5的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 109. 下列命题中正确的是（）A. 若函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限，则k>0，b>0B. 若函数y=kx+b的图象经过一、二、三象限，则k>0，b>0C. 若函数y=kx+b的图象经过一、三、四象限，则k<0，b>0D. 若函数y=kx+b的图象经过一、二、三象限，则k<0，b<010. 已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图象与x轴的交点为（1，0），（3，0），则f(2)的值为（）A. -5B. 0C. 5D. -2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2024年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．集合，2，3，4，5，，，则 {1A =9}{|1}B x x A =+∈(A B = )A ．，2，3，B ．，2，C ．，D ．，2，{14}{13}{34}{19}2．设，则 z =(z z ⋅=)A ．B ．1C ．D ．2i-1-3．若实数，满足约束条件则的最小值为 x y 4330,220,2690,x y x y x y --⎧⎪--⎨⎪+-⎩ 5z x y =-()A ．5B ．C ．D ．122-72-4．等差数列的前项和为，若， {}n a n n S 91S =37(a a +=)A ．B ．C ．1D ．2-73295．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是 ()A ．B ．C ．D ．141312236．已知双曲线的两个焦点分别为、，且经过点，则双曲线的离心率是 1(0,4)F 2(0,4)F -(6,4)P -C ()A ．4B ．3C ．2D 7．曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为 6()31f x x x =+-(0,1)-()A ．BC ．D ．16128．函数的区间，的图像大致为 2()()sin xx f x x e ex -=-+-[ 2.8- 2.8]()A ．B ．C ．D ．9．已知 cos cos sin ααα=-tan()(4πα+=)A ．B ．CD．1+1-1-10．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为 20ax y a ++-=22:410C x y y ++-=A B ||AB ()A ．2B ．3C ．4D ．611．已知、是两个平面，、是两条直线，．下列四个命题：αβm n m αβ= ①若，则或//m n //n α//n β②若，则，m n ⊥n α⊥n β⊥③若，且，则//n α//n β//m n ④若与和所成的角相等，则n αβm n ⊥其中，所有真命题的编号是 ()A ．①③B ．②③C ．①②③D ．①③④12．在中，内角，，所对边分别为，，，若，，则 ABC ∆A B C a b c 3B π=294b ac =sin sin (A C +=)A ．BCD32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数在，上的最大值是 ()sin f x x x =[0]π14．已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的2r 1r 122()r r -123()r r -体积之比 ．V V =甲乙15．已知，，则 ．1a >8115log log 42a a -=-a =16．曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．33y x x =-2(1)y x a =--+(0,)+∞a 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知等比数列的前项和为，且．{}n a n n S 1233n n S a +=-（1）求的通项公式；{}n a （2）求数列的通项公式．{}n S 18．（12分）某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲、乙两车间产95%99%品的估级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率．设为升级改造后抽取的件产品的优级品率．如0.5p =p n 果，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认p p >+12.247)≈附：，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2()P K k 0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819．（12分）如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，四边形与四边形均A B C D E F ABCD CDEF 为等腰梯形，，，，，，，//AB CD //CD EF 2AB DE EF CF ====4CD =AD BC ==AE =为的中点．M CD （1）证明：平面；//EM BCF （2）求点到的距离．M ADE20．（12分）已知函数．()(1)1f x a x lnx =--+（1）求的单调区间；()f x （2）若时，证明：当时，恒成立．2a 1x >1()x f x e -<21．（12分）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且轴．2222:1(0)x y C a b a b +=>>F 3(1,2M C MF x ⊥（1）求椭圆的方程；C （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，直线与交于，证明：(4,0)P C A B N FP NB MF Q 轴．