乘法公式之添括号

乘法公式（3）――添括各位老师大家好，今天我说课的题目是人教版数学八年级上册第十四章第二节《乘法公式（3）――添括》，下面我从说教材、说教法、说学法、说教学过程以及说教学反思等几个方面对本课的设计进行说明。

一、说教材1、本节教材的地位和作用本节课是在学生学习去括及整式乘法公式的基础上，重点研究了如何通过去括法则探究添括法则、运用添括法则进行整式变形的课题。

添括是本章的一个难点，为今后学习因式分解、分式的运算以及解方程等内容做好铺垫。

因此，本节课的内容在初中数学学习中起着承前启后的作用，通过本节课的学习可以使学生的思维变得更加开阔，也对以后更好的学习数学知识有很大的帮助。

2、教学目标(1)知识与技能：使学生掌握添括法则，会运用法则进行整式变形，进一步灵活运用乘法公式进行计算。

培养学生独立思考，分析及归纳能力。

(2)过程与方法：经历由去括到添括的探索过程，培养学生的逆向思维能力；通过熟练运用添括法则，渗透类比、转化和整体思想。

(3)情感态度与价值观：引导学生在独立思考的基础上，积极参与讨论，逐步培养学生的合作交流意识。

3、重点，难点分析：由于添括是灵活运用整式乘法公式的基础，因此，添括法则及其应用是本节的教学重点。

又由于在“－”后面添括时，学生很容易犯只改变被括到括内的某一项的符，而忽视改变被括到括内的各项符的问题。

因此，在“－”后面添括法则及其应用是本节课的教学难点。

下面，为了突出重点，突破难点，使学生能达到本节课设定的教学目标，我再谈谈本节课的教法和学法。

二、说教法以启发式教学为主，讨论、交流合作展示等方法为辅。

整个教学过程中，我通过让学生观察、思考、讨论、合作、展示，充分调动学生的学习积极性，让学生在教师的引导下始终处于一种积极的学习状态，充分体现学生是学习的主人，教师只是教学活动的组织者、合作者、参与者。

三、说学法按照新课改生本课堂的要求，把学习的主动权还给学生，提倡积极主动、勇于探索、合作交流的学习方式，体现学生在教学活动中的主体地位。

乘法公式添括号范文在数学中，乘法公式是指一些常见的乘法算式，其中被乘数和乘数之间加上括号以改变运算顺序或分组。

这些公式在解题中经常被使用，帮助我们简化计算或推导结果。

下面将介绍一些常见的乘法公式，并给出相应的解析。

1.分配律：对于任何实数a、b和c，有以下分配律：-左分配律：a×(b+c)=a×b+a×c-右分配律：(b+c)×a=b×a+c×a例如：假设a=2，b=3，c=4，则根据左分配律，2×(3+4)=2×3+2×4=142.结合律：对于任何实数a、b和c，有以下结合律：-左结合律：a×(b×c)=(a×b)×c-右结合律：(a×b)×c=a×(b×c)例如：假设a=2，b=3，c=4，则根据左结合律，2×(3×4)=(2×3)×4=243.交换律：对于任何实数a和b，有以下交换律：-乘法交换律：a×b=b×a例如：假设a=2，b=3，则根据乘法交换律，2×3=3×2=64.幂运算：对于任何实数a和b，有以下幂运算：-乘方：a^b表示a乘以自身b次，即a的b次幂例如：假设a=2，b=3，则2^3=2×2×2=85.零乘法：对于任何实数a，有以下零乘法：-0×a=a×0=0例如：假设a=2，则0×2=2×0=0这些乘法公式在数学中起到了重要的作用，可以帮助我们简化计算、推导解析式、解决实际问题等。

