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群论中的同态与同构理论群论是数学中的一个重要分支，研究群的性质和结构。
在群论中，同态和同构是两个基本概念，它们对于理解群的性质和群之间的关系非常重要。
一、同态的定义和性质在群论中，同态是指两个群之间的映射，它保持了群运算的结构。
具体来说，设有两个群G和H，如果存在一个映射φ：G→H，对于任意的x、y∈G，有φ(xy)=φ(x)φ(y)，那么φ就是一个从G到H的同态。
同态具有以下性质：1. 同态保持群运算：对于任意的x、y∈G，有φ(xy)=φ(x)φ(y)。
2. 同态保持单位元：对于任意的eG∈G，有φ(eG)=eH。
3. 同态保持逆元：对于任意的x∈G，有φ(x^(-1))=[φ(x)]^(-1)。
二、同构的定义和性质同构是指两个群之间的一种特殊的同态映射，它是一种双射，并且保持了群运算和群结构。
具体来说，设有两个群G和H，如果存在一个映射φ：G→H，满足以下条件：1. φ是一个双射，即φ是一个一一对应的映射。
2. φ保持群运算，即对于任意的x、y∈G，有φ(xy)=φ(x)φ(y)。
那么φ就是一个从G到H的同构。
同构具有以下性质：1. 同构保持群运算：对于任意的x、y∈G，有φ(xy)=φ(x)φ(y)。
2. 同构保持单位元：对于任意的eG∈G，有φ(eG)=eH。
3. 同构保持逆元：对于任意的x∈G，有φ(x^(-1))=[φ(x)]^(-1)。
三、同态和同构的应用同态和同构在群论中有着广泛的应用。
它们可以帮助我们研究群的性质和结构，以及群之间的关系。
1. 同态的应用：同态可以用来研究群之间的映射关系。
通过同态，我们可以将一个复杂的群映射到一个简单的群，从而简化问题的研究。
同态还可以用来刻画群的性质，例如同态核和同态像等。
2. 同构的应用：同构可以将一个群与另一个群进行一一对应，从而帮助我们找到两个群之间的相似之处。
同构还可以用来研究群的结构，例如分类群的同构分类问题。
四、同态与同构的例子为了更好地理解同态和同构的概念，我们来看几个具体的例子。
第九章半群与群（Semigroups and Groups）本章讨论含一个二元运算的特殊的代数系统――半群与群。
群论近世代数中发展最早、内容最丰富、应用最广泛的部分，也是建立其他代数系统的基础。
群论在自动机政论、形式语言，语法分析快速加法器设计、纠错码制定等方面均有卓有成效的应用。
2－1 半群与含幺半群定义2－1.1 满足结合律的代数系统U=<S,*>称为半群。
例2－1.1 <N,+>,<N,×>,<2I+,+>和<2I+,×>都是半群。
例2－1.2 <Nm ,+m>和<Nm,×m>都是半群。
例2－1.3 <M2(I),+>和<M2(I),·>都是半群。
定义2－1.2含幺元e的半群U=<S,*>称为含幺半群，常记作U=<S,*,e>。
在例2－1.1～例2－1.3中，除<2I+,+>和<2I+,×>外都是含幺半群。
例2－1.4 设S是任意非空集合，则<p(S),∪>和<p(S),∩>都是含幺半群。
例2－1.5在形式语言中，我们常称非空有限字符集合为字母表。
字母表中字符的n 重序元称为字符串，由m个字符所组成的字符串称为长度为m的字符串。
长度为0的字符串称为空串，用来表示。
如对V={a,b}, =aa和β=ab都是长度为2的字符串；γ=aab 和δ=bab都是长度为3的字符串。
我们用*来表示两个字符串的邻接运算，如,α*δ=aabab,α*γ=aaaab。
设用V*表示字母表V的所有有限长度字符串的集合，而用V+表示V*-{ }，则显然<V+,*>是半群，<V+,*, >是含幺半群。
定义2－1.3对运算满足交换律的半群（含幺半群）称为交换半群（交换含幺半群）。
第九章半群与群（Semigroups and Groups）本章讨论含一个二元运算的特殊的代数系统――半群与群。
群论近世代数中发展最早、内容最丰富、应用最广泛的部分，也是建立其他代数系统的基础。
群论在自动机政论、形式语言，语法分析快速加法器设计、纠错码制定等方面均有卓有成效的应用。
2－1 半群与含幺半群定义2－1.1 满足结合律的代数系统U=<S,*>称为半群。
例2－1.1 <N,+>,<N,×>,<2I+,+>和<2I+,×>都是半群。
例2－1.2 <Nm ,+m>和<Nm,×m>都是半群。
例2－1.3 <M2(I),+>和<M2(I),·>都是半群。
定义2－1.2含幺元e的半群U=<S,*>称为含幺半群，常记作U=<S,*,e>。
在例2－1.1～例2－1.3中，除<2I+,+>和<2I+,×>外都是含幺半群。
