北京四中高三文科数学期中测试卷及答案

又 g (1) = 1 − 4 ln 2 < 0，g (2) = 2 > 0，所以存在唯一的 x0 ∈ (1, 2)，使得 g (x0) = 0． 综上，存在唯一的 x0 ∈ (1, 2)，使得曲线 y = f (x) 在点 (x0, f (x0)) 处的切线的斜率为 f (2)−f (1)． (3) f (1.01) > −2.01．
2
[6
即 f (x) 的递减区间为： kπ +
2 π , kπ +
2π ] , k ∈ Z，
[ 由 0,
π
]
∩
[ kπ
+
π , kπ +
2π
6]
=
[
π
,
3 +
π
]
,
k
∈ Z，
所以
f
2 (x)
6
[
的递减区间为：
3 π,
π
]6 ．
2
62
19.
(1) 因为 a2 + 6 是 a1 和 a3 的等差中项，
所以 2 (a2 + 6) = a1 + a3，
答案: 2019-10-29 — 参考答案
12345678
CDCCAABB 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9. 1 − 3i 10. ∀x ∈ (0, +∞)，都有 lg x ⩽ 0 成立 11. π
6 12. y√= x 13. 5
5 14. ①②
15.
(1) 由 x − 5 ⩽ 0，得 −1 < x ⩽ 5， x+1
3
A. π

数学资料库2019届北京四中高三第一学期期中考试数学（文科）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．设函数y =√x −2018的定义域为M ，函数y =e x 的值域为P ，则M ∩P = A ．(0,+∞) B ．[2018,+∞) C ．[0,+∞) D ．(2018,+∞) 2．在下列函数中，是偶函数,且在（0，1）内单调递减的是 A ．y =2x B ．y =1x C ．y =lgx D ．y =cosx3．执行如图所示的程序框图．若输出的结果是16，则判断框内的条件是A ．n >6?B ．n ≥7?C ．n >8?D ．n >9? 4．在△ABC 中，a ＝3√3，b ＝3，A ＝π3，则C 为A ．π6B ．π4C ．π2D ．2π35．函数y =A sin (ωx +φ)（ω>0,|φ|<π2,x ∈R ）的部分图像如图所示，则函数表达式为A ．y =−4sin(π8x −π4) B ．y =−4sin(π8x +π4) C ．y =4sin(π8x −π4) D ．y =4sin(π8x +π4)6．设m,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m =λn ”是“m ⋅n <0”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．已知函数()2222,2{log ,2x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2054f x m m ≤- 成立，则实数m 的取值范围为A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．设x ∈R ，定义符合函数sgn(x)={1,x >00,x =0−1,x <0 ，则下列等式正确的是A ．sinx ⋅sgn(x)=sin|x|B ．sinx ⋅sgn(x)=|sinx|C ．|sinx |⋅sgn(x)=sin |x |D ．sin |x |⋅sgn(x)=|sinx |二、填空题9．i 为虚数单位，计算(−3−i)i =_______________。

18．在
VABC
中， b sin
A
-
a cos
B 2
=
0
.
(1)求 Ð B ； (2)若 b = 3 2 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使
VABC 存在且唯一确定，并求 a 及 VABC 的面积. 条件①： c = 2 2 ； 条件②： sin A + sin C = 2sin B ； 条件③： ac = 21 .
A．充分而不必要条件 C．充分必要条件
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知 a ， b > 0 ，且 a ¹ 1， b ¹ 1，若 loga b > 1，则（ ）
A． (a -1)(b -1) < 0
B．(a -1)(a - b) > 0 C．
(b -1)(a - b) > 0 D．(b -1)(b - a) > 0
则 (a -1)(b -1) > 0 ， (a -1) (a - b) < 0 ， (b -1)(a - b) < 0 ， (b -1)(b - a) > 0 ，
D 选项符合； 当 0 < a < 1 时，则有 0 < b < a < 1 ，
此时 b -1 < 0 ， b - a < 0 ， a -1 < 0 ， a - b > 0 ，
ö4 ÷
，根据幂函数 h ( x)
=
x4
单调性可知 4
>
5
34
>
0
，
èø
5
5
\0 <
34 4
<

北京市第四中学2024-2025学年高三上学期期中测试数学试卷一、单选题1．已知全集R U =，集合{}240A x x =-<，{}1B x x =≥，则()U A B ⋂=ð（）A ．()1,2B ．()2,2-C ．(),2∞-D ．()2,1-2．不等式111xx >-的解集为（）A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．(0,1)D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3．已知边长为2的正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点E ，则AE BC ⋅=（）A ．2B ．2-C ．1D ．1-4．已知函数()23f x x x=--，则当0x <时，()f x 有（）A ．最大值3+B ．最小值3+C ．最大值3-D ．最小值3-5．设,a b R ∈，则“a b >”是“22a b >”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β的终边关于y 轴对称.若2cos 23α=，则cos β=（）A ．19B ．19-C D ．7．近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物的释放对大气臭氧层的破坏作用.科学研究表明，臭氧含量Q 与时间t （单位：年）的关系为0e ta Q Q -=，其中0Q 是臭氧的初始含量，a 为常数.经过测算，如果不对氟化物的使用和释放进行控制，经过280年将有一半的臭氧消失.如果继续不对氟化物的使用和释放进行控制，再．经过n 年，臭氧含量只剩下初始含量的20%，n 约为（）（参考数据：ln 20.7≈，ln10 2.3≈）A ．280B ．300C ．360D ．6408．已知函数()1,2,xx x af x x a +≤⎧=⎨>⎩，若()f x 的值域为R ,则实数a 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．[0,1]C ．[0,)+∞D ．(,1]-∞9．已知0a >，记sin y x =在[],2a a 的最小值为a s ，在[]2,3a a 的最小值为a t ，则下列情况不可能的是（）A ．0a s >，0a t >B ．0a s <，0a t <C ．0a s >，0a t <D ．0a s <，0a t >10．已知在数列{}n a 中，1a a =，命题:p 对任意的正整数n ，都有12nn n a a a +=-．若对于区间M 中的任一实数a ，命题p 为真命题，则区间M 可以是（）A ．()3,4B ．()2,3C ．3216,115⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．832,311⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题11．已知复数5i2iz =-，则z =.12．已知函数()33log ,0,,0.x x f x x x >⎧=⎨<⎩若()()273f f a =，则a =.13．已知幂函数y x α=的图像经过()0,0A ，()1,1B ，()1,1C -，()4,2D 中的三个点，写出满足条件的一个α的值为.14．在ABC V 中，1tan 4A =，3tan 5B =.（1）C ∠=；（2）若ABC V，则最短边的长为.15．以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[],M M -.例如，当()31x x ϕ=，()2sin x x ϕ=时，()1x A ϕ∈，()2x B ϕ∈.给出下列命题：①“函数()f x A ∈”的充要条件是“t R ∀∈，关于x 的方程()f x t =都有实数解”；②“函数()f x B ∈”的充要条件是“()f x 既有最大值，也有最小值”；③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()()f x g x B ⋅∈，则()g x B ∈；④若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B +∉.其中，正确命题的序号是.三、解答题16．已知函数()sin cos cos sin f x x x ωϕωϕ=+，其中0ω>，π2ϕ<.记()f x 的最小正周期为T ，()2f T =.(1)求ϕ的值；(2)若()f x 与x 轴相邻交点间的距离为π2，求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.17．在ABC V 中，2cos 2c A b a =-.(1)求C ∠的大小；(2)若c =，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC V 存在，求AC 边上中线的长.条件①：ABC V 的面积为条件②：1b a -=；条件③：1sin sin 2B A -=.注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18．已知函数()()2121ln 22f x x x x x =+--.(1)求()f x 的单调区间；(2)若关于x 的不等式()f x x a '<-+有解，求实数a 的取值范围.19．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点为A ，C 的长轴长为4，焦距为过定点(),0T t （2t ≠±）作与x 轴不重合的直线交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与y 轴交于点M ，N .(1)求C 的方程；(2)是否存在点T ，使得OM ON ⋅等于定值13？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由.20．已知函数()e xf x x ax =-，R a ∈.(1)当e a =时，求曲线=在点1,1处的切线方程；(2)若函数()f x 是单调递增函数，求a 的取值范围；(3)当0a ≥时，是否存在三个实数123x x x <<且()()()123f x f x f x ==？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.21．已知集合{}1,2,3,,A n =⋅⋅⋅，其中*N n ∈，1A ，2A ，…，m A 是A 的互不相同的子集.记i A 的元素个数为i M （1,2,,i m =⋅⋅⋅），i j A A 的元素个数为ij N （1i j m ≤<≤）.(1)若4n =，3m =，{}11,2A =，{}21,3A =，13231N N ==，写出所有满足条件的集合3A （结论不要求证明）；(2)若5n =，且对任意的1i j m ≤<≤，都有0ij N >，求m 的最大值；(3)若给定整数7n ≥，3i M ≤（1,2,,i m =⋅⋅⋅）且对任意1i j m ≤<≤，都有1ij N =，求m 的最大值.。

