沪科版数学八年级上册 角的平分线 教案(第一课时)

沪科版初中数学初二数学上册《角的平分线》教案及教学反思一、教师教学目标1.知识目标通过教学，使学生掌握以下知识：1.角的概念与角度的度量；2.角的平分线的定义；3.角的平分线存在唯一性定理；4.角平分线的性质。

2.能力目标通过教学，培养学生以下能力：1.用尺规作出一个角的平分线；2.分析和解决与角平分线有关的问题。

二、教学过程1.导入（1）与学生交流，引出本节课的重点：“角的平分线”。

（2）呈现一个图形，在图形上标注一个角，引导学生自学角的概念及角度的度量。

2.讲授（1）通过示范演示尺规作图法，向学生展示如何作出一个角的平分线。

（2）接着教授“角的平分线”的定义及存在唯一性定理，重点讲解定理的证明过程。

（3）继续讲解“角平分线”的性质，引导学生理解并记忆这些性质。

3.练习（1）练习1：一道填空题，“若∠AOB=120°，则∠COE=_____”，要求学生作图并填空。

（2）练习2：一道选择题，“如图，∠BAC=70°，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，求∠ABD的度数”，要求学生分析后选出正确答案。

（3）练习3：一道实际问题，“如图，在矩形ABCD中，∠CAD=20°，连接AC，E为AC上一点，使得∠AEB=70°，试求∠BED的度数”，要求学生根据所学知识，应用角度平分线的性质，解决问题。

4.归纳总结（1）让学生进行小组讨论，汇总并总结本节课所学的知识和方法。

（2）教师讲解本节课的关键内容，强调难点和易错点，加深学生对课堂内容的理解和记忆。

5.作业（1）书面作业：完成课堂练习及课下作业。

（2）课后思考：思考角平分线的应用及相关问题，找出解决方法，并提交解题过程和结果分析。

三、教学反思本节课教学内容主要涉及到“角的平分线”的概念、存在唯一性定理、性质等知识点，教师通过组织学生自学、演示作图法、引导分析解决问题等方式，使学生初步掌握了这些知识点。

在实际教学过程中，有以下几点需要完善：1.导入环节不够充分在本节课的导入环节，教师只是简单与学生交流，引出了本节课的重点。

角的平分线的判定一、教学目标（一）知识与技能1.了解角的平分线的判定定理；2.会利用角的平分线的判定进行证明与计算.（二）过程与方法在探究角的平分线的判定定理的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力.（三）情感、态度与价值观在探究作角的平分线的判定定理的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验.二、教学重点、难点重点：角的平分线的判定定理的证明及应用；难点：角的平分线的判定.三、教法学法自主探索,合作交流的学习方式.四、教学过程（一）引入新课问题1如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到两条高速公路的距离相等，离两条公路交叉处500 m，请你帮忙设计一下，这个广告牌P 应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？（1）．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．①推导已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求证：点P在∠MON的平分线上．证明：连结OP在Rt△PAO和Rt△PBO中，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）∴∠1＝∠2∴OP平分∠MON即点P在∠MON的平分线上．②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）【典型例题】例如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P 到三边的垂线段．解：AP 平分∠BAC ．结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等． 理由：过点P 分别作BC ，AC ，AB 的垂线，垂足分别是E 、F 、D ． ∵BM 是∠ABC 的角平分线且点P 在BM 上，∴PD ＝PE （角平分线上的点到角的两边的距离相等）．同理PF ＝PE ，∴PD ＝PF ．∴AP 平分∠BAC （到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）．（三）展示点评练习：第2题（四）课堂小结请你说说本届课的收获与困惑.（五）当堂检测（满分100分）1.到角的两边距离相等的点在 上。