例2－1.4 设S是任意非空集合，则<p(S),∪>和<p(S),∩>都是含幺半群。
例2－1.5在形式语言中，我们常称非空有限字符集合为字母表。
字母表中字符的n重序元称为字符串，由m个字符所组成的字符串称为长度为m 的字符串。
长度为0的字符串称为空串，用来表示。
如对V={a,b}, =aa 和β=ab都是长度为2的字符串；γ=aab和δ=bab都是长度为3的字符串。
我们用*来表示两个字符串的邻接运算，如,α*δ=aabab,α*γ=aaaab。
设用V*表示字母表V的所有有限长度字符串的集合，而用V+表示V*-{ }，则显然<V+,*>是半群，<V+,*, >是含幺半群。
定义2－1.3对运算满足交换律的半群（含幺半群）称为交换半群（交换含幺半群）。
第8章_群和半群群和半群第8章半群和群群和半群8.1 半群和独异点半群和独异点的定义子半群和子独异点半群同态和独异点同态群和半群8.1.1 半群和独异点的定义代数系统A=S,*,若*是满足结合律的二元运算，则A称为半群。
若*同时满足交换律，则称为阿贝尔半群。
存在幺元的半群称为独异点，也称(含)幺半群，单位半群。
若*同时满足交换律，则称为阿贝尔独异点。
群和半群例∑+, 是最典型的半群，只满足结合律∑*, 是最典型的独异点，只满足结合律，有幺元,εN,+,0是独异点，可交换独异点SS, ,1S是独异点，不满足交换律，部分元素有逆元群和半群b) 设S={a,b},*定义如右表：即a,b都是右零元∵ x,y,z S ① __y S ∴运算封闭② __(y*z)=__z=z*aba ba ab b(__y)*z=z∴结合律成立∴〈S,*〉是一半群，该半群称为二元素右零半群群和半群半群的性质:1.独异点运算表中任何两行或两列均不相同证明：设独异点S,*的幺元为e, a,b S,若a b ∵a*e b*e, S,*运算表中a,b两行不同，由a,b任意性，运算表中任两行不同∵ e*a e*b, S,*运算表中a,b两列不同，由a,b任意性，运算表中任两列不同.群和半群2.有限半群一定含有幂等元证明：设〈S,*〉是半群,S是有限集，需证a S,有a*a=a b S,因为运算封闭，b2=b*b S, b3,b4。
S S有限i,j∈N+,ji 有bi=bj bi =bj =bj- i*bi 令p=j-i bi =bj =bp*bi(1)当q≥i ,bq=bpq b又∵p≥1 ∴ k ∈N+ 有kp≥i由(1)bkp=bp*bkp=bp*(bp*bkp)k个= bp*(bp*(bp*bkp))=...= bp*。
bp* bkp =bkp*bkp ∴令a=bkp S 则a*a=a ∴ a是幂等元.群和半群8.1.2 子半群和子独异点设S,*为半群，T为S的非空子集。
第八章几个典型的代数结构本章我们将介绍具有一个二元运算的代数结构半群与群，以及具有两个运算的代数结构环和域。
半群与群在形式语言、快速加法器设计、纠错码制定和自动机理论中都有卓有成效的应用。
§8.1 半群与独异点半群是最简单的一类代数结构，其运算个数少，且运算的性质也少。
半群在时序机理论、形式语言、语法分析等方面有着广泛的应用。
一. 半群、独异点和它们的子代数定义1 给定代数，其中*是二元运算，若*满足结合律，则称代数为半群。
定义2 给定代数，如果二元运算*满足结合律且有么元，则称为独异点。
可以看出，独异点是含有么元的半群。
因此有些人将独异点称为含么半群。
例1（1）代数和都是半群，因为运算＋和×都满足结合律；而且还是独异点，因为0是＋的么元，1是×的么元。
（2）代数和不是半群，因为减法和除法不满足结合律。
定义3 如果是半群，且关于运算*封闭，则是的子代数，称为的子半群。
显然子半群是半群。
定义4 如果是独异点，且关于运算*封闭，，则是的子代数，称为的子独异点。
显然子独异点是独异点。
例2（1）代数和分别是独异点和的子独异点。
（2）如果∑是非空有限字母表，那么<∑＋,连结>是半群，<∑*,连结,Λ>是独异点。
如果，则连结>是<∑＋,连结>的子半群，连结,Λ>是<∑*,连结,Λ>的子独异点。
定义5 在半群（独异点）中，若运算是可交换的。
则称此半群（独异点）为可交换半群（可交换独异点）。
定理8.1.1 在任何可交换独异点中，S的幂等元组成的集合T可构成其子独异点。
证明：，是幂等元，所以。
对任意的，。
所以，故是子独异点。
本定理对可交换半群也成立。
下面我们定义独异点中任意元素的幂。
用归纳定义：（1）（基础）。
（2）（归纳）。
由于独异点中，运算*是可结合的，容易证明如此定义的的幂满足以下指数定律：（a）（b）定义6 设是独异点，若存在元素，，都，使得。
