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2012届高考数学不等式第二轮备考复习第4讲不等式(推荐时间：60分钟)一、填空题1．(2011•广东改编)不等式2x2－x－1>0的解集是____________________．2．(2011•上海)不等式x＋1x≤3的解集为____________．3．“a＋>b＋d”是“a>b且>d”的________条．4．不等式x2－4>3|x|的解集是____________．．已知正数x，满足x2＋2＝1，则1x＋1的最小值为________．6．设命题甲：ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R；命题乙：0<a<1则命题甲是命题乙成立的______________条．7．(2011•浙江)若实数x，满足x2＋2＋x＝1，则x＋的最大值是________．8．设实数x，满足x－－2≤0，x＋2－4≥0，2－3≤0，则当x>37时，实数x，满足的不等式组为____________．9．设a＞b＞0，则a2＋1ab＋1a(a－b)的最小值是________．10．若关于x的不等式(2x－1)2<ax2的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是__________．11．若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈0，12恒成立，则a的最小值是________．12．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条的a，b恒成立的是______(写出所有正确命题的序号)．①ab≤1；②a＋b≤2；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤1a＋1b≥2二、解答题13．已知二次函数f(x)＝ax2＋x有最小值，不等式f(x)<0的解集为A(1)求集合A；(2)设集合B＝{x||x＋4|<a}，若集合B是集合A的子集，求a的取值范围．14如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？1．已知函数f(x)＝13ax3－14x2＋x＋d(a，，d∈R)满足f(0)＝0，f′(1)＝0，且f′(x)≥0在R上恒成立．(1)求a，，d的值；(2)若h(x)＝34x2－bx＋b2－14，解不等式f′(x)＋h(x)<0答案1．(－∞，－12)∪(1，＋∞) 2x|x≥12或x<03．必要不充分4．(－∞，－4)∪(4，＋∞)．22 6．必要不充分7233 83x－7<0，x＋2－4≥0，2－3≤09．4 1029，4916 11．－2 12．①③⑤13．解(1)二次函数f(x)＝ax2＋x有最小值，所以，a>0，由f(x)<0，解得A＝－1a，0(2)解得B＝(－a－4，a－4)，因为集合B是集合A的子集，所以－1a≤－a－4，a－4≤0，－2－≤a≤－2＋，a≤4，解得0<a≤－2＋14．解设每间虎笼的长、宽分别为x 、．则s＝x(1)由题意知：4x＋6＝36，∴2x＋3＝18又2x＋3≥26x，∴x≤(2x＋3)224＝18224＝272，当且仅当2x＝3＝9，即x＝4，＝3时，s＝x最大，∴每间虎笼的长为4 ，宽为3 时，每间虎笼面积最大．(2)由题意知x＝24，4x＋6≥224•x＝48，当且仅当4x＝6时，取得等号成立．由4x＝6x＝24得x＝6，＝4，∴每间虎笼的长为6 ，宽为4 时，可使钢筋网总长最小．1．解(1)∵f(0)＝0，∴d＝0，∵f′(x)＝ax2－12x＋又f′(1)＝0，∴a＋＝12∵f′(x)≥0在R上恒成立，即ax2－12x＋≥0恒成立，∴ax2－12x＋12－a≥0恒成立，显然当a＝0时，上式不恒成立．∴a≠0，∴a>0，(－12)2－4a(12－a)≤0，即a>0，a2－12a＋116≤0，即a>0，(a－14)2≤0，解得：a＝14，＝14(2)∵a＝＝14∴f′(x)＝14x2－12x＋14f′(x)＋h(x)<0，即14x2－12x＋14＋34x2－bx＋b2－14<0，即x2－(b＋12)x＋b2<0，即(x－b)(x－12)<0，当b>12时，解集为(12，b)，当b<12时，解集为(b，12)，当b＝12时，解集为。
高考数学二轮复习专题 4 不等式 专题综合检测卷四 理( 时间： 120 分钟，满分： 150 分)一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 )a 2 ＋b 21．“ a ＞ b ＞0”是“ ab ＜”的 ( A)2A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充足必需条件D ．既不充足也不用要条件a 2＋b 2a 2＋b 2分析： 由 a ＞b ＞ 0? ab ＜，而 ab ＜? ，∈R 且≠ ，但不可以推出a ＞ ＞22 a b a bb0.2．以下函数中， y 的最小值为 4 的是 ( C)44x (0 ＜ x ＜π )A ． y ＝x ＋ xB ．y ＝ sinx ＋sin x 44C ． y ＝e ＋ e xD ． y ＝ log 2x ＋ log 2x分析： A 成立需 x ＞ 0； B 取不到等号； D 成立需 x ＞ 1.3．(2015 ·天津卷 ) 设 x ∈R ，则“ 1＜ x ＜2”是“|x －2| ＜1”的 ( A) A ．充足而不用要条件B ．必需而不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件分析： | x － 2| <1? 1<x <3.因为 { x | 1<x <2} 是 { x | 1<x <3} 的真子集， 因此“ 1< x <2”是“ | x － 2| <1”的充足而不用要条件．x － 14．不等式x ≥ 2 的解集为 ( A)A ．[ －1，0)B ．[ － 1，＋∞)C ． ( －∞，－ 1]D ． ( －∞，－ 1] ∪(0 ，＋∞)分析：x－1≥ 2?x－1－2≥0?－x－1≥0?x（ x＋1）≤0，? － 1≤x＜ 0. x x x x≠02115．若不等式mx＋x＋ n>0的解集是{ x|－3＜ x＜2}，则 m， n 分别是( D) A．6，－ 1 B ．－ 6，－ 1C．6，1 D ．－ 6，16．以下函数中，最小值是2的是(A)A．y＝ 2 x＋ 2－xB．＝x 2＋ 2＋1y x2＋21πC．y＝sin x＋sin x， x∈0，2x2D．y＝＋2 x7．(2015 ·陕西卷) 某公司生产甲、乙两种产品均需用A，B 两种原料，已知生产 1 吨每种产品所需原料及每日原料的可用限额以下表所示．假如生产 1 吨甲、乙产品可赢利润分别为 3 万元、 4 万元，则该公司每日可获取最大利润为( D)A.12 万元B．16万元C．17 万元 D ．18 万元分析：设每日生产甲、乙产品分别为x 吨、 y 吨，每日所赢利润为z 万元，则有3x＋ 2y≤12，x＋2y≤8，z＝3x＋4y，作出可行域如图暗影部分所示，x≥0，y≥0，由图形可知，当直线 z＝3x＋4y 经过点 A(2，3)时， z 取最大值，最大值为3×2＋4× 3＝18.8．(2015 ·陕西卷 ) 设f () ＝ ln， 0<< ，若p＝() ，＝a＋ b，＝1((a) ＋x x a b f ab q f2r 2ff ( b))，则以下关系式中正确的选项是( C)A．q＝r <p B ．q＝r >pC．p＝r <q D ．p＝r >q1 29．已知向量a＝( x，2)， b＝(1， y)，此中 x＞0， y＞0.若 a·b＝4，则x＋y的最小值为( C)3A. 2B． 29C. 4D． 2210．已知a＞ 0，x，y知足拘束条件( B)11A.4B. 2C．1D．2 x≥1，x＋ y≤3，若 z＝2x＋y 的最小值为1，则 a＝ y≥ a （x－3）.分析：此题可先画出可行域，而后依据图形确立出最小值点进行解答．作出不等式组表示的可行域，如图(暗影部分 ) ．易知直线 z ＝ 2x ＋ y 过交点 A 时， z 取最小值，x ＝ 1，由y ＝a （ x － 3），得x ＝ 1，y ＝－ 2a ，∴ z min＝ 2－ 2 ＝ 1，解得＝ 1 .应选 B.aa 211．