黑龙江省大庆实验中学高二数学上学期开学考试试题 理

大庆实验中学2016—2017学年度上学期开学考试高二数学(理)试题第Ⅰ卷(选择题 共60分)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若不等式02≤+-b ax x 的解集是],3,2[则02≤++a bx x 的解集是（ ）]2,3.[--A ]5,1.[B ]1,5.[--C ]21,31.[D2. 设,a b ∈R ,若||0b a ->,则下列不等式中正确的是（ ）A ．220a b ->B ．330a b +<C ．0a b ->D ． 0a b +>3. 若x ，y 满足约束条件0201x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值为( ).A ．4B ．3C ．2D ．254. 已知数列{}n a 是等差数列，且6,245104==+a a a ，则数列{}n a 的公差为 （ ）A.1B.2C.3D.45. 已知0,0,a b >>且2是2a 与b 的等差中项,则1ab 的最小值为（ ）A ．14 B. 12 C ．2 D ．46. 在所给的四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0中，能推出1a <1b 成立的有( )个．A ．1B ．2C ．3D ．47. 设l 是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ∥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β8.若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足22()4a b c +-=，且030=C ，则ab 的值为（ ）A ．43B ．843-C ．1D ． 239. 已知直线1l 过点()2,1A -和()3,2B ，直线2l 的倾斜角是直线1l 倾斜角的2倍，则2l 的斜率( )A ．6-B ．35-C ．34D ．34- 10.设x ,y 满足约束条件231+1x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩,若目标函数=+(>0,>0)z ax by a b 的最小值为2,则ab 的最大值为（ ）A ．1B ．12C ．14D ．1611. 棱长为2的正方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．20 B.229 C ．18 D ．29 12. 数列}{n a 的通项公式是π3cosn n a n =，前n 项和为n S ，则2017S =（ ） A.1008 B.22017 C.2017 D.24033第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 某直线过点)2,1(且在y x ,轴的截距相同，则该直线的方程为______14. 在ABC ∆中，60,3B AC ==BC AB +的最大值为15. 已知y x ,为正数,则yx y y x x 22+++的最大值为______. 16．三棱锥BCD A -中，BCD ABC 平面平面⊥，CD BC CD BC ⊥==.,1，ABC ∆是等边三角形，则三棱锥BCD A -的外接球的表面积是______三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. (本小题满分10分) （Ⅰ）求平行于直线34120x y +-=,且与它的距离是7的直线的方程;（Ⅱ）求垂直于直线350x y +-=, 且与点()1,0P -的距离是1053的直线的方程.18. (本小题满分12分) 已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边， cos 3sin 0a C a C b c +--=.（1）求A （2）若2a =，ABC ∆的面积为3；求,b c .19.(本小题满分12分)如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，,1==AD AB 21=AA ，M 是棱1CC 的中点，（1）求异面直线M A 1和11D C 所成的角的正切值；（2）证明：平面ABM ⊥平面M B A 1120．(本小题满分12分) 设等差数列}{n a 的前n 项和22n S n =，在数列}{n b 中，11=b ，)(3*1N n b b nn ∈=+ （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（2）设n n n b a c =，求数列}{n c 前n 项和n T21. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD 是正三角形，PD ⊥CD ，E 为PC 的中点．（Ⅰ）求证：EDB PA 平面||；（Ⅱ）求直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值．22.(本小题满分12分)已知数列}{n a 是不单调递减的等比数列，,231=a n S 是前n 项和，满足 445533,,a S a S a S +++成等差数列。

大庆实验中学2019-2020学年度下学期开学考试数学（理）试题一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.设a ，b ，c 为实数，且a ＞b ＞0，则下列不等式正确的是( )A.1a <1b B ．ac 2＜bc 2 C.b a >abD ．a 2＜ab 2.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A.19B.13 C ．1 D.72 3.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥nC ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αD ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝4，S 9＝72，则a 10＝( ) A ．20 B ．23 C ．24 D ．285.如图，O 是坐标原点，M ，N 是单位圆上的两点，且分别在第一和第三象限，则|OM →＋ON →|的范围为( )A ．[0，2)B ．[0，2)C ．[1，2)D ．[1，2)6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( ) A ．192里 B ．96里 C ．48里 D ．24里7.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对8.若三角形ABC 中，sin(A ＋B )sin(A －B )＝sin 2C ，则此三角形的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 9.已知函数f (x )＝3sin(π－x )cos(－x )＋sin(π＋x )cos 2x π⎛⎫-⎪⎝⎭图象上的一个最低点为A ，离A 最近的两个最高点分别为B 与C ，则AB →·AC →＝( )A ．9＋π29B ．9－π29C ．4＋π24D ．4－π2410.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B.π3C.π4D.π6 11.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )A.B.C.D.12.