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19.1.2 函数的图象工欲善其事，必先利其器。
《论语·卫灵公》原创不容易，【关注】，不迷路！工欲善其事，必先利其器。
《论语·卫灵公》原创不容易，【关注】，不迷路！第1课时函数的图象1．理解函数图象的意义；(重点)2．能够结合实际情境，从函数图象中获取信息并处理信息．(难点)一、情境导入在太阳和月球引力的影响下，海水定时涨落的现象称为潮汐．如图是我国某港某天0时到24时的实时潮汐图．图中的平滑曲线，如实记录了当天每一时刻的潮位，揭示了这一天里潮位y(m)与时间t(h)之间的函数关系．本节课我们就研究函数图象．二、合作探究探究点一：函数的图象【类型一】函数图象的意义下列各图给出了变量x与y之间的对应关系，其中y是x的函数的是( )解析：∵对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，选项A对于x的每一个取值，y都有两个值，故A错误；选项B对于x的每一个取值，y都有两个值，故B错误；选项C对于x的每一个取值，y都有两个值，故C错误；选项D对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，故D正确．故选D.方法总结：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应．【类型二】判断函数的大致图象3月20日，小彬全家开车前往铜梁看油菜花，车刚离开家时，由于车流量大，行进非常缓慢，十几分钟后，汽车终于行驶在高速公路上，大约三十分钟后，汽车顺利到达铜梁收费站，停车交费后，汽车驶入通畅的城市道路，二十多分钟后顺利到达了油菜花基地，在以上描述中，汽车行驶的路程s(千米)与所经历的时间t(分钟)之间的大致函数图象是( )解析：行进缓慢，路程增加较慢；在高速路上行驶，路程迅速增加；停车交费，路程不变；驶入通畅的城市道路，路程增加但增加的比高速路上慢，故B符合题意．故选B.方法总结：此类题目，理解题意是解题关键，据题干中提供的信息，及生活实际判断图象各阶段的变化情况和特征．【类型三由函数图象判断容器的形状下雨时在室外放置一个无盖的容器，如果雨水均匀地落入容器，容器水面高度h与时间t的函数图象如图所示，那么这个容器的形状可能是( )解析：根据图象可以得到，杯中水的高度h随注水时间t的增大而增大，而增加的速度越来越小．则杯子应该是越向上开口越大．故杯子的形状可能是B.故选B.方法总结：解决此类问题，要在读懂题意的前提下，结合图象分析问题并注意一些细节的描述，如在某段时间内的函数值的增减情况、变化趋势等．究点二：函数图象的应用【类型一】从函数图象上获取信息小明骑单车上学，当他骑了一段时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：(1)小明家到学校的路程是多少米？2)小明在书店停留了多少分钟？(3)本次上学途中，小明一共行驶了多米？一共用了多少分钟？(4)我们认为骑单车的度超过300米/分就超越了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？解析：根据图象进行分析即可．解：(1)根据图象，学校的纵坐标为1500，小明家的纵坐标为0，故小明家到学校的路程是1500米；(2)根据题意，小明在书店停的时间为从8分钟到1分钟，故小明在书店停留了4分钟；(3)一行驶的总路程为120＋(1200－600)＋(1500－600)＝1200＋600＋900＝2700(米)；共用了14分钟；(4)由图象可知：0～6分钟时，平均速度为12006＝200(米/分)；6～8分钟时，平均速度为1200－6008－6＝300(米/分)；12～14钟时，平均速度为＝450(米/分)．所以，12～14分钟时小明骑车速度最快，不在安全限度内．方法总结：解读图象反映的信息，关键是理解横轴和纵轴表示的实际意义，解决问题的过程中体现了数形结合思想．【类型二】动点问题的函数图象如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动路线是A →B →C →D →A ，设P 点经过的路程为x ，以点A ，P ，B 为顶点的三角形的面积是y ，则下列图象能大致反应y 与x 的函数关系的是( )解析：当点P 由点A 向点B 运动，即0≤x ≤4时，y 的值为0；当点P 在BC 上运动，即4＜x ≤8时，y 随着x 的增大而增大；当点P 在CD 上运动，即8＜x ≤12时，y 不变；当点P 在DA 上运动，即12＜x ≤16时，y 随x 的增大而减小．故选B.方法总结：解决动点问题的函数图象问题关键是发现y 随x 的变化而变化的趋势．三、板书设计1．函数图象的意义2．函数图象的应用本课设计的学习内容都是学生所熟知的事情，情景导入是由实例入手，这些内容有利于学生联系实际，主动进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动．通过一些现实生活中用图象来反映的问题实例，让学生经历将实际问题抽象为数学问题的过程．教学生如何观察分析图象，学会观察图象的一般步骤，利用问题串的形式引导学生逐步深入获得图象所传达的信息，逐步熟悉图象语言．【素材积累】每个人对未来都有所希望和计划，立志是成功的起点，有了壮志和不懈的努力，就能向成功迈进。
八年级数学下册教案反思(精品8篇)八年级数学下册教案反思篇1一、分解因式※1.把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
※2.因式分解与整式乘法是互逆关系。
因式分解与整式乘法的区别和联系：(1)整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式;(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.二、提公共因式法※1.如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法。
※2.概念内涵：(1)因式分解的最后结果应当是“积”;(2)公因式可能是单项式，也可能是多项式;(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律，ab+ac=a(b+c)※3.易错点点评：(1)注意项的.符号与幂指数是否搞错;(2)公因式是否提彻底;(3)多项式中某一项恰为公因式，提出后，括号中这一项为+1，不漏掉。
三、运用公式法※1.如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法。
※2.主要公式：(1)平方差公式：①应是二项式或视作二项式的多项式;②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方;③二项是异号.(2)完全平方公式：①应是三项式;②其中两项同号，且各为一整式的平方;③还有一项可正负，且它是前两项幂的底数乘积的2倍。
※5.因式分解的思路与解题步骤：(1)先看各项有没有公因式，若有，则先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积;(4)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止。
八年级数学下册教案反思篇2一、学习目标：1．经历探索平方差公式的过程。
2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算。
二、重点难点重点：平方差公式的推导和应用；难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式。
三、合作学习你能用简便方法计算下列各题吗？（1）20_×1999（2）998×1002导入新课：计算下列多项式的积．（1）（x+1）（x—1）；（2）（m+2）（m—2）（3）（2x+1）（2x—1）；（4）（x+5y）（x—5y）。
八年级下册数学教案反思(优秀8篇)八年级下册数学教案反思篇1一、教学目标：1、理解极差的定义，知道极差是用来反映数据波动范围的一个量.2、会求一组数据的极差.二、重点、难点和难点的突破方法1、重点：会求一组数据的极差.2、难点：本节课内容较容易接受，不存在难点．三、课堂引入：下表显示的是上海2月下旬和同期的每日最高气温，如何对这两段时间的气温进行比较呢？从表中你能得到哪些信息？比较两段时间气温的高低，求平均气温是一种常用的方法．经计算可以看出，对于2月下旬的这段时间而言，和上海地区的平均气温相等，都是12度．这是不是说，两个时段的气温情况没有什么差异呢？根据两段时间的气温情况可绘成的折线图．观察一下，它们有区别吗？说说你观察得到的结果．用一组数据中的最大值减去最小值所得到的差来反映这组数据的变化范围．用这种方法得到的差称为极差（range）．四、例习题分析本节课在教材中没有相应的例题，教材P152习题分析问题1可由极差计算公式直接得出，由于差值较大，结合本题背景可以说明该村贫富差距较大．问题2涉及前一个学期统计知识首先应回忆复习已学知识．问题3答案并不唯一，合理即可。
八年级下册数学教案反思篇2教学目标：1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性。
2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根。
教学重点：算术平方根的概念。
教学难点：根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。
教学过程一、情境导入请同学们欣赏本节导图，并回答问题，学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少?如果这块画布的面积是?这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题?这就要用到平方根的概念，也就是*的主要学习内容.这节课我们先学习有关算术平方根的概念.二、导入新课：1、提出问题：(书P68页的问题)你是怎样算出画框的边长等于5dm的呢?(学生思考并交流解法) 这个问题相当于在等式扩=25中求出正数x的值.一般地，如果一个正数x的平方等于a，即=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为，读作根号a，a叫做被开方数.规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式=a(x0)中，规定x=.2、试一试：你能根据等式：=144说出144的算术平方根是多少吗?并用等式表示出来.3、想一想：下列式子表示什么意思?你能求出它们的值吗?建议：求值时，要按照算术平方根的意义，写出应该满足的关系式，然后按照算术平方根的记法写出对应的值.例如表示25的算术平方根。
19.2.3一次函数与方程、不等式（第一课时）教学设计一、教材分析本节课内容是在学习一次函数的基础上，从运动变化的角度，用函数的观点把一次函数与一元一次方程、一元一次不等式及二元一次方程组等内容进行整合，构建和发展互相联系的知识体系，发挥函数对相关内容的统领作用。