(2014 ·青岛二中月考 ) 已知 x >0， y >0， lg 2x＋ lg 8 y＝lg 211，则 x ＋ 3y 的最小值是( C)A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3xy1 1 1 13y分析： 因为 lg 2 ＋lg 8 ＝ lg 2，因此 x ＋ 3y ＝ 1. 因此 x ＋ 3y ＝ x ＋ 3y ( x ＋3y ) ＝ 2＋ x ＋x≥ 4，当且仅当 3y ＝ x ，即 x ＝1， y ＝ 1时，取等号． 3x 3y2 6yx ＋≤ ，y a12．(2014 ·辽宁六校联考 ) 设变量 x ， y 知足拘束条件x ＋ y ≥8，且不等式 x ＋2y ≤14x ≥ 6恒成立，则实数a 的取值范围是 ( A)A ． [8 ， 10]B ．[8 ， 9]C ．[6 ， 9]D ．[6 ， 10]分析：不等式组表示的平面地区如图中暗影部分所示，明显 a ≥8，不然可行域无心义． 由图可知 x ＋2y 在点 (6 ， a － 6) 处获得最大值2a －6，由2a －6≤14，得a ≤10. 应选A.二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．请把正确答案填在题中横线上)13.(2015 ·江苏卷 ) 不等式 2x2－x＜4 的解集为 { x| － 1＜x＜ 2}( 或 ( － 1，2)) ．分析：∵ 2 x2－x＜4，∴ 2 x2－x＜ 22，∴ x2－ x＜2，即 x2－x－2＜0，∴－1＜ x＜2.x＋ y－5≤0，14．(2015 ·新课标Ⅱ卷) 若x，y知足拘束条件2x－y－1≥0，则z＝2x＋y的最大值x－2y＋1≤0，为 8．分析：∵ z＝2x＋ y，∴ y＝－2x＋ z，将直线 y＝－2x 向上平移，经过点B时 z 获得最大值．x＋ y－5＝0，由x－2y＋1＝0，x＝3，解得y＝2，∴z max＝2×3＋2＝8.15．已知对于x 的不等式x2－ax＋ 2＞0 在 R 上恒成立，则实数a的取值范围是 (0 ，8)．a16．若不等式x2－ (2 a＋ 1) x＋a2＋a<0 的解集为A，不等式x2－ 5x＋4≥0的解集为B，且 A? B，则实数 a 的取值范围是(－∞，0]∪[4，＋∞)．三、解答题 ( 本大题共 6 小题，共 70分．解答时应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤 )17． (10 分 ) 已知函数y＝( k2＋4k－5) x2＋4(1－ k) x＋3的图象都在x 轴上方，务实数k的取值范围．分析：①由 k2＋4k－5＝0，得 k＝－5或 k＝1，当 k＝1时， y＝3，知足题意；当 k＝－5时， y＝24x＋3，不合题意．②当 k2＋4k－5≠0，即 k≠－5且 k≠1时，函数的图象都在 x 轴上方，则k2＋4k－5＞0，＝ 16（ 1－k）2－ 12（k2＋ 4k－ 5）＜ 0，解得 1＜k＜ 19.综上所述， k 的取值范围是(1，19)．18.(12 分 ) 已知直线过点P(3 ， 2) 且与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于A、 B两点．(1)求△ AOB面积的最小值及此时直线l 方程( O为原点)；(2)求直线 l 在两坐标轴上截距之和的最小值．x y分析： (1)设直线l的方程a＋ b＝1( a＞0， b＞0)．3 26则a＋b＝1≥2ab，ab≥ 2 6，ab≥24.1S＝2ab≥12.3 21仅当a＝b＝2，即 a＝6， b＝4， S min＝12.x y此时 l ：6＋4＝1，即2x＋3y－12＝0.3 232 32 a(2) ∵ a ＋ b ＝ 1，∴ a ＋ b ＝ a ＋ b ( a ＋b ) ＝ 5＋ a ＋ b ≥ 5＋ 2 6.3b ＝ 2a a ＝ 3＋ 6，＝2＋ 6时，仅当 时，即abb( a ＋ b ) min ＝ 5＋ 2 6.19． (12 分 ) 设 f ( x ) ＝ 3ax 2＋ 2bx ＋ c ，若 a ＋ b ＋ c ＝ 0， f (0) ＞ 0， f (1) ＞ 0，求证：b(1) a ＞0 且－ 2＜ a ＜－ 1；(2) 方程 f ( x ) ＝0 在 (0 ， 1) 内有两个实根．分析： (1) ∵ f (0) ＞ 0， f (1) ＞ 0，c ＞ 0，∴3a ＋ 2b ＋ c ＞ 0.又∵ a ＋ b ＋ c ＝ 0，∴ b ＝－ a － c ，代入不等式组得 a ＞c ＞ 0.b要证－ 2＜ a ＜－ 1，∵ a ＞ 0，∴只要证－ 2a ＜b ＜－ a ，2a ＋ b ＞ 0，即需证a ＋b ＜ 0.又∵ a ＋ b ＝－ c ＜ 0，∴ 2a ＋b ＝ a ＋ ( a ＋ b ) ＝ a － c ＞ 0.b∴原不等式成立，即－2＜ a ＜－ 1.13a1(2) 证法一 f 2 ＝ 4 ＋ b ＋c ＝－ 4a ＜ 0，又因为 f (0) ＞ 0，f (1) ＞0，因此 f1·f (0) ＜ 0，f 1·f (1) ＜ 0，且 f ( x ) 为连续函数，2 2 因此方程 f ( x ) ＝ 01 1f ( x ) ＝ 0 在 (0 ，1) 内有在区间 0， 2 与 2， 1 内分别有一个实根，故方程两个实根．b证法二 ∵－ 2＜ a ＜－ 1，b 1 2∴对称轴 x ＝－ 3a ∈ 3， 3 ，又∵ b ＝－ a － c .∴Δ＝ 4b 2－ 12ac ＝4( － a －c ) 2－ 12ac ＝4( a 2＋ c 2－ ac ) ＞ 0.由 f （1）＞0，得方程 f ( x)＝0在(0，1)内有两个实根．＞0，20. (12分 ) 某公司计划2015 年在甲、乙两个电视台做总时间不超出300 分钟的广告，广告总花费不超出9 万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500 元 / 分和 200 元/ 分．假定甲、乙两个电视台为该公司做的每分钟广告能给公司带来的利润分别为0.3万元和0.2万元．问该公司怎样分派在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的利润最大？最大收益是多少万元？剖析：先列出拘束条件，成立目标函数；而后求解．分析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，利润为z 元．x＋ y≤300，由题意得500x＋200y≤90 000 ，x≥0，y≥0，目标函数z＝3 000x＋2 000y.x＋ y≤300，二元一次不等式组等价于5x＋ 2y≤900，x≥0， y≥0，作二元一次不等式组所表示的平面地区，即可行域，如图．作直线l ：3 000x＋2000y＝0，即 3x＋2 ＝0.y平移直线l ，从图中可知，当直线过点时，目标函数获得最大值．M联立5x＋ 2y＝900，解得 x＝100， y＝200.∴点 M的坐标为(100，200)．∴ z max＝700 000元，即该公司在甲电视台做100 分钟广告，在乙电视台做200 分钟广告，才能使公司的利润最大，最大利润是70 万元．21. (12 分 ) 某厂家拟在 2015年举行促销活动，经检查测算，该产品的年销售量( 即该产品的年产量 ) x万件与年促销花费m万元( m≥0)知足 x＝3－k( k为常数 ) ，假如不搞促m＋1销活动，则该产品的年销售量只好是 1 万件．已知 2015 年生产该产品的固定投入为8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入16 万元，厂家将每件产品的销售价钱定为每件产品年均匀成本的 1.5 倍 ( 产品成本包含固定投入和再投入两部分资本) ．(1) 将 2015 年该产品的利润y 万元表示为年促销花费m万元的函数；(2)该厂家 2015 年的促销花费投入多少万元时，厂家的利润最大？分析： (1) 由题意可知当m＝0时， x＝1万件，2∴ 1＝ 3－k? k＝2，∴x＝3－m＋1.每件产品的销售价钱为 1.5 ×8＋ 16x元，x8＋ 16x2 2015 年的利润y＝x· 1.5 ×x－ (8 ＋ 16x＋m) ＝ 4＋ 8x－m＝ 4＋8 3－m＋1－m＝－[16＋( m＋ 1)] ＋29( m≥0) ．＋1m16(2)当 m≥0时，m＋1＋( m＋1)≥216＝8，16∴ y≤－8＋29＝21，当且仅当m＋1＝ m＋1? m＝3万元时，y max＝21万元．∴促销花费投入 3 万元时，厂家的利润最大．x222．(12 分) 已知函数f ( x) ＝ax＋b( a，b为常数 ) 且方程f ( x) －x＋ 12＝ 0 有两个实根为x1＝3， x2＝4.(1)求函数 f ( x)的分析式；(2)设 k＞1，解对于 x 的不等式： f ( x)＜（ k＋1） x－ k.2－x分析： (1) 将x1＝ 3，x2＝ 4 分别代入方程9x23a＋b＝－9，ax＋b－ x＋12＝0得164a＋b＝－8，a＝－1，解得b＝2.x2因此 f ( x)＝2－x( x≠2)．x2（k＋1）x－k(2)不等式即为2－x＜2－x，可化为x2－（ k＋1） x＋ k＜ 0，2－x即 ( x－2)( x－ 1)( x－k) ＞0.①当1＜k＜ 2 时，解集为{ x|1＜x＜k或x＞2}；②当k ＝2时，不等式化为( x－2)2( x－1)＞，解集为{x| x＞1且 x≠2；0}③当 k＞2时，解集为 { x|1＜x＜2或x＞k} .。