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)06,2πωφ⎛⎫<<< ⎪⎝⎭的图象经过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭和2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭.若函 数g (x )＝f (x )－m 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有唯一零点，则m 的取值范围是( ) A ．(－1，1] B ．{－1}∪11,22⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．[－2，1)D ．{－2}∪(－1，1]二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知x >2，求f (x )＝2x ＋1x －2的最小值________．14.过点A(4，1)的圆C 与直线1x y -=相切于点(2,1)B ，则圆C 的方程为____． 15.记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________． 16.在底半径为2，母线长为4柱的表面积__________.三．解答题（本题共6道大题，共70分）17.（本题10分）已知向量()()sin ,2,cos ,1a b θθ=-=． （1）若//a b ，求tan θ； （2）当,123ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()22f a b a b θ=--的最值. 18.（本题12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的前n 项和为,n T 且11221,1,2a b a b =-=+=.(1)若335,a b +=求{}n b 的通项公式； (2)若321,T =求3S .19.（本题12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边， S 是ABC ∆的面积， ()224S a b c =--，且6b c +=.（1）求角A 的大小；（2）求ABC ∆的面积S 的最大值.20.（本题12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S 14与()21n a +的等比中项。

2015-2016学年黑龙江省大庆实验中学高二（上）开学数学试卷（理科）一．选择题（共12小题，每题5分）1．（5分）下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行2．（5分）过点A（1，﹣1）、B（﹣1，1）且圆心在直线x+y﹣2＝0上的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2＝4B．（x+3）2+（y﹣1）2＝4C．（x+1）2+（y+1）2＝4D．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝43．（5分）在△ABC中，a2＝b2+c2+bc，则∠A等于（）A．60°B．45°C．120°D．150°4．（5分）设公比为q（q＞0）的等比数列{a n}的前n项和S n．若S2＝3a2+2，S4＝3a4+2，则q＝（）A．B．C．2D．35．（5分）在△ABC中，若＝，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形6．（5分）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n＝（）时，{a n}的前n 项和最大．A．8B．9C．10D．117．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．6B．8C．10D．128．（5分）已知点A（﹣3，﹣4），B（6，3）到直线l：ax+y+1＝0的距离相等，则实数a 的值等于（）A．B．﹣C．﹣或﹣D．或9．（5分）已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2）直线l过点P（1，1），且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）已知点A是圆C：x2+y2+ax+4y+30＝0上任意一点，A关于直线x+2y﹣1＝0的对称点也在圆C上，则实数a的值（）A．10B．﹣10C．4D．﹣411．（5分）已知一个正四面体纸盒的棱长为，若在该正四面体纸盒内放一个正方体，使正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为（）A．1B．C．D．12．（5分）数列{a n}满足a n+1＝，若a1＝，则a2015＝（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题，每题5分）13．（5分）已知正数x，y满足x+2y＝2，则的最小值为．14．（5分）圆x2+y2＝1和圆（x+4）2+（y﹣a）2＝25外切，则常数a的值为．15．（5分）已知实数x，y满足，则|3x+4y﹣2|的取值范围是．16．（5分）如图，等腰梯形ABCD中，AB＝AD＝DC＝BC＝1，现将三角形ACD沿AC 向上折起，满足平面ABC⊥平面ACD，则三棱锥D﹣ABC的外接球的表面积为．三．解答题（17题10分，其它题12分，写出必要的文字说明）17．（10分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2（a2+b2﹣c2）＝3ab；（1）求；（2）若c＝2，求△ABC面积的最大值．18．（12分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，P A⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PC的中点，AB＝AD＝1．（1）求证：EF∥平面P AD（2）若∠PDA＝，求直线AC与平面PCD所成角的正弦值．19．（12分）当a＜0时，解不等式ax2﹣（2a+2）x+4＞0．20．（12分）正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝（）2．（Ⅰ）证明数列{a n}为等差数列并求其通项公式；（Ⅱ）设c n＝，数列{c n}的前n项和为T n，证明：≤T n＜．21．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，E，F分别是CC1，BC的中点．（Ⅰ）求证：B1F⊥平面AEF；（Ⅱ）求锐二面角B1﹣AE﹣F的余弦值．22．（12分）已知数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝（n∈N*）．（1）求证：{+}是等比数列，并求{a n}的通项公式a n；（2）数列{b n}满足b n＝（3n﹣1）••a n，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）*恒成立，求λ的取值范围．nλ＜Tn+对一切n∈N2015-2016学年黑龙江省大庆实验中学高二（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，每题5分）1．【解答】解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；C、三角形可以确定一个平面，若三角形两边平行于一个平面，而它所在的平面与这个平面平行，故第三边平行于这个平面，故C正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．