AQ y ⊥（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线xOy O x 的极坐标方程为．C cos 1ρρθ=+（1）写出的直角坐标方程；C （2）直线为参数），若与交于、两点，，求的值．:(x tl t y t a =⎧⎨=+⎩C l A B ||2AB =a [选修4-5：不等式选讲]23．实数，满足．a b 3a b + （1）证明：；2222a b a b +>+（2）证明：．22|2||2|6a b b a -+-2024年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．集合，2，3，4，5，，，则 {1A =9}{|1}B x x A =+∈(A B = )A ．，2，3，B ．，2，C ．，D ．，2，{14}{13}{34}{19}【解析】：，2，3，4，5，，，1，2，3，4，，{1A =9}{|1}{0B x x A =+∈=8}则，2，3，．故选：．{1A B = 4}A 2．设，则 z =(z z ⋅=)A ．B ．1C ．D ．2i-1-解法一：，则．故选：．z =z =()2z z ⋅=⋅=D 解法二：22z z z ⋅==3．若实数，满足约束条件则的最小值为 x y 4330,220,2690,x y x y x y --⎧⎪--⎨⎪+-⎩5z x y =-()A ．5B ．C ．D ．122-72-【解析】：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示：4330,220,2690,x y x y x y --⎧⎪--⎨⎪+-⎩将约束条件两两联立可得3个交点：，，，(0,1)C -3(,1)2A 1(3,)2B 由得，则可看作直线在轴上的截距，5z x y =-1155y x z =-15z -1155y x z =-y 经检验可知，当直线经过点，时，最小，代入目标函数可得：．3(2A 1)z 72min z =-故选：．D 4．等差数列的前项和为，若， {}n a n n S 91S =37(a a +=)A ．B ．C ．1D ．2-7329解法一：，则，解得．故选：．91S =193799()9()122a a a a S ++===3729a a +=D 解法二：利用等差数列的基本量由，根据等差数列的求和公式，，91S =9119891,93612dS a a d ⨯=+=∴+=.()37111122262893699a a a d a d a d a d +=+++=+=+=解法三：特殊值法不妨取等差数列公差，则，则.故选：D0d =9111199S a a ==⇒=371229a a a +==解法四：【构造法】：设的公差为，利用结论是首项为，公差为的等差数列，{}n a d n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1a 2d 则，，()911118428922S d a a d a d =+=+=+371112628a a a d a d a d +=+++=+则，所以.故选：D ()()9111371118428==92229S d a a d a d a a =+=+=++3729a a +=解法五：根据题意，故选：D375922299a a a S +===5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是 ()A ．B ．C ．D ．14131223【解析】：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有种可能，4424A =丙不在排头，且甲或乙在排尾的情况有种可能，故．故选：．1122228C C A=81243P ==B 6．已知双曲线的两个焦点分别为、，且经过点，则双曲线的离心率是 1(0,4)F 2(0,4)F -(6,4)P -C ()A ．4B ．3C．2D 解法一：因为双曲线的两个焦点分别为、，且经过点，1(0,4)F 2(0,4)F -(6,4)P -所以，，，12||8F F =1||6PF =2||10PF ==则双曲线的离心率．故选：．C 2822106c e a ===-C 解法二：点纵坐标相同，所以是通径的一半即1P F 、1||PF 21||6b PF a ==则即，则双曲线的离心率．故选：．2166a a -=2a =C 224c e a ===C 解法三：双曲线的离心率C 121221086F F e PF PF ===--解法四 ：根据焦点坐标可知4c =，根据焦点在y 轴上设双曲线方程为22221y xa b -=，则22221636116a b a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，则2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩2c e a ==7．曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为 6()31f x x x =+-(0,1)-()A ．BC ．D ．1612【解析】：因为，所以，曲线在处的切线斜率，6()3f x x x =+5()63f x x '=+(0,1)-3k =故曲线在处的切线方程为，即，(0,1)-13y x +=31y x =-则其与坐标轴围成的面积．故选：．1111236S =⨯⨯=A 8．函数的区间，的图像大致为 2()()sin x x f x x ee x -=-+-[ 2.8-2.8]()A ．B ．C ．D ．解法一：，2()()sin x x f x x e e x -=-+-则，故为偶函数，故错误；22()()()sin()()sin ()x x x x f x x e e x x e e x f x ---=--+--=-+-=()f x AC （1），故错误，正确．f 1111111()sin11()sin 1062242e e e e e e eπ-=-+->-+-=-->->D B 故选：．B 解法二：函数为偶函数。

