栏目 导引
第二章
基本初等函数、导数的应用
(1)已知函数 f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)， 若 f(a)＝2， 则 f(－
0 a)的值为________ ．
(2)已知函数
2 x ＋x，x≤0， f(x)＝ 2 为奇函数，则 ax ＋bx，x>0
0 ． a＋b＝____
【解析】 (1)设 F(x)＝f(x)－1＝x3＋sin x， 显然 F(x)为奇函数， 又 F(a)＝f(a)－1＝1，所以 F(－a)＝f(－a)－1＝－1， 从而 f(－a)＝0. (2)当 x<0 时，则－x>0，所以 f(x)＝x2＋x，f(－x)＝ax2－bx， 而 f(－x)＝－f(x)，即－x2－x＝ax2－bx， 所以 a＝－1，b＝1，故 a＋b＝0.
栏目 导引
第二章
基本初等函数、导数的应用
2．周期性 (1)周期函数 对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义 域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数 y＝f(x)为 周期函数，称 T 为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数， 那么这 个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期．
栏目 导引
第二章
基本初等函数、导数的应用
0 3．若函数 f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则 a＝________ ．
[解析] 因为函数 f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，所以 f(－x)＝f(x)， 即(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|，所以|－x＋a|＝|x＋a|， 所以 a＝0.
栏目 导引
第二章
基本初等函数、导数的应用
所以 f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1， 所以 f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋…＋f(12)＝… ＝f(2 005)＋f(2 006)＋…＋f(2 010)＝1， 2 010 所以 f(1)＋f(2)＋…＋f(2 010)＝1× ＝335. 6 而 f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015) ＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝1＋2－1＋0－1＝1. 所以 f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝335＋1＝336.
栏目 导引
第二章
基本初等函数、导数的应用
[解 ]
(1)证明：因为 f(x＋2)＝－f(x)，
所以 f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． 所以 f(x)是周期为 4 的周期函数． (2)因为 x∈[2，4]，所以－x∈[－4，－2]， 所以 4－x∈[0，2]， 所以 f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8， 又 f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)， 所以－f(x)＝－x2＋6x－8， 即 f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4]．
栏目 导引
第二章
基本初等函数、导数的应用
判断函数的周期性只需证明 f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数 是周期函数，且周期为 T，函数的周期性常与函数的其他性质 综合命题，是高考考查的重点问题．
k－2 x k·2x－1 [解析] 因为 f(－x)＝ ＝ x ， 1＋k· 2－x 2 ＋k
－
(k－2x)(2x＋k)＋(k· 2x－1)· (1＋k· 2x) 所以 f(－x)＋f(x)＝ (1＋k· 2x)(2x＋k) (k2－1)(22x＋1) ＝ . x x (1＋k· 2 )(2 ＋k) 由 f(－x)＋f(x)＝0 可得 k2＝1， 所以 k＝± 1.本题解题中易忽视函 数 f(x)的定义域，直接通过计算 f(0)＝0 得 k＝1.
栏目 导引
第二章
基本初等函数、导数的应用
(3)因为 f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1， 又 f(x)是周期为 4 的周期函数， 所以 f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝… ＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0. 所以 f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0.
栏目 导引
第二章
基本初等函数、导数的应用
4．设函数 f(x)是定义在(－1，1)上的偶函数，且在(0，1)上是增 函数，若 f(a－2)－f(4－a2)<0，求实数 a 的取值范围．
[解 ] 由
－1<a－2<1， f(x)的定义域是(－1，1)，知 2 －1<4－a <1，
解得 3<a< 5. 由 f(a－2)－f(4－a2)<0，得 f(a－2)<f(4－a2)． 因为函数 f(x)是偶函数，所以 f(|a－2|)<f(|4－a2|)． 由于 f(x)在(0，1)上是增函数，所以|a－2|<|4－a2|， 解得 a<－3 或 a>－1 且 a≠2. 综上，实数 a 的取值范围是 3<a< 5且 a≠2.
栏目 导引
第二章
基本初等函数、导数的应用
判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝3x－3－x； x2＋2，x>0， (2)f(x)＝0，x＝0， －x2－2，x<0.
