2015年秋人教版八年级数学上学期同步学案12.3角的平分线的性质.doc

人教版八年级数学（上）学案12.3 角平分线的性质（2）主备人：文志娟审阅：八年级数学组班级：_______ 姓名：_________ 教师寄语：如果学习只在模仿，那么我们就不会有科学，也不会有技术。

学习目标（目标引领，行动更有效！）1．探索并证明角平分线性质定理的逆定理即角平分线的判定.2．会用角平分线的判定解决问题．温馨提示（这里会给你的探究提供帮助哦！）这节课的重难点是角平分线判定的探究与应用，同学们可以利用证明三角形全等来推理该判定。

在应用时，抓住问题的关键性层层递推，整理思路，最后书写推理过程。

课前热身（温故而知新。

）角平分线的性质是什么？请用符号语言表示（结合图形）一、自主学习（认真研读课本第49思考--50页的内容）聚焦目标一：探究角平分线的判定问题一把角的平分线的性质的题设和结论交换一下，可以得到什么命题？问题二请试着证明问题一中得到的命题问题三阅读教材第50页例题，思考系列问题：（1）点P在∠A的平分线上吗？为什么？（2）三角形的三条角平分线有什么关系？聚焦目标二：角平分线的判定的应用问题一思考课本第51页复习巩固第一题问题二角平分线的性质与判定有什么区别和联系？二、合作探究（组长组织组员针对自主学习解决不了的问题进行研讨）三、展示交流（对组内解决不了的问题，由已掌握的学生或老师讲解）四、课堂小结（一份耕耘，一分收获，仔细梳理，收获一定不小）这节课包含了哪些知识点？你有哪些意外收获呢？五、分层训练（这里是你展示成果的舞台！）（一）巩固性训练（比一比，赛一赛，看谁最棒！）1、在以下结论中，不正确的是( )A．平面内到角的两边的距离相等的点一定在角平分线上B．角平分线上任一点到角的两边的距离一定相等C．一个角只有一条角平分线D．角的平分线有时是直线，有时是线段2、如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A. 1处B. 2处C. 3处D. 4处3、到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点4、如图所示，DB⊥AB，DC⊥AC，且BD=DC，已知∠BAC=80°，则∠BAD=_______，∠CAD=_________。