故选：C．2．【解答】解：圆心一定在AB的中垂线上，AB的中垂线方程是y＝x，排除A，B选项；圆心在直线x+y﹣2＝0上验证D选项，不成立．故选：D．3．【解答】解：∵由余弦定理，得a2＝b2+c2﹣2bc cos A又a2＝b2+c2+bc，∴cos A＝﹣又∵A是三角形的内角，∴A＝150°，故选：D．4．【解答】解：∵S2＝3a2+2，S4＝3a4+2，∴a1+a1q＝3a1q+2，＝，两式相减可得：2q2﹣q﹣3＝0，q＞0，解得q＝．故选：A．5．【解答】解：由正弦定理得：＝＝，∴sin A cos A＝sin B cos B，即sin2A＝sin2B，∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A+2B＝180°，即A＝B或A+B＝90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选：D．6．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，∴a7+a8+a9＝3a8＞0，即a8＞0，又∵a7+a10＜0，∴a7+a10＝a8+a9＜0，∴a9＜0，∴当n＝8时，数列{a n}的前n项和最大，故选：A．7．【解答】解：由几何体的三视图知：该几何体是一个长方体在左边挖去一个三棱柱再拼接到右边而得到的，由俯视图得长方体的长、宽分别是0.6+2.4＝3和2，由正视图知长方体的高为1+1＝2，∴长方体的体积V＝3×2×2＝12．故选：D．8．【解答】解：由题意知点A和点B到直线l的距离相等得到＝，化简得6a+4＝﹣3a﹣3或6a+4＝3a+3解得a＝﹣或a＝﹣．故选：C．9．【解答】解：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足k≥k PB或k≤k P A，即k≥＝，或k≤＝﹣4，∴k≥，或k≤﹣4，即直线的斜率的取值范围是k≥或k≤﹣4．故选：A．10．【解答】解：点A是圆C：x2+y2+ax+4y+30＝0上任意一点，A关于直线x+2y﹣1＝0的对称点也在圆C上，说明直线经过圆的圆心，圆的圆心坐标（﹣，﹣2）代入直线方程x+2y﹣1＝0，得﹣﹣4﹣1＝0，所以a＝﹣10故选：B．11．【解答】解：设球的半径为：r，由正四面体的体积得：4××r××（）2＝××（）2×，所以r＝1，设正方体的最大棱长为a，∴3a2＝22，∴a＝．故选：B．12．【解答】解：由递推数列可得，a1＝，a2＝2a1﹣1＝2×﹣1＝，a3＝2a2＝2×＝，a4＝2a3＝2×＝，a5＝2a4﹣1＝2×﹣1＝，…∴a5＝a1，即a n+4＝a n，则数列{a n}是周期为4的周期数列，则a2015＝a503×4+3＝a3＝，故选：B．二．填空题（共4小题，每题5分）13．【解答】解：∵正数x，y满足x+2y＝2，∴＝＝＝9，当且仅当x＝4y＝时取等号．∴的最小值为9．故答案为：9．14．【解答】解：圆x2+y2＝1，圆心为O（0，0），半径r＝1．圆（x+4）2+（y﹣a）2＝25，圆心O′（﹣4，a），半径R＝5．∵两圆外切，∴|OO′|＝R+r．∴，解得．故答案为．15．【解答】解：由约束条件作出可行域，联立，解得C（﹣1，﹣1），又B（0，1）化目标函数z＝3x+4y﹣2，得，由图可知，当直线过B时，z有最大值为2；当直线过C时，z有最小值为﹣9．∴|3x+4y﹣2|的取值范围是[0，9]．故答案为：[0，9]．16．【解答】解：在等腰梯形ABCD中，∠D＝180°﹣∠B，∵AB＝AD＝DC＝BC＝1，故BC＝2，则AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠B＝AD2+CD2﹣2AD•CD•cos（180°﹣∠B），即5﹣4cos∠B＝2+2cos∠B，解得：cos∠B＝，故B＝60°，则AC＝，AB⊥AC，则将三角形ACD沿AC向上折起后，三棱锥D﹣ABC的外接球，即三棱锥B﹣ACD的外接球，相当于以△ACD为底面，以AB为高的棱柱的外接球；由△ACD的外接圆半径r＝1，球心到平面△ACD的距离d＝AB＝，故外接球的半径R满足：R2＝r2+d2＝，故外接球的表面积S＝4πR2＝5π，故答案为：5π．三．解答题（17题10分，其它题12分，写出必要的文字说明）17．【解答】解：（1）∵a2+b2﹣c2＝ab，∴cos C＝＝，∵A+B＝π﹣C，∴＝＝＝；（2）∵a2+b2﹣c2＝ab，且c＝2，∴a2+b2﹣4＝ab，又a2+b2≥2ab，∴ab≥2ab﹣4，∴ab≤8，∵cos C＝，∴sin C＝＝＝，∴S△ABC＝ab sin C≤，当且仅当a＝b＝2时，△ABC面积取最大值，最大值为．18．【解答】（1）证明：取PD中点M，连结AM，FM，∵MF∥CD，MF＝CD，AE∥CD，AE＝CD，∴MF∥AE，MF＝AE，∴四边形AEFM为平行四边形所以AM∥EF，AM⊂平面P AD，∴EF∥平面P AD（2）解：连结AM，CM，由条件知AM⊥PD，CD⊥平面P AD，∴CD⊥AM，PD∩CD＝D所以AM⊥平面PCD，∴∠ACM就是直线AC与平面PCD所成的角经计算得AM＝，∴sin∠ACM＝．19．【解答】解：不等式ax2﹣（2a+2）x+4＞0可化为（ax﹣2）（x﹣2）＞0，∵a＜0，∴（x﹣）（x﹣2）＜0；又∵＜2，解不等式得＜x＜2；∴原不等式的解集为{x|＜x＜2}．20．【解答】（Ⅰ）证明：由，得，解得a1＝1，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝，整理，得（a n﹣a n﹣1﹣2）（a n+a n﹣1）＝0，又数列{a n}为正项数列，∴a n﹣a n﹣1＝2，n≥2．∴{a n}是首项为1公差为2的等差数列，∴a n＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1．（Ⅱ）c n＝＝＝（），∴T n＝＝＝．∵n∈N*，∴T n＝，T n﹣T n﹣1＝＝＞0，∴数列{T n}是一个递增数列，∴．综上所述：．21．【解答】（1）证明：由条件知AF⊥平面CCBB1，令AC＝1∴AF⊥B1F，经计算得，∴，即B1F⊥EF，又因为EF∩AF＝F，∴B1F⊥平面AEF；（2）过F作FM⊥AE，连结B1M，由已知得EA⊥MF，EA⊥B1F，∴EA⊥平面B1MF∴EA⊥B1M，∴∠B1MF就是二面角B1﹣AE﹣F的平面角经计算得，．22．【解答】解：（1）由数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝（n∈N*），可得＝1+．∴，∴{}是首项为，公比为3的等比数列，∴，化为．（2）由（1）可知：＝，T n＝+…+．…++，两式相减得﹣＝＝．∴．∴（﹣1）n•λ＜+＝4﹣．若n为偶数，则，∴λ＜3．若n为奇数，则，∴﹣λ＜2，解得λ＞﹣2．综上可得﹣2＜λ＜3．。

一、黑龙江省大庆实验中学高二上学期开学
考试数学（理）试题（图片版）
二、选择题ADACD AAACC CA
二、填空题13．-2或 4 14.
15．8 16.
三、解答题
17．解：（1）当时，
（2）因为，函数在上是增函数，
所以，
故，则
18．（1）
∴当即时，
∴，此时
∴的最小正周期为（2）由，
可得：，
∴的单调递增区间为，
19. (Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.
20.（1）.
（2）由，c=
所以
，最大值为6
21. （1）在△O1AC中，OE是△O1AC的中位线，∴OE∥O1C，∴OE∥O1BC （2）做OF⊥BC于F，∴OE∥O1BC，∵BC⊥面O1OF，∴面O1BC⊥面O1O F，交线O1F.