19 解不等式不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点，解不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式.●难点磁场(★★★★)解关于x 的不等式2)1(--x x a ＞1(a ≠1). ●案例探究［例1］已知f (x )是定义在［－1，1］上的奇函数，且f (1)=1，若m 、n ∈［－1，1］，m +n≠0时nm n f m f ++)()(＞0.(1)用定义证明f (x )在［－1，1］上是增函数；(2)解不等式：f (x +21)＜f (11-x )；(3)若f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，求实数t 的取值范围. 命题意图：本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析能力与化归能力，属★★★★★级题目.知识依托：本题主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求问题分解转化，是函数中的热点问题；问题的要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了关键作用.错解分析：(2)问中利用单调性转化为不等式时，x +21∈［－1，1］，11-x ∈［－1，1］必不可少，这恰好是容易忽略的地方.技巧与方法：(1)问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键，(3)问利用单调性把f (x )转化成“1”是点睛之笔.(1)证明：任取x 1＜x 2，且x 1，x 2∈［－1，1］，则f (x 1)－f (x 2)=f (x 1)+f (－x 2)=2121)()(x x x f x f --+·(x 1－x 2)∵－1≤x 1＜x 2≤1，∴x 1+(－x 2)≠0，由已知2121)()(x x x f x f --+＞0，又 x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x )在［－1，1］上为增函数. (2)解：∵f (x )在［－1，1］上为增函数，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+≤-≤-≤+≤-112111111211x x x x 解得：{x |－23≤x ＜－1，x ∈R }(3)解：由(1)可知f (x )在［－1，1］上为增函数，且f (1)=1，故对x ∈［－1，1］，恒有f (x )≤1，所以要f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，即要t 2－2at +1≥1成立，故t 2－2at ≥0，记g (a )=t 2－2at ，对a ∈［－1，1］，g (a )≥0，只需g (a )在［－1，1］上的最小值大于等于0，g (－1)≥0，g (1)≥0，解得，t ≤－2或t =0或t ≥2.∴t 的取值范围是：{t |t ≤－2或t =0或t ≥2}.［例2］设不等式x 2－2ax +a +2≤0的解集为M ，如果M ⊆［1，4］，求实数a 的取值 范围.命题意图：考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系，属★★★★级题目.知识依托：本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想.错解分析：M =∅是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a 的不等式要全面、合理，易出错.技巧与方法：该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗.解：M ⊆［1，4］有n 种情况：其一是M =∅，此时Δ＜0；其二是M ≠∅，此时Δ＞0，分三种情况计算a 的取值范围.设f (x )=x 2 －2ax +a +2，有Δ=(－2a )2－(4a +2)=4(a 2－a －2) (1)当Δ＜0时，－1＜a ＜2，M =∅［1，4］(2)当Δ=0时，a =－1或2.当a =－1时M ={－1}［1，4］；当a =2时，m ={2}［1，4］. (3)当Δ＞0时，a ＜－1或a ＞2.设方程f (x )=0的两根x 1，x 2，且x 1＜x 2，那么M =［x 1，x 2］，M ⊆［1，4］⇔1≤x 1＜x 2≤4⎩⎨⎧>∆≤≤>>⇔0,410)4(,0)1(且且a f f即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<>>->+-210071803a a a a a 或，解得：2＜a ＜718，∴M ⊆［1，4］时，a 的取值范围是(－1，718). ●锦囊妙计解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题：(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法.(2)掌握用序轴标根法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法.(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法. (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法.(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式.(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论. ●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★★)设函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-+-≤+)1(11)11(22)1()1(2x xx x x x ，已知f (a )＞1，则a 的取值范围是( )A.(－∞，－2)∪(－21，+∞) B.(－21，21) C.(－∞，－2)∪(－21，1)D.(－2，－21)∪(1，+∞)二、填空题2.(★★★★★)已知f (x )、g (x )都是奇函数，f (x )＞0的解集是(a 2，b )，g (x )＞0的解集是(22a ，2b)，则f (x )·g (x )＞0的解集是__________. 3.(★★★★★)已知关于x 的方程sin 2x +2cos x +a =0有解，则a 的取值范围是__________. 三、解答题4.(★★★★★)已知适合不等式|x 2－4x +p |+|x －3|≤5的x 的最大值为3. (1)求p 的值；(2)若f (x )=11+-x x p p ，解关于x 的不等式f -－1(x )＞k x p +1log (k ∈R +)5.(★★★★★)设f (x )=ax 2+bx +c ，若f (1)=27，问是否存在a 、b 、c ∈R ，使得不等式：x 2+21≤f (x )≤2x 2+2x +23对一切实数x 都成立，证明你的结论. 6.(★★★★★)已知函数f (x )=x 2+px +q ，对于任意θ∈R ，有f (sin θ)≤0，且f (sin θ+2)≥2. (1)求p 、q 之间的关系式； (2)求p 的取值范围；(3)如果f (sin θ+2)的最大值是14，求p 的值.