同时也为今后学习相关知识提供了方法基础，具有承上启下的作用。
二、教学目标1. 会利用函数图像解决一元一次方程、一元一次不等式求解问题，体会数形结合的数学思想；2. 理解一次函数与方程、不等式之间的关系，体会转化的数学思想；3. 通过学习用函数观点看方程和不等式，初步感受用全面观点解决局部问题的思想，提高多角度、灵活地分析解决问题的能力。
三、教学重点会利用一次函数图像解决一元一次方程、一元一次不等式求解问题，体会数形结合的数学思想。
四、教学难点一次函数与方程、不等式之间的关系的理解和准确表述。
五、教具准备PPT 课件、电子白板等 六、教学流程七、教学过程（一) 复习回顾，引出新知 问题1.画函数12+=x y 的图像；问题2.求当0=y 时，x 的值；当0>y 时，x 的取值范围。
设计意图：一次函数图像的画法是本章要求学生掌握的基本技能，为后面利用函数图像探究三者之间的关系做好准备，在问题二中，不难看出一次函数与方程、不等式之间关系密切，导入课题。
（二) 合作探究，收获新知探究一：用一次函数解一元一次方程 观察下列三个方程后思考下列问题①012=+x ；②312=+x ；③112-=+x （1）三个方程左右两边有什么特点？（2）解这三个方程可转化为怎样的函数问题，你能从函数值和函数图像两个角度，谈谈你的看法吗？（3）任何一个关于x 的一元一次方程都可变形为()00≠=+a b ax 的形式，除直接计算外，还有什么办法可以解这个方程？谈谈你的看法.方法总结：设计意图：对于一元一次方程的解法，学生已经非常熟悉，教学应突出用函数知识再认识一元一次方程。
第十六章 二次根式16.1二次根式第1课时 二次根式的概念【知识与技能】 了解二次根式的概念，理解a 是一个非负数.【过程与方法】通过新旧知识的联系，培养学生观察、演绎能力，发展学生的归纳概括能力.【情感态度】通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法，进而体验成功的喜悦，并通过合作学习增进终身学习的信念.【教学重点】二次根式的概念及a ≥0的基本性质【教学难点】经历知识产生的过程，探索新知识.一、情境导入,初步认识问题 （1）一个长方形的围栏，长是宽的3倍，面积为39m 2，则它的宽为_______m ；（2）面积为S 的正方形的边长为_______；（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t （单位：s ）与开始落下的高度h （单位：m ）满足关系h=5t 2，如果用含h 的式子表示t ，则t=.______【教学说明】 设置上述问题的目的是让学生感受到研究二次根式是实际的需要，二次根式与实际生活联系紧密.教师提出问题后，让学生独立思考，然后相互交流，获得对二次根式的感性认识.二、思考探究，获取新知思考 13,5h S ，有什么特点？【教学说明】教师提出问题，同学生一道分析，体会这些式子的特征，从而引出二次根式的定义.二次根式：一般地，我们把形如a（a≥0）形式的式子称为二次根式，其中“”称为二次根号.针对上述定义，教师可强调以下几点：（1）a中，a必须是大于等于0的数或式子，否则它就没有意义了；（2）尽管4=2，是一个整数，但4仍应称为一个二次根式；（3）当a≥0时，a表示a的算术平方根，而一个非负数的算术平方根必然也是非负数，因而总有a≥0（a≥0）三、典例精析，掌握新知例1 下列各式中，一定是二次根式的有_______分析：判断二次根式应关注两点：（1）有二次根号“”；（2）被开方数必须是非负数.因而在所给出四个式子中，只有②③中的式子同时符合两个要求，故应填②③.例2 当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义.解：（1）中，由x-2≥0，得x≥2；（2）中，由得2≤x≤3；（3）中，由2x-1＞0，得x＞1/2.【教学说明】对于例3，教师应引导学生分析题目特征，抓住解决问题的突破口，选择恰当的方法来获得解题思路，进一步体验a中a≥0及a≥0的双重非负性特征.四、运用新知，深化理解1.填空题：（1）形如_______的式子叫二次根式；（2）负数算术平方根________（填“有”或者“没有”）2.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义：【教学说明】学生自主探究，教师巡视，了解学生对本节课知识的掌握情况，及时予以指导，帮助学生巩固新知.五、师生互动,课堂小结通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,你获得哪些解决二次根式问题的方法?你还有哪些问题?请与同伴交流.【教学说明】学生相互交流,回顾知识,反思问题,共同发展提高.1.布置作业：从教材“习题16.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.教师创设情境，给出实例.学生积极主动探索，教师引导与启发，师生互动.体现教师的组织者、引导者与合作者地位.2.注意知识之间的衔接，在温故知新的过程中引导出新知，讲练结合旨在巩固学生对新知的理解.第十六章二次根式16.1二次根式第2课时二次根式的性质【知识与技能】16.2 二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法【知识与技能】a b ab（a≥0，b≥0）ab a b（a≥0，b≥0），并能运用它们进行化简计算.【过程与方法】经历探索二次根式乘法法则的过程，发展观察、归纳猜想、验证等能力. 【情感态度】培养学生主动探索知识的能力以及分析问题和解决问题的能力，增强学好数学的信心.【教学重点】a ·b =ab （a ≥0，b ≥0），ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）.【教学难点】发现规律，推导a ·b =ab （a ≥0，b ≥0）.一、情境导入,初步认识问题1 计算下列各式，观察计算结果，你发现什么规律？问题2 用你发现的规律填空，并用计算器进行验算.【教学说明】问题1通过被开方数都是完全平方数，让学生容易获取结果，发现规律.通过问题2的验证加深对规律的认识，为本节学习作好铺垫.上述两个问题均应由学生自主完成，相互交流，感受新知.二、思考探究，获取新知选几名学生口述所发现的规律，然后师生共同归纳：一般地，对二次根式的乘法规定：.【教学说明】对上述二次根式的乘法公式，教学时应引导学生关注其后面的附加条件a ≥0，b ≥0()()49-⨯-4-9-.三、典例精析，掌握新知【教学说明】让学生自主探究，独立完成，加深对二次根式乘法运算和化简方法的理解.教师巡视，对有困难的同学适时给予指导，最后可选派四名学生上黑板完成解答，师生共同评析，巩固所学新知识.【教学说明】在学生探索本题解答过程中，教师可补充说明，在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数.四、运用新知，深化理解4.一个矩形的长和宽分别是10cm和22cm，求这个矩形的面积.5.一个底面为30cm×30cm的长方体容器中装满了水.现将一部分水倒入一个底面为正方形，高为10cm的铁桶中.当铁桶装满水时，容器内水面下降了20cm.铁桶的底面边长是多少厘米？【教学说明】学生自主完成，教师巡视，对学生解题过程中出现的问题及时予以指正，帮助学生加深理解，对优秀者应予以表扬鼓舞，让学生体验成功的快乐.【答案】1.A2.(1)原式10五、师生互动，课堂小结通过这节课的学习你有哪些收获和体会？谈谈你的想法，并与同伴相互交流.1.布置作业：从教材“习题16.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.创设情境，给出实例.学生积极主动探索，教师引导启发，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.2.二次根式乘法法则的形成过程中，由学生大胆猜测，经过思考、分析、讨论的过程，让学生在交流中体会成功.3.前面的讲练能帮助学生理解二次根式乘法法则，培养学生利用概念解题的能力.=a（a≥0）与2a=a（a 理解并掌握二次根式的性质，正确区分≥0），并利用它们进行化简和计算.【过程与方法】在探索二次根式性质的学习活动中，进一步增强学生的参与意识，培养学生的计算能力和解决问题的能力.【情感态度】通过创设问题情境，激发学生学习兴趣，培养学生主动探究意识和创新精神，形成良好的心理品质，促进身心健康发展.【教学重点】()2a=a（a≥0），2a=a（a≥0）及其应用.【教学难点】用探究的方法探索()2a=a（a≥0）及2a=a（a≥0）的结论.一、情境导入,初步认识试一试：请根据算术平方根填空，a（a≥0）的结论是什么？.猜一猜：通过对上述问题的思考，你能猜想出2说说你的理由.【教学说明】让学生通过具体实例所展示的特征，猜想出结果，然后再利用算术平方根的意义对所猜测结论进行分析，由感性认识到理性思考，培养学生利用代数语言进行推理的能力.二、思考探究，获取新知在学生相互交流的基础上可归纳出：2a=a（a≥0）.进一步地，引导学生探究新的问题.探究（1）填空：（2）通过（1）的思考，你能确定2a（a≥0）的化简结果吗？说说你的理由.【教学说明】教师应尽力引导学生积极主动进行探究思考，让学生经历知识的发现与完善的过程，深化对所学知识的理解和记忆，最后师生共同完成对知识的归纳总结.【归纳结论】一般地，根据算术平方根的意义，有2a=a（a≥0）.最后，教师给出代数式的概念.代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式.（代数式的定义只要求学生了解就行，不必深究.）三、典例精析，掌握新知例1 计算：（1）（ 1.5）2；（2）（25）2【教学说明】以上例1、例2可由学生自主完成，教师巡视，对有困难的学生及时予以指导，让每个学生都能得到发展.例3教师引导学生看懂数轴，结合数轴确定a、b的符号.四、运用新知，深化理解【教学说明】以上1~3题可试着让学生自主完成，第4题稍有难度，教师适时点拨.（2）本题中的两个二次根式都可以利用2a=|a|进行化简.然后再根据x＞2的这个范围，来判断x-2与1-2x的正负，最后化简掉绝对值符号.∵x＞2，∴x-2＞0,1-2x＜0.3.(1)原式=5-5+1=1(2)原式=7+49×2/7=7+14=21(2)首先利用a2=|a|化简掉二次根号，再根据x的取值范围来判断绝对值中的代数式的正负，化掉绝对值的符号.五、师生互动，课堂小结1.本节知识可这样归纳：2.通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？与同伴交流.1.布置作业：从教材“习题16.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.注意前后知识的联系，在复习旧知的过程中导入本节课的数学内容，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.2.在总结二次根式的性质过程中，由学生经过观察、分析的过程，让学生在交流中体会成功.3.几个例题，旨在帮助学生对二次根式的性质的理解，在练习和作业中都增加了难度，主要给能力较好的学生提供更大的发展空间.