四中-度第一学期高三年级期中数学试题及答案〔文〕试卷总分值为150分，考试时间为120分钟。

考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。

第一局部〔选择题，共40分〕一、选择题：〔每题5分，共40分, 在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.〕1. 集合，，那么〔〕A. B. C. D.2. “〞是“〞的〔〕A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 是等差数列的前项和，假设，那么〔〕A. 15B. 18C. 9D. 124. 设为两个平面，为两条直线，且①假设；②假设. 那么〔〕A．①②①②①、②①、②是所在平面内的一点，且满足( BO+OC )•( OC-OA )=0，那么一定是〔〕A. 等边三角形B. 等腰直角三角形C. 直角三角形D. 斜三角形6．将函数的图象按向量平移后得到图象对应的函数解析式是〔〕A． B．C． D．7．函数的局部图象如下图，那么函数的解析式为〔〕A．B．C．D．8. 函数，给出以下四个说法：①假设，那么；②的最小正周期是；③在区间上是增函数；④的图象关于直线对称．其中正确说法的个数为〔〕A．1 B．2 C．3 D．4第二局部〔非选择题，共110分〕二、填空题：〔每题5分，共30分〕9. 函数的递增区间是______.10. 向量，满足，且，，那么，夹角的余弦值等于______.11．函数的最小正周期是，那么正数______.12．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12 cm，深2 cm 的空穴，那么该球的半径是______cm，外表积是______cm².13．某几何体的三视图如下图，该几何体的体积是______.14. 如上页图，一条螺旋线是用以下方法画成：是边长为1的正三角形，曲线分别以为圆心，为半径画的弧，曲线称为螺旋线旋转一圈．然后又以为圆心为半径画弧…，这样画到第圈，那么所得整条螺旋线的长度______．(用表示即可)三、解答题：〔本大题共6小题，共80分. 解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程.〕15.〔本小题总分值13分〕在中，，.〔Ⅰ〕求角；〔Ⅱ〕设，求的面积.16.〔本小题13分〕函数.〔Ⅰ〕求函数图象的对称轴方程；〔Ⅱ〕求的单调增区间；〔Ⅲ〕当时,求函数的最大值,最小值.17.〔本小题总分值13分〕如图，正三棱柱中，D是BC的中点，〔Ⅰ〕求证：；〔Ⅱ〕求证：；〔Ⅲ〕求三棱锥的体积.18.〔本小题总分值13分〕各项都不相等的等差数列的前六项和为60，且的等比中项.〔Ⅰ〕求数列的通项公式；〔Ⅱ〕假设数列的前项和19.〔本小题总分值14分〕函数处取得极值.〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕假设当恒成立，求的取值范围；〔Ⅲ〕对任意的是否恒成立？如果成立，给出证明，如果不成立，请说明理由.20.〔本小题总分值14分〕设数列的首项R〕，且，〔Ⅰ〕假设；〔Ⅱ〕假设，证明：；〔Ⅲ〕假设，求所有的正整数，使得对于任意，均有成立.【参考答案】第一局部〔选择题，共40分〕一、选择题〔每题5分，共40分〕1. B2. B3. D4. D5. C提示：由题意可知，BC•AC = 0，即BC⊥AC.6. D提示：沿向量平移，即先向右平移个单位，再向上平移1个单位.7. B8. B提示：先化简f(x)可得，f (x)=，再利用它的图象和性质解决问题.第二局部〔非选择题，共110分〕二、填空题：〔每题5分，共30分〕9.提示：注意定义域.10. 12011. 2提示：利用图象的对称变换，可知该函数的周期为.12. 10，400π提示：设球的半径为r，画出球与水面的位置关系图，如图：由勾股定理可知，，解得r =10.13.14. n (3n+1)π提示：设第n段弧的弧长为，由弧长公式，可得…数列是以为首项、n圈，有3n段弧，故所得整条螺旋线的长度三、解答题：〔本大题共6小题，共80分〕15.〔本小题总分值13分〕〔Ⅰ〕解：由，，得，所以… 3分6分且，故… 7分〔Ⅱ〕解：据正弦定理得，…10分所以的面积为……13分16. 〔本小题13分〕解：〔I〕. …3分令.∴函数图象的对称轴方程是……5分〔II〕故的单调增区间为…8分(III) , …… 10分. …… 11分当时,函数,最小值为.13分17．〔本小题总分值13分〕〔Ⅰ〕证明：∵ABC—A1B1C1是正三棱柱，∴BB1⊥平面ABC，∴BD是B1D在平面ABC上的射影在正△ABC中，∵D是BC的中点，∴AD⊥BD，根据三垂线定理得，AD⊥B1D〔Ⅱ〕解：连接A1B，设A1B∩AB1 = E，连接DE.∵AA1=AB ∴四边形A1ABB1是正方形，∴E是A1B的中点，又D是BC的中点，∴DE∥A1C. ………………………… 7分∵DE平面AB1D，A1C平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D. ……………………9分〔Ⅲ〕……13分18．〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕设等差数列的公差为，那么…………1分又…………2分解得…………4分. …………5分…………6分〔Ⅱ〕由…………9分…………13分19．〔本小题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕∵f(x)=x3－x2+bx+c，∴f′(x)=3x2－x+b. ……2分∵f(x)在x=1处取得极值，∴f′(1)=3－1+b=0.∴b=－2. ……3分经检验，符合题意. ……4分〔Ⅱ〕f(x)=x3－x2－2x+c.2x 1 (1,2) 2 f′(x) + 0 － 0 +f(x)……7分∴当x=－时，f(x)有极大值+c.又∴x∈[－1，2]时，f(x)最大值为f(2)=2+c. ……8分∴c2>2+c. ∴c<－1或c>2. …………10分〔Ⅲ〕对任意的恒成立.由〔Ⅱ〕可知，当x=1时，f(x)有极小值.又…12分∴x∈[－1，2]时，f(x)最小值为.，故结论成立. ……14分 20．〔本小题总分值14分〕〔Ⅰ〕解：因为所以a2=－a1+4=－a+4，且a2∈〔3，4〕所以a3=a2－3=－a+1，且a3∈〔0，1〕所以a4=－a3+4=a+3，且a4∈〔3，4〕所以a5=a4－3=a……4分〔Ⅱ〕证明：当所以，……6分②当所以，综上，……8分〔Ⅲ〕解：①假设因此，当k=4m〔m∈N*〕时，对所有的n∈N*，成立…10分②假设因此，当k=2m〔m∈N*〕时，对所有的n∈N*，成立…12分③假设，因此k=m〔m∈N*〕时，对所有的n∈N*，成立……13分综上，假设0<a<1，那么k=4m；，那么k=2m；假设a=2，那么k=m. m∈N* ……14分。

