浅谈最小多项式 信息与计算科学 数学与应用数学

毕业设计（论文）资料目录第一部分毕业论文一、毕业论文第二部分过程管理资料一、毕业设计（论文）课题任务书二、本科毕业设计（论文）开题报告三、本科毕业设计（论文）中期报告四、毕业设计（论文）指导教师评阅表五、毕业设计（论文）评阅教师评阅表六、毕业设计（论文）答辩评审表20 11届本科生毕业设计（论文）资料第一部分毕业论文摘要矩阵最小多项式的有关问题已经成为矩阵研究领域的热点之一，矩阵的最小多项式在判断矩阵相似、若当标准型、矩阵函数和矩阵方程和研究线性变换的结构中都有极为重要的应用.它不仅只可以用于矩阵理论，还在自动化控制、稀疏线性方程组的求解等其它领域中有着广泛的应用.因此，最小多项式的研究无论是在理论研究还是在实际应用中都有着非常重要的意义.近几十年来，关于矩阵的最小多项式问题，众多学者对其做了很多有意义的研究，得到了许多有价值的结果.本文系统地讨论了矩阵的最小多项式的有关问题，介绍了这方面研究的相关结果．首先，介绍了本文背景、国内外研究的结果、并阐述了本文的主要工作.其次，本文介绍了一些基础知识，主要包括最小多项式的定义、性质，并介绍了最小多项式的一个重要定理（哈密顿-凯莱定理）.在此基础上，着重讨论了矩阵的最小多项式的几种解法（特征多项式法、Jordan标准形法、向量法、初等变换法）.最后，本文主要介绍了最小多项式的应用.重点讨论了最小多项式在伴随矩阵及求解Jordan标准形中的应用；最小多项式在对称矩阵、矩阵对角化中的应用.关键词：最小多项式，特征多项式，Jordan标准形ABSTRACTMinimal polynomial of the matrix has become a matrix of issues related to one of the hot research field, the matrix of minimal polynomial matrix is widely used in determining the similarity, Jordan canonical form, matrix functions and matrix equations and the structure of linear transformation. It can not only be used for matrix theory, but also automation, sparse linear equations and other areas have a wide range of applications. Therefore, the minimal polynomial of the matrix whether in theory or in practice have a lot of great significance.During the past several decades, many scholars have done a lot of sense about the issue on the minimal polynomial of the matrix, and obtained many valuable results. This paper systematically discusses the problem of the matrix of the minimal polynomial and introduces the relevant results of research. Firstly, we explain the corresponding backgrounds and developments of the thesis，at the same time, we discusses the main work of the thesis．Secondly, we explain much basic knowledge of Minimal polynomial of the matrix，include definition，lemma and an important theorem(Hamilton-Caylay theorem). Then we discusses several solutions of the matrix of minimal polynomial (characteristic polynomial method, Jordan normal form method, Vector method, changes in the elementary matrix). At last, we introduced several relevant application of the minimal polynomial matrix. we focus on the polynomial and solving the adjoint matrix of Jordan canonical form; minimal polynomial in the matrix, matrix diagonalization of the application.Keywords：Minimal polynomial of the matrix，Characteristic polynomial，Jordan normal form目录摘要 (I)ABSTRACT (II)第1章绪论................................................................................................ - 5 -1.1 背景介绍 ................................................................................................................. - 5 -1.2 主要内容介绍 ......................................................................................................... - 5 -第2章矩阵最小多项式................................................................................ - 6 -2.1 基本概念 ................................................................................................................. - 6 -2.2 哈密顿-凯莱定理.................................................................................................... - 6 -2.3 最小多项式的性质 ................................................................................................. - 6 -第3章矩阵最小多项式的求法.................................................................... - 9 -3.1 特征多项式法 ......................................................................................................... - 9 -3.2Jordan标准形法 ................................................................................................... - 11 -3.3 矩阵最小多项式的向量法 ................................................................................... - 13 -3.4 初等变换法 ........................................................................................................... - 14 -第4章矩阵最小多项式的应用.................................................................. - 17 -4.1 最小多项式在伴随矩阵及求解Jordan标准形中的应用 .................................. - 17 -4.2 最小多项式在对称矩阵中的应用 ....................................................................... - 21 -4.3 最小多项式在矩阵对角化中的应用 ................................................................... - 23 -结论............................................................................................................ - 26 -参考文献........................................................................................................ - 27 -致谢............................................................................................................ - 28 -第1章绪论1.1 背景介绍多项式是代数学中最基本的对象，不但与高次方程的讨论有关，且在进一步学习代数以及其它数学分支时也都会碰到.而最小多项式是多项式理论中重要的一部分，它在判断矩阵相似、若当标准型、矩阵函数和矩阵方程和研究线性变换的结构中都有极为重要的应用，也是现在研究最小多项式的主要方向.最小多项式问题的研究已成为近年来矩阵研究中的一个热点.矩阵的最小多项式在判断矩阵相似、若当标准型、矩阵函数和矩阵方程和研究线性变换的结构中都有极为重要的应用，因此，最小多项式的研究无论是在理论研究还是在实际应用中都有着非常重要的意义.它不仅只可以用于矩阵理论，还在自动化控制、稀疏线性方程组的求解等其它领域中有着广泛的应用.最小多项式最早是在矩阵的理论中发展而来的.“最小多项式”这个概念最早是由19世纪德国数学家弗罗伯纽斯在矩阵理论研究中提出来的．并且他讨论了最小多项式在矩阵理论上的初步应用.到近代后，最小多项式的应用越来越广泛，它不仅可用于线性代数领域，而且可以用于其它领域.近几十年来，关于矩阵的最小多项式问题，众多学者对其做了很多有意义的研究，得到了许多有价值的结果.对于完善矩阵理论做出了巨大的作用.最小多项式有广泛的应用，它是矩阵理论的一部分.而矩阵理论在求解线性方程组问题中十分重要．许多科学技术问题，往往都要靠求解线性方程组来解决.因此，研究最小多项式有助于更好地发展矩阵理论，从而更好地为求解线性方程组作铺垫.1.2 主要内容介绍论文主要分为四个部分：第一部分：主要介绍了本文的研究背景，国内外的研究成果．第二部分：该部分主要介绍一些基础知识，主要包括最小多项式的定义、性质，并介绍了最小多项式的一个重要定理（哈密顿-凯莱定理）.第三部分：该部分主要讨论了矩阵的最小多项式的几种解法，主要包括：矩阵的特征多项式法、Jordan标准形法、向量法、最后讨论了矩阵最小多项式的初等变换法.第四部分：主要介绍了最小多项式的有关应用.重点讨论了最小多项式在伴随矩阵及求解Jordan标准形中的应用；最小多项式在对称矩阵、矩阵对角化中的应用.第2章 矩阵最小多项式在本文接下来的章节中，为了更深入地了解矩阵最小多项式，首先，我们必须清楚地了解什么是矩阵最小多项式.以及要进一步研究矩阵最小多项式，需引入哪些概念．在接下来的小节中，我们将涉及到矩阵最小多项式的常用概念列举出来.2.1 基本概念定义 2.1.1[1] 设n n A P ⨯∈，在数域P 上的以A 为根的多项式 ，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称为A 的最小多项式.