全国大联考2020届高三第六次联考 理科数学(含答案)

2020年普通高等学校招生全国统一考试·联考理科数学本试卷共5页，23小题（含选考题），满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型（B ）填在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}N x x x x A ∈<--=,0322，则集合A 的真子集有（ ）A ．5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个2．已知i 是虚数单位，则化简2020)11(ii -+的结果为（ ） A.i B.i - C.1- D.13.若干年前，某教师刚退休的月退休金为400元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）A ．4500元 B. 5000元 C ．5500元 D ．6000元4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（ ） A.72 B.73 C.71 D.143 5已知抛物线x y 42=的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点)32,3(M 的直线l 交抛物线于另一点N ，则NM NF :等于（ ）A.2:1B.3:1C.4:1D.3:16.在所有棱长都相等的直三棱柱111C B A ABC -中，D ，E 分别为棱AC CC ,1的中点，则直线AB 与平面DE B 1所成角的余弦值为（ ） A.1030 B.2030 C.20130 D.1070 7已知点A （4，3），点B 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥06200y x y x y 所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A.5B.554 C.5 D.552 8．给出下列说法①定义在[a ，b]上的偶函数b x a x x f ++-=)4()(2的最大值为20； ②“4π=x ”是“1tan =x ”的充分不必要条件； ③命题“21),,0(000≥++∞∈∃x x x ”的否定形式是“21),,0(<++∞∈∀xx x ” 其中正确说法的个数为（ ）A.0B.1C.2D.39.已知5.03422log 2log ,,,03log m c m b m a m ===>，则c b a ,,间的大小关系为 A.c b a << B.c a b << C.b a c << D.a c b <<10．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤=15斤，1斤=16两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何?其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半.若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（ ）A ．9两 B.127266两 C.63266两 D.127250两 11在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若3cos cos c A b B a =-，则B b A a B a cos cos cos +的最大值为( ) A.2 B.22 C.23 D.332 12.已知几)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，且)13(log )()(3+=+x x g x f ，不等式0)()(3≥--t x f x g 对R x ∈恒成立，则t 的最大值为（ ）A.1B.2log 233-C.2D.12log 233- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知向量a =（2，5-），b =（1，52），则b 在a 方向上的投影等于 .14在△ABC 中，∠B=32π，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且BC=21AB ，则E 的离心率为 .5已知函数)0,0)(cos()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是奇函数，且在]4,6[ππ-上单调减，则ω的最大值是 .16已知三棱锥A-BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，BC=CD=2，AB=AD=6，则三棱锥A-BCD 的外接球的体积为 .三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第次年题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且112n n n S na a =+-． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，证明： 32n T ＜．18．（12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，AF ⊥DF ，AF=22FD ，∠DFE=∠CEF=45．（1）证明DC ∥FE ；（2）求二面角D-BE-C 的平面角的余弦值．19．（12分）已知点P 在圆O ：x 2+y 2=9上，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足432PQ MQ u u u r u u u u r ．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设G （-3，0），H （3，0），过点F （1，0）的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点，问直线AG 与直线BH 的斜率之比是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．20．（12分）某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A 、B 、C ．经过引种实验发现，引种树苗A 的自然成活率为0.7，引种树苗B 、C 的自然成活率均为p （0.6≤p≤0.8）（1）任取树苗A 、B 、C 各一棵，估计自然成活的棵数为X ，求X 的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p 的值作为B 种树苗自然成活的概率，该农户决定引种n 棵B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B 种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种种树苗多少棵?21．（12分）已知函数f （x ）=（a-1）x+xlnx 的图象在点A （e 2，f （e 2））（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为4（1）求实数a 的值；（2）若m ∈Z ，且m （x-1）<f （x ）+1对任意x>1恒成立，求m 的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为-22ππρθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，），直线l 的参数方程为2cos 4sin x t y ts αα=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）． （1）点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：x+2+1=0垂直，求点A 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数f （x ）=|x-1|+2|x+1|，x ∈R（1）求不等式f （x ）<5的解集；（2）若关于x 的不等式122)(-<+t x f 在实数范围内解集为空集，求实数t 的取值范围·11·。