在解题中，我们经常需要灵活应用这些公式，并根据具体情况选择正确的公式来进行计算。

熟练掌握这些公式对于数学学习和解题非常有帮助。

第2课时添括号法则本节课是在学生学习去括号及整式乘法公式的基础上，重点研究了如何通过去括号法则探究添括号法则、运用添括号法则进行整式变形的课题．添括号是本章的一个难点，为今后学习因式分解、分式的运算以及解方程等内容做好铺垫．因此，本节课的内容在初中数学学习中起着承前启后的作用，通过本节课的学习可以使学生的思维变得更加开阔，也对以后更好的学习数学知识有很大的帮助．【复习导入】1．去括号法则的内容是什么？2．根据去括号法则填空：a＋(b＋c)＝________；a－(b＋c)＝________．3．把以上各式反过来，即交换等式的左右两边，可得：a＋b＋c＝a＋(________)；a－b－c＝a－(________)．4．仿照去括号法则，叙述添括号法则：①添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都________符号；①如果括号前面是负号，括到括号里的各项都________符号．【说明与建议】说明：通过已学知识进行逆向变形，获得新知识，体现新旧知识之间的联系，有利于构建知识网络．建议：学生在教师引导下积极思考问题，教师鼓励学生举出其他例子来验证自己的发现．用数学符号和语言来表达，提高概括能力．【归纳导入】1．请直接写出下列各式的值：①10＋5－3＝________，10＋(5－3)＝________，10－(－5＋3)＝________；①－6＋7－2＝________，－6＋(7－2)＝________，－6－(－7＋2)＝________；①8－1＋9＝________，8＋(－1＋9)＝________，8－(1－9)＝________；①26－12－8＝________，26＋(－12－8)＝________，26－(12＋8)＝________；①－15＋3＋7＝________，－15＋(3＋7)＝________，－15－(－3－7)＝________；①60－20＋4＝________，60＋(－20＋4)＝________，60－(20－4)＝________．2．思考并解决以下问题：(1)比较每组中的三个算式的结果，它们相等吗？(2)比较每组中的三个算式的左边，有什么共同之处？(3)请再写出一组符合以上特征的三个算式进行计算，以此验证你的想法．(4)你能把发现的规律用以下等式表示出来吗？a＋b＋c＝a＋(________)＝a－(________);a＋b－c＝a＋(________)＝a－(________);a－b＋c＝a＋(________)＝a－(________);a－b－c＝a＋(________)＝a－(________)．(5)你能用语言表达以上规律吗？【说明与建议】说明：通过对个例的分析比较，归纳得到添括号法则．建议：一方面引导学生通过计算、观察、比较、归纳得到结论；另一方面鼓励学生多举例子验证结论，体会“特殊——一般”的数学思想方法．命题角度1直接利用添括号法则对整式进行变形1．下列添括号，正确的是(C)A．b＋c＝－(b＋c) B．－2x＋4y＝－2(x－4y)C．a－b＝＋(a－b) D．2x－y－1＝2x－(y－1)命题角度2利用添括号法则综合运用乘法公式进行计算2．计算：(1)(3x－2y－1)(3x＋2y－1)；(2)(a－2b＋1)2.(1)解：原式＝(3x－1－2y)(3x－1＋2y)＝[(3x－1)－2y][(3x－1)＋2y]＝(3x－1)2－(2y)2＝9x2－6x＋1－4y2.(2)解：原式＝(a－2b)2＋2(a－2b)·1＋12＝a2－4ab＋4b2＋2a－4b＋1.。

乘法公式之添括号乘法公式是数学中常用的基本公式之一，它可以用于计算两个数的乘积。

在多个数相乘的情况下，我们可以利用乘法公式添加括号来改变乘法的顺序，进而得到不同的结果。

本文将详细介绍乘法公式之添括号的方法，以及相关的应用。

一、乘法公式的基本原理乘法公式的基本原理是将两个数相乘，可以通过先将一个数分解成两个部分，分别与另一个数相乘，然后再相加得到最终结果。

这个原理可以通过下面的乘法公式来表示：(a+b)×c=a×c+b×c例如，要计算(2+3)×4的结果，可以先将2+3分解成2和3，然后分别与4相乘，最后将两个结果相加，得到20。

二、添加括号的方法通过添加括号可以改变乘法的顺序，从而得到不同的结果。

在使用乘法公式添加括号时，可以考虑以下几点：1.将两个项相乘时，可以选择将其中一个项分解成两个部分，然后再分别与另一个项相乘。

例如，要计算2×3+4×5的结果，可以选择将4×5分解成4和5，然后分别与2×3相乘，最后将两个结果相加，得到262.当有多个项相乘时，可以通过多次应用乘法公式，逐步将乘法运算拆解成相加运算。