第十六章二次根式第2课时二次根式的除法【知识与技能】a b baa≥0，b＞0baab（a≥0，b＞0），能用它们进行化简计算，能将二次根式化为最简二次根式.【过程与方法】通过具体实例的探究活动，发现二次根式除法的规律，归纳出二次根式除法法则及其逆向等式，能用它们进行化简计算.【情感态度】让学生在独立思考的基础上，积极参与数学问题的讨论，勇于发表自己的观点，增强合作交流意识和能力.【教学重点】a b =ba（a≥0，b＞0）和ba=ab（a≥0，b＞0）的理解和应用.【教学难点】探索二次根式的除法法则.一、情境导入,初步认识问题1 计算下列各式，观察计算结果，你能发现其中的规律吗？问题2 用你发现的规律填空，并用计算器进行验算：【教学说明】让学生自主探究，感受二次根式除法运算中所蕴含的规律性特征，获得二次根式相除的感性认识，导入新课.二、思考探究，获取新知想一想通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式乘法运算法则，你ab.师生共同回顾思考，总结出二次根式a b baa≥0，b＞0baaba≥0，b＞0）【教学说明】在师生共同探索出上述二次根式的除法公式后，教师应引导学生关注其成立的条件，不得出现49--=49--的类似错误.三、典例精析，掌握新知【教学说明】教师给出例题后，让学生独立作业，同时分别选派四名同学上黑板演算.教师巡视，对学生演算过程中的失误及时予以指正，最后师生共同评析，让学生加深对二次根式除法的理解和掌握，并保留每道题的最后结果.议一议观察上述各题的最后结果，它们有什么特点？在学生相互交流过程中可感受到所有结果中的二次根式有如下两个特征：（1）被开方数中不含分母（或分母中不含二次根式）；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把具有上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.小练习：1.下列二次根式中，是最简二次根式的有_______（填序号）.【教学说明】感受二次根式乘除在数学问题和实际生活中的应用，体会二次根式的乘除法在二次根式的化简中的重要作用.四、运用新知，深化理解【教学说明】让学生自主完成，加深对已学知识的复习，并检查对新学知识的掌握情况，对学生的困惑,教师应及时予以指导，并进行必要的反思.五、师生互动，课堂小结师生共同回顾：（1）ab=ba（a≥0，b＞0）和ba=ab（a≥0，b＞0）及其应用；（2）最简二次根式的意义.【教学说明】教师应让学生自由交流，总结本节课的知识要点，同时进行自我反思，提高认知，加深对所学知识的理解.1.布置作业：从教材“习题16.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.创设情境，复习二次根式的乘积，旨在类比学习二次根式的除法，培养学生继续探究的兴趣.2.二次根式除法的学习过程，按照由特殊到一般的规律，由学生经历思考、讨论、分析的过程，让学生大胆猜测，使学生在交流中体会成功.第十六章二次根式16.3二次根式的加减第1课时二次根式的加减法【知识与技能】会进行二次根式的加减运算，利用二次根式的加减法解决生活实际问题.【过程与方法】经历由实际问题引入数学问题的过程，提高学生的抽象概括能力，进而掌握二次根式的加减运算方法.【情感态度】培养学生认真观察、思考的习惯，锻炼严谨细致、一丝不苟的科学精神.【教学重点】二次根式的加减法运算方法.【教学难点】二次根式的加减法的实际应用.一、情境导入,初步认识问题现有一块长7.5dm，宽5dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？【教学说明】可借助多媒体（或幻灯片）展示木板，尝试截取两个正方形木块，并引导学生思考.解决问题的关键在哪里？如何解决？激发学生的学习兴趣和求知欲望.二、思考探究，获取新知让学生相互讨论，共同探究，寻求解决问题的方案.与此同时，教师可设置如下问题帮助学生进行理解和分析：1.两个正方形木块的边长分别是多少？2.最大正方形木板的边长与原长方形木板的宽5dm的大小如何？3.两个正方形木板的边长之和与长方形木板的长7.5dm的大小关系如何？你认为用什么办法来得出结论的？4.谈谈你获得结论的过程中的想法，你有哪些新的认识？在学生充分交流，初步形成认知后，师生共同探讨：上述实际问题中，实质是求8与18这两个二次根式的和，我们可以这样来计算：【教学说明】本环节教师要放手让学生自主探究，自主发现问题，并尝试解决问题，并能总结规律，形成认知.同时，教师应关注学生的完成情况，能否正确进行二次根式的化简，能否运用分配律将二次根式合并.【归纳结论】二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.三、典例精析，掌握新知【教学说明】以上两例，应让学生先独立完成，并分别选派两名中等成绩同学上黑板进行演算.教师巡视，了解全班学生的掌握情况，并对有困难的同学及时予以点拨，帮助他们加深对新知的理解.最后，师生共同评析黑板上的作业，教师还可适时将巡视中发现的问题展示给全班同学，达到理解新知的目的.例3 如图，实验中学计划在校园内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池，设计者需要考虑有关的周长，如果小喷水池的面积为8m2，花坛的绿化面积为10m2,则花坛的外周与小喷水池的周长一共是多少米？分析：利用正方形的面积公式求出边长，再根据周长公式即可得解..【教学说明】本例展示了二次根式的加减在实际问题中的应用，在实际教学过程中，教师应引导学生进行合理分析，理清解题思路与步骤，再让学生自主完成解答过程.最后教师可以给出示范性解题过程，也可以用幻灯片展示学生的优秀作业及有代表性问题作业，让学生通过观察与反思，加深对知识的理解.四、运用新知，深化理解1.下列计算是否正确？为什么？5.先化简，再求值：【教学说明】学生自主完成上面前3个题，教师巡视，后两个题稍难，教师适当予以点拨.【答案】1.（1）不正确，两边不相等；（2）不正确，两边不相等；（3）正确.2.①和④；五、师生互动，课堂小结师生共同回顾本节主要知识点及需要注意的问题.（1）知识要点：二次根式加减的一般思路,①不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；②相同的二次根式一定要进行合并.（2）需注意的问题：①应能将化简的二次根式化简后再进行计算，不要出现8-2是最后结果的类似错误；②相同的二次根式合并时，只需把它们的系数相加减，根式不变，不相同的二次根式不能进行加减，防止出现35-22=（3-2）（5-2）=5-2的错误.1.布置作业：从教材“习题16.3”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.创设情境，给出实例.由学生主动参与，经过思考、讨论、分析的过程，老师加以启发和引导，类比得出二次根式的加减运算法则.2.三个例题，旨在帮助学生理解二次根式的加减运算.尤其是例2，要按照两个步骤进行计算，培养了学生利用概念、法则进行计算和化简的严谨态度和科学精神，此外，例3还展示了二次根式的加减在实际问题中的应用.16.3 二次根式的加减第2课时二次根式的混合运算【知识与技能】1.会进行二次根式的乘、除、加、减混合运算；2.能用多项式的乘法公式进行二次根式的化简计算.【过程与方法】通过具体问题进一步体会有理数运算、二次根式的运算以及整式的运算之间的联系，掌握二次根式混合运算方法.【情感态度】通过多项式乘除法则及乘法公式在二次根式运算中的应用，体验迁移、化归思想，使学生进一步形成符号感，提高数学应用意识.【教学重点】二次根式的混合运算.【教学难点】多项式的乘除法则及乘法公式在二次根式运算中的应用方法.一、情境导入,初步认识问题我们知道：（x+y）·xy=x·xy+y·xy=x2y+xy2，（2x2y+3xy2）÷xy=2x2y÷xy+3xy2÷xy=2x+3y，（x+y）（x-y）=x2-y2及（x+y）2=x2+2xy+y2，……试问：如果上述各式中的x，y分别代表着一个二次根式，我们会有哪些新的收获呢？【教学说明】引入上述关于多项式的乘除算式及乘法公式，进而提出新的问题的目的在于暗示二次根式的运算与多项式的运算之间的联系，激发学生的求知欲望和探究意识.二、思考探究，获取新知探究1由（x+y）·z=x·z+y·z=xz+yz，你能求出的值吗？你是怎样做的？探究2由，你能求出的值吗？由此你有何发现？类似地，请解决以下几个小题.【教学说明】让全班同学共同参与探究，相互交流，在类比的过程中尝试给出问题的答案.教师巡视，予以点拨，肯定学生的成绩，并引导学生完善对二次根式混合运算的初步认识，最后师生共同给出问题的结果.【归纳结论】1.二次根式的混合运算与整式的运算方法完全相同，即先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号.2.在二次根式的运算中，多项式的乘法法则和乘法公式仍然适用.三、典例精析，掌握新知例1 计算下列各题：分析：对算式的结构进行观察分析，运用二次根式加、减、乘、除的法则进行运算，需注意乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2，（a±b）2=a2±2ab+b2的灵活运用.解：（1）原式=（46-22+62）÷22=（46+42）÷22=46÷22+42÷22=23+2；例2 已知3，3，求下列代数式的值.（1）x2+2xy+y2；（2）x2-y2.分析：由条件易知3，x-y=2，而需求代数式中的（1）可化为（x+y）2，（2）可化为（x+y）（x-y），因而整体代入更简洁些，当然直接代入求值也是可行的，只不过要复杂多了.解：∵3+1，3，∴3x-y=2.（1）原式=（x+y）2=（32=12；（2）原式=（x+y）·（x-y）33【教学说明】第1题可让学生自主完成，并选派三名代表上黑板进行演算.教师巡视，了解学生对二次根式混合运算的掌握情况，及时予以帮助，帮助学生更好地掌握新知识.最后全班同学分析三位代表的解答过程及结果，深化理解.第2题仍可让学生先自主探究，如果大部分学生选用直接代入求值时，教师仍应肯定他们的成绩，但需展示本例的最佳解题思路，达到融会贯通的目的.四、运用新知，深化理解3.（1）若2，2，求a2b-ab2的值；（2）若2-1，求x2+2x+2011的值.【教学说明】第1、2两题可让学生自主完成，然后相互交流，教师根据反馈情况，及时查漏补缺，优化课堂教学.第3题即可让学生尝试解决，也可由师生共同分析，形成解题思路后再由学生自主完善解题过程.3.（1）由a-b=42，a·b=1得a2b-ab2=ab（a-b）=1×42=42；（2）∵x=2-1，∴x+1=2，两边平方，得x2+2x+1=2.∴x2+2x=1.故x2+2x+2011=1+2011=2012.五、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获？你还有哪些疑惑？谈谈你的看法，并与同伴交流.【教学说明】教师以设问的形式和学生一道回顾本节主要知识及所涉及到的解题方法、技巧和数学思想方法，既是对知识的一次梳理，也是一次必要的提炼升华，完善认知.1.布置作业：从教材“习题16.3”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.