2023北京四中高三（上）期中数 学（试卷满分150分，考试时间为120分钟）一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1. 已知集合{|51}A x x =-<≤<，2{|9}B x x =≤，则A B = （A ）[3,1)-（B ）[3,1]-（C ）(5,3]-（D ）[3,3]-2. 若复数()()3i 1i z =-+，则z = （A）（B）（C（D）3. 化简5sin(π)2cos(π)αα+=- （A ）tan α（B ）tan α-（C ）1（D ）1-4. 下列函数中，值域为(1)+∞，的是 （A ）1sin y x=（B）1y =+（C ）lg(||1)y x =+（D ）21x y =+5. 函数sin 2y x =的图像向右平移(0)ϕϕ>个单位后经过点(3π，则ϕ的最小值为（A ）12π（B ）6π（C ）3π（D ）65π6. 若1a >，则141a a +-的最小值为 （A ）4 （B ）6（C ）8（D ）无最小值7. 已知函数35()log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是 （A ）(2,3)（B ）(3,4)（C ）(4,5) （D ）(5,6)8．已知函数()sin()f x x ϕ=+．则“(0)1f =”是“()f x 为偶函数”的 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件9. 已知a ，0b >，且1≠a ，1≠b ，若log 1a b >，则 （A ）(1)(1)0a b -->（B ）(1)()0a a b -->（C ）(1)()0b a b -->（D ）(1)()0b b a -->10. 已知()f x =21|1|,02,0x x x x x -+<⎧⎨-≥⎩，若实数[]2,0m ∈-，则1|()(|2f x f --在区间[,1]m m +上的最大值的取值范围是（A ）15[,]44（B ）13[,]42（C ）13[,22（D ）1[,2]2二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知α为第二象限角，且sin α=πtan()4α+=_______．12. 已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若1316,2a S a ==，则公差d =_______，n S 的最大值为_________． 13．设(),()f x g x 分别是定义域为R的奇函数和偶函数，当0x >时，()()()()0f x g x f x g x ''-->，且(3)0g -=，则不等式()()0f x g x >的解集为 .14. 如图，为了测量湖两侧的A ，B 两点之间的距离，某观测小组的三位同学分别在B 点，距离A 点30km 处的C 点，以及距离C 点10km 处的D 点进行观测. 甲同学在B 点测得30DBC ∠= ，乙同学在C 点测得45ACB ∠= ，丙同学在D 点测得45BDC ∠= ，则A ，B 两点间的距离为_______km.15. 设函数()f x 定义域为D ，对于区间I D ⊆，若存在1212,,x x I x x ∈≠，使得12()()f x f x k +=，则称区间I 为函数()f x 的k T 区间. 给出下列四个结论：①当2a <时，(,)-∞+∞是3x y a =+的4T 区间；②若[,]m n 是2y x x =-的4T 区间，则n m -的最小值为3；③当3ω≥时，[π,2π]是cos y x ω=的2T 区间；④当5π10πA ≤≤时，[π,+)∞不是2sin +1A xy x =的2T 区间； 其中所有正确结论的序号为 . 三、解答题：（本大题共6小题，共85分）16．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足234a b ==，6516a b ==．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求和：135b b b +++…21n b -+．17.（本小题满分13分）已知函数2π()cos 22sin (6f x x x =--．（Ⅰ）求π()2f 的值；（Ⅱ）求()f x 的对称轴；（Ⅲ）若方程()1f x =-在区间[0,]m 上恰有一个解，求m 的取值范围．18.（本小题满分14分）在△ABC 中，sin cos 02B b A a -=.（Ⅰ）求B ∠；（Ⅱ）若b =ABC 存在且唯一确定，并求a 及△ABC 的面积.条件①：c =条件②：sin sin 2sin A C B +=；条件③：21ac =.19．（本小题满分15分）已知函数()2e [(21)1]xf x x a x =-++.（Ⅰ）若12a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性；（Ⅲ）当0a >时，若对任意实数x ，2()(23)e a f x a >-恒成立，求a 的取值范围.20.（本小题满分15分）已知函数22ln ()(1)xf x a x x=+-.（Ⅰ）当0a =时，求()f x 的极值；（Ⅱ）当1a =时，求()f x 在[1,)+∞上的最小值；（Ⅲ）若()f x 在(1,e)上存在零点，求a 的取值范围.21.（本小题满分15分）已知集合12{,,,}(3)n S a a a n =≥ ，集合{(,)|,,}T x y x S y S x y ⊆∈∈≠，且满足,(,1,2,,,)i j a a S i j n i j ∀∈=≠ ，(,)i j a a T ∈与(,)j i a a T ∈恰有一个成立. 对于T 定义1,(,)(,)0,(,)T a b Td a b b a T ∈⎧=⎨∈⎩，以及1,()(,)nT i T i j j j i l a d a a =≠=∑，其中1,2,,i n = .例如22123242()(,)(,)(,)(,)T T T T T n l a d a a d a a d a a d a a =++++ .（Ⅰ）若1232244,(,),(,),(,)n a a a a a a T =∈，求2()T l a 的值及4()T l a 的最大值；（Ⅱ）从1(),,()T T n l a l a 中任意删去两个数，记剩下的数的和为M ，求M 的最小值（用n 表示）；（Ⅲ）对于满足()1(1,2,,)T i l a n i n <-= 的每一个集合T ，集合S 中是否都存在三个不同的元素,,e f g ，使得(,)(,)(,)3T T T d e f d f g d g e ++=恒成立？请说明理由.改：（Ⅱ）若6n =，从1(),,()T T n l a l a 中删去一个最大值和一个最小值，记剩下的数的和为M ，求M 的最小值；16,()()15T T n n l a l a =++= ，最大值5A ≤，最小值2B ≤，否则3615⨯>于是15528M ≥--=，构造16(),,()T T l a l a 为5，2，2，2，2，2构造121314151624253234434654566263{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}T a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =，即\,1,1,1,1,10,\,0,1,1,00,1,\,0,1,00,0,1,\,0,10,0,0,1,\,10,1,1,0,0,\⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，恰好取得等号.参考答案一、选择题CBDDB CBADC 二、填空题11. 1212. 2,12- 13. (3,0)(3,+)-∞14. 15. ①③④12题：前3分后2分15题：2分，3分，5分三、解答题16．（共13分）解：（Ⅰ）因为 21614,516,a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩ ……2分所以 11,3.a d =⎧⎨=⎩ ……4分从而 32n a n =-. ……6分（Ⅱ）因为2314514,16,b b q b b q ⎧==⎨==⎩ ……8分所以 121,4.b q =⎧⎨=⎩ ……10分所以22211211()4n n n n b b q q ----=⋅== ， ……11分所以135211441143n n n b b b b ---+++==- . ……13分17. 解：（1）5()22f π=- ……3分（2）()13f x x π=+- ……8分1()212x k k Z ππ=+∈ ……10分（3）5[,)36m ππ∈ ……13分18. 解：（Ⅰ）由正弦定理得，由题设得，，因为，所以所以.,. ……4分（Ⅱ）选条件①：c =由正弦定理sin sin b c B C =得sin C =，sin sin b A a B =sin cos02Ba B a -=2sincos cos 0222B B Ba a -=022B π<<cos 0.2B a ≠1sin22B =26B π=3B π=因为，所以cos C =sin sin()A B C =+=，进而a =1sin 2S bc A ==+……14分选条件②：由正弦定理得2a c b +==由余弦定理得2222cos ,18b a c ac B ac =+-=，所以1sin 2S ac B ==由18a c ac ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得a c ==……14分19. 解：（1）1y x =-+ ……4分（2）2()[(12)2](2)(1)x x f x e x a x a e x a x '=+--=-+ ……6分①12a >-，(,1),(2,)a -∞-+∞增，(1,2)a -减 ……8分②12a <-，(,2),(1,)a -∞-+∞增，(2,1)a -减 ……10分③12a =-，(,)-∞+∞增 ……11分（3）首先(2)f a 为()f x 在(1,)-+∞上的极小值，也是最小值。