定义 2.1.2[1] 设A 是一个n n ⨯矩阵，若有多项式()f x ，使()0f A =，则称()f x 为A 的零化多项式.定义 2.1.3[1] 把矩阵A （或线性变换）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A （或线性变换）的初等因子.定义 2.1.4[1] 标准形的主对角线上非零元素12(),(),...,()r d d d λλλ称为λ矩阵()A λ的不变因子.2.2 哈密顿-凯莱定理在讨论最小多项式的有关性质之前，先介绍一个重要的定理：哈密尔顿-凯莱定理. 定理 2.2.1[1] 哈密顿-凯莱（Hamilton-Caylay ）定理 设A 是数域P 上的一个n n ⨯矩阵，()f E A λλ=-是A 的特征多项式，则11122()(...)...(1)0.n n n nn f A a a a A A E λ-=-+++++-=详细证明见[1].2.3 最小多项式的性质为了更深入地了解矩阵的最小多项式，下面我们将介绍最小多项式的一些基本性质.性质2.3.1 矩阵A 的最小多项式是唯一的.证明 设1()g x 和2()g x 都是A 的最小多项式，根据带余除法，1()g x 可表成12()()()()g x q x g x r x =+，其中()0r x =或2(())(())r x g x ∂<∂，于是12()()()()g A q A g A r A O =+=.因此()r A O =.由最小多项式的定义，()0r x =，即21()()g x g x .同理可证12()()g x g x .因此1()g x 与2()g x 只能相差一个非零常数因子.又因1()g x 与2()g x 的首项系数都是1，所以12()()g x g x =.性质2.3.2 设A 是一个准对角矩阵120,0A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭并设1A ，2A 的最小多项式分别为12(),()g x g x .则A 的最小多项式为12(),()g x g x 的最小公倍式.证明 记12()[(),()]g x g x g x =，首先12()(),()g A g A O g A ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ 因此()g x 能被A 的最小多项式整除.其次，如果(),h A O =那么12()(),()h A h A O h A ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ 所以12(),(),h A O h A O ==因而12()(),()().g x h x g x h x 并由此得()()g x h x .这样就证明了()g x 是A 的最小多项式.性质2.3.3[1] k 级若尔当块11...1J λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 的最小多项式为()k x λ-.证明 J 的特征多项式为()k x λ-，而010,......10J E λ⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 100...0.........().0...10...0k J E O λ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以J的最小多项式为()k-.xλ定理 2.3.1[1]设()g x是矩阵A的最小多项式，那么()f x以A为根的充分必要条件是()f x.g x整除()由上述引理可知，矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个因式.定理 2.3.2[1]n n∈与对角矩阵相似的充分必要条件是A的最小多项式是P上A P⨯互素的一次因式的积.详细证明见[1].第3章 矩阵最小多项式的求法在本章中，我们将详细介绍求解矩阵最小多项式的主要方法：特征多项式法、Jordan 标准形法、向量法以及初等变换法.3.1 特征多项式法在这一小节中，我们将详细介绍矩阵最小多项式的特征多项式法.定理3.1.1[6]设A 是数域的P 上一个n 级矩阵，()f λ是A 的特征多项式，则()0f A =.定理3.1.2[6] 设A 是数域的P 上一个n 级矩阵，A 的特征多项式为1()()i sm i i f λλλ==-∏，其中12,,...,s λλλ是互不相同的，(1,2,...,)i m i s =)是正整数，且1si i m n ==∑，则A 的最小多项式为1()()i sk i i g λλλ==-∏，其中i k 是在1,2,...,(1,2,...,)i m i s =中使()0g A =的最小正整数.证明 因为()0(1,2,...,)i f i s λ==，且12,,...,s λλλ是互不相同的，所以12,,...,s λλλ是A 的互不相同的特征根，由命题2，得12,,...,s λλλ都是A 的最小多项式的根，因此可设A 的最小多项式为1()()()i sk i i g λλλϕλ==-∏，其中(1,2,...,)i i k m i s ≤=是正整数，()ϕλ的首项系数为l ，且()0(1,2,...,)i i s ϕλ≠=. 因为()f λ是A 的特征多项式，由定理3.1.1，()0f A =，由引理2.3.1，得()|(),g f λλ即11()()|(),iis sk m i iii i λλϕλλλ==--∏∏所以1()|(),ism i i ϕλλλ=-∏因为()0(1,2,...,)i i s ϕλ≠=，且()ϕλ的首项系数为1，所以()1ϕλ=.从而1()()i sk i i g λλλ==-∏且(1,2,...,)i i k m i s ≤=，又,(1,2,...,)i i k m i s =都是正整数，由最小多项式定义可知，i k 是1,2,...,(1,2,...,)i m i s =中使()0g A =的最小正整数. 证毕.根据定理3.1.2得到矩阵的特征多项式求A 的最小多项式的一般方法. 