情境引入，复习整式运算的知识，旨在迁移到利用乘法公式进行含二次根式式子的运算，培养学生继续探究的兴趣.2.例题的设计，旨在帮助学生理解乘法公式在二次根式运算中的应用.本章专题整合训练【知识与技能】进一步加深对二次根式定义、性质及运算法则的理解，能用它们解决具体问题.【过程与方法】经历对本章知识的梳理和利用相关知识解决具体问题的过程，进一步锻炼学生的解题能力，加深对本章知识的理解和应用.【情感态度】在运用二次根式的有关知识解决具体问题过程中，进一步增强学生的数学应用意识和能力，培养科学的态度，激发学习兴趣.【教学重点】回顾知识要点及解题思路方法.【教学难点】灵活运用乘法公式解决二次根式的化简计算问题.一、 知识框图,整体把握【教学说明】教学时，教师与学生一起复习回顾本章主要知识，按教学前自己所设计的思路展示本章知识结构图，加深学生对本章知识的系统掌握.二、释疑解惑，加深理解1.a ，只有当a ≥0时才有意义.利用这一特点，我们可以解决某些未知数的值，如若y=21x -12x -，则x=1/2，y=3.2.最简二次根式是指：（1）被开方数中不含分母；（2）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式.只有将二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同时，才能合并，如若最简二次根式2x - 与310x - 能合并，则x 的值为4.3.二次根式的运算与有理数的运算顺序和方法完全相同.同样地，多项式乘法法则和乘法公式也仍然适用于二次根式.【教学说明】在对上述知识回顾过程中，教师应边回顾边举例说明，促进学生对知识的深化理解.三、典例精析，复习新知例1 若1x - -1x -=（x+y ）2，则代数式x-y 的值为（ ）A.-1B.1C.2D.3分析：可利用二次根式的意义，得出x 的值，从而求出y 值，得出结论.由题意有∴x=1.因此，（x+y ）2=0，∴y=-1，故x-y=2，应选C.例2 估计8132⨯+ 的运算结果应在（ ） A.1到2之间B.2到3之间C.3到4之间D.4到5之间分析：原式=43+=2+3，又1＜3＜2，故3＜2+3＜4.答案选C.例3 实数a 、b 在数轴上的对应点如图所示，化简2244a ab b -++|a+b|的结果为.分析：由数轴可知，a ＜0，b ＜0，且b ＜a ＜0，2244a ab b -++|a+b|=22a b -（）+|a+b|=|a-2b|+|a+b|.又a-2b＞0，a+b＜0，∴原式=a-2b-（a+b）=-3b，故应填-3b.例4 已知a=2+1，求a3-a2-3a+2011的值.分析：将a=2+1移项得a-1=2，两边平方后得到一个二次三项式，再“整式代入，逐步降次”可得结论.解：∵a=2+1，∴a-1=2，∴（a-1）2=（2）2，即a2-2a+1=2，∴a2=2a+1.∴a3-a2-3a+2011=a（2a+1）-（2a+1）-3a+2011=2a2+a-5a+2010=2（2a+1）+a-5a+2010=2012.例6 若29-+与｜x-y-3｜互为相反数，求x+y的值.分析：本题考查了x y非负数的性质以及二元一次方程组的求解，当多个非负数的和为0时，这几个非负数都为0.【教学说明】实际教学时，教师可根据自己的思路从上述例题中选取几题进行评讲，也可选用其它题目来解决学生学习本章知识时可能存在的问题，达到因材施教，查漏补缺的目的，对于所选例题，应给予合适时间让学生独立思考，然后师生共同分析，完善结论，其中例4、例5、例6则应给出详细规范答案.通过所选例题的教学，进一步增强学生对本章知识的理解和掌握，提高分析问题、解决问题的能力，体验数学的严谨性、科学性及解题的灵活性.四、复习训练，巩固提高1.已知方程|4x-8|+ x y m--=0，则当y＞0时，m的取值范围是（）A.0＜m＜1B.m≥2C.m＜2D.m≤2【教学说明】教师试着让学生自己完成上述题目.【答案】1.依题意有4x-8=0，x-y-m=0，∴x=2，y=2-m，又y＞0，即2-m＞0，∴m ＜2，故选C.2.x≤4且x≠2；五、师生互动，课堂小结1.通过这节课的学习，你对本章知识有哪些新的认识，有何体会？请与同学交流.2.通过本章知识的学习，你掌握了哪些数学思想方法？说说看.【教学说明】师生共同进行回顾和小结，让学生在相互交流中积累解题方法。
19.2.3 一次函数与方程【知识与技能】1.理解一次函数与方程、不等式的关系.2.会根据一次函数的图象解决一元一次方程、不等式、二元一次方程组的求解问题.【过程与方法】学习用函数的观点看待方程、不等式，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想.【情感态度】经历方程、不等式与函数关系的探究，学习用联系的观点看待数学问题.【教学重点】一次函数与方程、不等式关系的应用.【教学难点】一次函数与方程、不等式关系的理解.一、情境导入，初步认识探究：1.解方程2x+20=0.2.在平面直角坐标系中画出一次函数y=2x+20的图象.问题1 直线y=2x+20与x轴交点横坐标是方程2x+20=0的解吗？为什么？问题2 这两个问题是同一个问题么？由学生完成以上任务的画图与思考，教师走入每个学习小组，指导交流与总结，适时对学生的发言进行评判.【归纳总结】从“数”的角度看，方程2x+20=0的解是x=-10；从“形”的角度看，直线y=2x+20与x轴交点的坐标是（-10，0），这也说明，方程2x+20=0的解是x=-10.由于任何一个一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴交点的横坐标的值.二、思考探究，获取新知问题1 一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？思考：（1）本题的相等关系是什么？（2）设再过x秒物体速度为17m/s，能否列出方程？（3）如果速度用y表示，那么能否列出函数关系式？（4）上面不同的解法各有何特点？解法1 设再过x秒物体速度为17m/s.由题意可知：2x+5=17，解得x=6.解法2 速度y（m/s）是时间x（s）的函数，关系式为y=2x+5.当函数值为17时，对应的自变量x值可得2x+5=17.求得x=6.解法3 由2x+5=17可变形得到2x-12=0.从图象上看，直线y=2x-12与x轴的交点为（6，0）.故x=6.问题2 1.解不等式5x+6＞3x+10.【思考】不等式5x+6＞3x+10可以转化为ax+b＞0的形式吗？所有的不等式是否都可以转化成这种形式呢？2.当自变量x为何值时函数y=2x-4的值大于0？【思考】上述两个问题是同一个问题吗？3.问题2能用一次函数图象说明吗？【教学说明】引导学生解不等式后思考问题，并师生共同归纳：（1）在问题1中，不等式5x+6＞3x+10可以转化为2x-4＞0，解这个不等式得x＞2.（2）解问题2就是要不等式2x-4＞0，得出x＞2时函数y=2x-4的值大于0.因此它们是同一问题.（3）如图，函数y=2x-4与x轴的交点为（2,0），且这个函数的y随着x的增大而增大，故要求当函数y=2x-4的值大于0时的自变量的值，只需在图中找出当函数图象在x轴上方时的x的值即可，由图可知，当x＞2时，函数y=2x-4的值大于0.问题3 试用一次函数图象法求解从中总结你的体会.【归纳总结】上面的方程组可以转化为其本质是求当x为何值时，两个一次函数的y值相等，它反映在图象上，就是求直线与y=2x-1的交点坐标.三、典例精析，掌握新知例1 若直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24，求常数k的值是多少？【分析】（1）一次函数的图象与两坐标轴围成的图形是直角三角形，两条直角边的长分别是图象与x轴的交点的横坐标的绝对值和与y轴的交点的纵坐标的绝对值.（2）确定图象与两条坐标轴的交点坐标可以通过令x=0和y=0解方程求得.解：设直线y=kx+6与x轴和y轴分别交于点A、B.令y=0，得x=-；令x=0，得y=6.∴A（-，0），B（0，6），∴|OA|=|-|，|OB|=6.∴S=OA·OB=|-|×6=24.|k|=.∴k=±.【教学说明】教学中引导学生利用一次函数解析式和方程的关系先得出直线与两个坐标轴的交点，再借助直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24来构造方程.例2 已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，求（1）当x为何值时，kx+b＞0；（2）当x 为何值时，kx+b=0；（3）当x为何值时，kx+b＜0.解：（1）当x＜3时，kx+b＞0；（2）当x=3时，kx+b=0；（3）当x＞3时，kx+b＜0.【教学说明】寻找kx+b＞0的解集，实际上就是寻找当x为何值时，一次函数y=kx+b的图象在x轴的上方；寻找kx+b＜0的解集，实际上就是寻找x为何值时，一次函数y=kx+b的图象在x轴的下方.例3 用作图象的方法解方程组【分析】首先将两个方程分别写成一次函数的形式，然后在直角坐标系中作出它们的图象，观察得出两直线的交点坐标，从而得出方程组的解.解：由x+y=3，可得y=3-x.由3x-y=5，可得y=3x-5.在同一直角坐标系内作出一次函数y=3-x的图象l1和y=3x-5的图象l2，如图所示，观察图象得l1、l2的交点坐标为P（2，1）.所以，方程组的解是四、运用新知，深化理解1.如图，已知直线y=kx-3经过点M，求此直线与x轴、y轴交点坐标.【分析】要求此直线与x轴、y轴的交点坐标，就需确定这条直线对应的函数解析式，即确定直线y=kx-3中的k，这由直线过点M（-2，1）求得.2.用画函数图象的方法解不等式3x+2＞2x+1.【分析】本题可以把原不等式的两边分别看作一次函数，也可以先化简将其看作一个一次函数，然后画出函数图象求解.3.已知如图所示，直线l1:y=2x-4与x轴交于点A，直线l2:y=-3x+1与x轴交于点B，且直线l1与l2相交于点P，求△APB的面积.【分析】显然本题易求A点与B点的坐标，这样很容易求出线段AB的长度，则本题的关键就是求出点P的坐标，进而把点P的坐标转化为点P到线段AB的距离，求点P的坐标的方法就是联立l1和l2所表示的方程，建立成二元一次方程组，求解即可.【教学说明】下列问题有一定综合性，教师提示思路，由学生分组讨论求解.【答案】1.解：由图象可知，点M（-2，1）在直线y=kx-3上，∴-2k-3=1，解得k=-2.∴此直线的解析式为y=-2x-3.当y=0时，可得x=-，∴直线与x轴交于（-，0）.当x=0时，可得y=-3，∴直线与y轴交于（0，-3）.2.解法一：将原不等式的两边分别看作两个一次函数，画出直线y=3x+2和直线y=2x+1的图象，如图1，由图象可以看出它们的交点的横坐标为-1，当x＞-1时，直线y=3x+2在直线y=2x+1的上方，即不等式3x+2＞2x+1的解集为x＞-1.图1 图2解法二：原不等式也可以化为x+1＞0，画出y=x+1的图象，如图2，可以看出当x＞-1时这条直线上的点在x轴的上方，即y=x+1＞0，所以不等式的解集为x＞-1.3.解：l1：y=2x-4，令y=0，x=2，则A（2，0）l2：y=-3x+1，令y=0，x=，则B（，0），则AB=，解得∴P（1，-2），则点P到直线AB的距离为2. ∴S△APB=××2=.五、师生互动，课堂小结结合下表总结一次函数与一元一次方程的关系：从数的角度看：从形的角度看：反思如何由一次函数图象求得一元一次不等式的解集.理解一次函数图象与二元一次方程组间的关系.掌握图象法解二元一次方程组的步骤.1.布置作业：从教材“习题19.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习.用函数的观点看方程和不等式，是学生应该学会的一种数学思想方法，本课时教学应考虑到学生形成一种教学观点的需要，考虑学生对函数、方程、不等式之间关系的理解.应从不同角度（如练习，讨论交流）帮助学生认识知识间关系的本质，形成函数、方程、不等式知识间相互转化的能力.。