2016年北京四中高三文科上学期数学期中考试试卷一、选择题（共8小题；共40分）1. 若集合A={1,2,3}，B={0,1,2}，则A∩B=( )A. {0,1,2,3}B. {0,1,2}C. {1,2}D. {1,2,3}2. 设a=log32，b=log218，c=√2，则( )A. a>b>cB. c>b>aC. a>c>bD. c>a>b3. “数列{a n}既是等差数列又是等比数列”是“数列{a n}是常数列”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 若x，y满足{x−y≤0,x+y≤1,x≥0,则z=x+2y的最大值为( )A. 0B. 1C. 32D. 25. 从A，B，C，D，E 5名学生中随机选出2人，A被选中的概率为( )A. 15B. 25C. 825D. 9256. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是( )A. y=xB. y=lgxC. y=2xD. y=√x 7. 执行如图所示的程序框图，输出的k值为( )A. 3B. 4C. 5D. 68. 函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值( )A. 2;−π3B. 2;−π6C. 4;−π6D. 4;π3二、填空题（共6小题；共30分） 9. 设命题 p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则 ¬p 为 ． 10. i 是虚数单位，则21+i= ．11. 已知数列 {a n } 中，a 1=1，a n =a n−1+12(n ≥2)，则数列 {a n } 的前 9 项和等于 ． 12. 函数 y =x +lnx 在点 (1,1) 处的切线方程为 ．13. △ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ．若 a =3，b =2，cos (A +B )=13，则边c = ．14. 设函数 f (x )={2x −a,x <14(x −a )(x −2a ),x ≥1，① 若 a =1，则 f (x ) 的最小值为 ；② 若 f (x ) 恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是 ．三、解答题（共6小题；共78分）15. 在 △ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，已知 asin2B =√3bsinA ．（1）求 B ； （2）已知 cosA =13，求 sinC 的值．16. 某超市随机选取 1000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率； （3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?17. 已知：函数 f (x )=2√3sin 2x +sin2x ．（1）求 f (x ) 的最小正周期； （2）求 f (x ) 的单调递增区间；（3）把函数 y =f (x ) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移 π3 个单位，得到函数 y =g (x ) 的图象，求 g (π6) 的值．18. 已知函数 f (x )=(ax 2+bx +c )e x (a >0) 的导函数 y =fʹ(x ) 的两个零点为 −3 和 0．（1）求 f (x ) 的单调区间； （2）若 f (x ) 的极小值为 −1，求 f (x ) 的极大值．19. 已知 f (x ) 是定义在 [−1,1] 上的奇函数，且 f (1)=1，若 a ，b ∈[−1,1]，a +b ≠0 时，有f (a )+f (b )a+b>0 成立．（1）判断 f (x ) 在 [−1,1] 上的单调性，并证明； （2）解不等式：f (x +12)<f (1x−1)； （3）若 f (x )≤m 2−2am +1 对所有的 a ∈[−1,1] 恒成立，求实数 m 的取值范围．20. 对于无穷数列 {a n } 与 {b n }，记 A ={x∣ x =a n ,n ∈N ∗}，B ={x∣ x =b n ,n ∈N ∗}，若同时满足条件：① {a n }，{b n } 均单调递增；② A ∩B =∅ 且 A ∪B =N ∗，则称 {a n } 与 {b n } 是无穷互补数列． （1）若 a n =2n −1，b n =4n −2，判断 {a n } 与 {b n } 是否为无穷互补数列，并说明理由； （2）若 a n =2n 且 {a n } 与 {b n } 是无穷互补数列，求数列 {b n } 的前 16 项的和；（3）若 {a n } 与 {b n } 是无穷互补数列，{a n } 为等差数列且 a 16=36，求 {a n } 与 {b n } 的通项公式．答案第一部分 1. C2. D3. A4. D【解析】由 x ，y 满足 {x −y ≤0,x +y ≤1,x ≥0,可得所表示的可行域如图所示．又因为 z =x +2y ， 所以 y =−12x +12z ，所以目标函数在 x =0 与 x +y −1=0 的交点处取得最大值．因为 {x +y −1=0,x =0,所以 {x =0,y =1.所以 z max =0+2×1=2． 5. B【解析】从A ，B ，C ，D ，E 5 名学生中随机选出 2 人，基本事件总数 n =C 52=10，A 被选中包含的基本事件个数 m =C 41=4，所以A 被选中的概率为 P =m n=410=25．6. D 【解析】由题意可知函数 y =10lgx的定义域为 (0,+∞)，值域为 (0,+∞)，对于A 定义域为 R ，值域为 R ，对于B 定义域为 (0,+∞)，值域为 R ，对于C 定义域为 R ，值域为 (0,+∞)． 7. B【解析】执行程序框图：a =3×12=32，k =0+1=1，32<14不成立；a =32×12=34，k =1+1=2，34<14 不成立； a =34×12=38，k =2+1=3，38<14 不成立； a =38×12=316，k =3+1=4，316<14 成立； 结束循环，输出 k 的值为 4． 8. A第二部分9. ∀n ∈N ，n 2≤2n10. 1−i 11. 27【解析】因为 n ≥2 时，a n =a n−1+12，且 a 2=a 1+12， 所以 {a n } 是以 a 1 为首项，12 为公差的等差数列，所以 S 9=9×1+9×82×12=9+18=27．12. 2x −y −1=013. √17【解析】因为 cos (A +B )=cos (π−C )=13，可得：cosC =−13， 又因为 a =3，b =2，所以由余弦定理可得：c =√a 2+b 2−2abcosC =√32+22−2×3×2×(−13)=√17． 14. −1，12≤a <1 或 a ≥2【解析】① 当 a =1 时，f (x )={2x −1,x <14(x −1)(x −2),x ≥1，当 x <1 时，f (x )=2x −1 为增函数，f (x )>−1，当 x >1 时，f (x )=4(x −1)(x −2)=4(x 2−3x +2)=4(x −32)2−1，当 1<x <32 时，函数单调递减， 当 x >32 时，函数单调递增，故当 x =32 时，f (x )min =f (32)=−1，② 设 ℎ(x )=2x −a ，g (x )=4(x −a )(x −2a )， 若在 a <1 时，ℎ(x )=2x −a 与 x 轴有一个交点， 所以 a >0 时，并且当 x =1 时，ℎ(1)=2−a >0， 所以 0<a <2，而函数 g (x )=4(x −a )(x −2a ) 与 x 轴有一个交点， 所以 2a ≥1，且 a <1， 所以 12≤a <1，若函数 ℎ(x )=2x −a 在 x <1 时，与 x 轴没有交点， 则函数 g (x )=4(x −a )(x −2a ) 与 x 轴有两个交点， 当 a ≤0 时，ℎ(x ) 与 x 轴无交点，g (x ) 与 x 轴无交点， 所以不满足题意（舍去）．当 ℎ(1)=2−a ≤0 时，即 a ≥2 时，g (x ) 与 x 轴的两个交点满足 x 1=a ，x 2=2a ，都是满足题意的， 综上所述，a 的取值范围是 12≤a <1 或 a ≥2．第三部分15. （1） 因为 asin2B =√3bsinA ，结合正弦定理，所以2sinAsinBcosB=√3sinBsinA，所以cosB=√32，因为B∈(0,π)，所以B=π6．（2）因为cosA=13，A∈(0,π)，所以sinA=2√23，所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=2√23×√32+12×13=2√6+16.16. （1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，故顾客同时购买乙和丙的概率为2001000=0.2．（2）在这1000名顾客中，在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200=300（人），故顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为3001000=0.3．（3）在这1000名顾客中，同时购买甲和乙的概率为2001000=0.2，同时购买甲和丙的概率为100+200+3001000=0.6，同时购买甲和丁的概率为1001000=0.1，故同时购买甲和丙的概率最大．17. （1）f(x)=2√3sin2x+sin2x=√3(1−cos2x)+sin2x=sin2x−√3cos2x+√3=2sin(2x−π3)+√3,T=2π2=π．（2）由2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2(k∈Z)，得kπ−π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z)，则f(x)的单调递增区间是[kπ−π12,kπ+5π12](k∈Z)．（3）函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y= 2sin(x−π3)+√3的图象，再把得到的图象向左平移π3个单位得到函数y=2sinx+√3的图象，即g(x)=2sinx+√3，则g(π6)=2sinπ6+√3=√3+1．18. （1）fʹ(x)=(2ax+b)e x+(ax2+bx+c)e x=[ax2+(2a+b)x+b+c]e x．令g(x)=ax2+(2a+b)x+b+c，∵e x>0，∴y=fʹ(x)的零点就是g(x)=ax2+(2a+b)x+b+c的零点，且fʹ(x)与g(x)符号相同．∵a >0，∴ 当 x <−3，或 x >0 时，g (x )>0，即 fʹ(x )>0， 当 −3<x <0 时，g (x )<0，即 fʹ(x )<0，∴f (x ) 的单调增区间是 (−∞,−3)，(0,+∞)，单调减区间是 (−3,0)． （2） 由（1）知，x =0 是 f (x ) 的极小值点，所以有 {c =−1,b +c =0,9a −3(2a +b )+b +c =0, 解得 {a =1,b =1,c =−1.所以函数的解析式为 f (x )=(x 2+x −1)e x ．又由（1）知，f (x ) 的单调增区间是 (−∞,−3)，(0,+∞)，单调减区间是 (−3,0)． 所以，函数 f (x ) 的极大值为 f (−3)=(9−3−1)e −3=5e 3．19. （1） f (x ) 在 [−1,1] 上单调递增．任取 x 1，x 2∈[−1,1]，且 x 1<x 2，则 −x 2∈[−1,1]，因为 f (x ) 为奇函数，所以 f (x 1)−f (x 2)=f (x 1)+f (−x 2)=f (x 1)+f (−x 2)x 1+(−x 2)⋅(x 1−x 2)，由已知得f (x 1)+f (−x 2)x 1+(−x 2)>0，x 1−x 2<0，所以 f (x 1)−f (x 2)<0，即 f (x 1)<f (x 2)． 所以 f (x ) 在 [−1,1] 上单调递增．（2） 因为 f (x ) 在 [−1,1] 上单调递增． 所以 {x +12<1x−1,−1≤x +12≤1,−1≤1x−1≤1,所以 −32≤x ≤−1．（3） 因为 f (1)=1，f (x ) 在 [−1,1] 上单调递增． 所以在 [−1,1] 上，f (x )≤1．问题转化为 m 2−2am +1≥1，即 m 2−2am ≥0 对 a ∈[−1,1] 恒成立．求 m 的取值范围． 下面来求 m 的取值范围． 设 g (a )=−2m ⋅a +m 2≥0．①若 m =0，则 g (a )=0≥0，自然对 a ∈[−1,1] 恒成立．②若 m ≠0，则 g (a ) 为 a 的一次函数，若 g (a )≥0 对 a ∈[−1,1] 恒成立，则必须 g (−1)≥0，且 g (1)≥0，所以 m ≤−2 或 m ≥2．所以 m 的取值范围是 m =0 或 ∣m∣≥2． 20. （1） 因为 4∉A ，4∉B ， 所以 4∉A ∪B ，从而 {a n } 与 {b n } 不是无穷互补数列．（2） 因为 a 4=16， 所以 b 16=16+4=20． 数列 {b n } 的前 16 项的和为(1+2+⋯+20)−(2+22+23+24)=1+202×20−(25−2)=180．（3） 设 {a n } 的公差为 d ，d ∈N ∗，则 a 16=a 1+15d =36．由 a 1=36−15d ≥1，得 d =1 或 2．若 d =1，则 a 1=21，a n =n +20，与“{a n } 与 {b n } 是无穷互补数列”矛盾； 若 d =2，则 a 1=6，a n =2n +4，b n ={n,n ≤5,2n −5,n >5.综上，a n =2n +4，b n ={n,n ≤5,2n −5,n >5.。