其步骤如下： 设A 是数域P 上的一个n 级矩阵，A 的特征多项式为1()()i sm i i f λλλ==-∏，其中12,,...,s λλλ是互不相同的，(1,2,...,)i m i s =)是正整数，且1si i m n ==∑，由定理3.1.2，则A 的最小多项式为1()(),1(1,2,...,),i sk i i i i g k m i s λλλ==-≤≤=∏然后依次取i k 是1,2,...,(1,2,...,)i m i s =，计算()g A ，直到找出使()0g A =最小正整数(1,2,...,)i k i s =为止.例3.1.1 设111020002A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求A 的最小多项式.解 A 的特征多项式为111()0202f E A λλλλλ--=-=--2(1)(2).λλ=--设A 最小多项式为()(1)(2)(12),k g k λλλ=--≤≤因为011111()()0100000.001000A E A E ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪--== ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以1k =，故所求A 的最小多项式为2()(1)(2)32g λλλλλ=--=-+.3.2 Jordan 标准形法在本节中，我们将重点讨论求解矩阵最小多项式的另外一种解法——Jordan 标准形法.定理3.2.1[4]设()m x 为矩阵A 的最小多项式，那么()f x 以A 为根当且仅当()m x 整除()f x .证明 充分性是显然的. 下面证明必要性.设()f x 以A 为根，即()f x 是A 的零化多项式.因()m x 是A 的最小多项式，故()()()()f x q x m x r x =+其中()0r x =或(())(())r x m x ∂<∂， (其中(())m x ∂表示多项式()m x 的次数). 所以()()()()f A q A m A r A =+，又因为()0m A =和，()0f A =，故()0r A =，即()r x 也是零化多项式.如果()r x 不恒等于0，则有(())(())r x m x ∂<∂，这与()f x ,()m x 是最小多项式矛盾，因此()r x 恒为0.故()|(),m x f x 结论得证.定理3.2.2[4] 相似矩阵具有相同的最小多项式.证明 设矩阵A 的最小多项式是()m x ，矩阵B 的最小多项式是()n x ，由A 与B 相似知1B P AP -=，其中P 为可逆阵. 故1()()0m B m P AP -==由定理3.2.1知，()n x 整除()m x ，同理可证()m x 整除()n x .由于()m x 与()n x 都是首项为1的，故()()m x n x =.定理3.2.3[5] 设12...s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是一个分块对角矩阵，矩阵A 的最小多项式等于12,,...,s A A A 的最小多项式的最小公倍式.证明 设i A 的最小多项式为()i f x ，其中1,2,...,i s =.矩阵A 的最小多项式为()f x ,12(),(),...,()s f x f x f x 最小公倍式是()g x .由()i f x 整除()g x 知()0,1,2,...,i g A i s ==.故12()()()....()i g A g A g A g A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 由定理3.2.1知()|()f x g x . 因为12()()()0...()i f A f A f A f A ⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭， 故对于每一个i 都有()0i f A =，即()|().i f x f x 而()g x 是()(1,2,...,)i f x i s =的最小公倍式，故()|().g x f x 综上可得()()g x f x =.因为每一个复数域上的矩阵都可能相似于一个分块矩阵，即Jordan 标准型，所以利用Jordan 标准型求最小多项式也是证明中的常用方法.根据定理3.2.3的结论，设12...s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是一个分块对角矩阵，矩阵A 的最小多项式等于12,,...,s A A A 的最小多项式的最小公倍式.只要求得,1,2,...,i A i s =的最小多项式，即可求得矩阵A 的最小多项式.例3.2.1 设1000011000,002000012000012A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭求A 最小多项式()m λ.解 设12,J A J ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中110,11J ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2200120.012J ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭因为Jordan 矩阵1J 的最小多项式为2(1)x -,Jordan 矩阵2J 的最小多项式为3(2)x -，故由定理3.2.3得A 的最小多项式为23()(1)(2)m x x λ=--.3.3 矩阵最小多项式的向量法在上面的章节中，我们讨论了矩阵最小多项式的几种常用的解法.给定一个矩阵求最小多项式，我们最常用的方法是先求出矩阵的最小多项式，再取其因式将矩阵代入，从而得到矩阵的最小多项式；或者先把矩阵的特征矩阵化为标准型，得到其不变因子，从而求出矩阵的最小多项式.在下面的章节中，我们将讨论矩阵最小多项式的一种特殊求法.即通过讨论向量关于矩阵的最小多项式得到矩阵的最小多项式.定理3.3.1[13] 设n 阶方阵A 的秩为r ,12,,...,r r n x x x ++为齐次线性方程组0AX =的一个基础解系，将12,,...,r r n x x x ++扩充为n C 的一组基1212,,...,,,,...,r r r n x x x x x x ++,设12(),(),...,()r c c c λλλ分别为12,,...,r x x x 关于矩阵A 的最小多项式，则12(),(),...,()r c c c λλλ与λ的最小公倍式()g λ等于矩阵A 的最小多项式()m λ，即()()g m λλ=.