2023年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪∁U M＝（ ）A．{2，3，5}B．{1，3，4}C．{1，2，4，5}D．{2，3，4，5}【答案】A【解答】解：因为U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，所以∁U M＝{2，3，5}，则N∪∁U M＝{2，3，5}．故选：A．2．（5分）＝（ ）A．﹣1B．1C．1﹣i D．1+i【答案】C【解答】解：＝＝1﹣i．故选：C．3．（5分）已知向量＝（3，1），＝（2，2），则cos〈+，﹣〉＝（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：根据题意，向量＝（3，1），＝（2，2），则+＝（5，3），﹣＝（1，﹣1），则有|+|＝＝，|﹣|＝＝，（+）•（﹣）＝2，故cos〈+，﹣〉＝＝．故选：B．4．（5分）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解答】解：某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，基本事件总数n ＝＝6，这2名学生来自不同年级包含的基本事件个数m ＝＝4，则这2名学生来自不同年级的概率为P ＝＝＝．故选：D ．5．（5分）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 2+a 6＝10，a 4a 8＝45，则S 5＝（ ）A ．25B ．22C ．20D ．15【答案】C【解答】解：等差数列{a n }中，a 2+a 6＝2a 4＝10，所以a 4＝5，a 4a 8＝5a 8＝45，故a 8＝9，则d ＝＝1，a 1＝a 4﹣3d ＝5﹣3＝2，则S 5＝5a 1+＝10+10＝20．故选：C ．6．（5分）执行下边的程序框图，则输出的B ＝（ ）A．21B．34C．55D．89【答案】B【解答】解：模拟执行程序框图，如下：n＝3，A＝1，B＝2，k＝1，k≤3，A＝1+2＝3，B＝3+2＝5，k＝2，k≤3，A＝3+5＝8，B＝8+5＝13，k＝3，k≤3，A＝8+13＝21，B＝21+13＝34，k＝4，k＞3，输出B＝34．故选：B．A．1B．2C．4D．5【答案】B【解答】解：根据题意，点P在椭圆上，满足•＝0，可得∠F1PF2＝，又由椭圆C：+y2＝1，其中c2＝5﹣1＝4，可得|PF1|•|PF2|＝2，故选：B．8．（5分）曲线y＝在点（1，）处的切线方程为（ ）A．y＝x B．y＝x C．y＝x+D．y＝x+【答案】C【解答】解：因为y＝，y′＝＝，故函数在点（1，）处的切线斜率k＝，切线方程为y﹣＝（x﹣1），即y＝．故选：C．9．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，C的一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，则|AB|＝（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，可得c＝a，所以b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x，一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，圆的圆心（2，3），半径为1，圆的圆心到直线y＝2x的距离为：＝，所以|AB|＝2＝．故选：D．10．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝，则该棱锥的体积为（ ）A．1B．C．2D．3【答案】A【解答】解：如图，PA＝PB＝2，AB＝BC＝2，取AB的中点D，连接PD，CD，可得AB⊥PD，AB⊥CD，又PD∩CD＝D，PD、CD⊂平面PCD，∴AB⊥平面PCD，在△PAB与△ABC中，求得PD＝CD＝，在△PCD中，由PD＝CD＝，PC＝，得PD2+CD2＝PC2，则PD⊥CD，∴，∴×AB＝．故选：A．11．（5分）已知函数f（x）＝．记a＝f（），b＝f（），c＝f（），则（ ）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【答案】A【解答】解：令g（x）＝﹣（x﹣1）2，则g（x）的开口向下，对称轴为x＝1，∵，而＝，∴，∴，∴由一元二次函数的性质可知g（）＜g（），∵，而，∴，∴，综合可得，又y＝e x为增函数，∴a＜c＜b，即b＞c＞a．故选：A．12．（5分）函数y＝f（x）的图象由y＝cos（2x+）的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f（x）的图象与直线y＝x﹣的交点个数为（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：y＝cos（2x+）的图象向左平移个单位长度得到f（x）＝cos （2x+）＝﹣sin2x，在同一个坐标系中画出两个函数的图象，如图：y＝f（x）的图象与直线y＝x﹣的交点个数为：3．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

