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同态与同构PPT

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同构及同态(离散数学)

同构及同态(离散数学)

例. 群（R，+）和 (R+, · )是同态的，
因为若令σ：x ex ， x∈R ， 则σ是R到R+的1-1映射，且对 任意x1, x2 ∈R ， 有 σ(x1+x2)=ex1+x2= ex1·ex2 =σ(x1) ·σ(x2)， σ是（R，+）到(R+, · )的满同态映射。
证明
(1) 因为群G非空，至少1∈G，故至少 σ(1)∈G′，即G′非空。 (2) 任取a’∈G′，b’∈G′， 往证a’b’∈G′。 因有a,b∈G, 使得 a’=σ(a), b’=σ(b)， 故按σ的同态性， a’b’= σ(a)σ(b)=σ(ab)， 而ab ∈G, 因而a’b’ =σ(ab) ∈σ(G), 即 a’b’ ∈G′。
综上，G’做成一个群， G’的壹1’=σ (1)，G’中σ(a)的逆是σ (a-1)。
6.5.2 同 构 映 射
定义. 设G是一个群，K是一个乘法系统，
σ 是G到K内的一个同态映射，如果σ 是G 到σ (G)上的1-1映射，则称σ 是同构映射。 称G与σ (G)同构，记成G σ (G)。

例. 群（R+，· ）和（R，+）是同构的。因为若 令 σ：xlogx，x∈R+， 则σ是R+到R上的1-1映射，且对任意a,b∈R+， σ(a·b)=log(a·b)=log a + log b=σ(a)+σ(b)。 故σ是（R+，· ）到（R，+）上的同构映射。
例. 无限循环群同构于整数加法群。 证明： 设G=（g）是无限循环群，Z为整数 加法群，则对a∈G，n∈ Z，使得 a=gn， 令 f： a n 。 不难验证 f 是G到Z上的1-1映射；任取 a,b∈G，则存在i,j∈Z，使得a=gi， b=gj， f(gi gj)= f(gi+j )=i+j=f(gi )+ f(gj), 因此， f 是G到Z上的同构映射，即G Z。

离散数学-同态和同构

离散数学-同态和同构

离散算法设计
同态和同构可以用于设计高效的离散算法， 如通过同态映射将问题转化为易于处理的数
学形式，从而降低计算复杂度。
05
同态和同构的实例分析
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
二次方程的同态和同构分析
要点一
总结词
要点二
详细描述
在二次方程中，同态和同构的概念主要应用于方程的变形 和等价分类。
拓扑同构映射保持了原拓扑空间中的拓扑性质，即如果映射$f: X rightarrow Y$是 拓扑空间$X, Y$之间的同构映射，那么对于任意子集$U subseteq X$，有$f(U)$是 $Y$中的开集当且仅当$U$是$X$中的开集。
保持连通性
拓扑同构映射保持了原拓扑空间中的连通性，即如果映射$f: X rightarrow Y$是拓 扑空间$X, Y$之间的同构映射，那么对于任意子集$A subseteq X, B subseteq Y$， 有$(A subseteq B) Leftrightarrow (f(A) subseteq f(B))$。
逻辑同构的性质
保持逻辑关系
逻辑同构映射保持了原逻辑系统中的逻辑关系，即如果映射$f: L_1 rightarrow L_2$是逻辑系统$L_1, L_2$之间的同构映射，那么对于任意命题$varphi in L_1, psi in L_2$，有$(L_1 models varphi) Leftrightarrow (L_2 models psi)$。
的。
同构的性质
同构是一种更强的相似性关系，它不仅保持了群的基本运算性质，还要求存在一个双射 的映射。这意味着原始群和目标群在某种程度上是完全相同的。