证明 由12(),(),...,()r c c c λλλ分别为12,,...,r x x x 关于矩阵A 的最小多项式， 可得1122()0,()0,...,()0r r c A x c A x c A x ===，又因为12,,...,r r n x x x ++为齐次方程组0AX =的基础解系， 故120,0,...,0.r r n Ax Ax Ax ++===而由性质2.3.3得，n C 中的任何一个向量b 都能够被1212,,...,,,,...,r r r n x x x x x x ++线性表示，从而()0.g A b =其中式中的向量b 是任意的，这意味着()0g A =. 则有()|(),m g λλ (3.3.1)由已知条件，()m λ是A 的最小多项式，故对任意的向量b ，都有()0m A b =， 又因为()g λ是最小公倍式， 从而()|(),g m λλ (3.3.2)结合(3.3.1)，(3.3.2)式可得()()g m λλ=，定理得证.由定理3.3.1的证明过程易得下述结论.推论3.3.1[13] 设A 为n 阶方阵，12,,...,n x x x 为n C 的一组基，12(),(),...,()n c c c λλλ分别为12,,...,n x x x 关于矩阵A 的最小多项式，则12(),(),...,()n c c c λλλ的最小公倍式()g λ等于矩阵A 的最小式项式()m λ.推论 3.3.2[13] 设n 阶方阵A 可对角化，其特征值为12,,...,n λλλ（相同的特征值重复计算），则矩阵A 的最小多项式()()i im λλλ=-∏.证明 因为矩阵A 可对角化，即存在可逆矩阵P ，使得1P AP D -=对角矩阵. 由假设得12(,,...,)n D diag λλλ=.所以存在n 个线性无关的向量12,,...,n x x x ，使得i i i Dx x λ= 即()0(1,2,...,)i i D E x i n λ-==.由上式可得，对任意的1,2,...,i n =，i λλ-均为向量i x 关于矩阵D 的最小多项式，而n C 中的任何一个向量b 能够被12,,...,n x x x 线性表示，由上述定理即得D 的最小多项式为()()i im λλλ=-∏.又由定理3.2.2知，矩阵A 具有与矩阵D 相同的最小多项式，从而命题得证.3.4 初等变换法在上面的章节中，我们讨论了矩阵最小多项式的几种解法，它们都是基于从矩阵的角度考察最小多项式.在本节中，我们将讨论微量关于矩阵的最小多项式.在上述的2.2节中，我们已经知道n 阶矩阵A 的首项系数为1的零化多项式是唯一存在的.若设α是一个n 维列向量，若非零多项式()f λ满足()0f A α=,则称()f λ为向量α关于矩阵A 的一个零化多项式. α关于矩阵A 的首项系数为1的最低次零化多项式，称为α关于n 阶矩阵A 的最小多项式.定理 3.4.1[5] 设A 是一个n 阶矩阵，()R A m =，α是一个n 维列向量，令011,,1,...,i i A i n αααα-===，则有1)可经线性变换，将矩阵{}12,,...,n a a a 化为矩阵1110...0...00...0 00...100...00........................00 0...m m b b B b -**⎛⎫⎪** ⎪ ⎪⎪=*** ⎪ ⎪*** ⎪⎪ ⎪**⎝⎭其中“*”代表省去不写的数.2) a 向量关于矩阵A 的最小多项式为1212()...m m m m f b b b λλλλ--=----.证明 1) 结论显然成立.2) 设011(,,...,,,...,)m m n B βββββ-=，则使k β可由011,,...,k βββ-线性表示的最小正整数k 必为m ,且11220...m m m m b b b ββββ--=+++.因对矩阵施初选行变换不改变列向量的线性关系，故使k α可由011,,...,k ααα-线性表示的最小正整数k 必为m ,且11220...m m m m b b b αααα--=+++定理 3.4.2[3] 设A 是一个n 阶矩阵，2,,...,n a a a 为一个基，向量i α关于矩阵A 的最小多项式为(),1,2,...,i f i n λ=，则矩阵A 的最小多项式为1()[(),...,()]n f f f λλλ=．这里1[(),...,()]n f f λλ表示多项式1(),...,()n f f λλ的最小公倍式.证明 因()i f λ 向量关于i α矩阵A 的最小多项式，故()0,1,2,...,i i f i n λα==.又因为()|(),i f f λλ所以()0,1,2,...,i f A i n α==.于是11()(,...,)((),...,())0n n f A f A f A αααα==,因1,...,n αα为一个基，故矩阵1(,...,)n αα可逆. 从而()0.f A =设()g λ为矩阵A 的任一零化多项式，则()g λ为向量α关于矩阵A 的一个零化多项式，从而()|(),1,2,...,i f g i n λλ=.于是()|()f g λλ，从而()f λ为矩阵A 的最小多项式.为了更清晰地了解这种方法，下面举一例子加以说明. 例3.4.1 求向量(1,0,1)T α=关于矩阵308316205A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦的最小多项式.解 根据定理 3.4.1，0(1,0,1)T αα==经初等行变换，将矩阵0(,)A α化为111308(,)0316.05013A ε⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥--⎢⎥⎣⎦向量110(11,9,18)T A βα==-的第1行下面的元素不全为零，所以经初等行变换，将矩阵11(,)A ε化为矩阵22211203931112(,)13930121A ε⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 由01(11,9,7)T A αα==-,向量221(1,2,0)T A βα==--)的第2行下面的元素全为零，故向量α关于矩阵A 的最小多项式为2()21f λλλ=++.