一、选择题1. 答案：A解析：由题意知，函数y=2x+3在定义域内是增函数，且当x=0时，y=3，所以函数的最小值为3。

2. 答案：B解析：由题意知，等差数列{an}的首项为2，公差为3，所以第10项为2+9×3=29。

3. 答案：C解析：由题意知，函数y=ln(x-1)的导数为y' = 1/(x-1)，所以当x=2时，导数y'=1。

4. 答案：D解析：由题意知，直线l的方程为2x+y-5=0，圆的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4，计算圆心到直线的距离d=|2×1+1×(-2)-5|/√(2^2+1^2)=3，所以直线与圆的位置关系为相离。

5. 答案：A解析：由题意知，复数z=1+i的模为|z|=√(1^2+1^2)=√2。

二、填空题6. 答案：-2解析：由题意知，数列{an}的前n项和为Sn=2n^2-n，所以第n项an=Sn-Sn-1=2n^2-n-2(n-1)^2+(n-1)=4n-3，当n=3时，a3=4×3-3=9。

7. 答案：π解析：由题意知，圆的半径为r=√2，所以圆的周长为C=2πr=2π√2。

8. 答案：3解析：由题意知，不等式组$$\begin{cases}x+y>5 \\x-y<3\end{cases}$$的解集为一个平面区域，该区域内的点到原点的距离的最小值为3。

9. 答案：5解析：由题意知，函数y=2x^3-3x^2+4x-1的导数为y'=6x^2-6x+4，令y'=0，解得x=1或x=2/3，所以函数的极值点为x=1和x=2/3，计算f(1)=2×1^3-3×1^2+4×1-1=2，f(2/3)=2×(2/3)^3-3×(2/3)^2+4×(2/3)-1=5/27，所以函数的最大值为5。

10. 答案：2解析：由题意知，直线l的方程为x+y-1=0，直线l关于直线x=1的对称直线l'的方程为x+y-3=0，所以直线l'与直线x+y-1=0的距离为d=|1+1-1|/√(1^2+1^2)=√2。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 函数f(x) = 2x - 3在定义域上的最大值为：A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知等差数列{an}的前三项分别为1, 3, 5，则该数列的公差为：A. 1B. 2C. 3D. 43. 下列命题中正确的是：A. 平方根和算术平方根都是非负数B. 所有有理数的平方根都是实数C. 所有实数的平方根都是实数D. 所有无理数的平方根都是实数4. 下列函数中，y = ax² + bx + c（a ≠ 0）的图像开口向上的是：A. a = 1, b = 2, c = 3B. a = -1, b = -2, c = 3C. a = 1, b = -2, c = -3D. a = -1, b = 2, c = -35. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z对应的点位于：A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6. 在三角形ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列等式中正确的是：A. a² + b² = c²B. b² + c² = a²C. a² + c² = b²D. a² + b² + c² = 07. 下列不等式中，恒成立的是：A. x² > 0B. x³ > 0C. x² > 1D. x³ > 18. 若函数y = f(x)的图像与直线y = kx（k ≠ 0）有唯一交点，则函数f(x)的图像可能是：A. 单调递增函数B. 单调递减函数C. 周期函数D. 反比例函数9. 下列事件中，属于随机事件的是：A. 抛掷一枚硬币，正面朝上B. 抛掷一枚骰子，得到6C. 抛掷一枚骰子，得到偶数D. 抛掷一枚骰子，得到奇数10. 下列命题中，正确的是：A. 对于任意实数x，x² ≥ 0B. 对于任意实数x，x³ ≥ 0C. 对于任意实数x，x² = 0D. 对于任意实数x，x³ = 011. 若等比数列{an}的前三项分别为a₁, a₂, a₃，且a₁ + a₂ + a₃ = 6，a₁a₂a₃ = 8，则该数列的公比为：A. 2B. 4C. 8D. 1612. 下列函数中，y = f(x)的图像为一条直线的是：A. y = x²B. y = 2x + 1C. y = 3x - 2D. y = x³二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列各式中，正确的是（）A. $\sqrt{16} = 4$B. $\sqrt{9} = 3$C. $\sqrt{25} = 5$D. $\sqrt{36} = 6$答案：C2. 函数$f(x) = x^2 - 4x + 4$的图像是（）A. 顶点在(2, 0)B. 顶点在(0, 4)C. 顶点在(4, 0)D. 顶点在(0, -4)答案：A3. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1 = 3$，$d = 2$，则$S_5$的值为（）A. 30B. 35C. 40D. 45答案：A4. 若$a$，$b$，$c$是等差数列的三项，且$a + b + c = 9$，$ab + bc + ca = 27$，则$abc$的值为（）A. 9B. 27D. 243答案：B5. 在等比数列$\{a_n\}$中，若$a_1 = 2$，$q = 3$，则$a_4$的值为（）A. 18B. 54C. 162D. 486答案：A6. 函数$y = 2^x$的图像是（）A. 递增函数B. 递减函数C. 奇函数D. 偶函数答案：A7. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x$，则$f'(x)$的值为（）A. $3x^2 - 3$B. $3x^2 + 3$C. $-3x^2 - 3$D. $-3x^2 + 3$答案：A8. 已知直线$y = kx + 1$与圆$x^2 + y^2 = 1$相切，则$k$的值为（）A. 1C. 0D. 不存在答案：B9. 在直角坐标系中，点$A(2, 3)$关于直线$y = x$的对称点为（）A. $(-2, -3)$B. $(-3, -2)$C. $(3, 2)$D. $(2, 3)$答案：C10. 已知函数$f(x) = \sin x$在区间$[0, \pi]$上的最大值为（）A. 0B. 1C. $\pi$D. $\frac{\pi}{2}$答案：B二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 函数$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$的定义域为______。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √9B. 3.14159C. √4D. √2答案：D2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(2)的值为（）A. 0B. 4C. 6D. 8答案：B3. 在三角形ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数是（）A. 75°B. 90°C. 105°D. 120°答案：C4. 下列各对数式中，正确的是（）A. log2(4) = 2B. log2(16) = 3C. log2(8) = 2D. log2(32) = 4答案：B5. 已知等差数列{an}中，a1 = 3，公差d = 2，则第10项an的值为（）A. 17B. 19C. 21D. 23答案：D6. 函数y = x^3 - 6x在区间[-2, 2]上的最大值为（）A. -8B. 0C. 8D. 12答案：C7. 已知等比数列{an}中，a1 = 1，公比q = 2，则第n项an的值为（）A. 2nB. 2n-1C. 2n+1D. 2n-2答案：A8. 已知函数y = log2(x - 1)，则函数的定义域为（）A. (0, +∞)B. (1, +∞)C. (2, +∞)D. (3, +∞)答案：B9. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根分别为a和b，则a + b的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A10. 已知函数y = (x - 1)^2 + 3，则函数的图像是（）A. 开口向上，顶点在(1, 3)B. 开口向下，顶点在(1, 3)C. 开口向上，顶点在(-1, 3)D. 开口向下，顶点在(-1, 3)答案：A二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 若等差数列{an}中，a1 = 2，公差d = 3，则第10项an的值为______。