19.3数学活动——选择方案（1）教学设计及说明永定区第二初级中学王子平一、教学内容及内容解析：本节内容选择了贴近生活实际的一个方案（怎样选择购物方式）。
在此之前学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式的解法和应用，一次函数的图像和性质，一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式之间的关系等相关知识。
由于本节内容具有较强的实际背景，分析实际背景中所包含的变量及其对应关系较复杂，且方法多，即可用学过的方程不等式又可用刚学过的函数知识，又要选择最优化的方案，因此是对以前知识的综合应用和升华。
目的是提高综合应用所学知识分析和解决实际问题的能力，从而体会一次函数在分析和解决实际问题中的重要作用，进一步感受建立数学模型重要性。
在授课过程中，采用了师生共同发现问题，提出问题，利用函数、数形结合以及分类讨论的思想方法解决问题，并用发现的方法解决问题的教学主线，解决了选择方案中的一次函数问题和简单分段函数的问题，为高中学习分段函数奠定基础。
二、教学目标及目标解析：根据学生实际和教材特点制定如下目标：1、进一步巩固一次函数的相关知识，初步学会从数学的角度提出问题，理解问题，并能综合运用所学知识和技能解决问题，发展应用意识。
2、能根据一次函数的性质，用代数法和图像法解决选择方案的问题，培养学生分析问题解决问题的能力与优化方案的意识，渗透数学建模的思想方法。
3、通过解决实际问题体会数学与生活的联系，激发学生学习数学的兴趣。
在数学学习中学会独立思考及与他人合作学习共同获得经验。
4、将所学的知识应用到解决实际问题中去选择合适的方案，体会数学的实用价值，帮助学生获得生活经验，并树立正确的人生观和价值观。
教学重点：建立数学模型，利用代数法和图像法解决选择方案的实际问题教学难点：从实际问题中抽象出分段函数模型，并用方程、不等式知识或借助函数图像的性质进行综合分析问题，从而解决实际生活中方案选择问题三、教学问题诊断分析：初中生活泼好动，注意力易分散，抓住学生特点，积极采用形象生动，形式多样的教学方法和学生广泛的积极主动参与的学习方式，定能激发学生兴趣，有效地培养学生能力，促进学生个性发展。
课题：19.3 课题学习选择方案（2）教学设计一、内容和内容解析1．内容用函数思想解决方案选择问题——怎样租车省钱？2．内容解析函数反映变量之间对应关系和变化规律的重要模型。
它在研究自然界和现实生活中的变化规律及解决相关问题中有着广泛的应用。
利用函数模型解决问题的基本过程是：首先，设变量（自变量和因变量），建立因变量与自变量的函数关系，把实际问题转化为函数问题；其次，研究函数性质，把握变量之间的对应关系和变化规律，解决函数问题；第三，解释函数问题解题的实际意义，得到实际问题的解。
数学建模要求我们学会将实际问题经过分析、简化并抽象为一个数学问题，然后用适当的数学方法去解决．数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能刻画(或近似刻画)并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段．通过学习，将会对一次函数知识起到巩固与深化的作用，并且在探究如何运用课本知识、思想方法将实际问题抽象成为数学模型，再将所得数学模型进行转换和运算，进而解决实际问题．在建立数学模型解决实际问题的过程中，树立学生学习数学、应用数学的观念，培养学生的创新意识．综上所述，本课教学的重点：应用一次函数模型解决方案选择问题．二、目标和目标解析1．目标(1)会用一次函数知识解决方案选择问题，体会函数模型思想．(2)能从不同的角度思考问题，优化解决问题的方法．(3)能进行解决问题过程的反思，总结解决问题的方法．2．目标解析本节内容属于实践与综合应用领域，是解决问题的教学，而不单纯是一次函数的应用．目标(1)要求能根据实际问题建立一次函数模型，应用一次函数的相关性质解决问题，认识到函数模型应用的方法，感受函数模型的应用价值．目标(2)要求能从不同的角度感知问题中的数量关系，对实际问题中的数量关系进行有向多元表征，构建不同的模型，用不同的方法解决问题，并能比较评价各种解决方案．目标(3)要求在解决问题过程中，能进行“现状——目标”差距的评估，进行解题思路的调整，在解决问题后，能对问题解决步骤、程序和方法进行总结提炼．三、教学问题诊断分析本课的认知要求高，是问题解决层次．问题解决过程需要感知和确定问题、表征和定义问题、形成解决问题策略、组织信息、资源分配、监控、评估等认知活动．问题解决学习过程有着特殊性．首先，它是指向问题的，而非指向知识的；其次，它是具有挑战性的整体问题甚至是问题情境，没有铺垫和提示；第三，它需要不断进行问题的感知、表征及转换，把整体目标分解为一系列的分目标，生成连接起点和终极目标的的目标链，进行问题的不断转化；第四，解题思路不是显然的，而是要根据问题的情境和特点进行系统的规划和选择．与数学概念、数学事实原理等学习相比，学生对数学问题解决学习的经验相对缺乏．因此，在学习解决问题时会遇到较大困难，学生习惯于接受老师的解题分析，一旦自己独立面对陌生问题，往往无从下手．学生的主要困难：(1)不会审题，难以从整体上把握数量关系；(2)不能用适当的方法表示问题中的数量关系，因此就难以形成适当的数学模型；(3)不会进行系统的解题规划而习惯于提取直接的解题经验；(4)只要得到答案就完事，没有反思的习惯．问题解决学习活动的核心价值是通过这种高层次的数学学习活动发展数学感知、表征、抽象概括、推理计算等认知能力，培养提出问题、分析问题和解决问题的能力．而这些教育价值的实现，必须以独立完整地经历相关的认知活动为前提．本课教学的难点：规划解决问题思路，建立函数模型．四、教学支持条件分析五、教学过程设计【复习回顾】正比例函数和一次函数定义【学习探究】引言：通过上节课的学习，我们知道，当面对不同的方案，可以运用数学方法进行比较并做出合理的选择．现实生活中还有许多选择方案的实例，比如学校每年要进行的夏令营，页“问题2”的内容，要向运输公司租车，也会面临着多种方案的选择．请认真学习课本P103-104边学习边思考下列问题：某学校计划在总费用2 300 元的限额内，租用汽车送234 名学生和6 名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有1 名教师．现在有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表：（1）共需租多少辆汽车？（2）给出最节省费用的租车方案．设计意图：通过引言，使学生回忆起要作出选择方案，体会到在数学分析基础上进行理性选择，具有重要的现实意义．并提供具有现实意义的挑战性问题．问题1 影响最后的租车费用的因素有哪些？师生活动：学生思考后回答，教师整理引导得出，主要影响因素是甲、乙两种车所租的辆数．设计意图：引导学生通过审题能确定函数的自变量．问题2 汽车所租辆数又与哪些因素有关？师生活动：学生作答，教师引导得出与乘车人数有关．追问：问题3如何由乘车人数确定租车辆数呢？师生活动：教师引导学生进行如下分析：根据乘车人数来确定租车辆数：（1）要保证240名师生都有车坐，汽车总数不能小于辆；（2）要使每辆汽车上至少要有1名教师，汽车总数不能大于辆.综合起来考虑，租车的总辆数只能为辆.问题4 当租车的总辆数确定后，租车费的多少与有关，种车越少，费用越低.师生活动：学生讨论，教师启发得出，(1)甲车辆数与乙车辆数和为6；(2)租车费用是甲车辆数(乙车辆数)的函数．即设租用x辆甲种车，则还需租用（6-x）辆乙种车，那么租车的费用y（元）与x之间的函数关系式为：则y＝400x＋280(6－x)，化简，y＝120x＋1 680．设计意图：经历体验一次函数解析式的构造、建立的全过程，并能熟练地把实际问题中的一次函数用解析式表示出来．培养学生的建模意识、用变量和函数来思考问题的函数思想方法．引导学生充分经历观察、实验、猜想等数学活动过程，培养学生观察、分析问题和解决问题的能力；能有条理地、清晰地阐述自己的观点．问题5 如何确定y =120x+1 680中y的最小值师生活动：教师引导学生作如下分析：要使租车费用不超过2300元，可得不等式400x＋280(6－x)≤2 300；又要保证240名师生有车坐，可得不等式45x＋30(6－x)≥240，设计意图：引导学生学会从数学的角度发现问题、理解问题，并能综合运用所学知识技人合作，并能与他人交流思维的过程和结果，和初步形成评价与反思的意识．从中感受到发现的乐趣，增进学习数学的信心，形成创新意识．师生活动：教师关注学生的完成情况，及时启发、指导，学生独立建立函数模型，把实际问题转化为函数问题：（3）确定并选择租车方案：①从甲种车辆数x满足的范围来看，有哪几种不同的租车方案？由4530624040028062300x xx x⎧⎨⎩＋－≥，＋－≤，()()得3146x≤≤，根据实际意义x可取4或5；有两种租车方案：1.租甲种客车4辆，乙种客车2辆2．租甲种客车5辆，乙种客车1辆②为了节省费用，你选择哪种租车方案？说说理由.对于函数y＝120x＋1 680，y随x的增大而增大，则当x＝4时，y取得最小值．选择第1种方案租甲种客车4辆，乙种客车2辆设计意图：通过建立一次函数模型，把实际问题转化为一次函数的问题，这是感知问题、分析问题基础上的用一次函数模型对实际问题进行数学表征，通过这种表征，把实际问题转化为函数问题，并通过分析函数的变化规律来获得实际问题的解．【合作交流】（一）小组交流:通过学习你学会了什么？还有什么问题不明白？在小组内讨论并解决疑难.（二）班级展示与教师点拔：通过两堂选择方案课，你能总结用一次函数解决实际问题的方法与策略吗？请大家带着下列问题回顾上述问题的解决过程，谈谈感悟，分享观点．（1）选择方案问题中，选择的方案数量有什么特点？（2）选择最佳方案，往往可以用函数有关知识解决问题，你能说说建立函数模型的步骤和方法吗？师生活动：师生共同总结，教师引导，归纳与总结．设计意图：让学生带着问题回顾解决实际问题的过程，可以提高反思过程的针对性，突出反思问题解决的关键节点和核心思想这两个重点，帮助学生概括应用一次函数解决实际问题的基本思路：归纳：用数学方法选择方案一般可分为三步：①构建函数模型，找出函数关系式；②确定自变量的取值范围或是针对自变量的取值进行讨论；③由函数的性质(或经过比较后)直接得出最佳方案．【应用新知】例Ａ城有化肥200吨，Ｂ城有化肥300吨，现要把化肥运往Ｃ，Ｄ两农村，如果从Ａ城运往Ｃ，Ｄ两地运费分别是20元／吨与25元／吨，从Ｂ城运往Ｃ，Ｄ两地运费分别是15元／吨与24元／吨，现已知Ｃ地需要240吨，Ｄ地需要260吨，如果个体户承包了这项运输任务，请你帮他算一算，怎样调运总运费最少?【应用拓展】某童装厂现有甲种布料38米，乙种布料26米，现计划用这两种布料生产L、M两种型号的童装共50套，已知做一套L型号的童装需用甲种布料0.5米，乙种布料1米，可获利45元；做一套M型号的童装需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米，可获利润30元．设生产L型号的童装套数为x，用这批布料生产这两种型号的童装所获利润为y (元)．(1)写出y (元)关于x (套)的函数解析式；并求出自变量x的取值范围；(2)该厂在生产这批童装中，当L型号的童装为多少套时，能使该厂所获的利润最大?最大利润为多少?师生活动：学生思考回答，教师点拨，找出解决问题的方法。