绝密★启用前全国名校2020年高三6月大联考（新课标Ⅰ卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|||2}P x x =>，2{|230}Q x x x =--≤，则P Q =I A ．(2,)+∞ B ．(1,)+∞ C ．(2,3] D ．[1,2)- 2．已知i 为虚数单位，(2i)67i z -=+，则复平面内与z 对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．若26cos 2cos21αα+=-，则tan α=A ．2±B ．3±C ．2D ．3- 4．已知实数,,a b c 满足lg 222,log ,sin a b a c b ===，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．b a c >>5．已知函数()sin 3cos f x x x ωω=-（0ω>）的图象与x 轴的交点中，两个相邻交点的距离为π，把函数()f x 的图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半，再沿x 轴向左平移3π个单位长度，然后纵坐标扩大到原来的2倍得到函数()g x 的图象，则下列命题中正确的是A ．()g x 是奇函数B ．()g x 的图象关于直线6x π=对称C ．()g x 在[,]312π-π上是增函数D ．当[,]66x π-π∈时，()g x 的值域是[0,2]6．函数2()cos sin(1)31x f x x =⋅-+的图象大致为7．在ABC △中，已知1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，13AE AD =u u u r u u u r ，若以,AD BE u u u r u u u r 为基底，则DC u u u r可表示为A ．2133AD BE +u u ur u u u rB ．23AD BE +u u ur u u u rC ．13AD BE +u u u r u u u rD ．1233AD BE +u u ur u u u r8．记不等式组21312y x x y y y kx ≤-⎧⎪+≤⎪⎨≥-⎪⎪≥-⎩表示的平面区域为D ，若平面区域D 为四边形，则实数k 的取值范围是A ．11144k << B ．11144k <≤ C ．11133k << D ．11133k ≤≤ 9．1872年，戴德金出版了著作《连续性与无理数》，在这部著作中以有理数为基础，用崭新的方法定义了无理数，建立起了完整的实数理论．我们借助划分数轴的思想划分有理数，可以把数轴上的点划分为两类，使得一类的点在另一类点的左边．同样的道理把有理数集划分为两个没有共同元素的集合A 和B ，使得集合A 中的任意元素都小于集合B 中的任意元素，称这样的划分为分割，记为A /B ．以下对有理数集的分割不会出现的类型为 A ．A 中有最大值，B 中无最小值 B ．A 中无最大值，B 中有最小值 C ．A 中无最大值，B 中无最小值 D ．A 中有最大值，B 中有最小值10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，O 为坐标原点，A 为OM 的中点，若C 的渐近线与以AM 为直径的圆相切，则双曲线C 的离心率等于A 32B 23C 3D 211．已知函数()|2|2f x x =-+，()ln g x ax x =-，若0(0,e)x ∀∈，12,(0,e)x x ∃∈满足0()f x =12()()g x g x =，其中12x x ≠，则实数a 的取值范围是A ．5[,e)eB ．1(,e)eC ．1[1,e)e+D ．15[1,]e e+12．如图，已知平面四边形P'CAB 中，AC BC ⊥，且6AC =，27BC =，214P'C P'B ==，沿直线BC 将P'BC △折起到PBC △的位置，构成一个四面体，当四面体PABC 的体积最大时，四面体PABC 的外接球的体积等于A ．5003π B ．2563πC ．50πD ．96π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届全国大联考高三第六次联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|124A x x =<≤，|B x y ⎧⎫==⎨⎩，则A B =（ ） A ．{}5|x x ≥ B ．{}|524x x <≤ C ．{|1x x ≤或}5x ≥ D ．{}|524x x ≤≤【答案】D【解析】首先求出集合B ，再根据补集的定义计算可得； 【详解】解：∵2650x x -+->，解得15x << ∴{}|15B x x =<<，∴{}|524AB x x =≤≤.故选：D 【点睛】本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.2．设复数z 满足21z i z -=+，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ） A ．2430x y --= B ．2430x y +-= C ．4230x y +-=D ．2430x y -+=【答案】B【解析】设z x yi =+，根据复数的几何意义得到x 、y 的关系式，即可得解； 【详解】 解：设z x yi =+∵|2||1|z i z -=+，∴2222(2)(1)x y x y +-=++，解得2430x y +-=. 故选：B 【点睛】本题考查复数的几何意义的应用，属于基础题.3．若双曲线22214x y a -=）A．B．C ．6D ．8【解析】依题意可得24b =，再根据离心率求出2a ，即可求出c ，从而得解； 【详解】解：∵双曲线22214x y a -=的离心率为3，所以22413e a=+=，∴22a =，∴6c =，双曲线的焦距为26. 故选：A 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题. 4．已知3log 74a =，2log b m =，52c =，若a b c >>，则正数m 可以为（ ） A ．4 B ．23C ．8D ．17【答案】C【解析】首先根据对数函数的性质求出a 的取值范围，再代入验证即可； 【详解】解：∵3333log 27log 74log 814a =<=<=，∴当8m =时，2log 3b m ==满足a b c >>，∴实数m 可以为8.故选：C 【点睛】本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题.5．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A 、B 、C 、D 、E 为顶点的多边形为正五边形，且512PT AP -=，则512AT ES --=（ ）A ．51+ B 51RQ + C 51RD - D 51RC - 【答案】A【解析】利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解【详解】 解：515122AT ES SD SR RD QR -+-=-==. 故选：A 【点睛】本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题． 6．“tan 2θ=”是“4tan 23θ=-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 【答案】A【解析】首先利用二倍角正切公式由4tan 23θ=-，求出tan θ，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可； 【详解】解：∵22tan 4tan 21tan 3θθθ==--，∴可解得tan 2θ=或12-， ∴“tan 2θ=”是“4tan 23θ=-”的充分不必要条件.故选：A 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，二倍角正切公式的应用是解决本题的关键，属于基础题．7．下列四个图象可能是函数35log |1|1x y x +=+图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】首先求出函数的定义域，其函数图象可由35log ||x y x=的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，因为35log ||x y x=为奇函数，即可得到函数图象关于(1,0)-对称，即可排除A 、D ，再根据0x >时函数值，排除B ，即可得解. 【详解】∵35log |1|1x y x +=+的定义域为{}|1x x ≠-，其图象可由35log ||x y x=的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，∵35log ||x y x=为奇函数，图象关于原点对称，∴35log |1|1x y x +=+的图象关于点(1,0)-成中心对称.可排除A 、D 项. 当0x >时，35log |1|01x y x +=>+，∴B 项不正确.故选：C 【点睛】本题考查函数的性质与识图能力，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项，属于中档题.8．已知盒中有3个红球，3个黄球，3个白球，且每种颜色的三个球均按A ，B ，C 编号，现从中摸出3个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好不同时包含字母A ，B ，C 的概率为（ ）A ．1721B ．1928C ．79D ．2328【答案】B【解析】首先求出基本事件总数，则事件“恰好不同时包含字母A ，B ，C ”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母A ，B ，C ”， 记事件“恰好不同时包含字母A ，B ，C ”为E ，利用对立事件的概率公式计算可得；【详解】解：从9个球中摸出3个球，则基本事件总数为3984C =（个），则事件“恰好不同时包含字母A，B，C”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母A，B，C”记事件“恰好不同时包含字母A，B，C”为E，则3 3 9 319()128P EC=-=.故选：B【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了排列组合的知识，解答的关键在于正确理解题意，属于基础题．9．将一块边长为cma的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为3722cm，则a的值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【解析】推导出PM PN a+=，且PM PN=，2MN=，2aPM=，设MN中点为O，则PO⊥平面ABCD，由此能表示出该容器的体积，从而求出参数的值．