B_6_4_6.4-群的同态及同构

B_6_4_6.4-群的同态及同构

一、群的同态映射
◦ e e a a b b sr sr3 e e e a a b b sr sr3 e e e a a b b sr3 sr a a a e e sr sr3 b b a a a e e sr3 sr b b b b b sr3 sr e e a a b b b sr sr3 e e a a sr sr sr3 b b a a e e sr3 sr3 sr b b a a e e
一、群的同态映射
◦ e e r r3 s sr2 sr sr3 e e e r r3 s sr2 sr sr3 e e e r3 r sr2 s sr3 sr r r r3 e e sr sr3 sr2 s r3 r3 r e e sr3 sr s sr2 s s sr2 sr3 sr e e r3 r sr2 sr2 s sr sr3 e e r r3 sr sr sr3 s sr2 r r3 e e sr3 sr3 sr sr2 s r3 r e e
一、群的同态映射
定理6.4.1设σ是群(G,·)到代数系统(K,*)内的一个 同态映射， G′=σ(G) ，则 （1） (G′,*)是一个群， （2） (G′,*)的单位元1′就是(G,·)的单位元1的映像 σ(1) ， -1 -1 （3） 对任意a， s◦r◦r◦r
( {I, r, r2, r3, s, sr, sr2, sr3} ，◦ )是一个群 称为二面体群，记作D4或D8.
一、群的同态映射
◦ I r r2 r3 s sr sr2 sr3 I I r r2 r3 s sr sr2 sr3 r r r2 r3 I sr sr2 sr3 s r2 r2 r3 I r sr2 sr3 s sr r3 r3 I r r2 sr3 s sr sr2 s s sr3 sr2 sr I r3 r2 r sr sr s sr3 sr2 r I r3 r2 sr2 sr2 sr s sr3 r2 r I r3 sr3 sr3 sr2 sr s r3 r2 r I

群论第二章ppt

群论第二章ppt

5
§2.1 群的概念
显然只有群元素比较少时这乘法表才排得出来，在乘法表 中每列与每行，每个元素出现一次，也仅一次，这为乘法表 的重排定理。 若群是Abel群（交换群），则乘法表中对主对角线是对称 的。下面给出几个例子 例1 G 1, 1 乘法为普通数乘法，单位元素为1 e ,a=-1逆元素为 自 己，其乘法定律 ee=e, aa=e, ea=ae=a, 这群在量子力学中很重要，这群与空间反演相对应，三维 空间矢量 r 作用 er r ar r e保持 r 不变的恒等变换 a 使 r 反演的反演变换，则 e, a 构成反演群。 我们称群G与反演群同构。
11
§2.1 群的概念
给出乘法表如下表：从表中看出，群中元素任一个u乘 积 ug a ， 给出并且仅一次给出G所有元素，满足重排定理。 e a b c d f —— |—————————————— e | e a b c d f a | a e d f b c b | b f e d c a c | c d f e a b d | d c a b f e f | f b c a e d 后面看到重排定理大大限制了互相不同构有限群数目。还 可以证明，阶数为相同素数的有限群都同构。三客体置换群 S 3 与平面正三角形对称群D3 同构。
a G
ae ea a
4
§2.1 群的概念
2. 乘法表与群示例
如果我们知道群中每两个元素的乘积，则群 结构就确定了。这乘积可以排列成一个乘法 表，例如G中有元素e,a,b,c,d，乘法表为 e a b c d e ee=e ea=a b c d
a b c d ae=a aa b c d ba ca da ab bb cb db ac bc cc dc ad ba cd dd

第三节 代数系统的同态与同构 北京大学计算机系离散数学讲义(ppt版)

第三节 代数系统的同态与同构 北京大学计算机系离散数学讲义(ppt版)
可以推广到 fp:ZnZn, 存在 n 个自同态 fp(xy) = (p(xy))modn = (px)modn(py)modn = fp(x)fp(y) 可以证明仅存在这 n 个自同态。
2020/6/16
同态性质
• 同态的合成仍旧是同态
• 同态像是映到的代数系统的子代数
• 满同态映射（在同态像中）保持原 代数系统的下述性质：
第三节 代数系统的同态与同构
主要内容 一、同态映射的概念
1. 同态映射定义 2. 同态映射分类 3. 实例 二、 同态映射的性质 1. 同态映射的合成仍旧是同态映射 2. 同态像是映到代数系统的子代数 3. 同态像中保持原有代数系统的运算性质
2020/6/16
同态映射的分类
特殊的同态映射 按映射性质分为： 单同态 满同态 V1V2 同构 V1V2 按载体分：自同态 综合：单自同态、满自同态、自同构
因为 13，但是 1333 不成立
划分{1},{0,2,3} 对应的不是同余关系，
因为 23，但是 2232 不成立
2020/6/16
同态像是映到代数系统的子代数
定理 1 设V1 A,o1,o2 ,..., or 与V2 B,o1',o2',..., or ' 是同类型
的代数系统，对于 i=1,2,…,r，oi 与 oi’是 ki 元运算，f:AB 是 V1 到 V2 的同态，则 f(A)关于 V2 中的运算构成代数系统，且是 V2 的子代数，称为 V1 在 f 下的同态像.
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同态映射的实例
（1）V = <Z,+>, fc:ZZ, fc(x) = cx, c 为给定整数。 c = 0, 零同态 c = 1，自同构 其它 c, 单自同态