《15.4.1角的平分线》教案学习目标1、会画已知角的平分线.2、能通过逻辑推理验证所作图形是角平分线.3、会画经过一点作已知直线垂线.学习重点掌握尺规作已知角的平分线的作法.学习难点从作图过程中找到已知条件，通过逻辑推理验证所作图形为角平分线.教学流程一、新课导入：师：同学们，请大家观察我手中的三角形，如果我要将其中一个角分成两个相等的角，你有哪些方法？生：翻折、用量角器量、用直尺和圆规.师：①本节课我们就学习用没有刻度的直尺和圆规画已知角的平分线(出示课题)，这节课我们要掌握哪些知识呢？让我们一起来了解一下学习目标.②若学生说不出用尺规作图，则这样引导:前面我们学习了用尺规作图的方法可以画一条线段等于已知线段，画一个角等于已经角，那么用尺规作图的方法可否画这个角的平分线呢？这就是我们今天要学习的内容.二、探索新课1、下面介绍用尺规作图法作出角AOB的角平分线.○1．以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N．○2．分别以M，N为圆心．大于1/2MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于P．○3．作射线OP．射线OP即为所求．2、思考：怎么证明射线OP就是角AOB的平分线呢？学生课堂自己证明.3、当∠AOB =180°时，角平分线怎么画？已知：直线AB及一点C，求作：直线AB的垂线，使它经过点C. 解：分两类情况作图1.当点C在直线AB上时作平角ACB的平分线CF，直线CF就是所求的垂线.2.当C在直线AB外时.作法：任意取一点K，使K和C在AB的两旁；以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E；分别以点D和点E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点F；作直线CF.直线CF是所求的垂线.三、小结1.尺规作图的两种种常用基本作图.2.掌握一些规范的几何作图语句.3.学过基本作图后，在以后的作图中，遇到属于基本作图的地方，只须用一句话概括叙述即可.4.解决尺规作图问题，先作出符合.四、作业课本P143页练习.。

19.5角的平分线一、教学目标1、掌握角平分线的定理和逆定理。

2、让学生理解角平分线是到角的两边距离相等的点的集合，渗透集合思想。

3、学生通过体验探索定理和逆定理得出的过程，培养学生的逻辑推理能力。

二、教学重点本节重点是角平分线的定理及其逆定理。

三、教学难点1、本节内容的难点是定理及逆定理的关系，学生在应用它们的时候容易混淆，帮助学生认识定理和其逆定理的区别，是本节课的难点。

2、综合分析“已知”“求证”，找到解题的正确途径，培养学生学习几何的信心。

四、教学过程（一）创设情境，提出问题思考题：1、若某超市P （在三条道路所形成的图形内部）到三条道路OA、OB、MN的距离都相等，则该超市的位置在哪儿？为了解决这样的问题，今天我们来学习——19.5角的平分线（引出课题）（二）探索发现1、想一想：什么叫角平分线？（学生回忆旧知）2、折一折：已知∠AOB，折出∠AOB平分线OC，（学生操作完成）。

3、量一量：在OC上取一点P，作PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.，量出PD，PE的长度。

4、猜一猜：PD和PE之间存在什么关系？那么对于OC上的任意一点P,这个关系都成立吗？（介绍点到直线的距离）5、说一说：怎样用文字语言叙述这个结论？（学生讨论组织语言，教师板书此命题）板书：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等6、证一证：已知：如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:PD=PE.（学生口述证明过程，同时教师总结把刚才的命题作为角平分线的性质定理）7、写一写：用符号语言来表示定理。

8、换一换：如果PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. PA=PB那么点P在∠AOB的平分线上吗？（判断逆命题的真假，教师引导证明，师生共同总结此逆命题，并用几何语言描述）板书：角平分线的判定定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上9、找一找：性质定理与判定定理之间存在什么关系？性质定理与判定定理的题设和结论相反，它们是互逆定理。