第4章 矩阵最小多项式的应用4.1 最小多项式在伴随矩阵及求解Jordan 标准形中的应用在这一小节中，主要讨论用A 的最小多项式来表示A 的伴随矩阵的最小多项式的表达式，以及由A 的Jordan 标准形表示出A 的伴随矩阵的Jordan 标准形的方法.引理4.1.1[3] A 为n 阶方阵，且()rank A n =，则1212111()()...mm m m m m m m ma a a f a a a a a λλϕλλλλλ--==+++++为1A -的最小多项式.证明 由题可知，1121211()()(...)mm m A m m m m m m a a a f a a a λλλϕλλλλλ---==+++++，即1212111()()...mm m m m m m m ma a a f a a a a a λλϕλλλλλ--==+++++， 而111()...0m m A m m A A a A a A a E ϕ--=++++=，111(...)0m m m m m A A a A a A a E ---++++=， 即1(1)11...0m m m m E a A a A a A -----++++=，(1)1111...0m m m m m ma a A A A E a a a -----++++=， 从而有11()0,()Af A ϕλ--=表示1A -的最小多项式，则有1()|().A f ϕλλ- 设1det ()At ϕλ-=, 则t m ≤, 记 1111()...(0)t t A t t t b b b b ϕλλλλ---=++++≠,同理有11()()tA t g b λλϕλ-=为首项系数为1的多项式，且()0g A =， 因而有()|(),A g ϕλλ则m t ≤，故有m t =.因此1()()mA m f a λλϕλ=为1A -的最小多项式.引理4.1.2[3] 设k F ∈为任意非零常数，则有()()m A f k kλλϕ=为kA 的最小多项式.证明 由题设条件可知12121121221121()()(...)...m A mm m mm m mm m m m m m m m m f k kk a a a a k k k ka k a k a k a k λλϕλλλλλλλλ---------==+++++=+++++由于12121()...0m m m A m m A A a A a A a A a E ϕ---=+++++=，从而1212112121()...( 0m m m m m m m m m m m m m m m m f kA k A a k A a k A a k A a k Ek A a A a A a A a E ------=+++++=+++++=由引理4.1.1可知()f λ为kA 的最小多项式.定理4.1.1[3] 设A 为n 阶方阵，且()rank A n =，则A *的最小多项式为()()mA mAf a λλϕλ=.证明 由引理4.1.1知1121211()...m m m A m m m ma a a a a a a ϕλλλλλ---=+++++， 且1A A A *-=.由引理4.1.2知A *的最小多项式有112121122112121()()1(...)1...mA mm mm m m m m m mm m m m m m m m m mf A Aa a a A a a a A a A A A a a a A A A A a a a a λλϕλλλλλλλλ--------==+++++=+++++而11112112121()(...)1...mm mm A m m m m m m m m m m m m m m m mAAA A a a a a a a a a A A A A a a a a λλϕλλλλλλλλ-------=++++=+++++所以()()mA mAf a λλϕλ=.引理4.1.3 设11(0)1......1a a a J a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为n 阶Jordan 块，则1J -的Jordan 标准形为111111.1......1a a a a ----⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭证明 由于1211321(1)(2)2100...000 00,...00.....................m m m a a a J a a a a a a a a --------------⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭1E J λ--的初等因子组为1()m a λ--,所以1J -的标准形为111111.1......1a a a a ----⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭引理4.1.4 设A 为n 方阵, A 的Jordan 标准形为 11(0),1......1a a a J a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭k 为非零常数，则kA 的Jordan 标准形为11.1......1ka ka ka ka ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭证明 A 的Jordan 标准形为J ，则存在可逆矩阵T ，使11,()A TJT kA T kJ T --==, 从而有11().......kak ka k ka E kA E T kJ T T T k k ka λλλλλ---⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪---=-=⎪-⎪ ⎪⎪--⎝⎭所以E kA λ-的初等因子为()n ka λ-. 所以kA 的Jordan 标准形为111......1ka ka ka ka ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.