例如，要计算2×3×4的结果，可以先将2×3拆解成2和3，然后分别与4相乘，得到(2×4)+(3×4)，再将两部分相加，得到8+12，最终结果为20。

3.添加括号时，要考虑运算的优先级，并按照先乘除后加减的规则进行计算。

例如，要计算2×3+4的结果，可以将2×3括起来，得到(2×3)+4，先计算括号内的乘法，再进行加法运算，最终结果为10。

三、乘法公式之添括号的应用1.使用乘法公式简化大数相乘的计算。

例如，要计算123×45，可以选择将123拆解成100+20+3，然后分别与45相乘，得到(100×45)+(20×45)+(3×45)，再将三部分相加，得到结果为55352.使用乘法公式求解代数表达式。

乘法公式（提高讲义）【重点梳理】重点一、平方差公式平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.重点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3232()()m n m n +- （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+（6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++ 重点二、完全平方公式完全平方公式：()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.重点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+()()224a b a b ab +=-+重点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.重点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 重点四、补充公式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2233()()a b a ab b a b ±+=±；33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++. 【典型例题】类型一、平方差公式的应用例1、计算(2＋1)(221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1．【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现2＋1与2－1，221+与221-，421+与421-等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步计算. 【答案与解析】解：原式＝(2－1)(2＋1)( 221+)(421+)(821+)(1621+)(3221+) ＋1 ＝(221-)( 221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1 ＝642－1＋1＝642．【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解决，会事半功倍，提高解题能力． 举一反三：【变式1】(2019秋﹒平山县期末）用简便方法计算： (1)1002-200×99+992 (2)2018×2020-20192【分析】（1）将原式转化为1002-2×100×(100-1)+(100-1)2,再利用完全平方公式进行计算， (2)2018×2020转化为(2019-1)(2019+1),再利用平方差公式计算即可． 【解答】解：(1)1002-200×99+992 =1002-2×100×(100-1)+(100-1)2 =[100-(100-1)]2=12 =1；(2)2018×2020-20192=(2019-1)(2019+1)-20192=20192-1-20192 =-1．【点评】考查平方差公式、完全平方公式的应用，掌握公式特征是关键．【变式2】（2019•内江）（1）填空： （a ﹣b ）（a+b ）= ；（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）= ；（a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）= ． （2）猜想：（a ﹣b ）（a n ﹣1+a n ﹣2b+…+ab n ﹣2+b n ﹣1）= （其中n 为正整数，且n≥2）．（3）利用（2）猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2． 【答案】解：（1）（a ﹣b ）（a+b ）=a 2﹣b 2；（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）=a 3+a 2b+ab 2﹣a 2b ﹣ab 2﹣b 3=a 3﹣b 3；（a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）=a 4+a 3b+a 2b 2+ab 3﹣a 3b ﹣a 2b 2﹣ab 3﹣b 4=a 4﹣b 4；故答案为：a 2﹣b 2，a 3﹣b 3，a 4﹣b 4； （2）由（1）的规律可得：原式=a n﹣b n，故答案为：a n ﹣b n；（3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2=（2﹣1）（28+26+24+22+2）=342．例2、(2019秋﹒甘井子区期末）数学兴趣小组在“用面积验证平方差公式”时，经历了如下的探究过程：（1）小明的想法是：将边长为a 的正方形右下角剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，并用两种方式表示这两部分面积的和，请你按照小明的想法验证平方差公式．（2）小白的起法是：在边长为a 的正方形内部任意位置剪掉一个边长为b 的正方形（如图2），再将剩下部分进行适当分割，并将分割得到的几部分面积和用两种方式表示出来，请你按照小白的想法在图中用虚线画出分割线，并验证平方差公式．