过O作OH⊥O1F于H，则OH是点O到面O1BC的距离，
∴OH=∴点E到面O1BC的距离等于
22.解：（1）当点坐标为时，直线的斜率为，
因为与垂直，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即．
（2）①当直线与轴垂直时，，
所以四边形面积．
②当直线与轴不垂直时，设直线方程为，即，
则直线方程为，即
点到直线的距离为，
所以，
点到直线的距离为，所以，则四边形面积，
令（当时四边形不存在），所以，
故四边形面积的最大值为．。

黑龙江省大庆实验中学高二数学上学期开学考试 理【会员独享】数学（理科）试题一、选择题（每题5分，共60分）1. 一条直线与平面α所成的角为300，则它和平面α内所有直线所成的角中最小的角是（ ） A 、300 B 、600 C 、900 D 、15002. ABC ∆中，∠A 、∠B 的对边分别为a ，b ，且∠A=60°，4,6==b a ，那么满足条件的ABC ∆ ( )A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定 3. 过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是（ ）A ． 052=-+y xB ． 042=--y xC 073=-+y x D ． 053=-+y x 4. 已知数列}{n a 满足: )(32,1*11N n a a a n n ∈+==+，则11a =（ ）A.210-3B.211-3C.212-3D.213-3 5. 21sin 822cos8--+等于 （ ）A.2sin 44cos 4B.2sin 44cos 4C.2sin 4D.4cos 42sin 4-----6. 函数1(0,1)x y a a a a=->≠的图象可能是（ ）7. 若,,0a b c >，且3=4=6abc，则（ ） A. 111=+c a b B.221=+c a b C.122=+c a b D.212=+c a b8. 已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．143 B ．173 C ．203D ．8 9.已知c b a ,,成等比数列，c y b b x a ,,,,和分别成等差数列，且0≠xy ，则ycx a +的值等于（ ）A.1B. 2C. 3D. 410. ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a =，CA b =，0a b =，||1a =，||2b =，则AD =（ ）A.1133a b - B.2233a b - C.3355a b - D.4455a b - 11. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n+++=，称n T 为数列1a ，2a ，…，n a 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，……，502a 的“理想数”为2012，那么数列2，1a ，2a ，…，502a 的“理想数”为（ ）A ．2010B ．2011C ．2012D ．201312. 连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB CD，的长度分别等于M N ，分别为AB CD ，的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个结论：①弦AB CD ，可能相交于点M ；②弦AB CD ，可能相交于点N ； ③MN 的最大值为5； ④MN 的最小值为1． 其中正确结论的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（每题5分，共20分） 13.若4log <1(05aa >，且1)a ≠，则a 的取值范围是____________． 14. 设实数x y ，满足20240230x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪-⎩≤，≥，≤，，则xz y =的最小值是__________． 15. 在ΔABC 中，53cos =A ，135sin =B ，则C cos 的值为________． 16. 已知对于任意的a ∈R ，关于x 的方程14204xxa ab +---+=总有实根，则实数b 的取值范围是 ．三、解答题（满分70分）17.（本题满分10分）在ABC ∆中，已知角A B C 、、所对的边分别是a b c 、、，边72c =，且tan tan tan A B A B +=⋅，又ABC ∆的面积为ABC S ∆=，求a b +的值.18.（本题满分12分）已知函数()sin()(,0,0)2f x A x x R πωϕωω=+∈><<的部分图像如图所示.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求函数()()()1212g x f x f x ππ=--+的单调递增区间.19. （本题满分12分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=.（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．20.（本题满分12分）如图，ΔABC 中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC 外一点P 在平面ABC 内的射影是AB 中点M ，二面角P —AC —B 的大小为45°. （I ）求二面角P —BC —A 的正切值； （II ）求二面角C —PB —A 的正切值.21. （本题满分12分）有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P 和Q (万元)，它们与投入资金x (万元)的关系有经验公式:P =51x ，Q=53x .今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少,能获得的最大利润为多少？CDPMB A22. （本题满分12分） 已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线41:=-32l y x ，被圆M，且圆心M 在直线l 的下方． （I ）求圆M 的方程；（II ）设(0,),(0,+6)(-5-2)A t B t t ≤≤，若圆M 是ABC ∆的内切圆，求△ABC ∆的面积S 的最大值和最小值.一、选择题 ACACD DBBBD AC二、填空题 13. 4(0,)(1,+)5∞ 14. 23 15. 1665- 16. 1[,+)4∞ 17. 解答：tan tan 1tan tan A BA B+-•＝ 3 ，即tan(A+B)= 3∴tan(π－C)= 3 , ∴－tanC= 3 ,∴C=23π又△ABC 的面积为S △ABC =332 ，∴12 absinC=332 即12 ab ×32 =332, ∴ab=6 又由余弦定理可得c 2=a 2+b 2－2abcosC∴(72 )2= a 2+b 2－2abcos 23π∴(72 )2= a 2+b 2+ab=(a+b)2－ab ∴(a+b)2=734,∵a+b>0, ∴a+b=218.【解析】（Ⅰ）由题设图像知，周期11522(),21212T Tππππω=-=∴==. 因为点5(,0)12π在函数图像上，所以55sin(2)0,sin()0126A ππϕϕ⨯+=+=即. 又55450,,=26636πππππϕϕϕπ<<∴<+<+从而，即=6πϕ.又点0,1（）在函数图像上，所以sin1,26A A π==，故函数f （x ）的解析式为()2sin(2).6f x x π=+（Ⅱ）()2sin 22sin 2126126g x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2sin 22sin(2)3x x π=-+12sin 22(sin 22)22x x x =-+sin 22x x =- 2sin(2),3x π=-由222,232k x k πππππ-≤-≤+得5,.1212k x k k z ππππ-≤≤+∈ ()g x ∴的单调递增区间是5,().1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦19. （Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且 解得2d =，2q =．所以1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==．（Ⅱ）1212n n n a n b --=．122135232112222n n n n n S ----=+++++，① 3252321223222n n n n n S ----=+++++，② ②－①得22122221222222n n n n S ---=+++++-， 221111212212222n n n ---⎛⎫=+⨯++++- ⎪⎝⎭1111212221212n n n ----=+⨯--12362n n -+=-． 20. （I ）25，(II)5321. 解:设对甲种商品投资x 万元，获总利润为y 万元，则对乙种商品的投资为(3-x )万元，于是y =51x +53x -3(0≤x ≤3).令t =x -3 (0≤t ≤3)，则x =3-t 2,∴y =51 (3-t 2)+ 53t =51 (3+3t -t 2) =-51 (t -23)2+2021,t ∈［0,3］. ∴当t =23时，y max =2021=1.05(万元)； 由t =23可求得x =0.75(万元)， 3-x =2.25(万元),∴为了获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，获得最高利润1.05万元.22.解：41:=-32l y x ,即34-3-=02x y .设圆心(,0)M a，弦长的一半为2，半径=1r ， 故M 到直线l的距离12d，又d ，所以34-12=52a ，解得=1a 或1=-4a ，即1(1,0)(-,0)4M 或.又因为M 在l 下方，所以(1,0)M ,即圆22:(1)+=1M x y -.（II ）设直线AC 、BC 的斜率分别为12k k 、，易知12>k k ，即12->0k k ，则 直线AC 的方程为1=+y k x t ，直线BC 的方程为2=++6y k x t ，联立解得点C 横坐标为126-k k ， 因为+6-=6AB t t =，所以△ABC 的面积1212161862--S k k k k =⨯⨯=. ∵AC 、BC 与圆M 相切, ∴圆心M 到AC的距离1=1d r ，解得211-=2t k t ， 圆心M 到BC的距离2=1d r ，解得221-(+6)=2(+6)t k t . 所以21223(61)-=6t t k k t t +++，2226(6)1==6(1-)6161t t S t t t t +++++ ∵-5≤t≤-2 ∴-2≤t+3≤1 ∴0≤(t+3)²≤4∴-8≤t²+6t+1＝ (t+3)²-8≤-4 ∴S(max)=6(1 + 1/4 )=15/2S(min)=6(1+ 1/8)=27/4。

一、黑龙江省大庆实验中学高二上学期开学
考试数学（文）试题（图片版）
二、选择题ADCCD AADCC CA
二、填空题13．-2或 4 14.
