二十六个优美的不等式问题

教学内容：第三章：不等式1、0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<．比较两个数的大小可以用相减法；相除法；平方法；开方法；倒数法等等。

2、不等式的性质： ①a b b a >⇔<；②,a b b c a c >>⇒>；③a b a c b c >⇒+>+；④,0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ac bc ><⇒<；⑤,a b c d a c b d >>⇒+>+； ⑥0,0a b c d ac bd >>>>⇒>；⑦()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >； ⑧()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >．3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式24bac ∆=- 0∆> 0∆= 0∆<二次函数2y ax bx c =++()0a >的图象一元二次方程20axbx c ++=()0a >的根有两个相异实数根1,22b x a-±∆=()12x x <有两个相等实数根122b x x a==-没有实数根一元二次不等式的解集20ax bx c ++> ()0a >{}12x x x x x <>或2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭R 20ax bx c ++< ()0a >{}12x xx x <<∅∅5、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式．6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．7、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x 和y 的取值构成有序数对(),x y ，所有这样的有序数对(),x y 构成的集合．8、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=，坐标平面内的点()00,x y P ．①若0B >，000x y C A +B +>，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的上方． ②若0B >，000x y C A +B +<，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的下方．9、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=．①若0B >，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=上方的区域；0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=下方的区域．②若0B <，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=下方的区域；0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=上方的区域．10、线性约束条件：由x ，y 的不等式（或方程）组成的不等式组，是x ，y 的线性约束条件．目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的解析式． 线性目标函数：目标函数为x ，y 的一次解析式．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 可行解：满足线性约束条件的解(),x y ．可行域：所有可行解组成的集合．最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解． 11、设a 、b 是两个正数，则2a b+称为正数a 、b 的算术平均数，ab 称为正数a 、b 的几何平均数．12、均值不等式定理： 若0a >，0b >，则2a b ab +≥，即2a bab +≥． 13、常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈；②()22,2a b ab a b R +≤∈；③()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭；④()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭．14、极值定理：设x 、y 都为正数，则有⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值24s ．⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值2p ．一、一元二次不等式解法 1、 直接按步骤解2320x x -+->2、 分式不等式转化为整式不等式，右边不为0要移项通分，注意x 前面系数为正 还要注意，最后取值分母不为0（1）21031x x -≥+ （2）213xx -≥+3、高次不等式用穿根法：奇穿偶不穿（奇次方穿过x 轴，偶次方不穿过）解不等式：2223056x x x x --≤-+-二、解含参不等式：讨论根的大小，参数为0等情况 1、因式分解类讨论解不等式：223()0()x a a x a a R -++>∈2、直接讨论解不等式：(2)(2)0()x ax a R -->∈3、 分式含参不等式：先转化为整式不等式，再讨论 解不等式：(1)1(0)2a x a x ->>-4、 含参绝对值不等式：主要是零点分段题目 解不等式：（1）311x x --+< （2） 143 2+1-2 x x a a x x a a -+-<∅-≥（）的解集为，的取值范围（）使得恒成立，的取值范围三、一元二次不等式与韦达定理1、2+8+28<0,{-7<<-1}mx mx x x m 若一元二次不等式的解集为，求实数的值2、(1)已知不等式22++>0{<<},(>>0),++<0ax bx c x x cx bx a αββα的解集为求的解集(2) 已知不等式ax 2+bx+c ＞0的x 的取值范围是x ＜1或x ＞3，则满足不等式cx 2+bx+a ＞0的x的取值范围是___________针对练习：若不等式ax 2-bx+c ＞0的解集是{x|-2＜x ＜3}，求不等式cx 2+bx+a ＞0的解集四、恒成立问题1、22(1)(1)10a a x a x R ----<当为何值时候，不等式的解集为2、22-8+20=>0+2(+1)+9+4x x y x m mx m m 对任意实数恒成立，求的取值范围变式练习：22++1y=0y +1x x x ≤恒成立，求的取值范围3、 二次函数恒成立2=++3 1,,(2)[-2,2]y x ax x R y a a x y a a ∈≥∈≥已知函数（）当恒成立求范围当，恒成立，求范围4、 分离变量法求恒成立问题：2-2+-2<0 1,()2m x mx x m x R m ∈≤不等式（）若对，恒成立求m 范围2对一切都成立，求范围均值不等式()22222+,2222a b a b a b a b ab ab a b R ++++⎛⎫≤≤⇔≤≤∈ ⎪⎝⎭只要注意和为定值用积，积为定值用和，注意条件：一正、二定、三相等（一定验算相等取值）首先遇到均值不等式题目，把上面公式列在草稿纸上 1、 积为定值若(93) (03)y y x x x =-<<求的最值2、 有根号的和为定值一般用到公式2222a b a b ++≤（1）、++b=1,)+4++4a a b R a b ∈已知（，求的最值（2）++b=1,)2+1+2+1a a b R a b ∈已知（，求的最值3、 利用1，或变为1（1）+111+b+c=1,,)++a a b c R a b c∈≥已知（，求9（2）+1119+b+c=1,,)++++c +2a abc R a b b c a ∈≥已知（，求（3）已知11+,+x y x y其中一个求另一个类型题目 +14,,+=1,+x y R x y x y∈已知且求最小值变式：（1）45++14141414+y+=10,++=+1=+=y y y y 1010y xx yx x y x x x x ⇒⨯⨯求，（）（）（2）14y 4+5++)14y y+=10,++=+1=+=y 1010x x x x y x y x y x y x ⇒⨯⨯（求（）（）4、 构造完全平方类型大于等于0，()222,a b ab a b R +≥∈，()2,a b ab a b R +≥∈ （1） 若222,,++>++a b c a b c ab bc ca 为不相等的实数，（2）,,++++bc ac ab a b c R a b c a b c+∈≥,求证5、 均值定理边形()222+2222222,2-2-2-c,2-,2-,2-cc a a b ab a b R a ab b a bba cb ba cb b a b b a c+≥∈⇒≥⇒≥≥≥≥≥同理可得： （1）设222,,++++c a b a b c R a b c a b c+∈≥,求证（2013新课标1）设,,a b c R +∈，且a+b+c=1。