【考点】平方差公式的几何背景．乘法公式的几何验证方法∴①+②的面积=a 2-b 2;①+②的面积=大正方形的面积-小正方形的面积=a 2-b 2, ∴(a+b)(a -b)=a 2-b 2．（2）①+②的面积=(a-b)b=ab-b 2, ③+④的面积=(a-b)a=a 2-ab, ∴①+②+③+④=a 2-b 2;①+②+③+④的面积=大正方形的面积-小正方形的面积=a 2-b 2, ∴(a+b)(a -b)=a 2-b 2．【点评】本题考查平方差公式的几何背景；理解题意，结合图形面积的关系得到公式，并能灵活运用公式是解题的关键． 举一反三：【变式】(2019秋﹒南昌期末）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．（1）在图2中的阴影部分面积S 1可表示为a 2-b 2a 2-b 2,在图3中的阴影部分的面积S 2可表示为a 2-b 2a 2-b 2,由这两个阴影部分的面积得到的一个等式是BB ． A ．(a+b)2=a 2+2ab+b 2B ．a 2-b 2=(a+b)(a-b) C ．(a-b)2=a 2-2ab+b 2（2）根据你得到的等式解决下面的问题： ①计算：67.52-32.52; ②解方程：(x+2)2-(x-2)2=24．【考点】平方差公式的几何背景．【专题】整式；一次方程（组）及应用；运算能力． 【分析】（1）由正方形的面积，可得S 1=a 2-b 2;由长方形的面积，可得S 1=(a+b)(a-b)=a 2-b 2;所以a 2-b 2=(a+b)(a-b);（2）①67.52-32.52=(67.5+32.5)(67.5-32.5)=100×35=3500;②展开整理，得8x=24，解得x=3，所以方程的解是x=3．【解答】解：（1）由正方形的面积，可得 S 1=a 2-b 2;由长方形的面积，可得S 1=(a+b)(a-b)=a 2-b 2; ∴a 2-b 2=(a+b)(a-b); 故答案为a 2-b 2,a 2-b 2,选B ；（2）①67.52-32.52=(67.5+32.5)(67.5-32.5)=100×35=3500; ②(x+2)2-(x-2)2=24， 展开整理，得8x=24， 解得x=3， ∴方程的解是x=3．【点评】本题考查平方差公式的几何背景；理解题意，结合图形面积的关系得到公式，并能灵活运用公式是解题的关键．类型二、完全平方公式的应用例3、运用乘法公式计算：（1）2(23)a b +-；（2）(23)(23)a b c a b c +--+．【思路点拨】（1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将23a b +-化成(23)a b +-，看成a 与(23)b -和的平方再应用公式；（2）是两个三项式相乘，其中a 与a 完全相同，2b ，3c -与2b -，3c 分别互为相反数，与平方差公式特征一致，可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”． 【答案与解析】解：（1）原式222[(23)]2(23)(23)a b a a b b =+-=+-+-22464129a ab a b b =+-+-+ 22446129a b ab a b =++--+．（2）原式22222[(23)][(23)](23)4129a b c a b c a b c a b bc c =+---=--=-+-． 【总结升华】配成公式中的“a ”“b ”的形式再进行计算. 举一反三：【变式】运用乘法公式计算：(1)()()a b c a b c -++-； (2)()()2112x y y x -+-+； (3)()2x y z -+； (4)()()231123a b a b +---． 【答案】解：(1) ()()a b c a b c -++-＝[a －(b －c )][ a ＋(b －c )]＝()()222222a b c a b bc c--=--+＝2222a b bc c -+-．(2) ()()2112x y y x -+-+ ＝[2x ＋(y －1)][2x －(y －1)]＝()()()222221421x y x y y --=--+＝22421x y y -+-．(3)()()()()22222x y z x y z x y x y z z -+=-+=-+-+⎡⎤⎣⎦＝222222x xy y xz yz z -++-+．(4) ()()231123a b a b +---＝()2231a b -+-＝－22[(23)2(23)1]a b a b ＋－＋＋＝－()22(2)2233461a a b b a b ⎡⎤+⋅⋅+--+⎣⎦＝224129461a ab b a b －－－＋＋－例4、已知△ABC 的三边长a 、b 、c 满足2220a b c ab bc ac ++---=，试判断△ABC 的形状．【思路点拨】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系． 【答案与解析】解：∵ 2220a b c ab bc ac ++---=，∴ 2222222220a b c ab bc ac ++---=，即222222(2)(2)(2)0a ab b b bc c a ac c -++-++-+=． 即222()()()0a b b c a c -+-+-=． ∴ 0a b -=，0b c -=，0a c -=，即a b c ==，∴ △ABC 为等边三角形．【总结升华】式子2220a b c ab bc ac ++---=体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，但差着2ab 中的2倍，故想到等式两边同时扩大2倍，从而得到结论． 举一反三：【变式】多项式222225x xy y y -+++的最小值是____________. 【答案】4；提示：()()2222222514x xy y y x y y -+++=-+++，所以最小值为4.。