15．8 16.
三、解答题
17．解：（1）当时，
（2）因为，函数在上是增函数，
所以，
故，则
18．（1）
∴当即时，
∴，此时
∴的最小正周期为（2）由，
可得：，
∴的单调递增区间为，
19. (Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.
20.（1）.
（2）由，c=
所以
，最大值为6
21. （1）在△O1AC中，OE是△O1AC的中位线，∴OE∥O1C，∴OE∥O1BC （2）做OF⊥BC于F，∴OE∥O1BC，∵BC⊥面O1OF，∴面O1BC⊥面O1O F，交线O1F.
过O作OH⊥O1F于H，则OH是点O到面O1BC的距离，
∴OH=∴点E到面O1BC的距离等于
22.解：（1）当点坐标为时，直线的斜率为，
因为与垂直，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即．
（2）①当直线与轴垂直时，，
所以四边形面积．
②当直线与轴不垂直时，设直线方程为，即，
则直线方程为，即
点到直线的距离为，
所以，
点到直线的距离为，所以，则四边形面积，
令（当时四边形不存在），所以，
故四边形面积的最大值为．。

2019-2020学年黑龙江省大庆实验中学高二上学期开学考试数学（理）试题一、单选题1．设,,a b c 为实数，且0a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A ．11a b< B ．22ac bc <C ．b a a b> D ．2a ab <【答案】A【解析】对于A 选项，通过反比例函数的单调性可说明问题；B 可举出特例；C 原式等价于22b a >不正确；D 等价于a<b ，不合题意. 【详解】设,,a b c 为实数，且0a b >>，构造函数1y x =在x>0时是减函数，故11a b<,故A 正确；当c=0时，22ac bc =，故B 不正确；C. b aa b>等价于22b a >，不合题意；D.2a ab <等价于a<b,不合题意. 故答案为A. 【点睛】这个题目考查了不等式的大小关系的判断，一般比较大小的题目，可以通过不等式的性质来判断大小，也可通过代特值，排除选项；也可构造函数，通过函数的单调性得到大小关系.2．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若32a b =，则2222sin sin sin B AA-的值为（ ） A ．19B ．13C ．1D ．72【答案】D【解析】根据正弦定理边化角求解即可. 【详解】由正弦定理有22222222sin sin 221sin B A b a b A a a --⎛⎫==- ⎪⎝⎭.又3322b a b a =⇒=, 故297212142b a ⎛⎫-=⨯-= ⎪⎝⎭.故选：D【点睛】本题主要考查了正弦定理边化角的问题,属于基础题.3．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥【答案】B【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确. 【考点】空间点线面位置关系．4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若44a =，972S =，则10a =( ) A ．20 B ．23C ．24D ．28【答案】D【解析】将已知条件转化为1a d ,的形式，列方程组，解方程组求得1a d ,的值，进而求得10a 的值. 【详解】由于数列是等差数列，故41913493672a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得18,4a d =-=，故101983628a a d =+=-+=.故选D.【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的基本量1a d ,、通项公式和前n 项和.基本元的思想是在等差数列中有5个基本量1,,,,n n a d a S n ，利用等差数列的通项公式或前n 项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列1a d ,，进而求得数列其它的一些量的值.5．如图,O 是坐标原点,M ,N 是单位圆上的两点,且分别在第一和第三象限,则|OM ON +u u u u r u u u r|的范围为( )A ．)B ．[0,2)C ．)D ．[1,2) 【答案】A【解析】设OM ON u u u u r u u u r和的夹角为θ，θ∈π,π2⎛⎤⎥⎝⎦，则cosθ∈[﹣1，0），|OM ON +u u u u r u u u r|2=22OM ON +u u u u r u u u r+2·OM ON u u u u r u u u r=2+2cosθ即可． 【详解】设,OM ON u u u u r u u u r的夹角为θ,θ∈π,π2⎛⎤⎥⎝⎦,则cos θ∈[-1,0),|OM ON +u u u u r u u u r|2=22OM ON +u u u u r u u u r+2·OM ON u u u u r u u u r =2+2cos θ∈[0,2),故|OM ON +u u u u r u u u r|的范围为). 答案A 【点睛】本题考查了向量模的取值范围的求解，转化为三角函数求最值，属于基础题．解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底．6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关， 初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为：有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天恰好到达目的地，请问第三天走了（ ） A ．192里 B ．48里C ．24里D ．96里【答案】B【解析】由题意可得每天所走的步数构成公比为12的等比数列，利用等比数列前n 项和公式列方程求出首项，进而可得第三天的步数. 【详解】由题意可知此人每天走的步数构成公比为12的等比数列，∴ 由等比数列的求和公式可得：61112378112a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-，解得：1192a =， ∴22311192()482a a q ==⨯=，故选：B ． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，关键是要理解题目的意思，是基础题. 7．已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125πD ．都不对【答案】B【解析】根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得2252R =，再由球的表面积公式，即可求解． 【详解】设球的半径为R，根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得2R =解得2252R =，所以球的表面积为22544502S R πππ==⨯=球. 故选：B 【点睛】本题主要考查了长方体的外接球的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中熟练应用长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8．若在ABC V 中，()()()2sin sin sin A B A B C +-=，则此三角形的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形【答案】B【解析】因为C A B 、、是三角形的内角，所以有180A B C ︒+=-，即()sin sin A B C +=，再通过三角变换解得cos 0B =，最终得出结果．【详解】()()()2sin sin sin A B A B C +-=，()()()2sin sin sin A B A B A B ⎡⎤+-=+⎣⎦， ()()()2sin sin sin 0A B A B A B ⎡⎤+-+-=⎣⎦， ()()()sin sin sin 0A B A B A B ⎡⎤⎡⎤++--=⎣⎦⎣⎦， ()sin sin cos 0A B A B ⎡⎤+=⎣⎦，因为()sin A B +与sin A 不为0，所以cos 0B =， 即90B ︒=，故选B ． 【点睛】本题考察的是对于解三角形与三角恒等变换的掌握，需要注意的是()()()2sin sin sin 0A B A B A B ⎡⎤+-+-=⎣⎦中的()sin A B +不可以直接消去，要考虑到()sin 0A B +=的情况．9．已知函数f (x )sin(π-x )cos(-x )+sin(π+x )cos π-2x ⎛⎫⎪⎝⎭图象上的一个最低点为A ,离A 最近的两个最高点分别为B 与C ,则·AB AC u u u r u u u r=( )A ．