15.4 角的平分线教学目标【知识与技能】1.会阐述角平分线的性质定理及其逆定理.2.会应用角平分线定理及其逆定理证明两条线段相等或两个角相等.【过程与方法】1.经历探索角平分线作法的过程,进一步体验轴对称的特点,发展空间观察能力.2.探索角平分线定理,培养学生认真探究、积极思考的能力.【情感、态度与价值观】1.体验数学与生活的联系,发展学生的空间观念和审美观.2.活动与探究的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性,使学生具有一些初步研究问题的能力.重点难点【重点】角平分线的性质定理及其逆定理.【难点】理解并证明角平分线的性质定理及其逆定理.教学过程一、创设情境,导入新知师:同学们知道怎样作出角的平分线吗?生1:可以通过折纸得到一个角的平分线.生2:也可以用量角器来画一个角的平分线.师:下面我们来学习用尺规作图的方法作出∠AOB的平分线.作法:1.以O为圆心、任意长为半径圆弧分别交OA、OB于点M、N,如图(1).2.分别以点M、N为圆心,以大于MN长为半径在角的内部画弧交于点P,如图(2).3.作射线OP,则OP为所要求作的∠AOB的平分线,如图(3).师:通过上面的作图,启发我们可以用尺规完成:“经过一点作已知直线的垂线.”由于这一点可能在直线上或直线外,这个作图要分两种情况:1.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线.已知:直线AB和AB上一点C,如图(1).求作:AB的垂线,使它经过点C.作法:作平角ACB的平分线CF.直线CF就是所求的垂线.2.经过已知直线外一点作这条直线的垂线.已知:直线AB和AB外一点C,如图(2).求作:AB的垂线,使它经过点C.作示:(1)任意取一点K,使K和C在AB的两旁;(2)以点C为圆心、CK长为半径作弧,交AB于点D和E;(3)分别以点D和点E为圆心、大于DE的长为半径作弧,两弧交于点F;(4)作直线CF.直线CF就是所求的垂线.教师边操作边讲解:用纸剪一个角,把纸片对折,使角的两边叠合在一起,再把纸片展开,你看到了什么?把对折的纸片继续任意折一次,然后把纸片展开,又看到了什么?学生操作.师:从上面折纸中我们发现,纸片第一次对折后的折痕是什么?生:是这个角的平分线.师:你第二次折时出现的两条折痕的长度之间有什么关系?生:一样长.师:因为第二次我们是任意折的,所以这种等长的折痕能折出无数对.二、共同探究,获取新知教师多媒体出示:操作:(1)折出如上图中的折痕PD、PE;(2)你和同桌用三角板测量一下,检测你们所折的折痕是否符合图示的要求.问题1:你能用文字语言阐述所画图形的性质吗?学生思考后回答.(推证定理1)根据下表中的图形和已知事项图形问题4:用文字语言表述上表中的已知事项和由已知事项推出的事项. (推证定理2)三、练习新知,加深理解师:下面我们接着来探讨上面的问题3. 教师多媒体出示: (1)∵AD 平分∠BAC, DC ⊥AC,DE ⊥AB,(已知) ∴DC=DE.( )(2)∵DC ⊥AC,DE ⊥AB,DC=DE,(已知) ∴点D 在∠BAC 的平分线上.( ) 学生思考后抢答,教师板书.第1个括号中填“角平分线上任意一点到角的两边的距离相等”,第2个括号中填“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”.教师多媒体出示:【例1】 已知:如图所示,∠C=∠C'=90°,AC=AC'.求证:(1)∠ABC=∠ABC';(2)BC=BC'.(要求不用三角形全等判定) 学生思考后交流讨论.教师找一名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正. 证明:(1)∵∠C=∠C'=90°,(已知) ∴AC ⊥BC,AC'⊥BC'.(垂直的定义) 又∵AC=AC',(已知)∴点A 在∠CBC'的角平分线上.(到一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上) ∴∠ABC=∠ABC'.(2)∵∠C=∠C',∠ABC=∠ABC',∴180°-(∠C+∠ABC)=180°-(∠C'+∠ABC').(三角形内角和定理)即∠BAC=∠ABC'.∵BC⊥AC,BC'⊥AC',∴BC=BC'.(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)【例2】已知:如图,△ABC中,∠B、∠C的平分线BE、CF相交于点P.求证:AP平分∠BAC.证明:过点P分别作PM⊥BC、PN⊥AC、PQ⊥AB,垂足分别为M、N、Q.∵BE是∠B的平分线,点P在BE上,(已知)∴PQ=PM.(角平分线上任意一点到角的两边的距离相等)同理PN=PM.∴PN=PQ.(等量代换)∴AP平分∠BAC.(到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)四、课堂小结师:你今天学习了什么知识?有什么新的收获?学生回答,教师点评.教学反思本节课开头设计的折纸和画一画的活动,旨在丰富学生对角平分线性质的感知,有利于学生借助直观图从而准确地用文字语言揭示角平分线的性质.由于部分学生常常把“过角平分线上一点向角两边画垂线段”与“过角平分线上一点画角平分线的垂线”混为一谈,因此设计操作(1)、(2),为学生能正确画出符合要求的图形,从直观上以及三角板的正确使用上都作了恰当的铺垫,同时也为定理1的推理论证作准备.通过学生自己动后操作、自己推导、自己发现,从而得到角平分线的性质定理及其逆定理,充分发挥学生的探究意识,使学生在学习中体验并掌握合作交流的学习方法,同时进一步锻炼学生的数学语言表达能力,能写出规范的证明过程.。