高三 1 学期期末考试数学试卷（文）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案直接涂在答题 卡相应位置上 ．．．．．．．．．1. 已知集合 A { 1,1}, B { x R |1 2x 4}, 则 A I B（ ）A ． [0,2)B ．{ 1 }C ． { 1,1}D ． {0,1}2. 下列命题中错误的是（）A ．如果平面 平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B ．如果平面 不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C ．如果平面 平面 ，平面 平面 ，1 ，那么直线 l平面D ．如果平面平面，那么平面 内所有直线都垂直于平面3. 已知 { a n } 为等差数列， 其公差为 2 ，且 a 7 是 a 3 与 a 9 的等比中项， S n 为 { a n } 的前 n 项和，n N *，则 S 10的值为（）A ． 110B ． 90C ． 90D ．1104. 若实数 a ，b 满足 a0, b 0 ，且 ab 0 ，则称 a 与 b 互补，记 (a,b)a 2b 2 a b ，那么 ( a, b) 0 是 a 与 b 互补的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件5. 若 a,bR ，且 ab0 ，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A ． a 2 b 22ab B ． a b2 ab1 1 2b aC ．babD ．2a ab0 x 26. 已知在平面直角坐标系xOy 上的区域 D 由不等式组y 2 给定。

若 M ( x, y) 为 Dx2yA 的坐标为( 2,1) ，则 z uuuur uuur上的动点，点OM OA 的最大值为（）A ．3 B． 4 C．3 2 D.4 27. 函数f ( x)在定义域R内可导，若 f ( x) f (2 x) ，且当 x ( ,1) 时，(x 1) f / ( x) 0 ，设 a f (0), b f (1), c f (3) ，则（）2A ．a b cB ．c b a C．c a b D ．b c a8. y sin(2 x ) 的图像经过怎样的平移后所得的图像关于点( ,0) 中心对称（）3 12A ．向左平移个单位B．向左平移6 个单位12C．向右平移个单位D．向右平移个单位12 69. 已知f ( x)是 R 上的奇函数，且当x 0 时， f ( x) ( 1 ) x 1，则 f (x) 的反函数的图像大2致是（）10. 有编号分别为1， 2， 3， 4， 5 的 5 个红球和 5 个黑球，从中取出 4 个，则取出的编号互不相同的概率为（）5 2 1 8A ．B ．C． D ．21 7 3 21(c,0) 为椭圆x 2y2uuur uuuurc2 ,11.已知F1( c,0), F2 1的两个焦点，P为椭圆上一点且PF1 PF2a2 b2则此椭圆的离心率的取值范围是（）A．[3,1] B．[1,1] C．[3, 2 ] D．(0, 2 ] 3 3 2 3 2 212. 已知球的直径SC= 4 ，A， B 是该球球面上的两点，AB 3，ASC BSC 30 ，则棱锥 S- ABC 的体积为（）A．19B．3C．23D．3 3二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把答案填在答题卡相应．．．．．位置上．．．．r r r r r r rr13. 已知 | a | | b | 2 ， (a 2b)( a b) 2 ，则 a 与 b 的夹角为.14. 已知 sin 1，且(0,cos2的值为.cos ) ，则2 2 sin( )415.若一个圆的圆心在抛物线y2 4x 的焦点处，且此圆与直线 x y 1 0 相切，则这个圆的标准方程是.16．函数f ( x)的定义域为 A，若x1, x2 A 且 f ( x1 ) f (x2 ) 时总有 x1 x2，则称 f (x) 为单函数．例如，函数 f ( x) 2x 1(x R) 是单函数．下列命题：①函数 f ( x) x2 (x R) 是单函数；②若 f ( x) 为单函数， x1, x2 A 且 x1 x2则 f ( x1 ) f ( x2 ) ；③若 f ：A B 为单函数，则对于任意 b B，它至多有一个原象；④函数 f ( x) 在某区间上具有单调性，则 f ( x) 一定是该区间上的单函数．其中的真命题是．（写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答时应写出文字说明、证明过程．17．（本小题满分 10 分）在ABC 中，角A, B, C所对应的边分别为a, b, c ， a 2 3 ，A Btan Csin A ，求A, B及b, c.tan 4, 2sin B cosC2 218．