近世代数课件-2-9同态基本定理与同构定理

近世代数课件-2-9同态基本定理与同构定理
近世代数
第二章 群
近世代数的主要研究对象是各种各样的代数系， 即具有一些代数运算的集合。
群是具有一种代数运算的代数系，它是近世代数 中一个比较古老，而且内容丰富的重要分支，在数学、 物理、化学、计算机等自然科学的许多领域都有广泛 应用。
2020/4/27
§2.9 同态基本定理与同构定理
本节教学目的与要求： 熟练掌握群同态基本定理和同构定理，并能简单应用，特
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63页第7题
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66页第8题
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三、群同构定理及其应用Fra bibliotek2020/4/27
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四、满同态的特殊性
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作业：P65第1,2题。
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38页第2、8题
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43页第3题
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49页第4题
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54页第6题
别地，要熟练掌握群同态基本定理的证明。 掌握同态基本定理的证明方法是难点。
一、群与商群的同态性质 二、群同态基本定理及其应用 三、群同构基本定理及其应用 四、满同态的特殊性
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一、 群与商群的同态性质
注：定理2.42中规定的同态称为自然同态。
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二、 群同态基本定理及其应用
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二、 群同态基本定理及其应用 要证明
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同态与同构获奖课件

同态与同构获奖课件

b
baac
c
bddc
d
abcd
* αβγδ
α
αβγδ
β
βααγ
γ
βδδγ
δ
αβγδ
证明：考察映射f, 使得f(a)=α，f(b)=β，f(c)=γ， f(d)=δ
显然，f是一种从A到B旳双射，由表5-8.2和表5-8.3， 轻易验证f是由<A,★>到<B,*>旳一种同态。所以， <A,★>和<B,*>是同构旳。
零之间旳特征区别，那么代数系统<I, >中运算 成果旳特征就能够用另一种代数系统<B, ⊙>旳运 算成果来描述，其中B={正，负，零}，是定义在 B上旳二元运算，如表5-8.1所示。
表5-8.1
⊙
正负 零
正 正负 零 负 负正 零 零 零零 零
作映射f: I→B如下： 正 若n>0
f(n)= 负 若n<0 零 若n=0
假如g是由<A,★>到<A,★>旳同构，则称g 为自同构。
定理5-8.1：设G是代数系统旳集合，则G中 代数系统之间旳同构关系是等价关系。
证明： 因为任何一种代数系统<A,★>要以经 过恒等映射与它本身同构，即自反性成立。
有关对称性，设<A,★>≌<B,*>且有相应旳同 构映射f, 因为f 旳逆是由<B,*>到<A,★>旳 同构映射，即<B,*>≌<A,★>。
设k1,k2∈K,则 f(k1★k2)=f(k1)*f(k2)= e*e =e 故k1★k2∈K。 对任意旳k∈K,由定理5-8.2可知 f(k-1)=f(k)-1=e-1=e 故k-1∈K。 所以，<K,★>是<G,★>旳子群。