并求此时f (sin θ)的最小值.7.(★★★★)解不等式log a (x －x 1)＞18.(★★★★★)设函数f (x )=a x满足条件：当x ∈(－∞，0)时，f (x )＞1；当x ∈(0，1]时，不等式f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案难点磁场解：原不等式可化为：2)2()1(--+-x a x a ＞0，即［(a －1)x +(2－a )］(x －2)＞0.当a ＞1时，原不等式与(x －12--a a )(x －2)＞0同解.若12--a a ≥2，即0≤a ＜1时，原不等式无解；若12--a a ＜2，即a ＜0或a ＞1，于是a ＞1时原不等式的解为(－∞，12--a a )∪(2，+∞). 当a ＜1时，若a ＜0，解集为(12--a a ，2)；若0＜a ＜1，解集为(2，12--a a )综上所述：当a ＞1时解集为(－∞，12--a a )∪(2，+∞)；当0＜a ＜1时，解集为(2，12--a a )；当a =0时，解集为∅；当a ＜0时，解集为(12--a a ，2）.歼灭难点训练一、1.解析：由f (x )及f (a )＞1可得：⎩⎨⎧>+-≤1)1(12a a ① 或⎩⎨⎧>+<<-12211a a ② 或⎪⎩⎪⎨⎧>-≥1111aa ③ 解①得a ＜－2，解②得－21＜a ＜1，解③得x ∈∅ ∴a 的取值范围是(－∞，－2)∪(－21，1）答案：C 二、2.解析：由已知b ＞a 2∵f (x )，g (x )均为奇函数，∴f (x )＜0的解集是(－b ，－a 2)，g (x )＜0的解集是(－2,22a b -).由f (x )·g (x )＞0可得：⎪⎩⎪⎨⎧-<<--<<-⎪⎩⎪⎨⎧<<<<⎩⎨⎧<<⎩⎨⎧>>2222,0)(0)(0)(0)(2222a x b a x b b x a b x a x g x f x g x f 或即或 ∴x ∈(a 2，2b )∪(－2b，－a 2) 答案：(a 2，2b )∪(－2b，－a 2)3.解析：原方程可化为cos 2x －2cos x －a －1=0，令t =cos x ，得t 2－2t －a －1=0，原问题转化为方程t 2－2t －a －1=0在［－1，1］上至少有一个实根.令f (t )=t 2－2t －a －1，对称轴t =1，画图象分析可得⎩⎨⎧≤≥-0)1(0)1(f f 解得a ∈［－2，2］.答案：［－2，2］ 三、4.解：(1)∵适合不等式|x 2－4x +p |+|x －3|≤5的x 的最大值为3， ∴x －3≤0，∴|x －3|=3－x . 若|x 2－4x +p |=－x 2+4x －p ，则原不等式为x 2－3x +p +2≥0，其解集不可能为{x |x ≤3}的子集，∴|x 2－4x +p |=x 2－4x +p .∴原不等式为x 2－4x +p +3－x ≤0，即x 2－5x +p －2≤0，令x 2－5x +p －2=(x －3)(x －m )，可得m =2，p =8.(2)f (x )=1818+-x x ，∴f -－1(x )=log 8x x -+11 (－1＜x ＜1)，∴有log 8x x -+11＞log 8kx+1，∴log 8(1－x )＜log 8k ，∴1－x ＜k ，∴x ＞1－k . ∵－1＜x ＜1，k ∈R +，∴当0＜k ＜2时，原不等式解集为{x |1－k ＜x ＜1}；当k ≥2时，原不等式的解集为{x |－1＜x ＜1}.5.解：由f (1)=27得a +b +c =27，令x 2+21=2x 2+2x +23x ⇒=－1，由f (x )≤2x 2+2x +23推得 f (－1)≤23. 由f (x )≥x 2+21推得f (－1)≥23，∴f (－1)=23，∴a －b +c =23，故 2(a +c )=5，a +c =25且b =1，∴f (x )=ax 2+x +(25－a ).依题意：ax 2+x +(25－a )≥x 2+21对一切x ∈R 成立，∴a ≠1且Δ=1－4(a －1)(2－a )≤0，得(2a －3)2≤0，∴f (x )=23x 2+x +1易验证：23x 2+x +1≤2x 2+2x +23对x ∈R 都成立.∴存在实数a =23，b =1，c =1，使得不等式：x 2+21≤f (x )≤2x 2+2x +23对一切x ∈R 都成立.6.解：(1)∵－1≤sin θ≤1，1≤sin θ+2≤3，即当x ∈［－1，1］时，f (x )≤0，当x ∈［1，3］时，f (x )≥0，∴当x =1时f (x )=0.∴1+p +q =0，∴q =－(1+p )(2)f (x )=x 2+px －(1+p )，当sin θ=－1时f (－1)≤0，∴1－p －1－p ≤0，∴p ≥0(3)注意到f (x )在［1，3］上递增，∴x =3时f (x )有最大值.即9+3p +q =14，9+3p －1－p =14，∴p =3.此时，f (x )=x 2+3x －4，即求x ∈［－1，1］时f (x )的最小值.又f (x )=(x +23)2－425，显然此函数在［－1，1］上递增.∴当x =－1时f (x )有最小值f (－1)=1－3－4=－6.7.解：(1)当a ＞1时，原不等式等价于不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-a xx11011由此得1－a ＞x 1.因为1－a ＜0，所以x ＜0，∴a-11＜x ＜0. (2)当0＜a ＜1时，原不等式等价于不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-a xx11011① ②由 ①得x ＞1或x ＜0，由②得0 ＜x ＜a -11，∴1＜x ＜a -11. 综上，当a ＞1时，不等式的解集是{x |a-11＜x ＜0}，当0＜a ＜1时，不等式的解集为{x |1＜x ＜a-11}.8.解：由已知得0＜a ＜1，由f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)，x ∈(0，1]恒成立.⎪⎩⎪⎨⎧+<-+-+<-⇔2111322m x mx xmx mx 在x ∈(0，1]恒成立. 整理，当x ∈(0，1)时，⎪⎩⎪⎨⎧+<--<1)1(1222x x m x x 恒成立，即当x ∈(0，1]时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+>-<112122x x m xx m 恒成立，且x =1时，⎪⎩⎪⎨⎧+<--<1)1(1222x x m xmx 恒成立，∵2121212-=-x x x 在x ∈(0，1]上为减函数，∴x x 212-＜－1， ∴m ＜x x 212-恒成立⇔m ＜0.又∵2112)1(112+-+-=-+x x x x ，在x ∈(0，1]上是减函数，∴112-+x x ＜－1.∴m ＞112-+x x 恒成立⇔m ＞－1当x ∈(0，1)时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+>-<112122x x m xx m 恒成立⇔m ∈(－1，0)①当x =1时，⎪⎩⎪⎨⎧+<--<1)1(1222x x m xmx ，即是⎩⎨⎧<<100m ∴m ＜0②∴①、②两式求交集m ∈(－1，0）,使x ∈(0，1]时，f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)恒成立，m 的取值范围是(－1，0)。