【详解】解：如图（4），PMN∆为该四棱锥的正视图，由图（3）可知，PM PN a+=，且2aPM PN==，由PMN∆为等腰直角三角形可知，22MN a=，设MN中点为O，则PO⊥平面ABCD，∴1224PO MN a==，∴2312227223P ABCDV-⎫=⨯==⎪⎪⎝⎭，解得12a=.故选：D【点睛】本题考查三视图和锥体的体积计算公式的应用，属于中档题. 10．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则下述四个结论： ①3ω=②4πϕ=③262f π⎛⎫=⎪⎝⎭④点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭为函数()f x 的一个对称中心 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②③ B ．①③④C ．①②④D ．②③④【答案】B【解析】首先根据三角函数的平移规则表示出()g x ，再根据对称性求出ω、ϕ，即可求出()f x 的解析式，从而验证可得； 【详解】解：由题意可得()sin sin 33g x x x ππωϕωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 又∵()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，∴1242432k k ππωϕππππωωϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪-+=+⎪⎩()12,k k ∈Z ，∴解得()123k k πωπ=-()12,k k ∈Z ，即()123k k ω=-()12,k k ∈Z ，又∵06ω<<，∴3ω=，4πϕ=-，∴()sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，∴32sin 6642f πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴①③④正确，②错误. 故选：B 【点睛】本题考查三角函数的性质的应用，三角函数的变换规则，属于基础题.11．已知直线1l ：x my =（0m ≠）与抛物线C ：24y x =交于O （坐标原点），A 两点，直线2l ：x my m =+与抛物线C 交于B ，D 两点.若||3||BD OA =，则实数m 的值为（ ） A ．14B ．15C ．13D ．18【答案】D【解析】设()11,B x y ，()22,D x y ，联立直线与抛物线方程，消去x 、列出韦达定理，再由直线x my =与抛物线的交点求出A 点坐标，最后根据||3||BD OA =，得到方程，即可求出参数的值； 【详解】解：设()11,B x y ，()22,D x y ，由24x my m y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my m --=， ∵216160m m ∆=+>，解得1m <-或0m >，∴124y y m +=，124y y m =-.又由24x my y x=⎧⎨=⎩，得240y my -=，∴0y =或4y m =，∴()24,4A m m ，∵||3||BD OA =， ∴)()()224212(191616my y m m +-=+，又∵()()22212121241616y y y y y y m m -=+-=+， ∴代入解得18m =. 故选：D 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题.12．已知函数2()e (2)e x xf x t t x =+--（0t ≥），若函数()f x 在x ∈R 上有唯一零点，则t 的值为（ ） A ．1B ．12或0 C ．1或0D ．2或0【答案】C【解析】求出函数的导函数，当0t >时，只需(ln )0f t -=，即1ln 10t t-+=，令1()ln 1g t t t=-+，利用导数求其单调区间，即可求出参数t 的值，当0t =时，根据函数的单调性及零点存在性定理可判断； 【详解】解：∵2()e (2)e x xf x t t x =+--（0t ≥），∴()()2()2e(2)e 1e 12e 1xx x x f x t t t '=+--=-+，∴当0t >时，由()0f x '=得ln x t =-，则()f x 在(),ln t -∞-上单调递减，在()ln ,t -+∞上单调递增， 所以(ln )f t -是极小值，∴只需(ln )0f t -=， 即1ln 10t t -+=.令1()ln 1g t t t =-+，则211()0g t t t '=+>，∴函数()g t 在(0,)+∞上单调递增.∵(1)0g =，∴1t =；当0t =时，()2e xf x x =--，函数()f x 在R 上单调递减，∵(1)2e 10f =--<，2(2)22e 0f --=->，函数()f x 在R 上有且只有一个零点，∴t 的值是1或0.故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，零点存在性定理的应用，属于中档题.二、填空题13．若52ax x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为240，则实数a 的值为________. 【答案】－3【解析】依题意可得二项式展开式的常数项为3323152C T ax x x +⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭即可得到方程，解得即可； 【详解】解：∵二项式52ax x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为3323152C 80240T ax x a x +⎛⎫=⋅-=-= ⎪⎝⎭， ∴解得3a =-. 故答案为：3- 【点睛】本题考查二项式展开式中常数项的计算，属于基础题.14．已知函数2(0)()123(0)x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则(2)f -=________；满足()0f x >的x 的取值范围为________. 【答案】14(,4)-∞ 【解析】首先由分段函数的解析式代入求值即可得到(2)f -，分0x >和0x ≤两种情况讨论可得； 【详解】解：因为2(0)()123(0)x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，所以21(2)24f --==， ∵()0f x >，∴当0x ≤时，0()21x f x <=≤满足题意，∴0x ≤； 当0x >时，由()1230f x x =->，解得4x <.综合可知：满足()0f x >的x 的取值范围为(,4)-∞. 故答案为：14；(,4)-∞. 【点睛】本题考查分段函数的性质的应用，分类讨论思想，属于基础题.15．已知边长为ABCD 中，60A ∠=︒，现沿对角线BD 折起，使得二面角A BD C --为120︒，此时点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，则该球的表面积为________. 【答案】112π【解析】分别取BD ，AC 的中点M ，N ，连接MN ，由图形的对称性可知球心必在MN 的延长线上，设球心为O ，半径为R ，ON x =，由勾股定理可得x 、2R ，再根据球的面积公式计算可得； 【详解】如图，分别取BD ，AC 的中点M ，N ，连接MN ， 则易得6AM CM ==，3MN =，23MD =，33CN =， 由图形的对称性可知球心必在MN 的延长线上，设球心为O ，半径为R ，ON x =，可得222227(3)12R x R x ⎧=+⎨=++⎩，解得1x =，228R =. 故该球的表面积为24112==S R ππ.故答案为：112π 【点睛】本题考查多面体的外接球的计算，属于中档题.16．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin sin 3A B C +=，且1c =，则ABC ∆面积的最大值为________. 2 【解析】利用正弦定理将角化边得到3a b +=1cos 1C ab=-，根据同角三角函数的基本关系表示出sin C ，最后利用面积公式得到211121sin 12222S ab C ab ab ab ab ⎛⎫==-+=-+ ⎪⎝⎭ab 的取值范围，即可得到面积的最值； 【详解】解：∵在ABC ∆中，sin sin 3A B C +=，∴33a b c +==∴22222()21cos 122a b c a b ab c C ab ab ab+-+--===-，∴sin C ===∴11sin 22S ab C ===∵a b +=≥304ab <≤，当且仅当a b ==时等号成立，∴4S =≤=，∴ABC ∆故答案为：4【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式的应用，以及基本不等式的应用，属于中档题.三、解答题17．在世界读书日期间，某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为200的样本，其中城镇居民140人，农村居民60人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民有100人，农村居民有30人.（1）填写下面列联表，并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？（2）从该地区城镇居民中，随机抽取5位居民参加一次阅读交流活动，记这5位居民中经常阅读的人数为X ，若用样本的频率作为概率，求随机变量X 的期望.