人教版八年级上册12.3角平分线的性质学案（含答案）知识要点：1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等．2.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上3.用尺规作已知角的平分线．作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC．射线OC即为所求．一、单选题1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点2．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）A．1 B．2C．3 D．43．如图，在△ABC 中，∠B=90º，AC=10，AD 为此三角形的一条角平分线，若BD=3，则三角形ADC 的面积为（）A ．3B ．10C ．12D ．154．三条公路将A 、B 、C 三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三条公路的距离相等，那么这个公园应建的位置是（ ）A ．三条高线的交点B ．三条中线的交点C ．三条角平分线的交点D ．三边垂直平分线的交点 5．下列说法中错误的是（ ）A ．三角形三条角平分线都在三角形的内部B ．三角形三条中线都在三角形的内部C ．三角形三条高至少有一条在三角形的内部D ．三角形三条高都在三角形的内部6．如图，点I 为ABC ∆角平分线交点， 8AB =，6AC =，4BC =，将ACB ∠平移使其顶点C 与I 重合，则图中阴影部分的周长为( )A ．9B ．8C ．6D ．47．如图，OB 、OC 分别是ABC ∠、∠ACB 的平分线，80A =∠，则O ∠=（ ）A ．80B ．100C ．120D ．1308．如图，OC 是∠AOB 的平分线，OD 平分∠AOC ，且∠COD=25则∠AOB=（ ）A ．50B ．75C ．100D ．209．如图，△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线，AB=4，AC=3,那么△ABD 和△ADC 的面积比是（ ）A ．1:1B ．3:4C ．4:3D ．不能确定10．如图，已知 AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，∠CDE ＝150°，则∠C ＝（ ）A.60°B.100°C.120°D.150°二、填空题11．如图,OC 为∠AOB 的平分线,CM ⊥OB,OC=5,OM=4,则点C 到射线OA 的距离为____.12．如图，在∠MON 中，以点O 为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM 于点A ，交射线ON 于点B ，再分别以A 、B 为圆心，OA 的长为半径作弧，两弧在∠MON 的内部交于点C ，作射线OC ，若OA ＝5，AB ＝6，则点B 到AC 的距离为_____．13．如图，直线//AB CD ，BC 平分ABD ∠，若165∠=，则2∠=__________．14．如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，AF ⊥BC 于点F ，BE 、AF 交于点P ，若AB =9，PF =3，则△ABP 的面积是______.三、解答题15．如图，∠AOB ＝90°，射线OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ．（1）如果∠BOC ＝30°，求∠MON 的度数；（2）如果∠AOB ＝α，∠BOC ＝30°，其他条件不变，求∠MON 的度数；16．已知：如图，点C 在AOB ∠的一边OA 上，过点C 的直线//DE OB ，CF 平分ACD ∠，CG CF ⊥于C .()1若40O ∠=，求ECF ∠的度数；()2求证:CG 平分OCD ∠；17．如图所示，点A ，B ，C 分别表示三个住宅小区，为了丰富社区居民的文化生活，拟建一个文化活动中心，使它到三个住宅小区的距离相等，请你在图中确定文化活动中心（用点D 表示）的位置.18．已知，如图，在ABC △中，80ABC ︒∠=，50ACB ︒∠=，BP 平分ABC ∠，CP 平分ACB ∠，求BPC ∠的度数.1．D 2．B 3．D 4．C 5．D 6．B 7．D 8．C 9．C 10．C 11．312．245．13．50°.14．27 2.15.（1）由题意得，∵ON平分∠BOC，∠BOC=30°∴∠BOC=2∠NOC∴∠NOC=15°∵OM平分∠AOC∴∠MOC=12∠AOC∵∠AOC=90°+∠BOC=90°+30°=120°，∴∠MOC═12∠AOC=12×120°=60°∴∠MON=∠MOC-∠NOC=60°-15°=45°故∠MON的度数为45°（2）由（1）同理可得，∠NOC=15°∵∠AOB=α∵∠AOC=α+∠BOC=α+30°∴∠MOC═12∠AOC=12×（α+30°）=12α+15°∴∠MON=∠MOC-∠NOC=12α+15°−15°=12α故∠MON的度数为1 2α16．解：（1）∵DE∥OB，∴∠O=∠ACE，（两直线平行，同位角相等）∵∠O=40°，∴∠ACE=40°，∵∠ACD+∠ACE=180°，（平角定义）∴∠ACD=140°，又∵CF平分∠ACD，∴∠ACF=70°，（角平分线定义）∴∠ECF=70°+40°=110°；（2）证明：∵CG⊥CF，∴∠FCG=90°，∴∠DCG+∠DCF=90°，又∵∠AOC=180°，（平角定义）∴∠GCO+∠FCA=90°，∵∠ACF=∠DCF，∴∠GCO=∠GCD，（等角的余角相等）即CG平分∠OCD．17．解：如图所示.18．在△ABC中，∵∠ABC=80°，BP平分∠ABC，∴∠CBP=12∠ABC=40°.∵∠ACB=50°，CP平分∠ACB，∴∠BCP=12∠ACB=25°.在△BCP中∠BPC=180°−(∠CBP+∠BCP)=115°.。

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数学符号语言：(如上图)∵∴作用：证明两条边相等。

（2）角平分线的判定定理:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

数学符号语言：∵∴（4）作用：证明两个角相二、基本训练，夯实双基（一）证明线段相等题组1．如图，∠B=∠D=90゜，根据角平分线性质填空：（1）若∠1=∠2，则= ．（2）若∠3=∠4，则= ．（3）若连接BD,请写出2个以上的正确结论？小结：性质定理应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离。