9+2π9B ．9-2π9 C ．4+2π4D ．4-2π4【答案】D【解析】由三角函数公式化简可得f （x ）=sin （2x+π6）﹣12，结合正弦函数图像特点可得A 、B 、C 的坐标，可得向量的坐标，计算可得． 【详解】f (x )sin x cos x-sin 2x=2·sin 2x-1-cos22x2=x+12cos 2x-12=sin π1262x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭,因此f (x )最大值为12,最小值为-32. 设A 03,-2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则B 0π1-,22x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,C 0π1,22x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭, 于是ππ-,2,,222AB AC ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ,故·AB AC u u u r u u u r =4-2π4.故答案为D. 【点睛】本题考查三角函数恒等变换，涉及图象的性质和向量的数量积的运算，属基础题．平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=v v v v ，二是1212a b x x y y ⋅=+vv ，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， ·cos ·a b a b θ=v v v v （此时·a b v v 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a v 在b v 上的投影是a b b vv v ⋅；（3）,a b v v 向量垂直则0a b ⋅=v v ;(4)求向量ma nb+v v 的模（平方后需求a b ⋅v v ）.10．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】C【解析】分析：利用面积公式12ABC S absinC =V 和余弦定理2222a b c abcosC +-=进行计算可得。

2017-2018学年黑龙江省大庆实验中学高二（上）开学数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．若集合，集合S={x|y=lg（x﹣1）}，则下列各式中正确的是（）A．M∪S=MB．M∪S=S C．M=S D．M∩S=∅2．下列说法正确的是（）A．若，则B．若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则C．已知m，n是空间两条不同的直线，α，β，γ是空间三个不同的平面，若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n则α∥βD．已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，若A1B2=A2B1，则l1∥l23．已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P﹣ABCD的体积是（）A．B．C．6 D．84．设a=20.3，b=0.32，c=ln 0.3，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b5．在△ABC中，C=60°，AB=，那么A等于（）A．135°B．105°C．45°D．75°6．已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定7．已知{a n}为等差数列，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，S n为{a n}的前n项和，n∈N*，则S10的值为（）A．﹣110 B．﹣90 C．90 D．1108．已知函数f（x）=x3+lnx+2，且f[x（x﹣1）]＜f（2），则x的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（0，2） C．（1，2） D．（0，1）9．若，则=（）A．B．C．D．10．已知平面向量=（﹣2，m），=，且（﹣）⊥，则实数m的值为（）A．B． C． D．11．曲线y=1+与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．12．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，，若x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）≥﹣恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[﹣2，0）∪（0，1）B．[﹣2，0）∪[1，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣2]∪（0，1]二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则f（8）=．14．若各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是．15．某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料分别为A、B两种规格的金属板，每张面积分别为2m2与3m2．用A种规格的金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B种规格的金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A、B两种规格的金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？16．已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．三、解答题（共6题，第17题10分，其余各12分，共70分）17．已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若bsinA=acosB．求的取值范围．18．已知等差数列{a n}是递增数列，且满足a4•a7=6，a3+a8=5．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}的前n项和S n满足S n=2n﹣1，求{a n•b n}的前n项和T n．19．如图所示，直角梯形ACDE与等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，∠BAC=∠ACD=90°，AE∥CD，DC=AC=2AE=2．（1）求证：平面BCD⊥平面ABC；（2）求证：AF∥平面BDE；（3）求四面体B﹣CDE的体积．20．在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆心为C 的圆上．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x﹣y+a=0交于A，B两点，且CA⊥CB，求a的值．21．已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x﹣12y+24=0．（1）若直线ι过P且被圆C截得的线段长为4，求ι的方程；（2）求过P点的⊙C的弦的中点轨迹方程．22．已知函数f（x）=log2（4x+1）+kx是偶函数．（1）求实数k的值；（2）设，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．2017-2018学年黑龙江省大庆实验中学高二（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．若集合，集合S={x|y=lg（x﹣1）}，则下列各式中正确的是（）A．M∪S=MB．M∪S=S C．M=S D．M∩S=∅【考点】1D：并集及其运算．【分析】利用题意首先求得集合M和集合S，然后考查两个集合的关系，结合选项即可求得最终结果．【解答】解：求解不等式可得：M=（﹣∞，0）∪（1，+∞），求解函数y=lg（x﹣1）}的定义域可得S=（1，+∞），即结合S是集合M的子集，据此可得M∪S=M．故选：A．2．下列说法正确的是（）A．若，则B．若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则C．已知m，n是空间两条不同的直线，α，β，γ是空间三个不同的平面，若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n则α∥βD．