3.不 等 式一．不等式的性质：1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a bc d>）；3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则nna b >> 4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>。

如 （1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若； ⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。

其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）；（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则ac的取值范围是______ （答：12,2⎛⎫--⎪⎝⎭） 二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。

二十六个优美的不等式问题
笔者在阅读有关书籍、杂志时，思考并提出的如下26个优美的不等式，现编辑录出来，供有兴趣的读者去研讨.
1.设为正实数,且，求证：
2. 设为正实数，求证：
3. 若，求证：
4. 若，求证：
.
5. 设为正实数，且满足，求证：
6. 设为正实数，且满足，证明：
7. 设为正实数，且满足，证明：
8. 已知为正实数，且，证明或否定：
9. 已知为正实数，且n为正整数，证明或否定：
10. 设，求证：
11.设为正实数，则有不等式
12. 设为正实数，且满足，求证：
13. 设为正实数，且，求证：
14. 若，则
．
15. 设为正数，n为正整数，求证：
16. 若，求证：
17.已知为正实数，且，求证：
18. 设为正实数，且满足，求证：
19. 若为正数，，求证：
．
20. 设正实数满足关系，求证：
21. 若，求证：
22.在中，求证：
23. 在中，求证：
24.设的三边分别为a、b、c满足abc=1，求证
25.设的三边长为，面积为，则有不等式
26.设的三边长为，外接圆和内接圆的半径分别为，求证：。

□▲○○○《不等式》考点及题型总结第一节 不等式一、知识要点：（一）不等式的定义：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。

（二）不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

（三）不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

（四）不等式的性质：1、不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变2、不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

，3、不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

二、题型分析：题型一： 不等式的概念和表达例1： x 的21与5的差不小于3，用不等式可表示为__________. 答案：1532x -≥例2：设“○”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“○”、“□”、“△”这样的物体，按质量从大到小的顺序排列为（ ）…A 、○□△B 、○△□C 、□○△D 、△□○ 答案：A题型二：不等式性质的考察]A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个分析：由a﹤b﹤0得，a、b同为负数并且︱a︱﹥︱b︱。

可取特殊值代入，如取a=－2，b=－1代入式子中。

答案：C例2：若a﹥b，则下列式子一定成立的是（）。

A、a＋3﹥b＋5，B、a－9﹥b－9，C、－10a﹥－10b，D、a2c﹥b2c分析：由于不等式的两边乘除同一个数时存在变号的问题，因此需要对a，b的符号进行分类讨论。

或者此题也可以取特殊值代入验证，通过排除法来求解。

A、C取0，-1即可排除，D将常数取0也可排除。

答案：B例3：下列结论：①若a﹤b，则a2c﹤b2c；②若a c﹥b c，则a﹥b；③若a﹥b且若c=d，则a c﹥b d；④若a2c﹤b2c，则a﹤b。

正确的有（）。

'A、4个B、3个C、2个D、1个分析：①2c=0，即可排除；②若a、b、c都为负数即可否定；③任用前两种方法都可以排除；只有④正确。

一． 不等式的性质：二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。

其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。

三．重要不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 2ab a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 22 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解题技巧：技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