第3讲 8-9节同态与同构

第3讲 8-9节同态与同构

分析：令：1 a 偶，-1 a 奇，则是双射且
（11）=（1）=偶=偶 偶=（1）（1）； （1（ -1））=（-1）=奇=偶 奇=（1）（-1）； （（-1）（ -1））=（1）=偶=奇 奇=（-1）（-1）
例5设 F 为数域，
A {(a1, a2 , a3, a4 ) ai F} F 4
: A A 关于 , 以及 , 都是同态满射，
那么
（1）若 , 满足第一分配律
, 也满足第一分配律；
（2）若 , 满足第二分配律
, 也满足第二分配律.
在定理1及定理2中，都要求映射是同态满射
似乎当 是同态满射 时，才能将 A 中的
代数性质（结合律、交换律及分配律）“传递”
到 A 中，那么(注意：满射的条件是如何起作用的)
称 : A A 是 A到A的 同态映射. 特别的，当是单射且保持运算时，称为A到A的同态单射；
当是满射且保持运算时，称为A到A的同态满射，并说
( A, o)和 ( A, o) 同态，简称 A与 A 同态，记为 A ～ A.
A Z , A {1, 1}，运算均为通常意义的数的乘法。
(1) (n) 1, n Z (n) 1,(m) 1, (nm) 1，(n)(m) (1)(1) 1
（1）当 不是满射时，“传递”还能进行吗？
（2）当 是满射，“传递”的方向能改变吗？ A 中的性质能“传递”到 A 中去吗？
设 是( A, o) 到( A, o) 的同态映射，若 是个一一映射，那么称 是同构映射.
若 ( A, o)到 ( A, o) 有同构映射存在，称
A 与 A 同构，记为 A A .
令 : M M (M A)，则是同态满射,所以 A与A同态.
证明：显然，因为每个方阵都有唯一的行列式，这 是一个映射，又

第十四讲同态与同构

第十四讲同态与同构

第⼗四讲同态与同构第⼗四讲同态与同构§14.1. 同态§14.2. 同态基本定理§14.1. 同态在讲授半群和monoid时，我们已定义过它们的同态与同构，现定义群同态与群同构。

1.1.定义：设(G,*)与(H,?)为群，f: G→H为映射(1)f为从群G到群H的同态，指(?a,b∈G)(f(a*b)=f(a)?f(b))，记为G∽f H(2)f为从G到H的满同态指f为同态且f为onto(3)f为从G到H的同构指f为同态且f为1-1&onto，记为G≌f H(4)f为从(G,*)到(G,*)的⾃同态指f(ab)=f(a)f(b)(5)f为从(G,*)到(G,*)的⾃同构(automorphism)指f为⾃同态且1-1&onto1.2.例：(1)(Z,+),(Z2,+2)为群，令f(2n)=0,f(2n+1)=1,则f为从(Z,+)到(Z2,+2)的群满同态，但f⾮同构。

令g(n)=0，则g也为同态但不是满的。

(2)(R,+)为实数加群，(R*,*)为⾮零实数乘群，令f: R→R*为f(x)=2x∵2x+y=2x*2y,∴f为同态，但f不是满的。

(3)令R+为全体正实数，(R+,*)为群，令f: R→R+为f(x)=2x，则f为从(R,+)到(R+,*)的同构。

1.3.命题：设(G,*),(H,?)为群，(1)令f: G→H，对?x∈G,f(x)=e H,则f为同态。

(2)令a∈G,f a: G→G为f a(x)=axa-1,则f a为⾃同构。

证明：∵f a(xy)=axya-1=axa-1aya-1=f a(x)f a(y)∴f a为同态⼜∵f a为1-1&onto∴f a为同构. #1.4.命题：(Z6,+6)恰有6个⾃同态，恰有2个⾃同构。

证明：(1)令f i: Z6→Z6,f I(x)=ix(mod 6)(=ix-[ix/6]*6),i=0,1, (5)∵f i(x+6y)=i(x+6y)(mod 6)=ix(mod 6)+6iy(mod6)=f i(x)+6f i(y)∴f i为同态.∵f i(1)=i∴i≠j→f i≠f j,故(Z6,+6)⾄少有6个⾃同态。