第四部分：数列、不等式（4）(限时：时间45分钟，满分100分)一、选择题1．(2011年某某模拟)设集合M ＝{x|x 2－2x<0，x∈R }，N ＝{x|x 2<4，x∈R }，则( )A ．M∪N＝MB ．(∁R N)∩N＝RC ．(∁R N)∪N＝∅D ．M∩N＝M【解析】依题意M ＝{x|0<x<2}，N ＝{x|－2<x<2}，∴M∩N＝M.【答案】 D2．某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t ＋10(0<t≤30，t∈N )；销售量g(t)与时间t 的函数关系是g(t)＝－t ＋35(0<t≤30，t∈N )，则这种商品日销售金额的最大值是( )A ．505元B ．506元C ．510元D ．600元【解析】 设这种商品日销售金额为y 元，由题意知y ＝f(t)g(t)＝(t ＋10)(－t ＋35)＝－t 2＋25t ＋350(0<t≤30)，当t ＝12或t ＝13时，y 取最大值506.【答案】 B3．(2012年某某一模)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋1 (x<0)x －1 (x≥0)，则不等式x ＋(x ＋1)f(x ＋1)≤1的解集是( )A ．{x|－1≤x≤2－1}B ．{x|x≤1}C ．{x|x≤2－1}D ．{x|－2－1≤x≤2－1}【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1<0x ＋(x ＋1)[－(x ＋1)＋1]≤1 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≥0x ＋(x ＋1)[(x ＋1)－1]≤1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x<－1－x 2≤1或⎩⎪⎨⎪⎧ x≥－1x(x ＋2)≤1，∴x<－1或－1≤x≤2－1. ∴x≤2－1.【答案】 C4．设A ＝{x|x 2－2x －3>0}，B ＝{x|x 2＋ax ＋b≤0}，若A∪B＝R ，A∩B＝(3,4]，则a ＋b等于( )A ．7B ．－1C ．1D ．－7【解析】由A 可知x<-1或x>3，如图．若A ∪B=R ，则x2+ax+b=0的两根x1，x2必有x1≤-1，x2≥3.又A ∩B=(3,4]，故x1=-1，x2=4.∴-1+4=-a ，∴a=-3，-1×4=b ，∴b=-4，故a+b=-7.【答案】 D5．在R 上定义运算：x*y ＝x(1－y)，若不等式(x －a)*(x ＋a)<1对任意实数x 恒成立， 则( )A ．－1<a<1B ．0<a<2C ．－12<a<32D ．－32<a<12【解析】 依题设x －a －x 2＋a 2<1恒成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋34－a 2>0恒成立⇔a 2－a －34<0恒成立⇔－12<a<32，故选C. 【答案】 C二、填空题6．(2011年某某模拟)若关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，则a 的取值X 围为________．【解析】 令f(x)＝x 2＋ax ＋a 2－1，∴二次函数开口向上，若方程有一正一负根，，则只需f(0)<0，即a 2－1<0，∴－1<a<1.【答案】 －1<a<17．已知函数f(x)＝－x 2＋2x ＋b 2－b ＋1(b∈R )，对任意实数x 都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1,1]时，f(x)>0恒成立，则b 的取值X 围是________．【解析】 依题意，f(x)的对称轴为x ＝1，又开口向下，∴当x∈[－1,1]时，f(x)是单调递增函数．若f(x)>0恒成立，则f(x)min ＝f(－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1>0，即b 2－b －2>0，∴(b－2)(b ＋1)>0，∴b>2或b<－1.【答案】 b>2或b<－18．设x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ (2x －1)(x －3)>02(x ＋2)<5x ＋63，则点P(x ＋2，x －2)在第________象限． 【解析】 原不等式组⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x>3或x<12x<－6⇒x<－6.∴x＋2<0，x －2<0.∴P(x＋2，x －2)在第三象限．【答案】 三三、解答题9．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x－ax(a∈R )．【解析】 原不等式变形为ax 2＋(a －2)x －2≥0.(1)当a ＝0时，原不等式变为－2x －2≥0，故其解集为{x|x≤－1}；(2)当a≠0时，不等式即为(ax －2)(x ＋1)≥0. ①当a>0时，不等式即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0， 故其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≥2a 或x≤－1； ②当a<0时，不等式即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0，2a －(－1)＝a ＋2a ， 当－2<a<0时，2a<－1， 故其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2a ≤x≤－1； 当a ＝－2时，不等式即为(x ＋1)2≤0，故其解集为{x|x ＝－1}；当a<－2时，－1<2a ，故其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－1≤x≤2a ， 综上，当a ＝0时，解集为{x|x≤－1}；当a>0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≥2a 或x≤－1；当－2<a<0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2a ≤x≤－1； 当a ＝－2时，解集为{x|x ＝－1}；当a<－2时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－1≤x≤2a . 10．已知f(x)＝－3x 2＋a(6－a)x ＋b.(1)解关于a 的不等式f(1)>0；(2)当不等式f(x)>0的解集为(－1,3)时，某某数a ，b.【解析】 (1)f(1)＝－3＋a(6－a)＋b ＝－a 2＋6a ＋b －3. ∵f(1)>0，∴－a 2＋6a ＋b －3>0，a 2－6a －b ＋3<0. 又Δ＝24＋4b ，当b≤－6时，Δ≤0，∴f(1)>0的解集为∅；当b>－6时，3－b ＋6<a<3＋b ＋6，∴f(1)>0的解集为{a|3－b ＋6<a<3＋b ＋6}．(2)∵不等式－3x 2＋a(6－a)x ＋b>0的解集为(－1,3)， ∴3x 2－a(6－a)x －b<0的解集为(－1,3)，∴x 1＝－1，x 2＝3是方程3x 2－a(6－a)x －b ＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝a(6－a)33＝b 3，解得⎩⎨⎧ a ＝3±3b ＝9.。
不等式 专题测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1．(2011年黄冈3月质检)已知I 为实数集，M ＝{x |x 2－2x <0}，N ＝{x |y ＝x －1}，则M ∩(∁IN )＝( )A ．{x |0<x <1}B ．{x |0<x <2}C ．{x |x <1}D ．Φ解析：M ＝{x |0<x <2}，N ＝{x |x ≥1}，M ∩(∁I N )＝{x |0<x <2}∩{x |x <1}＝{x |0<x <1}，故选A.答案：A2．当x ∈R ＋时，下列函数中，最小值为2的是( ) A ．y ＝x 2－2x ＋4 B ．y ＝x ＋16xC ．y ＝x 2＋2＋1x 2＋2D ．y ＝x ＋1x答案：D3．a ，b 为正实数且a ，b 的等差中项为A ；1a ，1b 的等差中项为1H；a ，b 的等比中项为G (G <0)，则( )A ．G ≤H ≤AB ．H ≤G ≤AC ．G ≤A ≤HD ．H ≤A ≤G 解析：由题意知A ＝a ＋b2，H ＝2ab a ＋b ，G ＝ab 易知a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b， ∴A ≥G ≥H . 答案：B4．(2011年某某高三质检)若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab >12B.1a ＋1b≤1 C.ab ≥2 D．