栏目 导引
第二章
基本初等函数、导数的应用
[解] (1)因为 f(x)的定义域为 R， 所以 f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)， 所以 f(x)为奇函数． (2)f(x)的定义域为 R，关于原点对称， 当 x>0 时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)； 当 x<0 时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)； 当 x＝0 时，f(0)＝0，也满足 f(－x)＝－f(x)． 故该函数为奇函数．
栏目 导引
第二章
基本初等函数、导数的应用
函数奇偶性的判断与应用 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝ 9－x2＋ x2－9； (2)f(x)＝(x＋1) 1－x ； 1＋x
2 x ＋x，x<0， (3)f(x)＝ 2 － x ＋x，x>0.
栏目 导引
第二章
2 9 － x ≥0， (1)由 2 得 x －9≥0，
栏目 导引
第二章
基本初等函数、导数的应用
3．必会的 1 种方法 已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数，常常采用 特值法，如利用 f(x)为奇函数且在 x＝0 有意义，则有 f(0)＝0， 可以求出参数值，但由于不是充要条件，故必须检验．
栏目 导引
第二章
基本初等函数、导数的应用
k－2x ± 1 ． 1．若函数 f(x)＝ x在定义域上为奇函数，则实数 k＝____ 1＋k· 2
栏目 导引
第二章
基本初等函数、导数的应用
函数周期性的判断与应用(高频考点) 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，恒有 f(x＋2)＝－f(x)．当 x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当 x∈[2，4]时，求 f(x)的解析式； (3)计算 f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)．
栏目 导引
第二章
基本初等函数、导数的应用
1 ．函数 f(x) ＝ mx2 ＋ (2m － 1)x ＋ 1 是偶函数，则实数 m ＝ 1 2 ________.
1 [解析] 由 f(－x)＝f(x)，知 m＝ . 2
栏目 导引
第二章 f(x)，给出下列说法： ①若 f(x)是偶函数，则 f(－2)＝f(2)； ②若 f(－2)＝f(2)，则函数 f(x)是偶函数； ③若 f(－2)≠f(2)，则函数 f(x)不是偶函数； ④若 f(－2)＝f(2)，则函数 f(x)不是奇函数． ①③ ．(填序号) 其中，正确的说法是________
基本初等函数、导数的应用
[解 ]
x＝± 3.
所以 f(x)的定义域为{－3，3}，此时 f(x)＝0. 又 f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0. 即 f(x)＝± f(－x)．所以 f(x)既是奇函数，又是偶函数． 1－ x ≥ 0， (2)由1＋x 得－1<x≤1. 1＋x≠0， 因为 f(x)的定义域(－1，1]不关于原点对称． 所以 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
[解析] 根据偶函数的定义，①正确，而③与①互为逆否命题，
x－2，x>0， 故③也正确， 若举例奇函数 f(x)＝ 由于 f(－2)＝f(2)， x＋2，x<0，
所以②④都错误．
栏目 导引
第二章
基本初等函数、导数的应用
3． 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋6)＝f(x)， 当－3≤x<－1 时， f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3 时，f(x)＝x，则 f(1)＋f(2)＋f(3)
栏目 导引
第二章
基本初等函数、导数的应用
1．必明辨的 1 个易错点 研究函数的奇偶性易忽视定义域． 2．常用的 5 个结论 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完 全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单 调性恰恰相反．
栏目 导引
第二章
基本初等函数、导数的应用
(2)若 f(x)为偶函数，则 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． (3)若奇函数 f(x)定义域中含有 0，则必有 f(0)＝0. (4)若函数满足 f(x＋T)＝f(x)，由函数周期性的定义可知 T 是函 数的一个周期；应注意 nT(n∈Z 且 n≠0)也是函数的周期． (5)对 f(x)定义域内任一自变量的值 x：若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T 1 1 ＝2a；若 f(x＋a)＝ ，则 T＝2a；若 f(x＋a)＝－ ，则 T＝ f(x) f(x) 2a.