（二）证明角相等题组2、∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE∴__ __( )A B C D E F变式一：如图，已知BD=CD,BF ⊥AC,CE ⊥AB.求证:D 在∠BAC 的平分线上.变式二、如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC ，BE ＝CF.求证：AD 是△ABC 的角平分线.（说思路）小结：判定定理应用所具备的条件：（1）角的内部一点；（2）垂直距离。

（3）距离相等；（三）提高练习：角平分线与边长 题组3.如图，在△ABC 中∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=8，BD=5，那么D 到直线AB 的距离是＿＿＿。

变式一、如图，在△ABC 中， ∠ C=90 ° ，AD 平分∠CAB ，DE⊥AB，BC ＝7，DE ＝3.则BD=。

变式二、如图，△ABC 中，∠C=90゜，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，且BE=CF ，求证：BD=DF ．证明：（四）拓展训练：角平分线与面积题组4、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AD 是△ABC 的一条角平分线．若CD=3，则△ABD 的面积为 ．变式一、如图，分别在∠MON 的边OM 和ON 上 截取AB ＝CD ，P 在∠MON 平分线上．问（1）△ABP 与△PCD 的面积是否相等？请说明理由．4题图 PMC BA（2）△ABP与△PCD是否全等？请说明理由．解：小结：谈谈本节课的收获。

12.3角的均分线的性质学习目标1.经历角的均分线性质的发现过程，初步掌握角的均分线的性质．2.经过丈量操作，发现角的均分线的性质定理3.能运用角的均分线性质和判断解决简单的几何问题.学习要点：掌握角的均分线的性质和判断.学习难点：角的均分线的性质和判断的应用学法指导：察看思虑，着手操作，合作研究学习过程一、学前准备1．什么是角的均分线？如何画一个角的均分线？2.有一个简略均分角的仪器（如图），此中 AB=AD,BC=DC,将 A 点放角的极点， AB和 AD沿 AC画一条射线 AE,AE 就是∠ BAD的均分线，为何？二、合作研究研究 1.(1)从上边对均分角的仪器的研究中，能够得出作已知角的均分线的方法。

已知什么？求作什么？(2)把简略均分角的仪器放在角的两边. 且均分角的仪器两边相等 , 从几何角度怎么画 ?(3)简略均分角的仪器 BC=DC,从几何角度如何画(4)OC 与简略均分角的仪器中,AE 是同一条射线吗?(5) 你能说明OC是∠ AOB的均分线吗 ?研究 2.在角的均分线 OC上随意找一点 P, 过 P 点分别作 OA、 OB的垂线交 OA、 O 于 M、 N, PM 、 PN的长度是∠ AOB 的均分线上一点到∠ AOB两边的距离 .AMPCO N B(1) 操作丈量：取点 P 的三个不一样的地点，分别过点 P 作 PD⊥OA， PE ⊥OB,点 D、 E 为垂足，丈量 PD、 PE 的长 . 将三次数据填入下表：PM PN第一次第二次第三次察看丈量结果，猜想线段PD与 PE的大小关系，写出结论：____________(2)你能概括角的均分线的性质吗?(3) 你能用三角形全等证明这个性质吗?研究 3.如图，已知PD⊥ OA, PE⊥ OB,且 PD =PE，那么 P点在∠ AOB的均分线上吗？为何？ADPO BE概括：三、新知应用1. 思虑：如下图，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，?离公路与铁路交错处500m，这个集贸市场应建于哪处（在图上标出它的地点，比率尺为1： 20000）？2.例题解说：如图，△ ABC的角均分线BM、 CN订交于点P．求证：点P 到三边 AB、 BC、CA的距离相等．剖析：点 P 到 AB、BC、CA的垂线段 PD、PE、PF的长就是 P 点到三边的距离， ?也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、 CN分别是∠ B、∠ C的均分线， ?依据角均分线性质和等式的传达性能够解决这个问题．四、稳固练习1.教材 50 页练习 12、教科书P50 练习 2.五、讲堂小结1. 这节课你学到了哪些知识？2. 你还有什么迷惑？六、当堂清1. 在△ ABC 中，∠ C ＝ 90°，AD 是∠ BAC 的角均分线，若 BC ＝ 5 ㎝，BD ＝3 ㎝，则点 D 到 AB 的距离为。