a 2＋b 2≥8解析：a ＋b ＝4≥2ab ，ab ≤2，ab ≤4 ∴1ab ≥14，故C 错，A 错 1a ＋1b＝a ＋b ab ＝4ab≥1，故B 错．(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2) ∴a 2＋b 2≥8，故选D. 答案：D5．(2012年某某模拟)已知a ，b 为实数，则“a >b >1”是“1a －1<1b －1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：由a >b >1⇒a －1>b －1>0⇒1a －1<1b －1. 当a ＝0，b ＝2时，1a －1<1b －1， ∴1a －1<1b －1⇒/ a >b >1.故选A. 答案：A6．(2011年某某模拟)已知f (x )＝log a x ，(a >0且a ≠1)，且当x <0时，a x >1，则f (1－1x)>1的解集是( )A ．(11－a ，＋∞) B．(1，1a )C ．(－∞，11－a ) D ．(1，11－a) 解析：∵x <0时，a x>1， ∴0<a <1.f (1－1x )>1⇔log a(1－1x )>log aa ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 1－1x >01－1x <a⇔⎩⎪⎨⎪⎧1x <11x >1－a⇔1－a <1x <1⇔1<x <11－a.故选D.答案：D7．(2011年某某市质量检测)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2y ≤3x ＋y ≥1，则S ＝2x ＋y －1的最大值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2解析：可行域为如图所示的阴影部分，当最优解为A (2,3)时S max ＝6.答案：A8．(2011年某某质检)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0x ＋y ≥0x ≤3，则(x ＋1)2＋y 2的最大值为( )A ．80B ．4 5C ．25 D.172解析：(x ＋1)2＋y 2＝[x ＋12＋y 2]2代表区域内的点到(－1,0)的距离的平方，⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5＝0x ＝3⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝8∴(x ＋1)2＋y 2的最大值为80，故选A.答案：A9．(2011年皖南八校第二次联考)如果实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，目标函数z＝kx ＋y 的最大值为12，最小值为3，那么实数k 的值为( )A ．2B ．－2 C.15D ．不存在 解析：A (1,1)，C (1，225)，B (5,2)可行域为图中阴影部分，z ＝kx ＋y 的最小值为3，最大值为12，则k >0.故当最优解为(1,1)时，z min ＝k ＋1＝3， ∴k ＝2.故选A.答案：A11．(2010年某某高考)设a >b >c >0，则2a 2＋1ab ＋1aa －b－11ac ＋25c 2的最小值是( ) A ．2 B ．4 C ．25D ．5解析：因为a >b >c >0,2a 2＋1ab ＋1aa －b －11ac ＋25c 2＝a 2＋a －b ＋b ab a －b ＋(a －5c )2＝a 2＋1b a －b ＋(a －5c )2≥a 2＋1b ＋a －b22＋(a －5c )2＝a 2＋4a2＋(a －5c )2≥4.当且仅当a ＝2＝2b ＝5c 时取等号． 答案：B11．(2011年东北育才学校一模)已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2；若当x ∈[－2，－12]时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A ．1 B.12C.13D.34解析：由f (x )＝(x －1)2，x ∈[12，2]，得f (x )max ＝f (2)＝(2－1)2＝1，f (x )min ＝f (1)＝0. 因该函数是偶函数，所以当x ∈[－2，－12]时，0≤f (x )≤1恒成立，则m －n 的最小值为1. 答案：A12．(2011年某某某某一模)对于函数f (x )，在使f (x )≤M 恒成立的所有常数M 中，我们把M 中的最小值称为函数f (x )的“上确界”．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1x 2＋1＋a (x ∈[－2,2])是奇函数，则f (x )的上确界为( )A ．2 B.95C ．1 D.45解析：因为函数f (x )是奇函数， 所以f (0)＝1＋a ＝0，解得a ＝－1.于是f (x )＝x 2＋2x ＋1x 2＋1－1＝2xx 2＋1.当0<x ≤2时，f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤1， 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立，即M 的最小值为1.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中横线上．) 13．(2011年河西区模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1xx >0x 2x ≤0，则不等式f (x )>1的解集为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1x>1x >0⇔0<x <1；由⎩⎪⎨⎪⎧x 2>1x ≤0⇔x <－1∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(0,1)． 答案：(－∞，－1)∪(0,1)14．(2011年黄冈3月质检)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，且z ＝2x ＋y 的最小值为3，则实数b 的值为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋by ＝2x ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b3y ＝2b 3z ＝4b 3＝3，b ＝94.答案：9415．(2011年河西区模拟)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．解析：A (－2，－1)．∴2m ＋n ＝1， 又∵mn >0，∴m >0，n >0.∴1m ＋2n ＝(2m ＋n )(1m ＋2n )＝4＋n m ＋4m n≥4＋24＝8.∴(1m ＋2n)min ＝8.答案：816．(2011年广雅中学、某某一中、某某金中2月联考)已知线段 AB 的两个端点分别为A (0,1)，B (1,0)，P (x ，y )为线段 AB 上不与端点重合的一个动点，则(x ＋1x )(y ＋1y)的最小值为________．解析：线段AB 的方程为：x ＋y ＝1 (x ＋1x )(y ＋1y )＝xy ＋1xy＋2xy ＝x (1－x )＝－x 2＋x＝－(x 2－x ＋14)＋14＝－(x －12)2＋14≤14原式＝xy ＋1xy ＋2在(0，14]单调递减原式≥14＋4＋2＝254.答案：254三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题11分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．已知关于x 的不等式ax －5x 2－a<0的解集为M . (1)当a ＝4时，求集合M ；(2)若3∈M 且5∉M ，某某数a 的取值X 围． 解：(1)a ＝4时，不等式化为4x －5x 2－4<0，解得M ＝(－∞，－2)∪(54，2)．(2)a ≠25时，由⎩⎪⎨⎪⎧3∈M ，5∉M ，得⎩⎪⎨⎪⎧3a －59－a <0，5a －525－a ≥0∴a ∈[1，53]∪(9,25)；当a ＝25时，不等式为25x －5x 2－25<0⇒M ＝(－∞，－5)∪(15，5)．