第5-5讲 同态与同构

第5-5讲 同态与同构
3
1、例子（3）
f(α)=f(β)=f(γ)=1,f(δ)=f(ε)=0,f(ζ)=f(α)=f(β)=f(γ)=1,f(δ)=f(ε)=0,f(ζ)=-1, *(- )=0 β ⊗ ζ= ε ; 1*(-1)=0 f(β )=f( f(ε *(f(β)*f(ζ f(β ⊗ ζ)=f(ε)= 0 =1*(-1)= f(β)*f(ζ)
9ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5、同态核
定义4 设f是群<G,⊗>到群<H,*>的一个同态，eH是<H,*> 的幺元,令Ker(f)={x|x∈G且f(x)=eH}。称Ker(f)是同态映 射f的核，简称同态核。 定理3 设f是群<G,⊗>到群<H,*>的一个同态，则f的同态 核K是G的子群。(<K,⊗>是<G,⊗>的子群) 证明：对任意k1,k2∈K,有 对任意k K,有 对任意 )=e f(k1⊗k2)=f(k1)*f(k2)= H*eH=eH k 所以k k K,所以 运算在K 封闭。进而可知⊗运算在 所以⊗运算在 所以k1⊗k2∈K,所以 运算在K上封闭。进而可知 运算在 可结合。 K上可结合。 又因f是群<G, 到群<H,*>的同态，根据定理1 <G,⊗ <H,*>的同态 又因f是群<G,⊗>到群<H,*>的同态，根据定理1， eH=f(e)，这说明e∈K，e也是K的幺元。 这说明e 也是K 幺元。 这说明 对任意k f(k)=e =(e 对任意k∈K, f(k)= H。 f(k-1)=(f(k))-1=( H)-1= eH 所以k K,即 中任意元素有逆元 从而K 逆元。 的子群。 所以k-1∈K,即K中任意元素有逆元。从而K是G的子群。

5.8同态与同构

5.8同态与同构

=f(x*(y*z))
=f((x*y)*z)=f(x*y)*’f(z) =(f(x)*’f(y))*’f(z)=(a*’b)*’c 。
<f(A),*’>是半群。
同态像的性质
2)若<A,*>是独异点,则<f(A),*’>也是独异点. 证:af(A),则x,有a=f(x),eA,f(e)f(A)， a*’f(e)=f(x)*’f(e)=f(x*e)=f(x)=a， f(e)*’a=f(e)*’f(x)=f(e*x)=f(x)=a。 f(e)是<f(A),*’>的幺元, <f(A),*’>是独异点。 3)若<A,*>是一个群,则<f(A),*’>也是一个群.
<R+,>同构于<R,+>。
同态与同构
例2.证明<R-｛0｝,×>和<R,+>不同构。
证:（反证法）设h是<R,+>到<R-｛0｝,×>的一个同构映射, b∈R-｛0｝,必存在a∈R,使得h(a)=b,
则:b=h(a)=h(0+a)=h(0)×h(a)=h(0)×b
b=h(a)=h(a+0)=h(a)×h(0)=b×h(0),所以h(0)=1。 对于-1∈R-｛0｝,必存在c∈R,使得h(c)=-1, 且h(c+c)=h(c)×h(c)=-1×-1=1,故有c+c=0,即c=0, h(0)=-1, 这与h(0)=1是矛盾,所以h不是双射。 <R-｛0｝,×>和<R,+> 不同构。
同态核
1.定义5-8.4:设f是由群<G,*>到群<G’,*>的同态,e’是

高等工程数学课件--2.1 代数运算,同态与同构

高等工程数学课件--2.1 代数运算,同态与同构
(2) 若 对 适合右分配律，则 对 适合右分配律。
(1) 若 对 适合左分配律，则 对 适合左分配律；
定理2.1.4 设 A, B, C 是三个非空集合， ，，
分别是A, B, C 上的代数运算。 如果是A到B 的同构映射， 是B到C的同构映射， 则 (1) 是B到A的同构映射；
a b b a e,
则称 b 为 a 的逆元， 记为 b a 1 。 半群G上的代数运算 一般用通常的乘法符号“ . ”表示，并且 通常省略。
定理2.2.1 设G是一个半群，则
（1）如果G有单位元，则单位元是唯一的； （2）如果 a G有逆元a ，则 a 是唯一的，并且 (a 1 ) 1 a ； （3）如果 a, b G 是可逆的，则 ab 也是可逆的，并且
(2) Ker ( )是G的子群； (3) 是一个单映射 Ker ( ) {e}.
定理2.2.11 设 G , G, G是三个群，如果是G到
G的同构映射， 是G到G的同构映射， 则 (1) 是G到G的同构映射； (2) 是G到G的同构映射 。
－1
2.2.4
(2)
A A到C的映射称为A到C的代数运算；
A对代数运算是封闭的。
(3) A A 到A的映射称为A的代数运算或A的二元运算，也称集合
一个代数运算是一个特殊的映射。如果有A 与B到C的一个代数运算记为“ ”, 则由定义，对 任意 A, b B ，经过代数运算 得唯一的 C ， c a 即 :(a,b)→c，记为c=a b . 例2.1.1 R
第2章 代数结构与线性空间
2.1 代数运算，同态与同构
2.2 群 2.3 环与域 2.4 线性空间
2.5 模