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）见解析，有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.（2）25()7E X =【解析】（1）根据题意填写列联表，利用公式求出2K ，比较2K 与6.635的大小得结论； （2）由样本数据可得经常阅读的人的概率是57，则5~5,7X B ⎛⎫⎪⎝⎭，根据二项分布的期望公式计算可得； 【详解】解：（1）由题意可得：则22200(100304030)8.477 6.6351406013070K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.（2）根据样本估计，从该地区城镇居民中随机抽取1人，抽到经常阅读的人的概率是57，且5~5,7X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以随机变量X 的期望为525()577E X =⨯=. 【点睛】本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的数学期望的计算，考查运算求解能力，属于基础题．18．设数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，且32a =，954S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：1231001111133333a a a a +++⋅⋅⋅+>++++. 【答案】（1）24n a n =-（2）见解析【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由95954S a ==，得到56a =，再结合题干所给数据得到公差d ，即可求得数列的通项公式； （2）由（1）可得1321n a n =+-，再利用放缩法证明不等式即可； 【详解】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，∵95954S a ==，∴56a =， ∴53253a a d -==-，∴3(3)24n a a n d n =+-=-. （2）∵121213212121n n n a n n n =>=+--+--++， ∴12310011113333a a a a ++++++++(31)(53)(201199)>-+-+⋅⋅⋅+-201114113=->-=，∴1231001111133333a a a a ++++>++++.【点睛】本题考查等差数列的通项公式的计算，放缩法证明数列不等式，属于中档题.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AB BC ⊥，//AB CD ，4AB =，2BC CD ==，PA PD =，点F 、O 分别为AD ，BC 的中点，且平面PAD ⊥平面ABCD .（1）求证：BC ⊥平面POF . （2）若3PF =PA 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（225【解析】（1）首先可得PF AD ⊥，再面面垂直的性质可得PF ⊥平面ABCD ，即可得到PF BC ⊥，再由OF BC ⊥，即可得到线面垂直；（2）过点O 做平面ABCD 的垂线OZ ，以O 为原点，分别以OF ，OB ，OZ 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，利用空间向量法求出线面角；【详解】解：（1）∵PA PD =，点F 为AD 的中点，∴PF AD ⊥，又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，PF ⊂平面PAD ，∴PF ⊥平面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，∴PF BC ⊥， 又∵F ，O 分别为AD ，BC 的中点， ∴//FO AB ，∴OF BC ⊥，又FO ⊂平面POF ，PF ⊂平面POF ，FO PF F =，∴BC ⊥平面POF .（2）过点O 做平面ABCD 的垂线OZ ，以O 为原点，分别以OF ，OB ，OZ 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，∵3PF =∴(4,1,0)A ，(0,1,0)B ，(0,1,0)C -，3)P ，∴(1,3)AP =--，(3,3)BP =-，(0,2,0)CB =， 设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，由00BP n CB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得33020x y z y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，令3z =，得(3,0,3)n =-，∴33325cos ,||||235n AP n AP n AP ⋅+===⋅⋅，∴直线PA 与平面PBC 25. 【点睛】本题考查线面垂直的判定，面面垂直的性质定理的应用，利用空间向量法求线面角，属于中档题.20．已知a ∈R ，函数2()ln(1)2f x x x ax =+-++.（1）若函数()f x 在[)2,+∞上为减函数，求实数a 的取值范围； （2）求证：对(1,)-+∞上的任意两个实数1x ，2x ，总有()()121212123333f x x f x f x ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭成立.【答案】（1）11,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）见解析 【解析】（1）求出函数的导函数，依题意可得()0f x '≤在[)2,x ∈+∞上恒成立，参变分离得121a x x ≤-+在[)2,x ∈+∞上恒成立.设1()21h x x x =-+，求出min ()h x 即可得到参数的取值范围；（2）不妨设121x x -<≤，()221212()()3333F x f x x f x f x ⎛⎫=+--⎪⎝⎭，(]21,x x ∈-， 利用导数说明函数()F x 在(]21,x x ∈-上是减函数，即可得证； 【详解】解：（1）∵2()ln(1)2f x x x ax =+-++ ∴1()21f x x a x '=-++，且函数()f x 在[)2,+∞上为减函数，即()0f x '≤在[)2,x ∈+∞上恒成立，∴121a x x ≤-+在[)2,x ∈+∞上恒成立.设1()21h x x x =-+， ∵函数()h x 在[)2,+∞上单调递增，∴min 111()(2)433h x h ==-=，∴113a ≤，∴实数a 的取值范围为11,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. （2）不妨设121x x -<≤，()221212()()3333F x f x x f x f x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，(]21,x x ∈-， 则()()()2220F x f x f x =-=， ∴21121()()3333F x f x x f x ⎛⎫'''=+- ⎪⎝⎭2112()333f x x f x ⎡⎤⎛⎫''=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. ∵()22212222033333x x x x x x x +-=-+=-≥，∴21233x x x +≥，又1()21f x x a x '=-++，令()()g x f x '=，∴21()20(1)g x x '=--<+， ∴()f x '在(1,)x ∈-+∞上为减函数，∴212()33f x x f x ⎛⎫''+≤⎪⎝⎭，∴2112()0333f x x f x ⎡⎤⎛⎫''+-≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即()0F x '≤， ∴()F x 在(]21,x x ∈-上是减函数，∴()2()0F x F x ≥=，即()0F x ≥， ∴()221212()03333f x x f x f x ⎛⎫+--≥⎪⎝⎭，∴当(]21,x x ∈-时，()221212()3333f x x f x f x ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭.∵121x x -<≤，∴()()121212123333f x x f x f x ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值，利用导数证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 和2F ，右顶点为A ，且13AF =，短轴长为 （1）求椭圆E 的方程；（2）若过点A 作垂直x 轴的直线l ，点T 为直线l 上纵坐标不为零的任意一点，过2F 作2TF 的垂线交椭圆E 于点P 和Q，当2||24TF PQ =时，求此时四边形1TPFQ 的面积. 