满足3∈M 且5∉M ，∴a ＝25满足条件． 综上所述，得a 的取值X 围是[1，53)∪(9,25]．18．已知a >0，b >0，c >0且a ，b ，c 不全相等． 求证：bc a ＋ac b ＋abc>a ＋b ＋c .证明：证法一：(分析法)要证bc a ＋ac b ＋ab c>a ＋b ＋c ，只要证bc2＋ac2＋ab2abc>a＋b ＋c .∵a ，b ，c >0，只要证(bc )2＋(ac )2＋(ab )2>abc (a ＋b ＋c )， 由公式知(bc )2＋(ac )2≥2abc 2，(ac )2＋(ab )2≥2a 2bc ，(bc )2＋(ab )2≥2ab 2c .∵a ，b ，c 不全相等，上面各式中至少有一个等号不成立，三式相加得： 2[(bc )2＋(ac )2＋(ab )2]>2abc 2＋2a 2bc ＋2ab 2c ， 即(bc )2＋(ac )2＋(ab )2>abc (a ＋b ＋c )成立． ∴bc a ＋ac b ＋abc>a ＋b ＋c 成立． 证法二：(综合法)∵a >0，b >0，c >0， ∴bc a ＋ac b ≥2bc a ·acb＝2c ， bc a ＋ab c≥2bc a ·ab c ＝2b ，ac b ＋ab c≥2ac b ·abc＝2a ， 又∵a ，b ，c 不全相等，∴上面三式不能全取等号， 三式相加得bc a ＋ac b ＋abc>a ＋b ＋c .证法三：(作差比较法)bc a ＋ac b ＋abc－a －b －c＝b 2c 2＋a 2c 2＋a 2b 2－a 2bc －b 2ac －c 2ab abc＝12·bc －ac 2＋ab －bc2＋ac －ab2abc>0(a ，b ，c 不全相等)，即bc a ＋ac b ＋abc－a －b －c >0， ∴bc a ＋ac b ＋abc>a ＋b ＋c . 19．A 、B 两地分别生产同一规格产品12千吨、8千吨，而D 、E 、F 三地分别需要8千吨、6千吨、6千吨，每千吨的运价如下表．怎样确定调运方案，使总的运费为最小？运价(万元/千吨)到D 到E 到F 从A 4 5 6 从B524解：设从A 到D x B D x A E y 千吨，则从B 到E 运(6－y )千吨；从A 到F 运(12－x －y )千吨，从B 到F 运(x ＋y －6)千吨，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，0≤y ≤6，6≤x ＋y ≤12，线性目标函数为z ＝4x ＋5y ＋6(12－x －y )＋5(8－x )＋2(6－y )＋4(x ＋y －6)＝－3x ＋y ＋110，作出可行域，可观察出目标函数在(8,0)点取到最小值，即从A 到D 运8千吨，从B 到E 运6千吨，从A 到F 运4千吨，从B 到F 运2千吨，可使总的运费最少．20．(2011年某某中学模拟)西北西康羊皮手套公司准备投入适当的广告费，对生产的羊皮手套进行促销．在1年内，据测算年销售量S (万双)与广告费x (万元)之间的函数关系为S ＝3－1x(x >0)，已知羊皮手套的固定投入为3万元，每生产1万元羊皮手套仍需再投入16万元．(年销售收入＝年生产成本的150%＋年广告费的50%)(1)试将羊皮手套的年利润L (万元)表示为年广告费x (万元)的函数；(2)当年广告费投入为多少万元时，此公司的年利润最大，最大利润为多少？(年利润＝年销售收入－年广告费)解：(1)由题意知，羊皮手套的年成本为(16S ＋3)万元， 年销售收入为(16S ＋3)×150%＋x ·50%，年利润L ＝(16S ＋3)×150%＋x ·50%－(16S ＋3)－x ， 即L ＝12(16S ＋3－x )，又S ＝3－1x ，得L ＝－x 2＋51x －162x(x >0)．(2)由L ＝－x 2＋51x －162x ＝512－(x 2＋8x )≤512－2x 2·8x＝21.5. 当且仅当x 2＝8x，即x ＝4时，L 有最大值为21.5，因此，当年广告费投入为4万元时，此公司的年利润最大，最大利润为21.5万元． 21．已知二次函数f (x )＝ax 2＋x ，若对任意x 1、x 2∈R ，恒有2f (x 1＋x 22)≤f (x 1)＋f (x 2)成立，不等式f (x )<0的解集为A .(1)求集合A ；(2)设集合B ＝{x ||x ＋4|<a }，若集合B 是集合A 的子集，求a 的取值X 围． 解：(1)对任意x 1、x 2∈R ， 由f (x 1)＋f (x 2)－2f (x 1＋x 22)＝12a (x 1－x 2)2≥0成立， 要使上式恒成立，所以a ≥0.由f (x )＝ax 2＋x 是二次函数知a ≠0，故a >0. 所以f (x )＝ax 2＋x ＝ax (x ＋1a)<0.解得A ＝(－1a，0)．(2)B ＝{x ||x ＋4|<a }＝(－a －4，a －4)， 因为集合B 是集合A 的子集， 所以a －4≤0，且－a －4≥－1a.解得－2－5≤a ≤－2＋ 5.又a >0， ∴a 的取值X 围为0<a ≤－2＋ 5.22．(2011年某某某某一模)定义在[－1,1]上的奇函数，已知当x ∈[－1,0]时的解析式f (x )＝14x －a2x (a ∈R)．(1)写出f (x )在[0,1]上的解析式； (2)求f (x )在[0,1]上的最大值． 解：(1)设x ∈[0,1]， 则－x ∈[－1,0]，f (－x )＝14－x －a 2－x ＝4x －a ·2x， ∴f (x )＝－f (－x )＝a ·2x－4x，x ∈[0,1]． (2)∵f (x )＝a ·2x－4x，x ∈[0,1]，令t ＝2x，t ∈[1,2]，∴g (t )＝a ·t －t 2＝－(t －a2)2＋a 24.当a2≤1，即a ≤2时，g (t )max ＝g (1)＝a －1；当1<a 2<2，即2<a <4时，g (t )max ＝g (a 2)＝a 24；当a2≥2，即a ≥4时，g (t )max ＝g (2)＝2a －4. 综上，当a ≤2时，f (x )的最大值为a －1； 当2<a <4时，f (x )的最大值为a 24；当a ≥4时，f (x )的最大值为2a －4.。
一、学习目标 1、懂得学好各门学科、全面打好基础以及参加社会生活和社会实践的重要意义。
2、能根据学科特点和个人实际选择学习方法，提高学习效率；开阔眼界，学习通过多种渠道获得知识。
3、学会发挥个人特长，培养多方面的兴趣;积极参加社会生活和社会实践，在生活和实践中增长才干。
二、学习重难点 重点：兼顾全面基础与学科特长 难点：从社会生活和社会实践中学习 三、体验学习 （二）小组合作总结 小强向学习成绩好的小明和小丽请教学英语的好方法。
小明说：“早晨七点背单词记的最牢。
”小丽说：“错了，晚上八点才最好。
”小强迷惑了，为什么两个人的方法不一样，究竟谁的才是最好的？他该怎么做？ 四、快乐链接 进入初中后，李明的数学成绩越来越好，语文成绩却下降了。
妈妈问他原因，他说数学老师讲课很有意思，他很喜欢，而语文老师的上课方式他不太喜欢，上语文课的时候就不想听，慢慢地对语文也没什么兴趣了。
想一想：①李明是以什么标准来确定 自己的学习喜好？ ②如果李明这样继续下去，会有什么后果? ③在你的学习中，有类似的情况吗？如果你是李明，你会如何去学习你不感兴趣的学科？ ④作为李明的同龄人，你觉得中学阶段的我们可以仅凭自己的喜好来决定学或不学或用不用功学哪门课吗？（结合课本30页“比尔.盖茨的建议”谈启示） 五、自主检测 1．王博认为：在初中的学习中，语文、数学、英语是主课，必须学好，其他学科是辅科，可以少花时间，及格即可。
对此认识正确的是（ ） A．这是科学的学习方法 B．这不利于我们的全面发展 C．主次分明，以主带辅，共同提高 D．有利于培养起学习语、数、外的兴趣 2．初一学生小华决定利用假期参加义工组织的活动。
通过这种方式体验社会生活，可以（ ） ①把课堂学到的理论知识与社会实践联系起来，加深对课堂的理解 ②能培养和锻炼小华的实践能力 ③早日独立，摆脱父母的管教 ④培养小华的社会责任感A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②④ 3．阿强觉得一个人独自学习效果好，而小伟觉得与伙伴一起学习效果更好；小丽在周围同学说话的时候也能看书，而阿华却做不到。