19代数学基础(3)同态基本定理PPT课件

19代数学基础(3)同态基本定理PPT课件

16
循环群的结构
定理: 设G是由a生成的循环群, 则 1.若ord(a)=∞, 则G≌(Z, +); 2.若ord(a)=n, 则G≌(Zn, +).
17
循环群的性质
• 循环群的子群为循环群; • 设G=<a>是一个m阶循环群, k是一个正整数,
则ord(ak) = m/(k,m).
提问与解答环节
1
群同态基本定理
2
群的同态与同构
• 如果存在群G到G’的映射f, 满足 f(ab)=f(a)f(b), 那么称f是G到G’的同态映射;
• 如果f是一个满射, 那么称G和G’同态, 记为G ～ G’;
• 如果f是一个双射, 那么称G和G’同构, 记为G ≌G’.
3
能否对一般的子群定义商群?
• H≤G • 定义: (aH)(bH) = (ab)H ?
19
• 群G/N称为G关于其正规子群N的商群.
9
群同态基本定理
• 定理: 设f: G1→G2是群的满同态映射, 记 Ker(f) = {a∈G1|f(a)=e, e为G2的单位元}, 那么:
1.Ker(f)⊳G1; 2.G1/Ker(f) ≌ G2.
10
例子
• f: Z →Zn, f(a) = a modn • ker(f)=nZ • Z/nZ≌ Zn
11
循环群
12
循环群
• 定义: 群G是称为一个循环群, 如果存在a∈G, 对任意的b ∈G, 都存在整数i , 使得b=ai. a称 为G的生成元. G称为由a生成的群.
• 记为G=<a>
13
例子(1)
• Zn • Zn=<1>
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很明显，对于任意a,b∈I，有 f(ab)=f(a)⊙f(b)
因此，映射f是由<I, >到<B, ⊙>的一个同态。
4
例1 告诉我们， 在<I , >中研究运算结果的正、负、零的特 征就等于在<B , ⊙>中的运算特征 可以说，代数系统<B , ⊙>描述了<I , >中运 算结果的这些基本特征。 而这正是研究两个代数系统之间是否存在同 态的重要意义。 注：由一个代数系统到另一个代数系统可能 存在着多于一个的同态。
则称f为由<A,★>到<B,*>的一个同态映射 (homomorphism mapping)，称<A,★>同 态于<B,*>,记作A~B。
把<f(A),*>称为<A,★>的一个同态象(image under homomorphism)。
其中f(A)={x|x=f(a), a∈A} B
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例1 考察代数系统<I, >，这里I是整数集， 是普通 的乘法运算。如果我们对运算只感兴趣于正、负、
零之间的特征区别，那么代数系统<I, >中运算 结果的特征就可以用另一个代数系统<B, ⊙>的运 算结果来描述，其中B={正，负，零}，是定义在 B上的二元运算，如表5-8.1所示。
表5-8.1
⊙
正负 零
正 正负 零 负 负正 零 零 零零 零
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作映射f: I→B如下： 正 若n>0
f(n)= 负 若n<0 零 若n=0
f(x+y)=5x+y=5x ·5y=f(x) ·f(y) f为入射。因为x1≠x2，则5x1 ≠5x2 , 即f(x1)≠f(x2)。 又因为5x>0 , 所以f 不是满射。
例3.设f: N→Nk定义为对任意的x∈N，f(x)=x mod k， 那么，f是从<N,+>到<Nk,+k>的一个满同态。
f(x+y)=(x+y) mod k =(x mod k) +k (y mod k) = f(x) +k f(y); 又f是满射。 而f(1)=f(K+1)=1 ∈ Nk, f 不是入射。
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例4. 设H={x|x=dn, d是某一个正整数， n∈I}，定义映射f:I→H为对任意n∈I， f(n)=dn，那么，f是<I,+>到<H,+>的一个 同构。所以I≌H。
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证明：(a) 设<A,★>是半群且<B,*>是一个 代数系统，如果f是由<A,★>到<B,*>的一 个同态映射，则f(A)B。
对于任意的a,b∈f(A)，必有x,y∈A 使得 f(x)=a, f(y)=b 在A中，必有z=x★y，所以 a*b=f(x)*f(y)=f(x★y)=f(z)∈f(A)