【答案】（1）22143x y +=（2【解析】（1）依题意可得2223a cb a bc +=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解方程组即可求出椭圆的方程；（2）设(2,)(0)T m m -≠，则2TF =PQ 的方程为1x my =+，联立直线与椭圆方程，消去x ，设()11,P x y ，()22,Q x y ，列出韦达定理，即可表示||PQ ，再根据2||24TF PQ =求出参数m ，从而得出TPQ S ∆，最后由点1F 到直线PQ 的距离得到1TPQ F PQ S S ∆∆=，由112TPQ F PQ TPQ TPF Q S S S S ∆∆∆=+=四边形即可得解； 【详解】解：（1）∵2223a c b a b c +=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，∴解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆E 的方程为22143x y +=.（2）∵(2,0)A ，∴可设(2,)(0)T m m -≠，∴2TF =∵221TF mk m -==--，∴1PQ k m=，∴设直线PQ 的方程为1x my =+， ∴221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴()2234690m y my ++-=，显然>0∆恒成立.设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122634my y m -+=+，122934y y m -=+， ∴||PQ ==()2212134m m +===+. ∴()222234||121TF m PQ m +===+ ∴4218170m m --=，∴解得21m =，解得1m =±，∴2TF =24||7PQ=，∴124277TPQ S ∆==. ∵此时直线PQ 的方程为10x y ±-=，1(1,0)F -， ∴点1F 到直线PQ的距离为d =∴1127TPQ F PQ TPQ TPF Q S S S S ∆∆∆=+==四边形， 即此时四边形1TPFQ 【点睛】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的综合应用，考查计算能力，属于中档题．22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l的极坐标方程是sin 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭射线:6OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.【答案】（1）4cos ρθ=（2）2【解析】（1）首先将参数方程转化为普通方程再根据公式化为极坐标方程即可； （2）设()11,P ρθ，()22,Q ρθ，由126θπθ==，即可求出12,ρρ，则12||PQ ρρ=-计算可得； 【详解】解：（1）圆C 的参数方程22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）可化为22(2)4x y -+=，∴24cos 0ρρθ-=，即圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（2）设()11,P ρθ，由1114cos 6ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得116ρπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩.设()22,Q ρθ，由222sin 66πρθπθ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，解得2226ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩.∵12θθ=，∴12||2PQ ρρ=-=.【点睛】本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．已知0a >，函数()|||26|f x x a x =++-有最小值7. （1）求a 的值；（2）设,0m n >，4m n a +=，求证：11918m n +≥+. 【答案】（1）4a =.（2）见解析【解析】（1）由绝对值三解不等式可得()3|3|f x a x ≥++-，所以当3x =时，min ()37f x a =+=，即可求出参数的值；（2）由44m n +=，可得4(1)8m n ++=，再利用基本不等式求出111m n ++的最小值，即可得证； 【详解】 解： （1）∵()|||26|f x x a x =++-|||3||3|x a x x =++-+-|()(3)||3|x a x x ≥+--+-3|3|a x =++-，∴当3x =时，min ()37f x a =+=，解得4a =. （2）∵44m n +=，∴4(1)8m n ++=，∴[]111114(1)118m n m n m n ⎛⎫+=+++⨯ ⎪++⎝⎭14(1)95818n m m n +⎛⎫=++≥ ⎪+⎝⎭， 当且仅当4(1)1n m m n +=+，即83m =，13n =时，等号成立.∴11918m n +≥+. 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式及基本不等式的简单应用，属于中档题．。

2020年高三联考理科数学试题本试卷共6页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用黑色字迹钢笔或签字笔将答案填写在答题卡上对应题目的序号下面，如需改动，用橡皮擦干净后，再选填其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U ＝R ，集合{/|1|1}A x x =-<, 1{0}xB xx-=≤,则A ∩(∁U B )＝( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(1, 2) D ． (0,2)2. 已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且（x ﹣2）i ﹣y=1，则(1)x yi -+的值为（ ） A ．4 B ． ﹣4C ． ﹣2iD ． ﹣2+2i3、已知),2(ππα∈,53sin =α,则)4tan(πα-的值等于（ ）A ．7-B ．71-C ．7D ．714. 等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为32303S x dx =⎰，则公q 的值是（ ）A. 1B.－12 C. 1或－12 D. － 1或－125．定义在R 上的偶函数f (x )在（0，＋∞)上是增函数，且f (13)＝0，则不等式()0xf x >的解集是( )A ．(0，13)B ．(13 ，＋∞)C ．(- 13，0)∪(13，＋∞)D ．(-∞，-13)∪(0，13)6．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积．．．为 A ．π12 B ． π3 C ．π34 D ．π3127．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >），过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N 两点，O 为坐标原点，若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A ．132-+ B ．132+ C ．152-+ D ．152+ 8. 已知集合M={(x,y )|y f (x )=}，若对于任意11(x ,y )M ∈，存在22(x ,y )M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={1(x,y )|y x=}； ②M={1(x,y )|y sin x =+}；③M={2(x,y )|y log x =}； ④M={2x(x,y )|y e =-}．其中是“垂直对点集”的序号是（ ） A.①② B .②④ C .①④ D .②③二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（8～13题）9．下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的 概率为10. 设31(5)nx x-的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若240M N -=，则展开式中的常数项_________．11. 下列说法：①“x ∃∈R ，23x >”的否定是“x ∀∈R ，23x ≤”；②函数sin(2)sin(2)36y x x ππ=+- 的最小正周期是π；③命题“函数()f x 在0x x =处有极值，则0()0f x '=”的否命题是真命题；④()f x 是(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，0x >的解析式是()2xf x =，则0x <时的解析式为()2xf x -=-．其中正确的说法是__________．12. 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，则向量a ，b 的夹角是钝角的概率是 ．13．右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起， 每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i 行第j 列的数为ij a （*,,N j i j i ∈≥），则53a 等于 ，______(3)mn a m =≥.（ ） ▲ 14．在极坐标系中，过点(3,)3π且垂直于极轴的直线方程的极坐标方程是 （请选择正确标号填空） （1）3sin 2=ρθ （2）3cos 2=ρθ （3）3sin 2=ρθ （4）3cos 2=ρθ 15. 如图，在△ABC 和△ACD 中，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ，⊙O 是以AB 为直径的圆，DC 的延长线与AB 的延长线交于点E . 若EB ＝6，EC ＝62，则BC 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分。