2022北京四中高三（上）期中数 学（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.已知集合{}2{20},0A x x B x x x =-<=-<∣∣,则A B ⋂=(A)(,2)-∞ (B)(,0)-∞ (C)(1,2) (D)(0,1)2.已知复数z 满足(12i)2i z +=+,则||z = 5 (B)1 5 (D)53.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,)+∞上单调递增的是(A)3y x = (B)21y x =-+ (C)2log y x = (D)2,02,0x x x y x -⎧≥=⎨<⎩ 4.数列{}n a 满足()*112,2,1n n a a n n a -=+∈≥=N ,其前n 项和为n S ,若20222035n S <<,则n =(A)47 (B)46 (C)45 (D)445.若点55cos ,sin 66M ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭在角α的终边上,则tan 2α= (A)3 3 (C)3-36.在ABC 中,若3,6,4b c C π==∠=,则B ∠的大小为 (A)6π (B)3π (C)23π (D)3π或23π 7.如果{}n a 是公比为q 的等比数列,n S 为其前n 项和,那么“0q >”是“数列{}n S 为单调数列”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件8.函数22,0,()log (1),0. x x x f x x x ⎧+≤=⎨+>⎩则函数(())2y f f x =-的零点个数为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)49.声音的等级()f x (单位:dB )与声音强度x (单位:2W /m )满足12()10lg 110x f x -=⨯⨯.喷气式飞机起飞时,声音的等级约为140?d B ;一般说话时,声音的等级约为60?d B ,那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的(A)610倍 (B)810倍 (C)1010倍 (D)1210倍10.已知函数1e 1,1,(),1x x f x kx k x -⎧-≥=⎨-<⎩若存在非零实数0x ,使得()()0011f x f x -=+成立,则实数k 的取值范围是(A)(,1)-∞- (B)(,1]-∞- (C)(1,0)- (D)[1,0)-二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.)11.函数1()1ln f x x=-的定义域是________. 12.计算:393log 752log 5log5--=_________. 13.已知等比数列{}n a 满足:131,22a a ==,则数列{}n a 的公比q =________;132435462n n a a a a a a a a a a ++++++=_________. 14.若关于x 的不等式220ax x a -+≤在区间[0,4]上有解,则实数a 的取值范围是________.15.已知函数3()cos (0)10f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间[0,2]π上有且仅有5个零点,则下列结论中正确的是_________.(1)()f x 在区间0,100π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增; (2)()f x 在区间(0,2)π上有且仅有3个极大值点;(3)()f x 在区间(0,2)π上有且仅有2个极小值点;(4)ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 三、解答题(本大题共6小题,共85分.)16.(本小题13分) 已知函数2()2sin cos 23f x x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭. (I)求()f x 的最小正周期;(II)求()f x 在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 17.(本小题14分)在ABC 中,2,30c C ︒==.再从条件(1)、条件(2)、条件(3)这三个条件中选择一个作为已知,使其能够确定唯一的三角形,求:(I)a 的值:(II)ABC 的面积.条件①23b =条件②:23b a =；条件③:45A ︒=.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18.(本小题13分)某科研单位在研发钛合金产品的过程中使用了一种新材料.该产品的性能指标值y 是这种新材料的含量x (单位:克)的函数,且性能指标值y 越大,该产品的性能越好.当07x ≤<时,y 和x 的关系为以下三种函数模型中的一个:①2y ax bx c =++； ②(0x y k a a =⋅>且1)a ≠； ③log (0a y k x a =>且1)a ≠;其中,,,k a b c 均为常数.当7x ≥时,13x m y -⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中m 为常数.研究过程中部分数据如下表: x （单位：克） 0 2 610…… y -4 8 8 19…… ; (II)求出y 与x 的函数关系式; (III)求该新合金材料的含量x 为多少时,产品的性能达到最佳.19.(本小题15分)已知函数()ln (1),f x x x a x a =+-∈R .(I)当2a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程;(II)求函数()f x 在区间[1,e]上的最小值:(III)求证:“0a ≥”是“函数()f x 在区间(e,)+∞上单调递增”的充分不必要条件.20.(本小题15分)已知函数e ()ln ,xf x a x ax a x=-+∈R . (I)当e a ≤时,求函数()f x 的单调区间;(II)若函数()f x 存在两个极小值点12,x x ,求证:()()12f x f x =.21.(本小题15分)已知正整数5n ≥,集合(){}12,,,,{0,1},1,2,,n n i S X X x x x x i n ==∈=∣.对于n S 中的元素()()1212,,,,,n n A a a a B b b b ==,定义1122n n A B a b a b a b ⋅=+++. 令{}3n n T X S X X =∈⋅=∣.(I)直接写出6T 的两个元素及6T 的元素个数;(II)已知126,,,m A A A T ∈,满足对任意1i j m ≤<≤,都有1i j A A ⋅=,求m 的最大值;(III)证明:对任意121,,,n n A A A T +∈,总存在11i j n ≤<≤+,使得1i j A A ⋅=。