定理4.1.2 设A 为n 阶非奇异方阵, A 的Jordan 标准形为12...r J J J J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 其中12311(1,2,...,)1......1r r J i r λλλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为n 阶Jordan 块，1ri i n n ==∑,则1A -的Jordan 标准形为：12(,,...,)r diag M M M ,其中i M 为1r J -的Jordan 标准形(1,2,...,)i r =.证明 A 的Jordan 标准形为J ，存在可逆矩阵T 使1T AT J -=或1A TJT -=，则11111112(,,...,)r A TJT Tdiag J J J T ------==,那么111111211111122(,,...,)(,,...,)r r rE A E Tdiag J J J T Tdiag E J E J E J T λλλλλ----------=-=---其中r E 为r n 阶单位阵，则1111122,,...,r r E J E J E J λλλ------的全部初等因子即为1E A λ--的初等因子，这些初等因子对应的Jordan 块即为12,,...,r M M M ，因此1A -的Jordan 标准形为12(,,...,)r diag M M M .4.2 最小多项式在对称矩阵中的应用在下面的章节中，我们将讨论矩阵最小多项式在对称矩阵中的应用.设A 是一个n n ⨯方阵，所谓一个n 次矩阵多项式是指形如1110()...n n n P A A a A a A a I --=++++形式的一个多项式，其中110,...,,n a a a -是一组复数.定义4.2.1[2]设1110()...n n n P A A a A a A a I --=++++是一给定的n 次矩阵多项式，我们称1110()...n n n P x x a x a x a --=++++为()P A 的特征多项式.根据代数基本定理，我们可以知道1()()ni i P x A a I ==-∏我们称上式右边为()P A 的质因子分解式．定理4.2.1 对任意一个n n ⨯对称阵A ，其最小多项式是存在并且唯一的，且其形式为1()()mi n i P A I λλ==-∏即有1()()0()mi n i P A A I m n λ==-≡≤∏其中λ为0A I λ-=的互异特征根，1,2,...,i m =详细证明略.推论4.2.1[2] 设A 为任意实对称阵，()P A I λλ=-，则()0P A ≡.事实上，若()()()k n k P P P λλλ-=， ()k P λ是0A I λ-=的最小多项式，则()0k P A =，当然更有()0P A =．这也说明在n 阶实对称阵情况下，对于Hamilton —Caylay 中的使()0f A =的多项式()f λ,存在一个次数比()f λ更低的多项式()P λ，也满足()0P A =．也即对Hamilton-Caylay 定理作出了一定的改进．推论4.2.2[2] 设A 为任意n 阶实对称阵，且0A I λ-=有个互异特征根12,,...,n λλλ,则11,()()nn ij j iA A I ϕλ-=≠=-∏的秩为1．证明 设A 的最小多项式为121()(),,,...,ni n i P λλλλλλ==-∏ 为A 的n 个互异特征根，由于1()()0mi n i P A A I λ==-≡∏则1()()0n i A I A λϕ--≡且1()0n i A ϕ-≠,从而可知1()n i A ϕ-的每一个列向量都属于()0A I x λ-=的解空间{},:()0i i x A I x φφλ=-=． 又由于相应于A 的每一个特征根i λ,必有一特征向量i e ,使得()0,1,2,...,i A I e i n λ-==，而由于12,,...,n λλλ互异，则12,,...,n e e e 相互直交．故显然12...n n R φφφ=+++则(1,2,...,)i i n φ=的维数为1，则1()n i A φ-的秩为1．证毕.推论4.2.3[2] 设A 为一n 阶对称阵, x 为任意一个n 维非零向量，则一定存在A 的特征向量η，使得2(,,,...)L x Ax A x η∈，其中2(,,,...)L x Ax A x 表示由2,,,...x Ax A x 为生成元的生成子空间．证明 设A 的最小多项式为121()(),,,...,mi m i P λλλλλλ==-∏为A 的m 个互异特征根，即有1()()0mi n i P A A I λ==-≡∏对任意一个n 维非零向量x ，有11()()0mn ii A A I ϕλ-==-≡∏，即12()()...()0m A I A I A I x λλλ---≡．令2()...()m A I A I x ηλλ=--，显然0η≠.(否则由x 的任意性可得2()...()0m A I A I x λλ--≡. 这与最小多项式定义相矛盾)．故对0η≠，有1A ηλη=，且21(,,,...,)m L x Ax A x Ax η-∈. 4.3 最小多项式在矩阵对角化中的应用矩阵的对角化是高等代数中非常重要的内容之一，在通常的教材中，对于一个n 阶矩阵能否对角化一般是考虑它是否有n 个线性无关的特征向量，往往比较复杂.本文将利用最小多项式给出一个矩阵可对角化的另一个充要条件，比以往的充要条件更加简洁、实用.在上面的讨论中，我们知道一个矩阵的零化多项式不只一个，但矩阵的最小多项式却是唯一的．下面是零化多项式与最小多项式的关系:定理4.3.1 ()f λ是n 阶矩阵A 的零化多项式，()A m λ是A 的最小多项式，则()|(),A m f λλ特别的()|().A A m f λλ证明 由多项式的辗转相除法，对于()f λ，()A m λ必存在(),()q r λλ使()()()(),A f m q r λλλλ=+其中()0r λ=或deg(())deg(())A r m λλ<．把A 代入上式，即得()()()().A f A m A q A r A =+因()0f A =，()0A m A =，所以()0r A =.若()0r λ≠，说明存在一个次数比()A m λ的次数低的非零多项式()r λ使A 零化，显然不可能．因此()0r λ=，从而()()()A f m q λλλ=，即()|()A m f λλ，自然()|()A A m f λλ. 