2020届全国高三大联考理科综合试卷考生注意:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共300分。

考试时间150分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.可能用到的相对原子质量:H 1 Li 7 C 12 N 14 O 16 Mg 24 Co 59 Ni 59第Ⅰ卷(选择题共126分)一、选择题:本题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.生物的生命活动是由不同的细胞共同完成的，同一细胞中的不同结构在功能上也各有分工。

下列有关叙述正确的是A.在细胞有丝分裂过程中，中心体和纺锤体会周期性地出现和消失B.叶绿体膜和类囊体薄膜上具有将光能转换成化学能的酶系统C.线粒体外膜和内膜上分布着有氧呼吸三个阶段必需的酶和ATPD.生物膜将真核细胞分隔成不同区室，使细胞内能同时进行多种化学反应2.某小组将叶绿体破坏后，将离心得到的类囊体悬浮液和叶绿体基质分别放入4支试管中，给予试管①②光照，将试管③④置于黑暗条件下，实验如图所示。

下列有关叙述错误的是A.试管①②对照能说明光反应发生在类囊体上B.试管③④对照能说明暗反应的场所是叶绿体基质C.4支试管中只有试管①能产生氧气D.若向④加入①的悬浮液，通入CO2后有有机物合成3.细胞衰老和干细胞耗竭是机体衰老的重要标志，转录激活因子YAP是细胞发育和细胞命运决定中发挥重要作用的蛋白质。

研究人员利用CRISPR/Cas9基因编辑技术和定向分化技术来产生YAP特异性缺失的人胚胎干细胞，YAP缺失的干细胞会表现出严重的加速衰老。

下列叙述错误的是A.推测YAP在维持人体干细胞年轻态中发挥着关键作用B.转录激活因子YAP的合成需要在核糖体上进行C.YAP缺失的干细胞的形态结构和功能会发生改变D.CRISPR/Cas9基因编辑过程中，基因中的高能磷酸键会断裂。

绝密★启用前2020届全国大联考高三第六次联考数学（文）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合{}|124A x x =<≤，|B x y ⎧⎫==⎨⎩，则A B =ð（ ） A ．{}5|x x ≥ B ．{}|524x x <≤ C ．{|1x x ≤或}5x ≥ D ．{}|524x x ≤≤答案：D首先求出集合B ，再根据补集的定义计算可得； 解：解：∵2650x x -+->，解得15x << ∴{}|15B x x =<<，∴{}|524A B x x =≤≤ð. 故选：D 点评：本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.2．设复数z 满足21z i z -=+，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ）A ．2430x y --=B ．2430x y +-=C ．4230x y +-=D ．2430x y -+= 答案：B设z x yi =+，根据复数的几何意义得到x 、y 的关系式，即可得解； 解：解：设z x yi =+∵|2||1|z i z -=+，∴2222(2)(1)x y x y +-=++，解得2430x y +-=. 故选：B 点评：本题考查复数的几何意义的应用，属于基础题.3．若双曲线22214x y a -=）A ．B ．C ．6D ．8答案：A依题意可得24b =，再根据离心率求出2a ，即可求出c ，从而得解； 解：解：∵双曲线22214x y a -=所以22413e a=+=，∴22a =，∴c =故选：A 点评：本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.4．在等差数列{}n a 中，若n S 为前n 项和，911212a a =+，则13S 的值是（ ） A ．156 B ．124C ．136D ．180答案：A因为711911212a a a a +==+，可得712a =，根据等差数列前n 项和，即可求得答案. 解：Q 711911212a a a a +==+，∴712a =， ∴()113137131313121562a a S a +===⨯=.故选：A. 点评：本题主要考查了求等差数列前n 项和，解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前n 项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 5．已知3log 74a =，2log b m =，52c =，若a b c >>，则正数m 可以为（ ） A ．4 B ．23C ．8D ．17答案：C首先根据对数函数的性质求出a 的取值范围，再代入验证即可； 解：解：∵3333log 27log 74log 814a =<=<=，∴当8m =时，2log 3b m ==满足a b c >>，∴实数m 可以为8.故选：C 点评：本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题.6．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A 、B 、C 、D 、E 为顶点的多边形为正五边形，且51PT AP -=，则51AT ES --=u u u r u u u r （ ）A 51+u urB 51RQ +u u urC 51-u urD 51RC -u ur答案：A利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题． 解：解：515122AT ES SD SR RD QR -=-==u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r .故选：A 点评：本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题． 7．“tan 2θ=”是“4tan 23θ=-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 答案：A首先利用二倍角正切公式由4tan 23θ=-，求出tan θ，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可； 解：解：∵22tan 4tan 21tan 3θθθ==--，∴可解得tan 2θ=或12-，∴“tan 2θ=”是“4tan 23θ=-”的充分不必要条件. 故选：A 点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，二倍角正切公式的应用是解决本题的关键，属于基础题．8．下列四个图象可能是函数35log |1|1x y x +=+图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C首先求出函数的定义域，其函数图象可由35log ||x y x=的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，因为35log ||x y x=为奇函数，即可得到函数图象关于(1,0)-对称，即可排除A 、D ，再根据0x >时函数值，排除B ，即可得解. 解：∵35log |1|1x y x +=+的定义域为{}|1x x ≠-，其图象可由35log ||x y x=的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，∵35log ||x y x=为奇函数，图象关于原点对称，∴35log |1|1x y x +=+的图象关于点(1,0)-成中心对称.可排除A 、D 项. 当0x >时，35log |1|01x y x +=>+，∴B 项不正确.点评：本题考查函数的性质与识图能力，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项，属于中档题.9．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ω的值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．32答案：B因为将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，可得()sin sin 33g x x x ππωϕωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合已知，即可求得答案.解：Q 将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象∴()sin sin 33g x x x ππωϕωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 又Q ()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，∴由1242432k k ππωϕππππωωϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪-+=+⎪⎩()12,k k ∈Z ，得()123k k πωπ=-，()12,k k ∈Z ，即()123k k ω=-()12,k k ∈Z ， 又Q 06ω<<，∴3ω=.