已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，若A1B2=A2B1，则l1∥l2【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】利用向量关系判断A的正误；不等式的基本性质判断B的正误；空间直线与平面的位置关系判断C的正误；直线与直线平行的充要条件判断D的正误；【解答】解：对于A，若，两个向量，共线反向，不是，A不正确；对于B，若a，b，c为实数，且a＜b＜0，可得a2＞b2则，成立．对于C，已知m，n是空间两条不同的直线，α，β，γ是空间三个不同的平面，若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n则α∥β有可能相交，所以C不正确；对于D，已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，若A1B2=A2B1，则l1∥l2，也可能重合，所以D不正确．故选：B．3．已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P﹣ABCD的体积是（）A．B．C．6 D．8【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个矩形为底面的四棱锥，求出底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得几何体的体积．【解答】解：底面是矩形，边长分别为2和4，∴S=2×4=8．由主视图，可知高：h==．∴四棱锥P﹣ABCD的体积V=Sh==．故选：B．4．设a=20.3，b=0.32，c=ln 0.3，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=20.3＞b=0.32＞0＞c=ln0.3，∴c＜b＜a．故选：C．5．在△ABC中，C=60°，AB=，那么A等于（）A．135°B．105°C．45°D．75°【考点】HP：正弦定理．【分析】由C的度数求出sinC的值，再由c和a的值，利用正弦定理求出sinA 的值，由c大于a，根据大边对大角，得到C大于A，得到A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：∵C=60°，AB=c=，BC=a=，∴由正弦定理=得：sinA===，又a＜c，得到A＜C=60°，则A=45°．故选C6．已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】由M在圆外，得到|OM|大于半径，列出不等式，再利用点到直线的距离公式表示出圆心O到直线ax+by=1的距离d，根据列出的不等式判断d与r的大小即可确定出直线与圆的位置关系．【解答】解：∵M（a，b）在圆x2+y2=1外，∴a2+b2＞1，∴圆O（0，0）到直线ax+by=1的距离d=＜1=r，则直线与圆的位置关系是相交．故选B7．已知{a n}为等差数列，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，S n为{a n}的前n项和，n∈N*，则S10的值为（）A．﹣110 B．﹣90 C．90 D．110【考点】85：等差数列的前n项和；8G：等比数列的性质．【分析】通过a7是a3与a9的等比中项，公差为﹣2，求出【解答】解：a7是a3与a9的等比中项，公差为﹣2，所以a72=a3•a9，∵{a n}公差为﹣2，∴a3=a7﹣4d=a7+8，a9=a7+2d=a7﹣4，所以a72=（a7+8）（a7﹣4），所以a7=8，所以a1=20，所以S10==110故选D8．已知函数f（x）=x3+lnx+2，且f[x（x﹣1）]＜f（2），则x的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（0，2） C．（1，2） D．（0，1）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=3x2+＞0，故f（x）在（0，+∞）递增，若f[x（x﹣1）]＜f（2），则0＜x（x﹣1）＜2，解得：1＜x＜2，故选：C．9．若，则=（）A．B．C．D．【考点】GP：两角和与差的余弦函数．【分析】利用二倍角公式，诱导公式可得=2﹣1=2﹣1，把已知条件代入运算求得结果．【解答】解：=2﹣1=2﹣1=2sin2（+α）﹣1=﹣1=﹣，故选D．10．已知平面向量=（﹣2，m），=，且（﹣）⊥，则实数m的值为（）A．B． C． D．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由向量的坐标的加减运算求出，然后直接利用向量垂直的坐标表示列式求出m的值．【解答】解：由，所以=．再由（a﹣b）⊥b，所以=．所以m=．故选B．11．曲线y=1+与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【分析】要求的实数k的取值范围即为直线l斜率的取值范围，主要求出斜率的取值范围，方法为：曲线表示以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，在坐标系中画出相应的图形，直线l与半圆有不同的交点，故抓住两个关键点：当直线l与半圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值；当直线l过B点时，由A和B的坐标求出此时直线l的斜率，根据两种情况求出的斜率得出k的取值范围．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：由题意可得：直线l过A（2，4），B（﹣2，1），又曲线图象为以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d=r，即=2，解得：k=；当直线l过B点时，直线l的斜率为=，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的范围为．故答案为：12．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，，若x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）≥﹣恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[﹣2，0）∪（0，1）B．[﹣2，0）∪[1，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣2]∪（0，1]【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】由x∈[﹣4，﹣2]时，f（x）≥﹣恒成立，则﹣不大于x∈[﹣4，﹣2]时f（x）的最小值，根据f（x）满足f（x+2）=2f（x），结合函数的解析式，求出x∈[﹣4，﹣2]时f（x）的最小值，构造分式不等式，解不等式可得答案．【解答】解：当x∈[0，1）时，f（x）=x2﹣x∈[﹣，0]当x∈[1，2）时，f（x）=﹣（0.5）|x﹣1.5|∈[﹣1，﹣]∴当x∈[0，2）时，f（x）的最小值为﹣1又∵函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[﹣2，0）时，f（x）的最小值为﹣，当x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）的最小值为﹣，若x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）≥﹣恒成立，∴﹣≤﹣即≤0，即4t（t+2）（t﹣1）≤0且t≠0，解得：t∈（﹣∞，﹣2]∪（0，l]故选：D．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则f（8）=．【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】设出幂函数的解析式，由图象过确定出解析式，然后令x=﹣2即可得到f（﹣2）的值．【解答】解：设f（x）=x a，因为幂函数图象过，则有=3α，∴a=，即f（x）=，∴f（8）==．故答案为：．14．若各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是24π．【考点】LG：球的体积和表面积；L2：棱柱的结构特征．【分析】先求出正四棱柱的底面边长，再求其对角线的长，就是外接球的直径，然后求出球的表面积．【解答】解：各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，它的底面边长是：2，所以它的体对角线的长是：，球的直径是：，所以这个球的表面积是：故答案为：24π15．某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料分别为A、B两种规格的金属板，每张面积分别为2m2与3m2．