放在角的顶点，ADBA（3）画射线AC.∴射线AC 即为所求.【三】巩固练习已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E （课本图11．3─4）求证：PD=PE ．证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO=∠PEO=90°在△PDO 和△PEO 中，∴△PDO ≌△PEO （AAS ） ∴PD=PE如图，AB ∥CD ，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，再分别以E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M .若∠ACD ＝120°，求∠MAB 的度数．解析：根据AB ∥CD ，∠ACD ＝120°，得出∠CAB ＝60°，再根据AM 是∠CAB 的平分线，即可得出∠MAB 的度数．解：∵AB ∥CD ，∴∠ACD ＋∠CAB ＝180°，又∵∠ACD ＝120°，∴∠CAB ＝60°，由作法知，AM 是∠CAB 的平分线，∴∠MAB ＝12∠CAB ＝30°.方法总结：通过本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM 是∠BAC 的角平分线是解题的关键．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 的长是( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：过点D 作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，∴DF ＝DE ＝2，∴S △ABC ＝12×4×2＋12AC ×2＝7，解得AC ＝3.故选D.方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．拓展延伸，巩固强化知识。

【五】布置作业1.课本练习2.同步练习对应习题OCN别为点D、E.∴ PD=PE二次备课。

12.3 角的平分线的性质一、教学目标（一）核心素养（二）学习目标会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性；探索并证明角平分线的性质；能用角的平分线的性质解决简单问题.（三）学习重点角的平分线的性质的证明及应用.（四）学习难点角的平分线的性质的探究.二、教学设计(一)课前设计预习任务用尺规作图作一个角的平分线的方法，其依据是SSS .角的平分线上的点到角的两边的距离相等.预习检测一、填空题1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若BC＝8cm，BD＝5cm，则点D到AB的距离为.答案：3cm解析：根据题意画出图形，过点D作DE⊥AB，交AB于点E，D点到AB的距离即为DE 的长.∵∠BCA=90°∴AC⊥BC∵AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠CAB∴CD=DE∵BC=8cm，BD=5cm，CD=DE，BC=CD+BD∴DE=3cm即D点到直线AB的距离是3cm.点拨：根据角平分线的性质添加辅助线作答2.∠AOB的平分线上一点P，P到OA的距离为2.5cm，则P到OB的距离为cm.答案：2.5解析：∵P是∠AOB平分线上一点，点P到OA的距离是2.5cm，∴P到OB的距离等于点P到OA的距离，为2.5cm.因此，本题正确答案是:2.5.点拨：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答.二、选择题3.如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）A.PD＝PEB.OD＝OEC.∠DPO＝∠EPOD.PD＝OD答案：D解析：A项；由角分线性质，正确B项；由角分线性质知PD＝PE，由HL知Rt△OEP≌△ODP，则两三角形全等知OD＝OE，正确.C项；同B项，由两三角形全等知∠DPO＝∠EPOD项；错误点拨：由题设可知OP为∠AOB的角平分线，PE为P到OB的距离，PD为P到OA的距离，再由角的平分线性质判断即可.可由角分线的性质找出相应的结论.(二)课堂设计1.知识回顾（1）三角形的判断方法有哪些？SSS，SAS，AAS，ASA，HL（2）三角形中有哪些重要线段？三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中线，三角形的角的平分线．（3）从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离.2.问题探究探究一角的平分线的作法●活动①请同学们拿出准备好的角，用你自己的方法画出它的角平分线，然后与大家交流分享.【设计意图】通过学生动手实践，寻找作已知角的平分线的方法，目的是为了引入尺规作图作已知角的平分线.12BD●活动②如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC.将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，画一条射线AE ，AE 就是∠DAB 的平分线. 你能说明它的道理吗？让同学们把推理过程写在课堂作业本上，老师巡查学生完成情况，对个别学生进行引导，最后教师把有典型错误的解答过程展示出来，让同学们去纠正错误.【设计意图】为如何用尺规作图作已知角的平分线作铺垫.●活动③老师提出问题：通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）讨论结果展示：已知：∠MAN求作：∠MAN 的角平分线.作法：（1）以A 为圆心，适当长为半径画弧，交AM 于B ，交AN 于D.（2）分别以 B.D 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在∠MAN 的内部交于点C.（3）画射线AC.∴射线AC 即为所求.分组讨论： 1．在上面作法的第二步中，去掉“大于12BD的长”B这个条件行吗？2．第二步中所作的两弧交点一定在∠MAN的内部吗？学生讨论结果总结：1．去掉“大于12BD的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．2．若分别以B.D为圆心，大于12BD的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠MAN的内部，也可能在∠MAN的外部，而我们要找的是∠MAN内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠MAN的平分线了．3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可．4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．练一练：任意画一角∠AOB，作它的平分线．【设计意图】设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯探究二角的平分线的性质●活动①如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，三条折痕分别表示什么？