新人教版八年级数学下导学案(全册)+数学教学反思汇总第十六章二次根式导学案二次根式(1)一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质：Va >0(a>0)和(斯)2=。
(。
20)二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质.难点：综合运用性质> 0(a > 0)和(痴沪=a(a > 0)。
三、学习过程(-)复习回顾:(1)已知x2= a ,那么a是x的；1是。
的,记为,a—定是数。
(2)4的算术平方根为2,用式子表示为再=；正数。
的算术平方根为, 0的算术平方根为;式子Va > 0(a > 0)的意义是o(二)自主学习(1)V16的平方根是;(2)—个物体从高处自由落下，落到地面的时间是M单位：秒)与开始下落时的高度加单位：米)满足关系式h = 5t\如果用含h的式子表示t,则t=;(3)圆的面积为S,则圆的半径是;(4)正方形的面积为b-3,则边长为o思考：应，的，妤3等式子的实际意义.说一说他们的共同特征.定义：一般地我们把形如V^(«>0)叫做二次根式，。
叫做1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？也,-依，V4, 知20), V7T12、当。
为正数时西指。
的而0的算术平方根是负数—，只有非负数a才有算术平方根。
所以，在二次根式西中，字母。
必须满足—，膈才有意义。
3、根据算术平方根意义计算：(1)(V4)2⑵(妁2 (3) (V05)2(4)(昏根据计算结果，你能得出结论：(扃)七 ,其中心0,4、由公式(插)S0),我们可以得到公式a =(插V ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
如(V5)2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(打练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：6 0.35(2)在实数范围内因式分解尸一7 4a2-11(三)合作探究例：当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？解：由x-2>0,得x>2当x> 2时，/刁在实数范围内有意义。
第十六章二次根式16.1二次根式1.了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件.2.掌握二次根式性质,并能将二次根式的性质运用于化简.3.了解最简二次根式概念,会判断一个二次根式是不是最简二次根式.经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.【重点】会求二次根式中字母的取值范围,理解和掌握二次根式的性质,熟练化简二次根式.【难点】运用二次根式的双重非负性解决问题,二次根式性质的综合运用.第课时使学生理解并掌握二次根式的概念,掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围.经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.【重点】了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件.【难点】会求二次根式中字母的取值范围.【教师准备】教学所需的习题资料.【学生准备】复习平方根和立方根的有关知识.导入一:唐僧师徒在万寿山五庄观做客.猪八戒来到后花园,看见人参果树上结满了人参果,嘴馋得直流口水.正准备伸手摘时,突然一道金光,在同一个枝头上一大一小的两个果子同时掉了下来,噗的一声同时着地.有爱好数学的电视迷算了人参果下落的时间t与h之间的关系式为t=,你觉得他算的正确吗?要解决这个问题,我们得从二次根式说起.[设计意图]将数学问题融入到学生喜爱的神话故事中,激发学生学习的兴趣,拉近了数学与学生的距离,为探究本节课奠定了基础.导入二:1.教师出示复习题:(1)4的平方根是;0的平方根是;-16的平方根是.(2)5的平方根是;5的算术平方根是.学生口答:(1)4的平方根是±2;0的平方根是0;-16没有平方根.(2)5的平方根是±;5的算术平方根是.2.教师出示教材第2页“思考”题:用带有根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点:(1)面积为3的正方形的边长为,面积为S的正方形的边长为.(2)一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130 m2,则它的宽为m.(3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t 为.学生思考后回答,教师补充得出答案:(1),;(2);(3).[设计意图]以回顾练习和思考的形式引导学生回忆,巩固所学知识,并引入新课.1.二次根式的概念思路一[过渡语](针对导入二)让我们一起来看下面的问题:上面得到的式子,,,分别表示什么意义?它们有什么共同特征?教师引导学生说出各式的意义,概括它们的共同特征:都表示一个非负数(包括字母或式子表示的非负数)的算术平方根.讨论:你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗?学生小组讨论,全班交流.教师由此给出二次根式的定义:一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式,“”称为二次根号.追问:在二次根式的概念中,为什么要强调“a≥0”?教师引导学生举出例子说明,经过讨论知道二次根式被开方数必须是非负数.[设计意图]让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系,体会研究二次根式的必要性,再让学生体会由特殊到一般的过程,培养学生的概括能力,最后通过讨论二次根式中被开方数a≥0,进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解.思路二像,,,这样的式子有什么共同特点呢?学生观察,交流发现:一是从形式上看,都含有二次根号;二是被开方数的取值范围有限制:被开方数必须是非负数.教师进一步明确:形如(a≥0)的式子叫做二次根式.引导学生说一说对二次根式的认识:(1)表示a的算术平方根;(2)a可以是数,也可以是代数式;(3)从形式上看,含有二次根号;(4)a≥0,≥0.[设计意图]加深对二次根式的理解,进一步明确二次根式的非负性.2.例题讲解[过渡语]二次根式的定义怎样理解?让我们一起来学习几个例题.下列各式中,哪些是二次根式?并指出二次根式中的被开方数.,,,(x≥3),(y>-1),,,(xy>0).引导学生观察根指数和被开方数分析发现:显然不是二次根式(因为它的根指数是4,含有四次根号),其余式子都含有二次根号,关键看根号下的被开方数是否为非负数.若根号下是负数,则二次根式没有意义.解:,(x≥3),,(xy>0)是二次根式.其中被开方数依次是7,x-3,(x+1)2,.[解题策略]①当被开方数形式是含有字母的代数式时,可以把这个代数式看成一个整体.如的被开方数是x2+2015.②当被开方数形式比较复杂时,可以将这个被开方数适当化简.如,因为(-3)2-7=9-7=2,所以它的被开方数其实就是2.【变式训练】下列各式中,一定是二次根式的是()A. B.C. D.(其中a<0)〔解析〕的被开方数-9<0,的被开方数m-1可能是负数,的根指数是3,所以选项A,B,C中的式子都不是二次根式.含有二次根号,并且无论a取什么负数,被开方数a2+8都是正数,所以一定是二次根式.故选D.(教材例1)当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?引导学生从概念出发进行思考:二次根式的被开方数为非负数,则x-2≥0.解:由x-2≥0,得x≥2.当x≥2时,在实数范围内有意义.【变式训练】若式子1+有意义,则x的取值范围是.〔解析〕根据二次根式的性质可知:x+1≥0,即x≥-1;又因为分式的分母不能为0,所以x的取值范围是x≥-1且x≠0.故填x≥-1且x≠0.[易错分析]容易产生只考虑到x+1≥0,而忽略了x≠0的错误.[知识拓展](1)二次根式的定义是从代数式的结果和形式上界定的,必须含有二次根号“”,如,都是二次根式,而就不是二次根式了.(2)在二次根式中,被开方数可以是具体的数,也可以是含有字母的单项式、多项式、分式等代数式.(3)形如b(a≥0)的式子也是二次根式,其表示的是b与的乘积,如3表示3×,-表示-×,但是不能写成3的形式.(4)当a≥0时,表示a的算术平方根.也就是说,有意义的条件是a≥0.(5)当a是非负数时,(其中a≥0)本身也是一个非负数.师生共同回顾本节课所学主要内容:知识要点关键点注意事项二次根式的概念形如≥0(a≥0)的式子叫做二次根式,其中被开方数是a被开方数也可以是含有字母的单项式、多项式、分式等二次根式有意义的条件被开方数必须是非负数求解二次根式中字母的取值范围,要注意根号下的式子整体不小于零1.已知下列各式:,(a≥2),,,其中二次根式的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:的被开方数不是非负数,所以不是二次根式,其余3个都是二次根式.故选C.2.(2014·南通中考)若在实数范围内有意义,则x的取值范围是()A.x≥B.x≥-C.x>D.x≠解析:是二次根式,因此2x-1≥0,在分母上,因此≠0.则解得x>.故选C.3.当x=时,二次根式有最小值,其最小值是.解析:∵二次根式有意义,∴x+3≥0,即x+3的最小值是0,∴x+3=0,解得x=-3.答案:-304.求下列各式中字母a的取值范围:(1);(2);(3);(4).解:(1)由a+1≥0,得a≥-1.∴字母a的取值范围是大于或等于-1的实数.(2)由>0,得1-2a>0,即a<.∴字母a的取值范围是小于的实数. (3)因为无论a取何值,都有(a-3)2≥0,所以字母a的取值范围是全体实数. (4)因为无论a 取何值,都有|a|+1>0,所以字母a的取值范围是全体实数.第1课时1.二次根式的概念2.例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材第3页练习第1,2题;教材第5页习题16.1第1题.