用A种规格的金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B种规格的金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A、B两种规格的金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？【考点】5C：根据实际问题选择函数类型；34：函数的值域．【分析】先设A、B两种原料各为x，y个，抽象出约束条件为：，建立目标函数，作出可行域，找到最优解求解．【解答】解：设A种原料为x个，B种原料为y个，由题意有：，目标函数为Z=2x+3y，由线性规划知：使目标函数最小的解为（5，5），即A、B两种原料各取5，5块可保证完成任务，且使总的用料（面积）最小．16．已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．【考点】JE：直线和圆的方程的应用．【分析】由圆的方程为求得圆心C（1，1）、半径r为：1，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解．【解答】解：∵圆的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0∴圆心C（1，1）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小当圆心与点P的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小圆心到直线的距离为d=3∴|PA|=|PB|=∴故答案为：三、解答题（共6题，第17题10分，其余各12分，共70分）17．已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若bsinA=acosB．求的取值范围．【考点】HP：正弦定理；HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）结合函数的图象求得A，ω，φ 即可确定函数的解析式；（2）利用正弦定理边化角，然后结合（1）中的结论整理计算即可求得最终结果．【解答】解：（1）很明显A=1，由函数图象可得：，∴，又，∴，令k=0可得：，∴．（2）∵，∴，∴，据此可得：，∴，且：，结合角A的范围可得：．18．已知等差数列{a n}是递增数列，且满足a4•a7=6，a3+a8=5．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}的前n项和S n满足S n=2n﹣1，求{a n•b n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d＞0，由a4•a7=6，a3+a8=5=a4+a7．解得a4=2，a7=3．再利用通项公式即可得出．（2）数列{b n}的前n项和S n满足S n=2n﹣1，n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1，n=1时，b1=S1=1．可得b n．a n b n=．利用错位相减法可得{a n•b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d＞0，∵a4•a7=6，a3+a8=5=a4+a7．解得a4=2，a7=3．∴3d=3﹣2，a1+3d=2，解得d=，a1=1．∴a n=1+=．（2）数列{b n}的前n项和S n满足S n=2n﹣1，∴n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1，n=1时，b1=S1=1，对于上式也成立．∴b n=2n﹣1．∴a n b n=．∴{a n•b n}的前n项和T n=+…+（n+2）•2n﹣1]，∴2T n=+…+（n+1）•2n﹣1+（n+2）•2n]相减可得：﹣T n==，可得T n=．19．如图所示，直角梯形ACDE与等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，∠BAC=∠ACD=90°，AE∥CD，DC=AC=2AE=2．（1）求证：平面BCD⊥平面ABC；（2）求证：AF∥平面BDE；（3）求四面体B﹣CDE的体积．【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）证明平面BCD⊥平面ABC，只需证明DC⊥面ABC，利用面ABC⊥面ACDE，CD⊥AC，即可证得；（2）取BD的中点P，连接EP、FP，则可证四边形AFPE是平行四边形，所以AF ∥EP，即可证得AF∥面BDE；=3（3）证明BA⊥面ACDE，可得BA就是四面体B﹣CDE的高，且BA=2，可求S△CDE ﹣1=2，即可求得四面体B﹣CDE的体积．【解答】（1）证明：∵面ABC⊥面ACDE，面ABC∩面ACDE=AC，CD⊥AC，∴DC⊥面ABC，…又∵DC⊂面BCD，∴平面BCD⊥平面ABC．…（2）解：取BD的中点P，连接EP、FP，则FP∥DC，FP=DC又∵EA∥DC，EA=DC∴EA∥FP，EA=FP…∴四边形AFPE是平行四边形，∴AF∥EP，又∵EP⊂面BDE且AF⊄面BDE，∴AF∥面BDE．…（3）解：∵BA⊥AC，面ABC∩面ACDE=AC，∴BA⊥面ACDE．∴BA就是四面体B﹣CDE的高，且BA=2．…∵DC=AC=2AE=2，AE∥DC，∴，=3﹣1=2，∴．…∴S△CDE20．在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆心为C 的圆上．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x﹣y+a=0交于A，B两点，且CA⊥CB，求a的值．【考点】3W：二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）求出与y轴，x轴的交点坐标，可以看出圆心在x=3直线上，可设C的圆心为（3，t），利用条件求出方程；（Ⅱ）根据直线与圆的关系，可得AB=3，利用点到直线的距离公式可得，求出a的值．【解答】（Ⅰ）解：曲线y=x2﹣6x+1与y轴的交点为（0，1），…与x轴的交点为，，…∴可设C的圆心为（3，t），则有，解得t=1，∴圆C的半径为，∴圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9…（Ⅱ）CA⊥CB，∴AB=3，∴C到AB的距离为，∴∴a=1或﹣5．…21．已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x﹣12y+24=0．（1）若直线ι过P且被圆C截得的线段长为4，求ι的方程；（2）求过P点的⊙C的弦的中点轨迹方程．【考点】J3：轨迹方程；J9：直线与圆的位置关系．【分析】（1）确定圆的圆心与半径，分类讨论，利用直线ι被圆C截得的线段长为4，可得直线ι与圆心的距离为2，由此可得结论；（2）设过P点的圆c的弦的中点D的坐标为（x，y），利用CD⊥PD，可得方程．【解答】解：（1）由圆C：x2+y2+4x﹣12y+24=0得圆心坐标为（﹣2，6），半径为4又因为直线ι被圆C截得的线段长为4，所以直线ι与圆心的距离为2当直线斜率存在时，设L的斜率是k，过P（0，5），设直线ι：y=kx+5，即kx﹣y+5=0∵直线ι与圆C的圆心相距为2，∴d==2，解得k=，此时直线的方程为3x﹣4y+20=0当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=0，也符合题意．故所求直线的方程为3x﹣4y+20=0或x=0．（2）设过P点的圆c的弦的中点D的坐标为（x，y），则∵CD⊥PD，∴（x+2）•x+（y﹣6）•（y﹣5）=0化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x﹣11y+30=0．22．已知函数f（x）=log2（4x+1）+kx是偶函数．（1）求实数k的值；（2）设，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．【考点】4T：对数函数图象与性质的综合应用．【分析】（1）根据偶函数的定义求出k的值即可；（2）通过换元讨论a的范围，结合方程根的情况求出a的范围即可．【解答】解：（1）∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x）．∴，∴2x +2kx=0．由于此式对于一切x ∈R 恒成立，∴k=﹣1 (4)（2）函数f （x ）与g （x ）的图象有且只有一个公共点，等价于方程f （x ）=g （x ）有唯一的实数解，等价于方程有唯一实数解，且．令2x =t ，则此问题等价于方程只有一个正实根且．从而有：①a ﹣1=0即a=1，则，不合题意舍去．②a ﹣1≠0即a ≠1．（Ⅰ）若，即或a=﹣3．当时，代入方程得t=﹣2不合题意，当a=﹣3时，得符合题意．（Ⅱ）方程有一个正根和一个负根，即，即a ＞1符合题意，综上所述，实数a 的取值范围是{﹣3}∪（1，+∞）． (10)。