你能得出什么结论？学生回答后师生归纳：OC表示∠AOB的角平分线，PD和PE分别表示P到OA和OB的距离，P到角两边的距离相等（PD=PE）【设计意图】让学生感知角平分线的性质.●活动②学生活动：作已知∠AOB的平分线，过平分线上一点P，作两边的垂线段.投影出下面两个图形，让学生评一评.结论：同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求．问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质？师生共同归纳：角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话？已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D.E为垂足．由已知事项推出的事项：PD=PE．【设计意图】进一步理解角平分线的题设和结论.●活动③以上结论成立吗？让同学们独立进行证明，然后展示学生的证明过程：证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB (已知)∴∠PDO = ∠PEO=90°(垂直的定义)在△PDO和△PEO中∠PDO = ∠PEO（已证）∠AOC = ∠BOC （已知）OP=OP （公共边）∴△PDO ≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）于是我们得角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．符号语言：∵∠AOC=∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D.E.（已知）∴PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）【设计意图】展示符号语言的目的在于规范学生的书写过程，培养学生严谨的推理能力.探究三用角的平分线的性质解决简单问题●活动①应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题．例1(1) 下面四个图中，点P都在∠AOB的平分线上，则图形( )中PD＝PE.A B C D【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】利用角平分线的性质时，非常重要的条件是PD和PE是到角两边的距离.【解答过程】选项A中如果增加一个条件OD＝OE，就能得出PD＝PE；选项B和C中PD不是到OA的距离；选项D中P到OA和OB的距离为PD和PE.【答案】D(2)下图中，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D.E，则图中PD＝PE吗？【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】已知没有告诉OC为∠AOB的平分线，由此PD与PE不相等.【解答过程】PD与PE不相等，因为OC不是∠AOB的平分线.（3）如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝2cm，则点D到AB的距离为cm．【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】过D作AB的垂线段DE，垂足为E，由BD平分∠ABC，可得DC=DE=2.【解答过程】解：过D作AB的垂线段DE，垂足为E，∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴DC=DE∵CD＝2cm，∴DE=2cm，即点D到AB的距离为2cm【答案】2练习：如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为点E，AC=7cm，则AD+DE= cm.EDCBA【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】由BD平分∠ABC，可得DC=DE，AD+DE=AD+DC=AC.【解答过程】解：∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴DC=DE∴AD+DE=AD+DC=AC.∵AC=7cm，∴AD+DE=7cm.【答案】7【设计意图】通过练习，理解角平分线的性质.●活动②例2如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1:20 000）？【知识点】角平分线的性质【思路点拨】1．这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．2．在纸上画图时，我们经常以厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了．1 m=100 cm，所以比例尺为1:20 000，其实就是图中1 cm表示实际距离200 m的意思．作图如下：【答案】第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．第二步：在射线OP上截取OC=2.5 cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．练习：在S区有一个贸易市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路，怎样修才能使路最短？它们有怎样的数量关系呢？【知识点】角平分线的性质【思路点拨】过P分别作公路和铁路的垂线段，这两条垂线段就是P点到公路和铁路的最短距离.【答案】过P点分别作铁路和公路的垂线段，它们的数量关系为相等.●活动3例3如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，F在BC上，AD=DF 求证：CF=EA【知识点】角平分线的性质和三角形的判定和性质S公路铁路P初中-数学-打印版【思路点拨】证CF和EA所在的两个三角形全等【解答过程】证明：∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，∴DC=DE又∵AD=DF∴△DCF≌△DEA（HL）∴CF=EA练习：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．【知识点】角平分线的性质和全等三角形的判定【思路点拨】利用角平分线的性质可得OD=OE，证明△BOD ≌△COE可得OB=OC 【答案】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，AO平分∠BAC，∴OD=OE，∠BDO=∠CEO=90°．∵∠BOD=∠COE，∴△BOD ≌△COE．∴OB=OC．3. 课堂总结知识梳理（以课堂内容为根据，结合教学目标的几点要求，对涉及到的知识细致梳理）（1）会用尺规作一个角的平分线，知道作法的理论依据；（2）探索并证明角平分线的性质；（3）能用角的平分线的性质解决简单问题.重难点归纳（本节课的中心知识点在此进行回顾，对课堂上的典型方法、特殊例题进行归纳点拨）（1）角的平分线的性质的探究.（2）角的平分线的性质的证明及应用.（3）证明线段相等通常证明线段所在的两个三角形全等.初中-数学-打印版。