一、选择题：本大题共 8个小题,每题5分,共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的.1.设会合M{0,1,2}，N{x|x 23x20}，则MN ＝（）A ．{1}B ．{2}C ．{0,1}D ．{1,2}【答案】D【分析】试题剖析：∵N {x|x 23x20} {x|1 x 2}，又∵M{0,1,2} ，∴MN {1,2}.考点：会合的交集运算.1111 52.设3） a 4,blog37 ,c3 ，则（A ．abcB ．bacC ．acbD ．bca【答案】C【分析】111 15试题剖析：∵3，∴a1，b0，0c 1，∴acb.a 4,blog37 ,c3考点：比较大小.3.已知i 是虚数单位，a,bR ，则“ab1”是“(abi)22i ”的（）A.充足不用要条件B.必需不充足条件C .充足必需条件 D.既不充足也不用要条件【答案】A【分析】试题剖析：当a b1时，(abi)2(1 i)22i 建立，反之，当(abi)22i 时，即a2b22abi2i，即a2b20且2ab2，∴ab1或a b1，∴反之不必定成立，∴“a b1”是“(a bi)22i”的充足不用要条件.考点：充足必需条件.4.垂直于直线y x 1且与圆x2y21相切于第一象限的直线方程是( )A.x y 2 0B.x y 1 0C.x y 1 0D.x y 2 0【答案】A 【分析】试题剖析：∵直线垂直于直线yx1，∴设直线为 yxb，又∵直线与圆x 22相y1切， ∴|b|1，即b2，∵与圆x 2 y 2 1相切于第一象限，∴ b2，∴直线方程是2x y 20.考点：直线与圆相切问题 .5.已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c ，则实数k ＝()9 B.15A.22【答案】C【分析】试题剖析：∵a (k,3)b(1,4) ，∴ 2a 3b (2k3, 6)，∵ c(2,1) ，且 (2a3)bc，，∴(2k3)2(6)10，即k3.考点：向量的运算.6.若函数f(x)x2a(a R )，则以下结论正确的选项是( )xA. a R ，f(x)在(0, )上是增函数B.a R ，f(x)在(0, )上是减函数C.aR ，f(x)是偶函数D.aR ，f(x)是奇函数【答案】C【分析】考点：函数的单一性、奇偶性.7.已知等差数列{a n }单一递加且知足a 1a 104，则a 8的取值范围是 ()A.(2,4)B.(2,)C.(,2)D.(4,)【答案】B【分析】试题剖析：∵等差数列{a n}单一递加，∴d0，∵a1a104，即a1a19d4，即a129d，∴a8a17d29d7d25d2. 222考点：等差数列的通项公式.8.已知f(x)11,x1g(x)f(x)kx k只有一个零点，则k的取值范围x，若函数lnx,0x1是（）A．(,1)(1,)B．(1,1)C．[0,1]D．(,1)][0,1]【答案】D【分析】试题剖析：∵函数g(x)f(x)kx k只有一个零点，∴y f(x)与y kx k只有一个交点，图象如下图，∴k的取值范围是(,1)][0,1].考点：函数零点问题.二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.在等差数列{a n }中，已知a 2+a 46，则该数列前 5项和S 5 _______．【答案】15【分析】试题剖析：∵a 2a 4a 1a 56，∴S 55(a 1a 5)56 215.2考点：等差数列的性质、等差数列的前n 项和.x y 1 010.若变量x ，y 知足拘束条件x2y80，则z ＝3x ＋y 的最小值为_______．x 0【答案】1【分析】考点：线性规划.11.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，a15，b10，A60，则cosB_______．【答案】63【分析】a b 15 10 3 b ，∴试题剖析：由正弦定理得：sinB即，∴sinB，∵asinAsin600sinB36cosB.3考点：正弦定理.若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)对于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为_______．【答案】x2(y1)21【分析】试题剖析：∵圆心与点(1，0)对于直线y＝x对称，∴圆心为(0,1)，又∵圆C的半径为1，∴圆C的标准方程为x2(y1)21.考点：圆的标准方程.13.已知向量a,b，知足|a|1,b(2,1)，且a b0(R)，则||________．【答案】5【分析】试题剖析：∵a b0，∴b1,b(2,1)，∴|||b55.，又∵|a|a|a1考点：向量的模.14.已知实数a0且a1，函数f(x)a x,x若数列{a n}知足ax b,x 3.a n f(n)(n N*)，且{a n}是等差数列，则a___b,____.【答案】2,0【分析】试题剖析：∵a n a n,n 3,，∴数列{a n}中的项分别为a,a2,3a b,4a b,，由an b,n 3.于{a n}是等差数列，∴2a2a3ab且2(3a b)a2(4a b)，∴a2,b0.考点：等差数列的定义.三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（此题满分13分）已知函数f(x) 23sinxcosx 2sin2x,x R.（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期与单一增区间；（Ⅱ）求函数f(x)在0,上的最大值与最小值.4【答案】（1）T，增区间为[k,k],k Z；（2）最小值f(x)min f(0)0，36最大值f(x)max f()1.6【分析】试题剖析：此题主要考察倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、单一区间、三角函数的最值等基础知识，考察学生的剖析问题解决问题的能力、转变能力、计算能力.第一问，先利用倍角公式和降幂公式以及两角和的正弦公式化简表达式，使之成为f(x)Asin(x)B的形式，利用T2计算周期，再利用y sinx的函数图象解不||等式，求出单一递加区间；第二问，将已知x的取值范围代入表达式，联合图象，求三角函数的最值.试题分析：f(x)3sin2x cos2x12(3sin2x1cos2x)1π222sin(2x)1.6（Ⅰ）f(x)的最小正周期为T2ππ.2令2k2x2,k Z，解得k x k，262k36因此函数f(x)的单一增区间为[k3,k],k Z.6（Ⅱ）由于0x，因此2x 21sin(2x)1，663，因此426于是12sin(2x)2，因此0f(x)1.6当且仅当x0时，f(x)取最小值f(x)min f(0)0.当且仅当2x6，即x6时最大值f(x)max f()1. 26考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、单一区间、三角函数的最值.（此题满分13分）设数列{a n}的前n项和为S n,已知a1 0,2a n a1S1S n,n N*.(Ⅰ)求a1,并求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{na n}的前n项和.【答案】（1）a11，a n2n1；（2）T n(n1)2n1.【分析】试题剖析：此题主要考察由S n求a n、等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式、错位相减法等基础知识，考察学生的剖析问题解决问题的能力、转变能力、计算能力.第一问，由S n求a n，利用a na1,n1，分两部分求a1和a n，经判断得数列{a n}为等比数列；S n S n1,n2第二问，联合第一问的结论，利用错位相减法，联合等比数列的前n项和公式，计算化简.试题分析：(Ⅰ)S1a1n1时2a1a1S1S1a10,a1 1.因此n2时，a n S n Sn12a n a12a n1a12a n2a n1a n2a n1 S1S1{a n}是首项为a11、公比为q2的等比数列，a n2n1，n N*.考点：S n求a n、等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式、错位相减法.（此题满分13分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，且2b3ccosC．3a cosA(Ⅰ)求A的值；(Ⅱ)若B，BC边上的中线AM7，求ABC的面积．6【答案】（1）A；（2）S3.6【分析】试题剖析：此题主要考察正弦定理、余弦定理、两角和的正弦公式、特别角的三角函数、三角形的面积公式等基础知识， 考察学生的剖析问题解决问题的能力、 转变能力、计算能力. 第一问，先利用正弦定理将边转变成角，睁开后，利用内角和定理转变 A+C ，即可获得cosA 的值，再综合角 A 的范围，求出角 A ；第二问，在 AMC 中，利用余弦定理解出AC 的边长，最后辈入三角形面积公式中即可.试题分析：（I ）由于(2b 3c)cosA3acosC ，由正弦定理得(2sinB3sinC)cosA3sinAcosC ，即2sinBcosA 3sinAcosC 3sinCcosA=3sin(A+C)．由于B ＝π－A －C ，因此sinB=sin(A+C) ，因此2sinBcosA3sinB ．由于B ∈(0，π)，因此sinB ≠0，因此cosA3 A，因此A．，由于026(Ⅱ)由（I ）知ABπACBC ，C26 ，因此 ．3设ACx ，则MC1x ，又AM7.2在△AMC 中，由余弦定理得AC 2 MC 22AC MCcosCAM 2,即x 2(x )22x x cos 2( 7)2,解得x ＝2.22 3 故S ABC1x 2sin23.23考点：正弦定理、余弦定理、两角和的正弦公式、特别角的三角函数、三角形的面积公式.（本小题满分13分）已知：aR ，函数 f(x)2x 33(a 1)x 26ax ，（Ⅰ）若a1，求曲线yf(x)在点(2,f(2))处的切线方程；（Ⅱ）若|a|1，求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值.3a1a 1【答案】（1）6xy 8 0；（2）f(x)ming(a)1 a3.233a aa3【分析】试题剖析：此题主要考察导数的运算、利用导数判断函数的单一性、利用导数求函数的极值和最值、利用导数求函数的切线方程等基础知识，考察学生的剖析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，将a 1代入f(x)中，对f(x)求导，f(2) 为切点的纵坐标，而f '(2)是切线的斜率，最后利用点斜式写出直线方程；第二问，对f(x)求导，令f '(x)0，将|a|1分红两部分： a1和a 1进行议论，议论函数的单一性，利用单一性判断函数的最小值，综合全部状况，获得 g(a)的分析式.试题分析：定义域：R ，f (x)6x 2 6(a 1)x 6a 6(x1)(xa)（Ⅰ）当a1时，f(x)2x36x26x ，则f(2)16 24 124f(x)6x212x6，则f(2) 24 24 6 6∴yf(x)在 (2,f (2))处切线方程是： y 4 6(x 2)，即6x y8 0，（Ⅱ）f (x)6(x 1)(xa)，令f (x) 0，获得x1，xa①当a1时，1,a[0,2 |a|]，则有x(0,1)1(1,a)a(a,2a)2af(x)f(x)极大极小f(2a)则最小值应当由 f(0)0与f(a) 3a 2 a 3中产生，当1a 3时，f(a) f(0)，此时f(x)min f(0) 0；当a3时，f(0)f(a)，此时f(x)minf(a)3a 2a 3，②当a 1时，1[0,2 |a|]，则有x(0,1)1(1,2|a|) 2|a|f(x)0f(x)0极小f(2|a|)则f(x)min f(x)极小值f(1)3a1，综上所述：当|a|1时，f(x)在区间[0,2|a|]上的最小值3a1a1f(x)min g(a)01a33a2a3a3考点：导数的运算、利用导数判断函数的单一性、利用导数求函数的极值和最值、利用导数求函数的切线方程.（本小题满分14分）已知椭圆C的两个焦点分别为F1(1，0)、F2(1，0),短轴的两个端点分别为B1、B2.（Ⅰ）若F1B1B2为等边三角形,求椭圆C的方程;（Ⅱ）若椭圆C的短轴长为2,过点F2的直线l与椭圆C订交于P、Q两点,且FP FQ,求11直线l的方程.【答案】（1）x2y21；（2）x7y10或x7y10.4133【分析】试题剖析：此题主要考察椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的地点关系等基础知识，考察学生的剖析问题解决问题的能力、转变能力、计算能力.第一问，设出椭圆的标准方程，依据焦点坐标以及F1B1B2为等边三角形，列出a与b的关系式，解出a和b的值，进而得出椭圆的标准方程；第二问，通太短轴长为2，获得椭圆的标准方程，再议论直线l的斜率能否存在，当直线的斜率存在时，与椭圆的方程联立，消参，得出x1x2、x1x2，利用向量垂直的充要条件，列出表达式，解出k的值，进而获得直线l的方程.试题分析：（Ⅰ）设椭圆C的方程为x2y21(ab0). a2b2依据题意知a 2b, 解得a 24 ,b 21a 2b 2133故椭圆C 的方程为x 2y 2 1 .4 133（Ⅱ）简单求得椭圆C 的方程为x 2y 21.2当直线l 的斜率不存在时, 其方程为x1,不切合题意;当直线的斜率存在时,设直线l 的方程为y k(x1).y k(x1)22222由x y 2得(2k1)x4kx2(k1)0.12设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2),则8(k 2 1)0对随意xR 都建立，x 1 x 24k 2 ，2(k 2 1)，，，，2k 2 x 1x 22k 21F 1P(x 1 1y 1)FQ 1(x 21y 2)1由于FP FQ,因此 FPFQ 0, 即1111(x 11)(x 21)y 1y 2x 1x 2(x 1x 2)1k 2(x 11)(x 21)(k 2 1)x 1x 2 (k 2 1)(x 1 x 2)k 217k 2 1 0,2k21解得k 21 ,即k7 .77故直线l 的方程为x 7y 1 0或x7y 10.考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的地点关系 .20.( 本小题满分 14分)对于函数f 1(x),f 2(x),h(x)，假如存在实数a,b 使得h(x) af 1(x)bf 2(x)，那么称h(x)为f 1(x),f 2(x)的生成函数．（Ⅰ）下边给出两组函数，h(x)能否分别为f1(x),f2(x)的生成函数？并说明原因；第一组：f1(x)sinx,f2(x)cosx,h(x)sin(x)；3第二组：f1()x2x,f2()x2x1,()x2x1；x x hx（Ⅱ）设f1(x)log2x,f2(x)log1x,a2,b1，生成函数h(x)．若不等式23h2(x)2h(x)t0在x[2,4]上有解，务实数t的取值范围；（Ⅲ）设f1(x)x,f2(x)1(1x10)，取a1,b0，生成函数h(x)使h(x)b恒x建立，求b的取值范围．【答案】（1）详看法析；（2）t5；（3）0b 4..【分析】试题剖析：此题主要考察简单的合理推理等基础知识，考察了学生对新定义的接受与应用能力，同时考察了存在性问题及最值问题，考察学生的剖析问题解决问题的能力、转变能力、a b1计算能力.第一问，第二组，设a(x2x)b(x2x1)x2x1，进而得ab1，b1进而判断；第二问，化简h(x)2f1(x)f2(x)2log2x log1x log2x，进而为2t3h2(x)2h(x)3log22x2log2x，再设s log2x，则s[1,2]，进而得y3s22s，进而化为最值问题；第三问，将函数h(x)使h(x)b恒建立，转变成h(x)min，再分状况议论函数h(x)的最小值，即可获得b的取值范围.试题分析：（Ⅰ）①设asinx bcosx sin(x)，即asinx bcosx 1sinx3cosx，322取a1,b3，因此h(x)是f1(x),f2(x)的生成函数．22②设a(x2x)b(x2x1)x2x1，即(ab)x2(a b)xb x2x1，a b1则ab1，该方程组无解．因此h(x)不是f1(x),f2(x)的生成函数．b 1（Ⅱ）h(x)2f1(x)f2(x)2log2x log1x log2x2若不等式3h2(x)2h(x)t0在x[2,4]上有解，3h2(x)2h(x)t0，即t3h2(x)2h(x)3log22x2log2x 设s log2x，则s[1,2]，y3log22x2log2x3s22s，ymax5，故，t5．（Ⅲ）由题意，得h(x)x b(1x10)x1若b(1,10)，则h(x)在[1,b)上递减，在(b,10]上递加，则h min h(b)2b，因此1b10b4 2b，得1b2若b1，则h(x)在[1,10]上递加，则h min h(1)1b，因此b 1，得0b1．1b b3b10，则h(x)在[1,10]上递减，则h min h(10)b若10，10 10故b，无解b10综上可知，0 b 4.考点：简单的合理推理.。