2012届高考数学第二轮不等式备考复习2012届高考数学二轮复习资料专题六不等式（教师版）【考纲解读】了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景;会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型,通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系,会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图;会从实际情境中抽象出二元一次不等式组,了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组,会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决;了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题学会运用数形结合、分类讨论等数学思想方法分析和解决有关不等式问题，形成良好的思维品质,培养判断推理和逻辑思维能力从近几年高考题目看，不等式的性质和解不等式问题多以一个选择题的形式出现，且多与集合、简易逻辑、函数知识相结合，难度较低【考点预测】本知识的高考命题热点有以下两个方面：1均值不等式是历年高考的重点考查内容，考查方式多样，在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考查直接，难度较低；在解答题中出现，其应用范围几乎涉及高中数学的所有节，且常考常新，难度较高。
2不等式证明也是高考的一个重点内容，且多以解答题的一个分支出现，常与函数、导数、数列、解析几何等知识结合，题目往往非常灵活，难度高。
线性规划问题是近几年高考的一个新热点，在考题种主要以选择、填空形式出现，当然，也可以实际问题进行考查。
考查了优化思想在解决问题的广泛应用，体现了数学的应用价值，从而形成解决简单实际问题的能力，进一步考查了考生的数学应用意识。
3预计在2012年高考中，对不等式的性质和解不等式特别是含参数的不等式的解法，仍会继续渗透在其他知识中进行考查。
对不等式的应用，突出渗透数学思想方法和不等式知识的综合应用，特别是求最值问题、不等式证明问题，将继续强调考查逻辑推理能力，尤其是不等式与函数、数列、三角、解析几何的综合题型将会继续出现在高考的中、高档题中。
第4讲 不等式(推荐时间：60分钟)一、填空题1．(2011·广东改编)不等式2x 2－x －1>0的解集是____________________．2．(2011·上海)不等式x ＋1x≤3的解集为____________． 3．“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的________条件．4．不等式x 2－4>3|x |的解集是____________．5．已知正数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则1x ＋1y的最小值为________． 6．设命题甲：ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ；命题乙：0<a <1.则命题甲是命题乙成立的______________条件．7．(2011·浙江)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． 8．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，则当y x >37时，实数x ，y 满足的不等式组为____________． 9．设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是________． 10．若关于x 的不等式(2x －1)2<ax 2的解集中整数恰好有3个，则实数a 的取值范围是__________．11．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是________． 12．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是______(写出所有正确命题的序号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b≥2. 二、解答题13．已知二次函数f (x )＝ax 2＋x 有最小值，不等式f (x )<0的解集为A .(1)求集合A ；(2)设集合B ＝{x ||x ＋4|<a }，若集合B 是集合A 的子集，求a 的取值范围．14.如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？15．已知函数f (x )＝13ax 3－14x 2＋cx ＋d (a ，c ，d ∈R )满足f (0)＝0，f ′(1)＝0，且f ′(x )≥0在R 上恒成立．(1)求a ，c ，d 的值；(2)若h (x )＝34x 2－bx ＋b 2－14，解不等式f ′(x )＋h (x )<0. 答 案1．(－∞，－12)∪(1，＋∞) 2.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12或x <0 3．必要不充分 4．(－∞，－4)∪(4，＋∞)5．2 2 6．必要不充分 7.233 8.⎩⎪⎨⎪⎧3x －7y <0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤09．4 10.⎝ ⎛⎦⎥⎤259，4916 11．－52 12．①③⑤ 13．解 (1)二次函数f (x )＝ax 2＋x 有最小值，所以，a >0，由f (x )<0，解得A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，0. (2)解得B ＝(－a －4，a －4)，因为集合B 是集合A 的子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －1a≤－a －4，a －4≤0，⎩⎨⎧ －2－5≤a ≤－2＋5，a ≤4，解得0<a ≤－2＋ 5. 14．解 设每间虎笼的长、宽分别为x m 、y m ．则s ＝xy .(1)由题意知：4x ＋6y ＝36，∴2x ＋3y ＝18.又2x ＋3y ≥26xy ，∴xy ≤(2x ＋3y )224＝18224＝272， 当且仅当2x ＝3y ＝9，即x ＝4.5，y ＝3时，s ＝xy 最大，∴每间虎笼的长为4.5 m ，宽为3 m 时，每间虎笼面积最大．(2)由题意知xy ＝24，4x ＋6y ≥224·xy ＝48，当且仅当4x ＝6y 时，取得等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＝6y xy ＝24得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝4，∴每间虎笼的长为6 m ，宽为4 m 时，可使钢筋网总长最小．15．解 (1)∵f (0)＝0，∴d ＝0，∵f ′(x )＝ax 2－12x ＋c . 又f ′(1)＝0，∴a ＋c ＝12. ∵f ′(x )≥0在R 上恒成立，即ax 2－12x ＋c ≥0恒成立， ∴ax 2－12x ＋12－a ≥0恒成立， 显然当a ＝0时，上式不恒成立．∴a ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，(－12)2－4a (12－a )≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，a 2－12a ＋116≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，(a －14)2≤0，解得：a ＝14，c ＝14. (2)∵a ＝c ＝14. ∴f ′(x )＝14x 2－12x ＋14. f ′(x )＋h (x )<0，即14x 2－12x ＋14＋34x 2－bx ＋b 2－14<0， 即x 2－(b ＋12)x ＋b 2<0， 即(x －b )(x －12)<0， 当b >12时，解集为(12，b )， 当b <12时，解集为(b ，12)， 当b ＝12时，解集为∅. 出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。