故选：B.本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数，解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 10．将一块边长为cm a 的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为3722cm ，则a 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12答案：D推导出PM PN a +=，且PM PN =，22MN a =，2a PM =，设MN 中点为O ，则PO ⊥平面ABCD ，由此能表示出该容器的体积，从而求出参数的值． 解：解：如图（4），PMN ∆为该四棱锥的正视图，由图（3）可知，PM PN a +=，且2aPM PN ==，由PMN ∆为等腰直角三角形可知， 22MN a =，设MN 中点为O ，则PO ⊥平面ABCD ，∴1224PO MN a ==， ∴23122272232424P ABCD V a a a -⎛⎫=⨯⨯== ⎪ ⎪⎝⎭，解得12a =. 故选：D点评：本题考查三视图和锥体的体积计算公式的应用，属于中档题.11．已知函数()ln f x x =，若2()()3F x f x kx =-有2个零点，则实数k 的取值范围为。

2019-2020年高三数学第六次联考试卷理考生注意:1.本试卷分数学Ⅰ试题,共160分,考试时间120分钟;数学Ⅱ(附加题),共40分,考试时间30分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可根据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:高考全部内容.一、填空题.(本大题共14小题,每小题5分,共70分.把答案填在答题卷中的横线上.)1.已知集合A={2,0,1},B={1,0,5},则A∪B=▲.2.设(1-i)z=3-2i(i为虚数单位),则|z|= ▲.3.一个总体A、B两层的个数比为3∶2,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本,则A层中应抽取▲个.4.执行如图所示的程序框图,若输入的x值为3,则输出的x值为▲.5.设变量x、y满足则目标函数z=2x+y的最小值为▲.6.口袋中有形状和大小完全相同的四个球,球的编号分别为1,2,3,4,若从袋中随机抽取两个球,则取出的两个球的编号之和大于5的概率为▲.7.已知cos(θ+)=,则sin 2θ= ▲.8.如图,在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,点E,F分别在AA1,CC1上,且AE=AA1,CF=CC1,点A,C到BD的距离之比为2∶3,则三棱锥E—BCD和F—ABD的体积比= ▲.9.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f(2015)=▲.10.在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=3,点O在线段CD上(与点C、D不重合),若=x+(1-x),则x的取值范围是▲.11.设奇函数f(x)在[-1,1]上是增函数,且f(-1)=-1,若函数f(x)<t2-2at+1对所有的x∈[-1,1]都成立,当a∈[-1,1]时,则t的取值范围是▲.12.已知从圆C:x2+y2+2x-4y+3=0外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,则当|PM|取得最小值时点P的坐标为▲.13.已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线-=1(a>0,b>0)有相同的焦点F,P是两曲线的公共点,且|PF|=p,则此双曲线的离心率为▲.14.以(0,m)间的整数(m>1,m∈N)为分子,以m为分母组成分数集合A1,其所有元素和为a1;以(0,m2)间的整数(m>1,m∈N)为分子,以m2为分母组成不属于集合A1的分数集合A2,其所有元素和为a2;……,依次类推以(0,m n)间的整数(m>1,m∈N)为分子,以m n为分母组成不属于A1,A2,…,A n-1的分数集合A n,其所有元素和为a n,则a1+a2+…+a n= ▲.二、解答题.(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(本小题满分14分)△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2a=c,cos C=.(1)求sin B的值;(2)若D为AC中点,且△ABD的面积为,求BD的长度.16.(本小题满分14分)如图,已知AD⊥平面ABC,CE⊥平面ABC,F为BC的中点,若AB=AC=AD=CE.(1)求证:AF∥平面BDE;(2)求证:平面BDE⊥平面BCE.17.(本小题满分14分)我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村,该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施,据调查,修复好村民俗文化基础设施后,任何一个月内(每月按30天计算)每天的旅游人数f(x)与第x天近似地满足f(x)=8+(千人),且参观民俗文化村的游客人均消费g(x)近似地满足g(x)=143-|x-22|(元).(1)求该村的第x天的旅游收入p(x)(单位:千元,1≤x≤30,x∈N*)的函数关系;(2)若以最低日收入的20%作为每一天的纯收入,并以纯收入的5%的税率收回投资成本,试问该村在两年内能否收回全部投资成本?18.(本小题满分16分)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且过点P(,),记椭圆的左顶点为A.(1)求椭圆的方程;(2)过点A作两条斜率分别为k1,k2的直线交椭圆于D,E两点,且k1k2=2,求证:直线DE恒过一个定点.19.(本小题满分16分)已知函数f(x)=e x.(1)当x>0时,设g(x)=f(x)-(a+1)x(a∈R).讨论函数g(x)的单调性;(2)证明:当x∈[,1]时,f(x)<x2+x+1.20.(本小题满分16分)若数列{a n}满足条件:存在正整数k,使得=对一切n∈N*,n>k都成立,则称数列{a n}为k 级等比数列.(1)若a n=2n sin(ωn+)(ω为常数),且{a n}是3级等比数列,求ω所有可能值的集合;(2)若正项数列{a n}既为2级等比数列,也为3级等比数列,证明:{a n}为等比数列.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小．．．．．．．题作答,若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,圆M与圆N交于A,B两点,以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C,D两点,延长DB交圆M于点E,延长CB交圆N于点F.已知BC=5,DB=10,求.B.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A=,且A=,求直线l1:x-y+1=0在矩阵A对应的变换下得到的直线l2的方程.C.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)已知曲线C的参数方程为(θ为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C'.若点A在曲线C'上,点B(3,0),当点A在曲线C'上运动时,求AB中点P的轨迹方程.D.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)已知a,b,c均为正数,且a+b+c=3,求证:++≥3.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)如图,在几何体SABCD中,AD⊥平面SCD,BC⊥平面SCD,AD=DC=2,BC=1,又SD=2,∠SDC=120°.(1)求SC与平面SAB所成角的正弦值;(2)求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值.23.(本小题满分10分)某公司财务部和行政部需要招人,现有甲、乙、丙、丁四人应聘,其中甲、乙两人各自独立应聘财务部,丙、丁两人各自独立应聘行政部,已知甲、乙两人各自应聘成功的概率均为,丙、丁两人各自应聘成功的概率均为.(1)求财务部应聘成功的人数多于行政部应聘成功的人数的概率;(2)记该公司被应聘成功的总人数为X,求X的分布列和期望.2015届高三第六次联考·数学试卷参考答案1.{2,0,1,5} 根据并集的计算知A∪B={2,0,1,5}.2. 由(1-i)z=3-2i,得z==,所以|z|==.3.12 A层应抽取20×=12个.4.127 若输入的x=3,则x=23-1=7,而7<126,故x=27-1=127,而127≥126,故x=27-1=127,所以输出的x值为127.5.2 画出可行域可知当目标函数过点(1,0)时取得最小值,最小值为z=2×1+0=2.6. 从4个球中随机抽取两个球,共有6种抽法.满足两球编号之和大于5的情况有(2,4),(3,4)共2种取法.