2019届北京四中高三第一学期期中考试数学（文科）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．设函数y =√x −2018的定义域为M ，函数y =e x 的值域为P ，则M ∩P = A ．(0,+∞) B ．[2018,+∞) C ．[0,+∞) D ．(2018,+∞) 2．在下列函数中，是偶函数,且在（0，1）内单调递减的是 A ．y =2x B ．y =1x C ．y =lgx D ．y =cosx3．执行如图所示的程序框图．若输出的结果是16，则判断框内的条件是A ．n >6?B ．n ≥7?C ．n >8?D ．n >9? 4．在△ABC 中，a ＝3√3，b ＝3，A ＝π3，则C 为A ．π6B ．π4C ．π2D ．2π35．函数y =A sin (ωx +φ)（ω>0,|φ|<π2,x ∈R ）的部分图像如图所示，则函数表达式为A ．y =−4sin(π8x −π4) B ．y =−4sin(π8x +π4) C ．y =4sin(π8x −π4) D ．y =4sin(π8x +π4)6．设m,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m =λn ”是“m ⋅n <0”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．已知函数()2222,2{log ,2x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2054f x m m ≤- 成立，则实数m 的取值范围为A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．设x ∈R ，定义符合函数sgn(x)={1,x >00,x =0−1,x <0 ，则下列等式正确的是A ．sinx ⋅sgn(x)=sin|x|B ．sinx ⋅sgn(x)=|sinx|C ．|sinx |⋅sgn(x)=sin |x |D ．sin |x |⋅sgn(x)=|sinx |二、填空题9．i 为虚数单位，计算(−3−i)i =_______________。