因此，同构关系是等价关系。
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定理5-8.2： 设f 是从代数系统<A,★>到代数系统 <B,*>的同态映射。
（a） 如果<A,★>是半群，那么在f 作用下，同态 象<f(A),*>也是半群。
（b）如果<A,★>是独异点，那么在f 作用下，同 态象<f(A),*>也是独异点。
（c）如果<A,★>是群，那么在f 作用下，同态象 <f(A),*>也是群。
a
abcd
b
bad
* αβγδ
α
αβγδ
β
βααγ
γ
βδδγ
δ
αβγδ
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证明：考察映射f, 使得f(a)=α，f(b)=β，f(c)=γ， f(d)=δ
显然，f是一个从A到B的双射，由表5-8.2和表5-8.3， 容易验证f是由<A,★>到<B,*>的一个同态。因此， <A,★>和<B,*>是同构的。
f(m+n)=d(m+n)=dm+dn=f(m)+f(n); 又f是双射。
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例题1： 设A={a,b,c,d}，在A上定义一个二元运
算如表5-8.2所示。又设B={α,β,γ,δ},在B上定
义一个二元运算如表5-8.3所示。证明<A,★>
和<B,*>是同构的。
表 5-8.2
表 5-8.3
★
abcd
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最后，*在f(A)上是可结合的，这是因为：对于任 意的a,b,c∈f(A),必有x,y,z∈A,使得 f(x)=a, f(y)=b,f(z)=c
最后，关于传递性，如果f是由<A,★>到 <B,*>的同构映射，g是由<B,*>到<C,Δ>的 同构映射，那么g。f就是<A,★>到<C,Δ> 的同构映射。
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这是因为对于a,bA, 有f(a★b)=f(a)*f(b), 而c,dB, 有g(c*d)=g(c)Δg(d)；所以 a,bA, 有g。f(a★b)=g(f(a★b))=g(f(a) *f(b))=g(f(a))Δg(f(b))= g。f(a)Δg。f(b) 。
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定义5-8.2： 设f是由<A,★>到<B,*>的一个 同态，如果f是从A到B的一个满射，则f 称为满同态；如果f是从A到B的一个入射， 则f 称为单一同态；如果f是从A到B的一 个双射，则f 称为同构映射，并称<A,★> 和<B,*>是同构的(isomorphism)，记作 A≌B。
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例2.设f: R→R定义为对任意x∈R，f(x)=5x，那么，f 是从<R,+>到<R,·>的一个单一同态。
5-8 同态与同构
这一节我们将讨论两个代数系统之间的 联系。着重研究两个代数系统之间的同态 关系和同构关系。
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定义5-8.1： 设<A,★>和<B,*>是两个代数系 统，★和*分别是A和B上的二元（n元）运 算，设f是从A到B的一个映射，使得对任 意的a1,a2∈A, 有f(a1★a2)=f(a1)*f(a2)，
如果考察映射g, 使得g(a)=δ，g(b)=γ，g(c)=β， g(d)=α那么，g也是由<A,★>到<B,*>的一个同构。
由此例我们知道，当两个代数系统是同构的话，它 们之间的同构映射可以是不唯一的。
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定义5-8.3： 设<A,★>是一个代数系统， 如果f是由<A,★>到<A,★>的同态，则称f 为自同态。
如果g是由<A,★>到<A,★>的同构，则称g 为自同构。
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定理5-8.1：设G是代数系统的集合，则G中 代数系统之间的同构关系是等价关系。
证明： 因为任何一个代数系统<A,★>要以通 过恒等映射与它自身同构，即自反性成立。
关于对称性，设<A,★>≌<B,*>且有对应的同 构映射f, 因为f 的逆是由<B,*>到<A,★>的 同构映射，即<B,*>≌<A,★>。