所以取出的两个球的编号之和大于5的概率为=.7. cos[2(θ+)]=2cos2(θ+)-1=2×-1=-,cos[2(θ+)]=cos(2θ+)=-sin 2θ,sin 2θ=.8. 因为点A,C到BD的距离之比为2∶3,所以=,设AA1=a,则三棱锥E—BCD的高为a,三棱锥F—ABD的高为a,故==.9.- 由图可知A=2,T==4(6-4)=8,∴ω=,∴f(x)=2sin(x+φ),又f(6)=-2,即sin(×6+φ)=-1,可得φ=0,∴f(x)=2sinx,∴f(2015)=2sinπ=-2sin=-.10.(-,0) 依题意,设=λ,其中1<λ<,则有=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ.又=x+(1-x),且,不共线,于是有x=1-λ∈(-,0),即x的取值范围是(-,0).11.(-∞,-2)∪(2,+∞)根据题意,f(x)在[-1,1]上是增函数,且最大值为f(1)=-f(-1)=1,若函数f(x)<t2-2at+1对所有的x∈[-1,1]都成立,则1<t2-2at+1,即0<t2-2at.当t=0时,不符合题意;当t≠0时,设g(a)=-2at+t2,要使g(a)>0在a∈[-1,1]时恒成立,则有⇒解得t>2或t<-2.12.(-,) 因为|PO|2+r2=|PC|2(c为圆心,r为圆的半径),所以++2=(x1+1)2+(y1-2)2,即2x1-4y1+3=0.要使|PM|最小,只要|PO|最小即可.当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0时,即直线PO的方程为2x+y=0时,|PM|最小,此时P点即为两直线的交点,得P点坐标(-,).13.3 设双曲线的左焦点为F1,由题可知抛物线的准线方程为x=-,F(,0),F1(-,0),c=.由抛物线的定义知点P到准线的距离为p,所以可得点P的横坐标为p-=,纵坐标为p,即点P的坐标为(,p),∴|PF1|2=(+)2+(p)2=p2,∴|PF1|=p,∴2a=|PF1|-|PF|=p-p=p,即a=p,∴e===3.14. 依题意可得a1=.因为以m2为分母组成属于集合A1的元素为,,…,即,,…,.而这些元素的和为a1,所以a2=-a1,即=a1+a2.同理=a1+a2+a3,…,=a1+a2+a3+…+a n.所以可得a1+a2+…+a n=.15.解:(1)由cos C=,得sin C=,由正弦定理得sin A==,∵a<c,∴A<C,∴A∈(0,),∴cos A=,∴sin B=sin(A+C)=×+×=.7分(2)∵sin B=sin C,∴B=C,∴b=c.由△ABD的面积为,∴·csin A=c2·=,得c=2,BD2=12+22-2×1×2×=,∴BD=.14分16.证明:(1)取BE的中点G,连结GF,GD.因为F是BC的中点,则GF为△BCE的中位线.所以GF∥EC,GF=CE.因为AD⊥平面ABC,CE⊥平面ABC,所以GF∥AD.又因为AD=CE,所以GF=AD.所以四边形GFAD为平行四边形.所以AF∥DG.因为DG⊂平面BDE,AF⊄平面BDE,所以AF∥平面BDE.7分(2)因为AB=AC,F为BC的中点,所以AF⊥BC.因为EC⊥平面ABC,所以AF⊥EC,所以AF⊥平面BCE.因为AF∥DG,所以DG⊥平面BCE.又DG⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面BCE.14分17.解:(1)依据题意,有p(x)=f(x)·g(x)=(8+)·(143-|x-22|)(1≤x≤30,x∈N*)=6分(2)①当1≤x≤22,x∈N*时,p(x)=8x++976≥2+976=1152(当且仅当x=11时,等号成立). 因此,p(x)min=p(11)=1152(千元).②当22<x≤30,x∈N*时,p(x)=-8x++1312.考察函数y=-8x+的图象,可知y=-8x+在(22,30]上单调递减,于是,p(x)min=p(30)=1116(千元).又1152>1116,所以,日最低收入为1116千元,该村两年可收回的投资资金为1116×20%×5%×30×12×2=8035.2(千元)=803.52(万元).因为803.52万元>800万元,所以该村两年内能收回全部投资资金.14分18.解:(1)由题意得,解得,所以椭圆的方程为x2+2y2=1.6分(2)因为A(-1,0),所以直线AD:y=k1(x+1),直线AE:y=k2(x+1).联立,消去y,得(1+2)x2+4x+2-1=0,解得x=-1或x=,故点D(,).同理,E(,).又k1k2=2,故E(,).故直线DE的方程为y-=·(x-),即y-=·(x-),于是y=x+.所以2y-(3x+5)k1+4y=0.则令得直线DE恒过定点(-,0).16分19.解:(1)g(x)=e x-(a+1)x,所以g'(x)=e x-(a+1).当x>0时,e x>1,故有:当a+1≤1,即a≤0时,x∈(0,+∞),g'(x)>0;当a+1>1,即a>0时,e x>1,令g'(x)>0,得x>ln(a+1);令g'(x)<0,得0<x<ln(a+1),综上,当a≤0时,g(x)在(0,+∞)上是增函数;当a>0时,g(x)在(0,ln(a+1))上是减函数,在(ln(a+1),+∞)上是增函数.8分(2)设h(x)=f(x)-(x2+x+1)=e x-x2-x-1,则h'(x)=e x-2x-1,令m(x)=h'(x)=e x-2x-1,则m'(x)=e x-2,因为x∈[,1],所以当x∈[,ln 2)时,m'(x)<0;m(x)在[,ln 2)上是减函数,当x∈(ln 2,1]时,m'(x)>0,m(x)在(ln 2,1]上是增函数,又m()=-2<0,m(1)=e-3<0,所以当x∈[,1]时,恒有m(x)<0,即h'(x)<0,所以h(x)在[,1]上为减函数,所以h(x)≤h()=-<0,即当x∈[,1]时,f(x)<x2+x+1.16分20.解:(1){a n}是3级等比数列,=,[2n sin(ωn+)]2=2n-3sin[(ωn+)-3ω]2n+3sin[(ωn+)+3ω],sin2(ωn+)=sin[(ωn+)-3ω]sin[(ωn+)+3ω]=sin2(ωn+)cos23ω-cos2(ωn+)sin23ω=sin2(ωn+)(1-sin23ω)-[1-sin2(ωn+)]sin23ω=sin2(ωn+)-sin23ω,∴sin23ω=0,3ω=kπ(k∈Z),∴ω=(k∈Z),∴ω∈{ω|ω=,k∈Z}.7分(2)若{a n}为2级等比数列,=,则{a2n-1},{a2n}均成等比数列,设等比数列{a2n-1},{a2n}的公比分别为q1,q2(q1q2≠0),{a n}为3级等比数列,=,则{a3n-2}成等比数列,设公比为Q(Q≠0).9分a1,a7既是{a2n-1}中的项,也是{a3n-2}中的项,==Q2,a4,a10既是{a2n}中的项,也是{a3n-2}中的项,==Q2,==Q2,∴q1=q2.12分设q1=q2=q2(q≠0),则Q=q3,所以a2n-1=a1=a1q2n-2(n∈N*),a2n=a2=a2q2n-2(n∈N*),又a4=a1Q=a1q3,a4=a2q2=a2q2,所以a2=a1q,14分a2n=a1q2n-1(n∈N*),所以,a2n-1=a1q2n-2,a2n=a1q2n-1(n∈N*),综合得:a n=a1q n-1(n∈N*),显然{a n}为等比数列.16分21.A.解:根据弦切角定理,知∠BAC=∠BDA,∠ACB=∠DAB,∴△ABC∽△DBA,则=,故AB2=BC·BD=50,AB=5.5分根据切割线定理,知CA2=CB·CF,DA2=DB·DE,两式相除,得=·(*).由△ABC∽△DBA,得===,=,又==,由(*)得=1.10分B.解:因为A=,所以=,可得,所以,A=,==-7-(-6)=-1,所以A-1=.5分设直线l1上任一点P1(x1,y1)在矩阵A对应的变换下得到的直线l2上的对应点P(x,y),由题意可得=,所以,从而有,代入方程x-y+1=0得直线l2的方程4x-y+1=0.10分C.解:将代入,得C'的参数方程为,∴曲线C'的普通方程为x2+y2=1.5分设P(x,y),A(x0,y0),又B(3,0),且AB中点为P,所以有.又点A在曲线C'上,∴代入C'的普通方程+=1得(2x-3)2+(2y)2=1,∴动点P的轨迹方程为(x-)2+y2=.10分D.解:∵+a≥2b,+b≥2c,+c≥2a,∴+++(a+b+c)≥2(a+b+c),即++≥a+b+c=3,当且仅当a=b=c=1时取等号.10分22.解:过点D作DC的垂线交SC于E,以D为原点,分别以DC,DE,DA为x,y,z轴建立空间直角坐标系.∵∠SDC=120°,∴∠SDE=30°,又SD=2,则点S到y轴的距离为1,到x轴的距离为. 则有D(0,0,0),S(-1,,0),A(0,0,2),C(2,0,0),B(2,0,1).2分(1)设平面SAB的法向量为n=(x,y,z),∵=(2,0,-1),=(-1,,-2).则有,取x=,得n=(,5,2).又=(3,-,0),设SC与平面SAB所成角为θ,则sin θ=|cos<,n>|==, 故SC与平面SAB所成角的正弦值为.6分(2)设平面SAD的法向量为m=(x0,y0,z0),∵=(0,0,-2),=(-1,,-2),则有,取x0=,得m=(,1,0).∴cos<n,m>===,故平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值是10分23.解:(1)P=××2×+××=.3分(2)X可取0,1,2,3,4,P(X=0)=···=,P(X=1)=····+····=,P(X=2)=···+·····+···=,P(X=3)=····+····=,P(X=4)=···=.∴X的分布列为E(X)=×0+×1+×2+×3+×4=.10分。