（本小题满分 12 分）如图，已知正三棱柱ABC A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点 F 在侧棱CC1上，且不与点 C 重合．（I）当CF 1 时，求证：EF A1C ；（ II ）设二面角 C AF E 的大小为，求 tan 的最小值．19．（本小题满分 12 分）某会议室用 5 盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同，假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为 1 年以上的概率为p1，寿命为 2 年以上的概率为p2，从使用之日起每满 1 年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.（ I ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要更换灯泡的概率和更换 2 只灯泡的概率；（ II ））在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（Ⅲ）当 p 1 0.8, p 20.3时，求在第二次灯泡更换工作中，至少需要更换4 只灯泡的概率（结果只保留两个有效数字）.20．（本小题满分 12 分）已知关于 x 的函数 f ( x)1 x 3 bx2 cx bc ，其导函数 f ( x) .4 3（Ⅰ）如果函数 f (x)在 x=1处有极值 -, 试确定 b 、 c 的值；3（Ⅱ）设当 x(0,1) 时，函数 y f (x) c( x b) 图象上任一点 P 处的切线斜率为 k ，若 k 1，求实数 b 的取值范围 .21．（本小题满分 12 分）已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S na n 12a n n ，且 b n，a nan 1数列 {b n } 的前 n 项和为 T n .（ I ）求证： { a n 1} 为等比数列；（Ⅱ）求 T n .a) 是双曲线 E : x 2 222．（本小题满分 12 分）P(x 0 , y 0 )( x 02- y 21(a0， b 0) 上一点，a bM 、 N 分别是双曲线 E 的左、右顶点，直线PM 、 PN 的斜率之积为 1 .5（ I ）求双曲线的离心率；（ II ）过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线 E 于 A ， B 两点， O 为坐标原点， Cuuuruuur uuur的值 .为双曲线上一点，满足 OCOA OB ，求数学试卷（文）参考答案一、 1.B 2. D 3. D 4.C 5.D 6.B 7.C 8.C 9. A 10. D 11.C 12. B二、 13.314.14 15. ( x 1)2y 2 216. ②③④2tanABtanC4 得 cotCtanCcosCsinC三、 17．由 4，∴22 4 ，2222sin C C2 cos2∴14 ，∴ sin C1(0,)，∴C，或 C5.CC ，又 C6 6sin2cos22由 2sin B cosC sin A 得 2sin B cos B sin( B C ) ，即 sin( B C ) 0 ，∴B C ，B C， A (B C)2.361abcsin B由正弦定理,得 b c a 2 32 2 .sin Bsin A 3sin Asin C18．解法一：过 E 作 EN AC 于 N ，连结 EF.2（I ）如图 1，连结 NF 、 AC 1 ，由直棱柱的性质知，底面 ABC侧面 A 1C .又底面 ABC I 侧面 A 1C =AC ，且 EN 底面 ABC ，所以 EN侧面 A 1C ，∴ NF 是 EF 在侧面 A 1C 内的射影，在 Rt CNE 中， CNCE cos60o 1, 则由CFCN1 ，得 NF // AC 1 ，CC 1 CA 4又 AC 1 A 1C ，故 NF A 1C ，由三垂线定理知 EFA 1C .（ II ）如图 2，连结 AF ，过 N 作 NM AF 于 M ，连结 ME ，由（ I ）知 EN侧面 A 1C ，根据三垂线定理得 EMAF ,所以 EMN 是二面角 C — AF — E 的平面角，即 EMN .设 FAC,则 045，在 Rt CNE 中， NE EC sin 603,在 RT AMN 中， MNAN sin3sin, 故 tanNE 3 MN.3sin又 0, 0 sin2，故当 sin2,即当45o 时， tan达到最小值，4 22tan3 6 ，此时 F 与 C 1重合 .323解法二：（ I ）建立如图 3 所示的空间直角坐标系，则由已知可得A(0,0,0), B(2 3,2,0), C(0,4,0), A 1(0,0,4), E( 3,3,0), F (0,4,1),uuur(0, uuuruuur uuur(0, 4,4) ( 3,1,1)0440,于是CA4,4), EF( 3,1,1).CA EF11故 EF A 1C.