【选做题】教材第5页习题16.1第7题.二、课后作业【基础巩固】1.若是二次根式,则下列结论正确的是()A.x≥0,y≥0B.x>0,y>0C.x,y同号D.≥02.已知实数x,y,m满足+=0,且y为负数,则m的取值范围是()A.m>6B.m<6C.m>-6D.m<-63.如果式子+有意义,那么在直角坐标系中点A(a,b)的位置在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.(2015·遵义中考)使二次根式有意义的x的取值范围是.【能力提升】5.当x 时,+在实数范围内有意义.6.(2015·攀枝花中考)若y=++2,则x y=.7.已知x,y为实数,且满足-(y-1)=0,求x2016-y2016的值.8.已知实数a满足+=a,求a-20142的值.【拓展探究】9.若x,y,n满足关系式+=·,试确定m的值.【答案与解析】1.D(解析:依题意得≥0,即≥0.故选D.)2.A(解析:根据题意,结合非负数的性质,得=0,=0,所以解得因为y是负数,所以6-m<0.解得m>6.故选A.)3.A(解析:根据二次根式有意义的条件,易得a>0,b>0.故选A.)4.x≥(解析:要使二次根式有意义,则需满足5x-2≥0,∴x≥.)5.≥-且x≠-1(解析:要使+在实数范围内有意义,必须同时满足的被开方数2x+3≥0和的分母x+1≠0,即由①得x≥-,由②得x≠-1.∴当x≥-且x≠-1时,+在实数范围内有意义.)6.9(解析:由题意得x-3≥0,3-x≥0,得x=3,故y=2,∴x y=9.)7.解:∵-(y-1)=0,∴+(1-y)=0.∴x+1=0,1-y=0.解得x=-1,y=1.∴x2016-y2016=(-1)2016-12016=1-1=0.8.解:由a-2015≥0,得a≥2015,故已知式子可化为a-2014+=a.∴=2014.两边平方并整理,得a-20142=2015.9.解:由等式的右边,根据二次根式有意义的条件得x-2013+y≥0且2013-x-y ≥0,得x+y≥2013且x+y≤2013,所以x+y=2013.所以+=0.所以①-②,得x+2y=2.又x+y=2013,两式相加,得2x+3y=2015.所以m=2015.我们经常说过程比结果更重要.我对整节课的设计力求符合学生的认知特点,想方设法创设生动活泼的教学情境,使学生始终处在好奇、好学的高亢的学习情绪当中,同时,整节课努力做到先有框架,中有深化,后有突破.学生学有情趣,学有所获,并由衷感到:学习是快乐的事,学会了更是幸福的事.在教学中,我适当增加了有拓展性的练习,层层递进,想使不同的学生得到不同程度的发展和提高,但受到教材中练习题的局限,就当a是非负数时,本身也是一个非负数的练习没有落实到位.若x,y为实数,且满足y=+-3,求x+2y的值.〔解析〕根据二次根式的被开方数不小于0,求得x,y的值,然后将其代入所求的代数式并计算.解:由二次根式有意义的条件得即x2-4=0,所以x=±2.当x=±2时,y=-3.①当x=2,y=-3时,x+2y=2+2×(-3)=-4;②当x=-2,y=-3时,x+2y=-2+2×(-3)=-8.所以x+2y的值是-4或-8.[解题策略]根据已知得出并得到x=±2是解决本题的关键.已知(3a-6)2+=0,求b a的值.〔解析〕根据非负数的性质:若两个非负数的和为0,则这两个非负数的值都为0,解出a,b的值,再代入原式中计算.解:因为(3a-6)2与都是非负数,且它们的和为0,所以3a-6=0,b-3=0,即a=2,b=3.此时b a=32=9.[解题策略]本题考查了非负数的性质,初中阶段有三种类型的非负数:(1)绝对值;(2)偶次方;(3)二次根式(算术平方根).当它们的和为0时,必须满足其中的每一项都等于0.根据这个结论可以求解这类问题.第课时1.理解()2=a(a≥0)和=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简.2.用具体数据结合算术平方根的意义推出()2=a(a≥0)和探究=a(a≥0),会用这个结论解决具体问题.3.了解代数式的概念.在明确()2=a(a≥0)和=a(a≥0)的算理的过程中,感受数学的实用性.通过运用二次根式的性质化简的相关计算,解决一些实际问题,培养学生解决问题的能力.【重点】掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.【难点】能运用二次根式的性质化简.【教师准备】教学所需的习题资料.【学生准备】自学教材第3~4页的内容.导入一:教师出示问题:先化简再求值:当a=9时,求a+值,甲、乙两人的解答如下:甲的解答为:原式=a+=a+(1-a)=a+1-a=1;乙的解答为:原式=a+=a+(a-1)=2a-1=17.两种解答中,谁的解答是错误的呢?本节课,我们一起来学习二次根式的性质,然后就可以解决上面的问题了.[设计意图]以问题设疑,发挥问题导向作用,激发学生的求知欲,为本节课学习打下基础.导入二:1.什么叫二次根式?2.当a≥0时,叫什么?当a<0时,有意义吗?学生口答,老师点评.通过前面的学习,我们知道了二次根式具有双重非负性.今天我们主要学习一些二次根式的其他性质.[设计意图]复习旧知导入新知,让本节课自然过渡,为本节课学习奠定了基础.思路一1.二次根式的性质1:()2=a(a≥0)[过渡语]我们先来探究性质1:()2=a(a≥0).提问:你能解释下列式子的含义吗?()2,()2,,()2.学生口述,教师根据情况评价.()2表示4的算术平方根的平方;()2表示2的算术平方根的平方;表示的算术平方根的平方;()2表示0的算术平方根的平方.追问:根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.()2=;()2=;=;()2=.学生独立完成填空后,让学生展示其思维过程,说出得到结论的依据.教师引导学生说出每一个式子的含义.是4的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于4的非负数,因此有()2=4.是2的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于2的非负数,因此有()2=2. 是的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于的非负数,因此有=.表示0的算术平方根,因此有()2=0.讨论:从以上的结论中你能发现什么规律?你能用一个式子表示这个规律吗?引导学生归纳得出二次根式的性质:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数,即()2=a(a≥0).(教材例2)计算:(1)()2;(2)(2)2.学生独立完成,两名学生板演,再集体订正.〔解析〕(1)直接运用()2=a(a≥0)化简即可.(2)运用幂的性质(ab)2=a2b2.解:(1)()2=1.5.(2)(2)2=22×()2=4×5=20.[解题策略]把底数看成根号外因数与二次根式的积,按照积的乘方计算即可.【变式训练】计算:(-2)2.〔解析〕把原式的底数看成是-2与的积,先利用(mn)2=m2n2,再根据()2=a(a ≥0)化简.解:(-2)2=(-2)2()2=4×3=12.[知识拓展]形如(x)2的关于二次根式的运算可结合(ab)2=a2b2得到(x)2=x2a.2.二次根式的性质2:=a(a≥0)[过渡语]我们再来探究一下性质2:=a(a≥0).提问:你能解释下列式子的含义吗?,,,.教师引导学生说出每一个式子的含义.表示2的平方的算术平方根;表示0.1的平方的算术平方根;表示的平方的算术平方根;表示0的平方的算术平方根.追问:根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.=;=;=;=.学生独立完成填空后,让学生展示其思维过程,说出得到结论的依据.∵4=22,∴=2,因此=2;∵0.01=0.12,∴=0.1,因此=0.1;∵=,∴=,因此=;∵0=02,∴=0,因此=0.讨论:从以上的结论中你能发现什么规律?你能用一个式子表示这个规律吗? 引导学生归纳得出:一个非负数的平方的算术平方根等于这个数.即=a(a≥0).(教材例3)化简:(1);(2).引导学生根据=a(a≥0)进行分析:(1)因为16=42,所以=,再计算即可得出结果.(2)因为(-5)2=52,所以=.学生独立完成,集体订正.解:(1)==4.(2)==5.[知识拓展](1)中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义.(2)化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即=a(a≥0);若a是负数,则等于a的相反数-a,即=-a(a<0).小组讨论:()2和有什么关系?学生自由讨论,教师根据情况引导学生从式子的意义和结果两个方面去分析,得出:()2表示a的算术平方根的平方,()2=a(a≥0);表示a的平方的算术平方根,=|a|=[设计意图]让学生经历从特殊到一般的过程,概括出二次根式的性质2,培养学生抽象概括的能力,并通过例题练习及时巩固二次根式的性质2.思路二请同学们阅读和自学课本第3~4页的内容,并思考下面的问题:1.(1)填空:()2=;()2=;=;()2=;=;()2= .(2)猜想当a≥0时,()2=.2.(1)观察下列各式的特点,找出各式的共同规律,并用表达式表示你发现的规律.==;==;==;==;….通过观察,你得到的结论是什么?试着说一说.(2)发现:当a≥0时,=,当a<0时,=.学生用充足的时间学习后,交流学习情况,教师分析并讲解.1.(1)根据算术平方根与乘方运算的关系,得=2,所以()2=22=4;=4,所以()2=42=16;=,所以==.根据以上规律,可以得出()2=2;=;()2=0.(2)从第(1)问可以发现,一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数,即()2=a(a≥0).2.先计算==2;==2;==3;==3;….可以看出:一个正数的平方的算术平方根等于这个数,一个负数的平方的算术平方根等于这个数的相反数.于是当a≥0时,=a,当a<0时,=-a.归纳并板书:二次根式的性质:1.()2=a(a≥0);2.=a(a≥0).提问:()2和有什么关系?学生自由讨论,教师根据情况引导学生从式子的意义和结果两个方面去分析,得出:()2表示a的算术平方根的平方,()2=a(a≥0);表示a的平方的算术平方根,=|a|=3.代数式提问:回顾我们学过的式子,如a+b,-ab,,-x3,,(a≥0),这些式子有哪些共同特征?学生概括式子的共同特征,得出代数式的概念.这些式子都是用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式.学生举出一些例子,并书写,教师针对学生书写出现问题的地方进行指导.4.例题讲解(补充)计算:(-5)2,,-.〔解析〕利用()2=a(a≥0)和=a(a≥0)化简,注意被开方数的符号.解:(-5)2=(-5)2×()2=25×2=50.==.-=-=-.(补充)比较2与3的大小.