【分析】根据定义域、零点个数、单调性和极限等方面逐个判断即可．
Hale Waihona Puke 【解答】解：对于 A，当 x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，不符合题意； 对于 B，令 f（x）＝0 得 x4＝1，∴x＝±1，即 f（x）有两个零点，不符合题意；
对于 D，f（x）的定义域为（0，+∞），不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象的意义，函数单调性、零点个数的判断，属于中档题．
高考复
【点评】本题考查不等式组所表示的平面区域和简单的线性规划问题．在线性规划问题中目标函数取 得最值的点一定是区域的顶点和边界，在边界上的值也等于在这个边界上的顶点的值，故在解答选择 题或者填空题时，只要能把区域的顶点求出，直接把顶点坐标代入进行检验即可．
8．（5 分）（2021•北京模拟）设函数 f（x）的定义域 D，如果存在正实数 m，使得对任意 x∈D，都有 f （x+m）＞f（x），则称 f（x）为 D 上的“m 型增函数”．已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 当 x＞0 时，f（x）＝|x﹣a|﹣a（a∈R）．若 f（x）为 R 上的“20 型增函数”，则实数 a 的取值范围是 （）
其中的真命题有
．（写出所有真命题的序号）
三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（13 分）已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a푛 + 1 = 2푎푛(푛 ∈ 푁 ∗ )，且 a2 是 S2 与 1 的等差中项．
（I）求{an}的通项公式； 1
（II）若数列{푎푛}的前 n 项和为 Tn，且对∀n∈N*，Tn＜λ 恒成立，求实数 λ 的最小值． 7
19．（14 分）已知函数 f（x）＝x2﹣（a+2）x+alnx，a∈R

北京四中高三数学期中测试卷( 文)一、选择题：本大题共试卷满分合计8 小题，每题150 分考试时间：5分，共 40分120 分钟1．会合A．B．，C．，则（）D．2．复数（）A． B ． C ． D ．3．曲线在点处的切线方程为（）A． B ．C．D．4．等比数列中，，前 3 项之和，则数列的公比为（）A．1B．C．1 或D．或5．若向量，，则以下结论中正确的选项是（）A．B．C．D．与垂直6．已知函数，下边结论错误的选项是（）A．函数的最小正周期为B．函数在区间上是增函数C．函数的图象对于直线对称D．函数是奇函数7．假如是定义在的增函数，且，那么必定是（）A．奇函数，且在上是增函数B．奇函数，且在上是减函数C．偶函数，且在上是增函数D．偶函数，且在上是减函数8．设，若，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分9．设点是线段的中点，点在直线外，若，，则__________ 。

10 ．函数的图象与函数的图象对于直线对称，则__________。

11．函数的单一减区间是__________ ，极小值是 ___________。

12．三个数成等差数列，其比为 3:4:5 ，又最小数加上 1 后，三个数成等比数列，那么原三个数是 ___。

13．若二次函数知足且，则实数的取值范围是 ____。

14．若、是等腰直角斜边上的三平分点，则__________。

三、解答题：本大题共 6 小题，共80 分15．（本小题满分13 分）已知：函数（此中）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为。

（1）求：的分析式；（2）当，求：函数的值域。

16．（本小题满分13 分）已知：若是公差不为0 的等差数列的前项和，且、、成等比数列。

（ 1）求：数列、、的公比；（2）若，求：数列的通项公式。

17．（本小题满分13 分）已知：定义在R上的函数，此中a为常数。

四中高三上学期期中考试数学文试题说明：1．本卷总分值150分，考试时间120分钟。

2．本卷答题时不得使用计算器，不得使用修正液、修正带．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

3．答题时将答案均填在答卷相应题号的位置，不按要求答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪项符合题目要求的1． 假设A 为全体正实数的集合，{}2,1,1,2B =--，那么以下结论正确的选项是 ( ) A ．}{2,1A B =--B ．()(,0)RC A B =-∞C ．(0,)AB =+∞D ．}{()2,1R C A B =--2．“1x >〞是“11x<〞的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3. 函数⎩⎨⎧><=,0,ln ,0,)(x x x e x f x 那么)]1([e f f = ( )A ．e 1- B ．e C ．e1 D ．e -4．设函数的局部图象如以下图所示，那么f(x)的表达式为 ( ) A. B. C. D.5．,a b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|3|a b +等于 ( ) A. 7B.10C.13D. 46．数列{}n a 满足211n a n =-+，那么使得前n 项和0n S >的n 的最大值为〔 〕 A ．8 B ．9 C ．10 D ．117. 假设MC ⊥菱形ABCD 所在的平面，那么MA 与BD 的位置关系是〔 〕 A ．垂直但不相交 B ．平行 C ．相交但不垂直 D ．异面8．设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+那么曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为 ( ) A ．14-B ．4C ．2D ．12-9. 0,0a b >>，a 、b 的等差中项为12，设2x b a =+，12y a b =+，那么x y +的最小值为 ( )A ．92B ．5C ．112D ．610.偶函数f(x)在区间上满足，那么满足的x 的取值范围是 〔 〕A. (-3, 1)B.C. (-3，3)D. (1, 3)二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分．11. 4cos()5πθ+=，那么cos 2θ= . 12. 在等差数列{}n a 中，假设456450a a a ++=，那么28a a +的值为13. 如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，那么该几何体的体积为14. 如果点P 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≥+-02202022y x y x y x 所确定的平面区域内,O 为坐标原点，那么PO 的最小值为15. 设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点〔4，1〕，那么两圆心的距离12C C =16.椭圆221:14x C y +=，椭圆2C 以椭圆1C 的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率，那么椭圆2C 的标准方程为17,60,22,_________a b a b a b ︒-=•.已知非零向量的夹角为且满足则的最大值为三、解答题：本大题共5小题，共72分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．18. 〔此题总分值14分〕函数2()2sin ()24f x x x π=-，〔1〕求f (x)的最小正周期和单调减区间； 〔2〕假设f (x)<m +2在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围。