（II ）设 CF(04) 平面 AEF 的一个法向量为 m ( x, y, z) ， 则由（ I ）得 F (0,4,uuur uuur),) ， AE ( 3,3,0), AF (0, 4,于是由 muuur uuur AE ,m AF 可得uuur 0,3x 3y 0,m AEuuur0,即z0.m AF 4y取 m ( 3, , 4).又由直三棱柱的性质可取侧面AC 1 的一个法向量为 n (1,0,0) ，|m n|32,sincos224于是由 为锐角可得| m| |n|22由 041 11 1 6，得，即 tan3 3,4 316216 1 16tan3 3 24 ，∴ 3 ，故当4 ，即点 F 与点 C 1 重合时， tan 取得最小值6.319．解：（ I ）在第一次灯泡更换工作中，不需要更换灯泡的概率为 p 15，需要更换 2 只灯泡的概率为 C 52 p 13 (1 p 1)2 .（ II ）对该盏灯来说，在第一、二次都更换了灯泡的概率为 (1 p 1) 2 ；在第一次未更换灯泡而 在第二次需要更换灯泡的概率为p 1(1 p 2 ), 故所求概率为p(1 p 1 )2 p 1 (1 p 2 ).（Ⅲ）至少换 4 只灯泡包括换 4 只和换 5 只两种情况 .换 5 只的概率为 p 5（其中 p 为（ II ）中所求，下同） ，换 4 只的概率为 C 51 p 4 (1 p),故至少换 4 只灯泡的概率为 p 3 p 5 C 51 p 4 (1 p).又当p 10.8, p 2 0.3 时， p(1 p 1 )2 p 1(1 p 2 ) 0.220.8 0.7 0.6.p 30.65 5 0.64 0.4 0.34. 即满 2 年至少需要换4 只灯泡的概率为 0.34.20．解： f '(x)x 2 2bx c（Ⅰ）因为函数f (x) 在 x 1 处有极值 43f '(1)1 2b c 0b 1b 114或所以f (1)b c bc,解得 c1 c.3 33（ i ）当 b 1,c1 时， f '( x)( x 1)2 0 ,所以 f (x) 在 R 上单调递减，不存在极值 .（ ii ）当 b1,c 3时， f '(x) (x 3)( x 1) ,x ( 3,1) 时， f '( x)0 ， f ( x) 单调递增 ; x (1,) 时， f '(x)0， f (x) 单调递减 ;所以 f (x) 在 x1处存在极大值，符合题意 .综上所述，满足条件的值为 b1,c3. .（Ⅱ）当 x(0,1) 时，函数 y f (x)c(x b)1 x 3bx 2 ,3设图象上任意一点 P( x 0 , y 0 ) ，则 ky '| xx 0x 022bx 0 , x 0 (0,1)，因为 k1，所以对任意 x 0 (0,1) ， x 022bx 0 1 恒成立，所以对任意 x 0(0,1) ，不等式 bx 02 1恒成立 .2x 0设 g( x)x211(x1) ，故 g (x) 在区间 (0,1) 上单调递减，2x 2 x所以对任意 x 0 (0,1) ， g( x 0 ) g(1) 1 ,所以 b1 .21．解：（I ） 由S n2a n n,(n 2) ，得 a n1 2(a n 11) ，Sn 12a n 1(n 1),又因为 S 1 2a 1 1 ，所以 a 11,a 1 1 2 0 ，所以 { a n 1} 是以-2 为首项， 2 为公比的等比数列，所以 a n1 2 2n 12n .(II) 由（ I ）知， b n2n11,(1 2n )(12 n1 )2 n 1 1 2 n 1故T n [(11 1 1 ) L ( 1 1)]11. 1 2 2 ) ( 2 1 2 3 2 n 1 2 n 11 2 n 11 21 2 12-y22222．解：∵点 P(x 0 , y 0 )( x 0a) 在双曲线x221上，∴x 02 - y201.a ba b由题意y 0x 0 y 0 1，可得 a 25b 2， c 2a 2b 25b 2，则 e 30 . x 0a a55222，（II ）由x - 5 y5b 得 4 x 2 10 cx 35 20.y x， bcx 1 x 25c ，设 A(x 1 , y 1)， B(x 2 , y 2 ) ，则2①2x 1 x 2 35b .4uuur uuur uuur uuur x3 x1 x2 , 设 OC ( x3 , y3),Q OC OA OB, y3 y1 y2 .又 C 为双曲线x2 y2 1上一点，x2 5y25b2 ，即( x x )2 5( y y ) 2 5b2.a 2 - 2 3 3 1 2 1 2b化简得，2 ( x12 5y12 ) ( x22 5y22 ) 2 ( x1 x2 5 y1 y2 ) 5b2.又A(x1 , y1)， B(x2 , y2 ) 在双曲线上，所以x12 5 y12 5b2 , x22 5 y22 5b2.由①式得， x1 x2 5y1 y2 x1x2 5( x1 c)( x2 c) 4x1x2 5c(x1 x2 ) 5c2 10b2，24 0 ，解得0 或 4.。