课题12.3角平分线的判定上课教师上课时间第周第节教学目标1、掌握角平分线的判定。

2、熟练运用角平分线的判定及性质解决问题。

3、结合实际,创造丰富的情境,提高学生的学习兴趣,让他们在活动中获得成功的体验,培养学生的探索精神,树立学习的信心.教学重点角平分判定的应用。

教学难点运用角平分线判定证明及解决实际问题.教学过程环节教师活动学生活动设计意图课前预习1、布置学生的课前预习任务；2、进行预习方法指导；3、对学生预习任务进行检查与评定。

1、认真阅读教材50内容，用铅笔勾画重点概念；2、完成《练习册》28-29页例1、例2。

培养课前预习习惯，提升自主学习能力。

自主学习理解新知一、师生互动、引问激思（运用教材，梳理知识）1、角平分线的判定例1：如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，CF、BE相交于点D，且BD=CD.求证：AD平分∠BAC.(练习册28页例1)2、三角形的平分线例2：如图，某市有一块由三条公路围成的三角形绿地，现准备在其中建一座小亭供人们休息吗，而且要使小亭中心到三条公路的距离相等，试确定小亭中心的位置(练习册29页例2)一、进入情境、领会所学（理解教材，领悟新知）1、在课本上用红色笔勾画角平分线判定的内容；2、分小组分享例1解答过程；3、总结证明角平分线的常见方法。

1、分小组展示例2解答；2、说出解决此类题型的方法；3、说出三角形三条角平分线的关系；4、板书写例题解答格式。

课堂前阶段通过师生互动，学生温故知新，初步领会角平分线判定定理。

通过例题掌握三角形三角平分线的关系。

互动交流巩固所学二、点导评析、归类拓展（运用教辅，解疑释惑）例1变式：如图，在 △ ABC 中，摆放有两个完全一样的三板，它们的一组对应直角边分别在边AB 、AC 上，且这组对应边所对的顶点重合于点M ，则点M 一定在（ ）Ａ、∠Ａ的平分线上； Ｂ、边ＡＣ的高上；Ｃ、边ＢＣ的垂直平分线上；Ｄ、边ＡＢ的中线上(练习册28页列1变式训练)例2变式：如图，已知∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC.求证：AM 平分∠DAB （练习册29页例2变式训练）二、课堂展示、体系建构(例题展示，变式操练)说出作判断的依据；1、规范快速求解；2、准确说清解题依据；3、尝试总结解题方法。