引理的证明中已指出，()E A λ*-中的元素都是次数不超过1n -的λ的多项式，若()d λ是()E A λ*-中所有多项式的最大公因式，则由()()E A E A E A E λλλ*--=-知()|()A d f λλ，而对于()|()A f d λλ，我们有下面的定理.定理4.3.2 设A 是一个n 阶矩阵，()d λ是()E A λ*-中所有元素的最大公因式，则有()()()A A f m d λλλ=详细证明略.定理4.3.3 n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是A 的最小多项式无重根. 证明 必要性：设1~(,...,)n A diag λλ=Λ，所以存在可逆矩阵T 使1T AT -=Λ 从而1i i T A T -=Λ ，不妨令1,...,n λλ 是A 的互不相同的特征根()k n ≤，记11211()()()...()...k k k k k g a a a λλλλλλλλλλ--=---=++++，因有11111111111()(...)......()k k k k k k k k k T g A T T A a A a E T T A T a T A T a T ETa a E g --------=+++=+++=Λ+Λ++=Λ 而1111112111211111121211()...(,,...,)(,,...,)...(,,...,)............k k k k k k k k k n n k k k k k k k k kk k n n k g a a Ediag diag a a a diag a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλ-------Λ=Λ+Λ++=+++⎛⎫+++ ⎪+++ ⎪= ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭12((),(),...,())0n diag g g g λλλ==所以()0g A =,于是()|()A m g λλ，但()g λ没有重根，因而()A m λ没有重根. 充分性：设1,...,k λλ为()A m λ的互不相同的根，则由()A m λ没有重根，应有12()()()...()A k m λλλλλλλ=---，于是12()()()...()0A k m A E A E A E λλλλ=---=.令()i i rank A E r λ-=，则dim r i V n r =-，所以A 共有12()()...()k n r n r n r s -+-++-=个线性无关的特征向量，并且显然s n ≤，另一方面有12...(1)k r r r k n +++≤-因而又有12()()...()k s n r n r n r n =-+-++-≥故s n =,这就证明了A 有n 个线性无关的特征向量.这个定理对判断A 能否对角化是非常有用的.结论最小多项式的有关理论是线性代数课程中的主要内容.最小多项式的有关理论已经成为矩阵研究领域的热点之一.矩阵的最小多项式在判断矩阵相似、若当标准型、矩阵函数和矩阵方程和研究线性变换的结构中都有极为重要的应用.本文主要讨论了矩阵最小多项式的有关定义，性质；可以让我们更好地对矩阵的最小多项式有一个清楚的了解.本文重点讲述了矩阵最小多项式的有关求法，并对每一种求法给了对应的例子.在此基础上，本文着重介绍了矩阵最小多项式的应用.使大家对矩阵的最小多项式有一个更全面的认识.本文可将矩阵最小多项式的应用推广到其它的领域，因为当今对矩阵最小多项式不仅可用线性代数领域，还可用于其它各个领域.因此对于矩阵的最小多项式问题，还有待进一步研究.参考文献[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编[M]. 高等代数. 北京: 高等教育出版社（第二版）1987，51-103.[2]揭丹. 矩阵的最小多项式及其应用[J].数学杂志，2008，28：183-186.[3]王秀玉，姜兴武. 伴随矩阵的最小多项式和Jordan标准形[J].吉林工学院报，1997，18(4): 62-66.[4] 夏必腊. 方阵最小多项式的性质与求法[J].高等数学研究，2003，6：34-39.[5] 杜志涛，宋兴军. 矩阵最小多项式的初等变换[J].齐齐哈尔大学学报，2006，22(6)：78-80.[6] 秦勇. 矩阵最小多项式的特征多项式求法[J]. 常州师专学报, 2002，20(4):1-2.[7] 翁佩萱. 利用最小多项式计算*At[J]. 华南师范大学学报（自然科学版），exp()2001，1:8-15.[8] 黄可滃. 用最小多项式求线性微分方程组的基解矩阵[J].绍兴文理学院学报，2009，9(X):5-7.[9] 韩振芳，杨小珠，王宇红. 有关多项式定理及其应用[J].河北北方学院学报（自然科学版），2006,6(3):4-5.[10] 龙小胖. 最小多项式的求法[J].井冈山师范学院学报，2004，6(5):54-55.[11] 王莲花，王建平，李艳华，白洪远. 最小多项式的性质及其应用[J].河南教育学院学报（自然科学版），2004，6(2):12-13.[12] 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Bulletin of The PolishAcademic of sciences, 2008, 56(4): 391-393.致谢在本科毕业论文即将完成之际，我要把我最真挚的谢意送给我的指导老师刘巍老师，他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我；他们博大精深的数学思想、观点和精益求精的研究方法，以及导师对代数学深刻的认识一直在促使和指导着我学习和研究.在导师艰辛的指导下，使我顺利完成了这篇毕业论文.更为重要的是，导师的谆谆教诲和言传身教的做人风范，将是我人生之灯塔和学习之楷模.对导师的感激之情，难以言表.借此机会，也感谢长沙学院的领导与信息与计算科学系的各位老师，他们开设的课程使我受益匪浅，他们给我创造了宽松、舒适的学习和生活环境，在工作安排上给了我很大的方便，以至我能按时完成此论文.另外，感谢我的同学们在生活和学习上给予我的关心与帮助.感谢我的家人，他们对我学习生活上的关心，理解和支持，激励和鼓舞着我去实现人生梦想.最后，向所有给予我关怀和帮助的老师、同学和朋友致以崇高的敬意和真挚的祝福！学生签名：日期。