考试时间：120分钟总分：150分一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，定义域为全体实数的是（）A. \( f(x) = \sqrt{x-1} \)B. \( f(x) = \frac{1}{x^2-1} \)C. \( f(x) = \log_2(x+1) \)D. \( f(x) = \sqrt[3]{x} \)2. 已知等差数列的前三项分别为3，5，7，则该数列的公差是（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 若复数\( z = a + bi \)（其中\( a, b \in \mathbb{R} \)）满足\( |z+1| = |z-1| \)，则实数\( a \)的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 24. 下列不等式中，恒成立的是（）A. \( x^2 + y^2 \geq 2xy \)B. \( x^2 - y^2 \geq 2xy \)C. \( x^2 + y^2 \leq 2xy \)D. \( x^2 - y^2 \leq 2xy \)5. 若函数\( f(x) = ax^2 + bx + c \)在\( x = 1 \)时取得极值，则\( a \)的取值范围是（）A. \( a > 0 \)B. \( a < 0 \)C. \( a \neq 0 \)D. \( a = 0 \)二、填空题（每题5分，共50分）6. 函数\( f(x) = \frac{2x+1}{x-1} \)的对称中心为______。

7. 已知等比数列的首项为2，公比为\( \frac{1}{2} \)，则该数列的第5项为______。

8. 复数\( z = 3 + 4i \)的模长为______。

9. 若\( \angle A = 30^\circ \)，则\( \sin 2A + \cos 2A \)的值为______。

10. 若\( \overrightarrow{a} = (2, -3) \)，\( \overrightarrow{b} = (4, 6) \)，则\( \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \)的值为______。