〔解析〕直接比较这两个二次根式的大小不太容易,由于这两个二次根式平方后得到两个有理数,因此可以通过比较这两个二次根式平方的大小来比较它们的大小.解:∵(2)2=22×()2=44,(3)2=32×()2=45,又∵44<45,且2>0,3>0,∴2<3.师生共同回顾本节课所学主要内容:知识要点关键点注意事项()2=a(a≥0) 任何非负数的算术平方根的平方,其结果仍然是它本身被开方数a是非负数=|a|= 任何实数的平方的算术平方根是它的绝对值底数a可以是任何实数代数式用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式①式子中不能出现“=,≠,≥,≤,<,>”;②单个的数字或单个的字母也是代数式1.计算的结果是()A.-3B.3C.-9D.9解析:==3.故选B.2.下列各式:①m2-3;②(a>0);③a-1=6;④3x-5>0;⑤;⑥66.其中代数式的个数是()A.2个B.3个C.4个D.5个解析:③a-1=6是方程,不是代数式;④3x-5>0是一元一次不等式,也不是代数式;其余都是代数式.故选C.3. +的值是.解析:+=2+2=4.故填4.4.(1)当x 时,=2-x成立;(2)计算=.解析:(1)当x-2≤0时,=2-x,所以x≤2;(2)因为3<π,所以3-π<0,因此=π-3.答案:(1)≤2(2)π-35.计算:(1);(2)(2)2;(3);(4)(-)2.解:(1)=0.9. (2)(2)2=22×()2=12. (3)=(-2)2×=2.(4)(-)2=(-1)2×()2=15.第2课时1.二次根式的性质1:()2=a(a≥0)例12.二次根式的性质2:=a(a≥0)例23.代数式4.例题讲解例3例4一、教材作业【必做题】教材第4页练习第1,2题;教材第5页习题16.1第2,3,4,5,6题.【选做题】教材第5页习题16.1第7,8,9,10题.二、课后作业【基础巩固】1.已知二次根式的值为3,那么x的值是()A.3B.9C.-3D.3或-32.若=1-2a,则()A.a<B.a≤C.a>D.a≥3.(2015·杭州中考)若k<<k+1(k是整数),则k等于()A.6B.7C.8D.94.实数a,b在数轴上的位置如图所示,则化简-|a+b|的结果为()A.2a+bB.-2a+bC.bD.2a-b【能力提升】5.若是一个正整数,则正整数m的最小值是.6.在实数范围内分解因式:(1)x2-3=;(2)n5-6n3+9n=.7.列出下列代数式:(1)面积为3的圆的半径;(2)面积为S且两条邻边之比为3∶5的长方形的长、宽.8.计算:(1);(2)(3)2;(3);(4)-;(5).9.先化简,再求值:-,其中x=6.【拓展探究】10.对于题目“化简并求值:+,其中a=”,甲、乙两人的解答不同.甲的解答是:+=+=+-a=-a=;乙的解答是:+=+=+a-=a=.谁的解答是错误的?为什么?【答案与解析】1.D(解析:根据题意得x2=9,解得x=±3.故选D.)2.B(解析:由已知得2a-1≤0,解得a≤.故选B.)3.D(解析:本题主要考查了算术平方根的化简及算术平方根的估算,而<<,即9<<10,所以k=9.)4.C(解析:观察图可知a<0,b>0,且|a|>|b|,那么可知a+b<0,再结合二次根式、绝对值的性质进行化简计算.原式=-a-[-(a+b)]=-a+a+b=b.故选C.)5.5(解析:这类题保证被开方数是最小的完全平方数即可得出结论.20=22×5,所以正整数m的最小值为5.)6.(1)(x+)(x-)(2)n(n+)2(n-)2(解析:关键是逆用()2=a(a≥0)将3变成()2.(1)x2-3=(x+)(x-).(2)n5-6n3+9n=n(n4-6n2+9)=n(n2-3)2=n(n+)2(n-)2.)7.解:(1). (2)宽:3;长:5.8.解:(1)=. (2)(3)2=32×()2=18. (3)=(-2)2×=. (4)-=-=-3π. (5)= =.9.解:原式=-=-.∵x=6,∴x+1>0,x-8<0.∴原式=x+1-=x+1+x-8=2x-7=12-7=5.10.解析:在利用=|a|=化简二次根式时,当根号内的因式移到根号外面时,一定要注意原来根号里面的符号,这也是化简时最容易出错的地方.解:乙的解答是错误的.因为当a=时,=5,a-<0,所以≠a-,而应是=-a.本节课通过“观察——归纳——运用”的模式,让学生对知识的形成与掌握变得简单起来,将一个一个知识点落实到位,适当增加了拓展性的练习,层层递进,使不同的学生得到了不同的发展和提高.在探究二次根式的性质时,通过“提问——追问——讨论”的形式展开,保证了活动有一定的针对性,但是学生发挥主体作用不够.在探究完成二次根式的性质1后,总结学习方法,再放手让学生自主探究二次根式的性质2.既可以提高学习效率,又可以培养学生自学能力.练习(教材第4页)1.解:(1)()2=3. (2)(3)2=32×()2=9×2=18.2.解:(1)=0.3. (2)=. (3)-=-π. (4)=10-1=.习题16.1(教材第5页)1.解:(1)欲使有意义,则必有a+2≥0,∴a≥-2,∴当a≥-2时,有意义. (2)欲使有意义,则必有3-a≥0,∴a≤3,∴当a≤3时,有意义. (3)欲使有意义,则必有5a≥0,∴a≥0,∴当a≥0时,有意义. (4)欲使有意义,则必有2a+1≥0,∴a≥-,∴当a≥-时,有意义.2.解:(1)()2=5. (2)(-)2=()2=0.2. (3)=. (4)(5)2=52×()2=25×5=125. (5)==10. (6)=72×=49×=14. (7)=. (8)-=-=-.3.解:(1)设圆的半径为R,由圆的面积公式得S=πR2,所以R2=,所以R=±.因为圆的半径不能是负数,所以R=-不符合题意,舍去,故R=,即面积为S的圆的半径为. (2)设较短的边长为2x,则它的邻边长为3x.由长方形的面积公式得2x·3x=S,所以x=±,因为x=-不符合题意,舍去,所以x=,所以2x=2=,3x=3=,即这个长方形的相邻两边的长分别为和.4.解:(1)32. (2)()2. (3)()2. (4)0.52. (5). (6)02.5.解:由题意可知πr2=π·22+π·32,∴r2=13,∴r=±.∵r=-不符合题意,舍去,∴r=,即r的值是.6.解:设AB=x,则AB边上的高为4x,由题意,得x·4x=12,则x2=6,∴x=±.∵x=-不符合题意,舍去,∴x=.故AB的长为.7.解:(1)∵x2+1>0恒成立,∴无论x取任何实数,都有意义. (2)∵(x-1)2≥0恒成立,∴无论x取任何实数,都有意义. (3)∵即x>0,∴当x>0时,在实数范围内有意义. (4)∵即x>-1,∴当x>-1时,在实数范围内有意义.8.解:设h=kt2, 则由题意,得20=k×22,解得k=5,∴h=5t2,∴t=(负值已舍去).当h=10时,t==,当h=25时,t==.故当h=10和h=25时,小球落地所用的时间分别为 s和 s.9.解:(1)由题意知18-n≥0且为整数,则n≤18,n为自然数且为整数,∴符合条件的n的所有可能的值为2,9,14,17,18. (2)∵24n≥0且是整数,n为正整数,∴符合条件的n的最小值是6.10.解:V=πr2×10,r=(负值已舍去),当V=5π时, r==,当V=10π时,r==1,当V=20π时,r==.如图所示,根据实数a,b在数轴上的位置,化简:+.〔解析〕根据数轴可得出a+b与a-b的正负情况,从而可将二次根式化简.解:由数轴可得:a+b<0,a-b>0,∴+=|a-b|+|a+b|=a-b-(a+b)=-2b.[解题策略]结合数轴得出字母的取值范围,再化简二次根式,此题体现了数形结合的思想.已知a,b,c为三角形的三条边,则+=.〔解析〕根据三角形三边的关系,先判断a+b-c与b-a-c的符号,再去根号、绝对值符号并化简.因为a,b,c为三角形的三条边,所以a+b-c>0,b-a-c<0,所以原式=(a+b-c)+[-(b-a-c)]=a+b-c-b+a+c=2a.故填2a.[解题策略]此类化简问题要特别注意符号问题.化简:.〔解析〕题中并没有明确字母x的取值范围,需要分x≥3和x<3两种情况考虑.解:当x≥3时,=|x-3|=x-3;当x<3时,=|x-3|=-(x-3)=3-x.[解题策略]化简时,先将它化成|a|,再根据绝对值的意义分情况进行讨论.16.2二次根式的乘除1.掌握二次根式的乘法法则,会进行二次根式的乘法运算.2.能利用二次根式的乘、除法法则和性质化简二次根式.1.经历“探索——发现——猜想——验证”的过程,引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖,相互补充的辩证关系.2.培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力.鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲,体验数学活动中的探索和创新,感受数学的严谨性.【重点】能熟练进行二次根式的乘法和除法运算.【难点】综合运用有关法则和性质化简二次根式.第课时1.理解=·(a≥0,b≥0),使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的计算和化简.2.掌握二次根式的乘法法则,会进行二次根式的乘法运算.1.经历“探索——发现——猜想——验证”的过程,使学生进一步了解数学知识之间是互相联系的.2.培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力.鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲,体验数学活动中的探索和创新,感受数学的严谨性.【重点】会利用积的算术平方根的性质化简二次根式,会进行二次根式的乘法运算.【难点】二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用.【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.【学生准备】复习二次根式的定义和代数式的定义.导入一:古希腊的几何家海伦的邻居家有一块三角形的菜地,测得三边的长分别为7 m,5 m,8 m,海伦很快就算出了这块菜地的面积,邻居想了很久也算不出来,你知道海伦是如何将这块地的面积计算出来的吗?原来海伦先算出三角形的周长的一半为10 m,再根据计算三角形的面积公式得=(m2),可是后面这个式子该如何化简呢?这节课我们一起来进行探讨.[设计意图]创设情境导入新课,激发学生学习的兴趣,为本节课学习打下基础.导入二:我们知道长方形的面积等于长乘宽,一个一组邻边长为2和3的长方形,你能算出它的面积吗?其实这个长方形的面积是2×3,你能算出这个结果,求出长方形的面积吗?[设计意图]联系生活实际导入新课,让学生感受到数学来源于生活,唤起学生探究新知的欲望.1.二次根式的乘法思路一计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律?(1)×=,=;(2)×=,=;(3)×=,=.参考上面的结果,用“>,<或=”填空.×,×,×.老师纠正学生练习中的错误后,引导学生观察运算结果,发现和总结式子有什么规律,指出几名学生回答,其余学生补充.。