2010年高三数学典例突破系列 ——不等式解法15个典型例题典型例题一例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．典型例题二例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x ； （2）12731422<+-+-x x x x分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。

高中数学作为数学教育中的重要一环，其内容涵盖了许多重要的知识点和技巧。

其中，不等式作为数学中的重要内容之一，其在高中数学中占据着重要的地位。

不等式是数学中一个非常重要的概念，它是指两个数之间的大小关系，包括大于、小于、大于等于、小于等于等关系。

在高中数学中，不等式是一个非常重要的知识点，也是考试中经常出现的题型之一。

今天，我们将就高中数学中的不等式问题进行一些讨论。

本文将围绕高中数学中不等式的15种典型例题展开讨论，帮助大家更好地理解和掌握高中数学中的不等式知识。

1. 一元一次不等式我们来讨论一元一次不等式的解法。

一元一次不等式是指不等式中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为一次的不等式。

类似于$x+3>5$这样的不等式就是一元一次不等式的典型例子。

解一元一次不等式的方法和解一元一次方程类似，不过在不等式中除了要进行加减乘除的运算外，还要注意不等式方向的改变。

在解一元一次不等式时，可以运用逆向思维法，即将原不等式中的未知数移到一边，常数移到一边，且改变不等式的方向。

对于不等式$x+3>5$，我们可以将3移到不等式的右边，得到$x>5-3$，即$x>2$。

这样就得到了不等式$x+3>5$的解$x>2$。

通过这种方法，我们可以解决许多简单的一元一次不等式问题。

2. 一元二次不等式我们来讨论一元二次不等式的解法。

一元二次不等式是指不等式中含有一个未知数，且未知数的最高次数为二次的不等式。

类似于$x^2-4x+3>0$这样的不等式就是一元二次不等式的典型例子。

解一元二次不等式的方法相对复杂一些。

一般来说，可以先将一元二次不等式化简成关于未知数的一元二次方程，然后通过求解二次方程的根的方法来解决不等式问题。

我们还可以通过画出一元二次函数的图像，来直观地了解不等式的解集。

对于不等式$x^2-4x+3>0$，我们可以先将其化简为$(x-1)(x-3)>0$，然后通过求解二次方程$(x-1)(x-3)=0$得到不等式的解集，再通过画出函数$y=x^2-4x+3$的图像，来进一步确认不等式的解集。

解不等式的例题及答案1. 不等式的基本概念在数学中，不等式是代数学中的一个重要概念。

不等式用于描述变量之间的大小关系，将不等式与等式相对比，可以理解为等式描述了变量之间的相等关系，而不等式则描述了变量之间的不等关系。

不等式的解集就是使得不等式成立的所有满足条件的变量的集合。

在解不等式的过程中，需要运用不等式的性质和一些常用的解不等式的方法。

2. 一元一次不等式的例题及答案例题：解不等式2x−5>7。

解答：首先我们将不等式进行移项得到2x>7+5，即2x>12。

接下来我们将不等式两边都除以2得到 $x > \\frac{12}{2}$，即x>6。

因此，不等式2x−5>7的解集为x>6。

3. 一元二次不等式的例题及答案例题：解不等式x2−4x>0。

解答：首先将不等式x2−4x>0化简为x(x−4)>0。

接下来需要研究不等式的零点，即x和x−4分别等于0时的取值情况。

令x=0，则不等式x(x−4)的值为0。

同理，令x−4=0，则不等式x(x−4)的值也为0。

由此可知，当x=0或x=4时，不等式x(x−4)的值为0。

接下来我们将数轴分成三个区间：$(-\\infty,0)$，(0,4)和 $(4,+\\infty)$。

在每一个区间内，我们都可以选择一个测试点来代入不等式进行验证，以确定不等式的取值情况。

在区间 $(-\\infty,0)$ 中，我们选择一个测试点x=−1，代入不等式x(x−4)可得(−1)(−1−4)=5>0。

在区间(0,4)中，我们选择一个测试点x=1，代入不等式x(x−4)可得(1)(1−4)=−3<0。

在区间 $(4,+\\infty)$ 中，我们选择一个测试点x=5，代入不等式x(x−4)可得(5)(5−4)=5>0。

根据测试点的结果，我们可以得出结论：•在区间 $(-\\infty,0)$ 和 $(4,+\\infty)$ 中，不等式x(x−4)的解为大于0的实数。