角平分线的性质定理-沪科版八年级数学上册教案一、学习目标1.理解角平分线的定义和性质。

2.掌握角平分线的判定方法和证明方法。

3.运用角平分线定理解决与角平分线相关的问题。

二、教学内容和方法1. 教学内容本课时的教学内容是角平分线的性质定理。

2. 教学方法1.示范法：通过示范例题，让学生理解和熟练掌握角平分线的定义和性质。

2.演绎法：通过推导和证明，教授角平分线定理的判定方法和证明方法。

3.课堂讨论法：组织课堂讨论，让学生思考和解决与角平分线相关的问题。

三、教学步骤1. 角平分线的定义和性质1.介绍角平分线的定义和性质：如果一条直线通过一个角的顶点，将该角分成两个大小相等的角，则该直线称为该角的角平分线。

2.示范法展示角平分线的性质：–角平分线上的点到角的两边的距离相等。

–角的两个相邻补角的角平分线重合。

3.练习：让学生练习和巩固角平分线的定义和性质。

2. 角平分线定理的判定方法和证明方法1.角平分线定理的判定方法：如果一条直线通过角的顶点，将角分成两个大小相等的角，则该直线为该角的角平分线。

2.示范法教授角平分线定理的证明方法：–证明角平分线上的点到角的两边的距离相等。

–证明角的两个相邻补角的角平分线重合。

3.练习：让学生练习和巩固角平分线定理的判定方法和证明方法。

3. 运用角平分线定理解决问题1.给出一些与角平分线相关的问题，让学生讨论和解决。

2.练习：让学生练习和巩固运用角平分线定理解决问题的能力。

四、教学总结通过本课时的学习，学生们理解了角平分线的定义和性质，并掌握了角平分线的判定方法和证明方法，也学会了运用角平分线定理解决问题的能力。

这些知识和技能不仅在初中数学中有广泛的应用，也是日后学习更高数学知识的基础。

学过程设计教探究二：角的平分线的性质实验：1.让学生在已经画好的角平分线上任取一点P.2.分别过P点向OA、OB边作垂线PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E。

3.测量PD和PE的长，观察PD与PE的数量关系。

，并试着说明理由。

归纳角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

应用：如图，ABC中，D为BC中点，且AD恰好平分∠BAC。

求证：AB=AC三、课堂训练1.如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O，假设∠1=∠2，求证OB=OC.2.如图，四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，求证：AD=CD四、小结归纳1.用尺规作图法作出角的角平分线的方法；2.角的平分线的性质；3.角的平分线的性质是证明线段相等的又一种方法。

学生做练习。

学生画图，教师巡视指导。

观察、讨论PD与PE的数量系。

学生通过三角形全等，说明PD=PE。

教师引导学生归纳出角的平分线的性质。

教师引导，学生思考并解题，写出证明过程。

学生充分讨论，综合运用所学知识解决问题。

学生小结本节所学的知识点及知识点的应用。

线的方法。

通过学生实验得到结论，重视知识的发生开展过程。

使学生明确角的平分线的性质是证明线段相等的又一种方法。

稳固本节课所学知识及提升综合应用所学知识解决问题的能力。

从总体上把握学知识。

五、作业设计1.教材习题11.3第2、4小题；2.补充作业：①如图，AB ∥CD ，∠BAC 与∠ACD 的平分线交于点O ，OE ⊥AC 于E ，且OE =2，求AB 、CD 间的距离.②如图，在△ABC 中∠C=90°,AC=BC,AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，且AB=6㎝，那么△DEB 的周长为_________㎝。

EDBCA②思考题：：如图，任意ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线。

求证：BD ∶DC =AB ∶AC〔提示：可参照例题［点拨］，利用面积证明〕课题 11.3 角的平分线的性质一、角的平分线的作法： 作角的角平分线 例题分析 二、角的平分线的性质：教 学 反 思年级八年级课题13.1 平方根〔2〕课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1．了解有的正数的算术平方根开不尽方；2．了解无限不循环小数特点；3．会用计算器算术求平方根；4．会比较开不尽方的正数的算术平方根与有理数的大小.过程方法通过拼正方形，体验解决问题方法的多样性，开展学生的形象思维和抽象思维；探究2的大小，培养估算意识，了解从两个方向无限逼近的数学思想，并学会比较开不尽方的正数的算术平方根与有理数的大小.情感态度认识数学和生活实际的密切关系，建立自信心，提高学习热情.教学重点初步感受无理数，能进行比较教学难点探究2大小教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、情境引入用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形，并求出这个大正方形的边长.二、探究新知1.拼法：按以下图所示，很容易用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形.2．问题：①拼成的大正方形的边长是多少？②你能像上节课那样得到一个平方等于2的正有理数吗？③我们只能把边长表示为2，那么2是多大呢？2的大小：∵12=1,22=4，∴1<2<4；∵22=2.25，∴1.4<2<1.5；∵22=2.0164，∴1.41<2<1.42；∵22=2.002225，∴1.414<2<1.415；……教师提出问题，组织学生动手拼剪.教师参与学生活动，适当帮助指导学生完成拼图活动，并及时肯定学生各种割、拼的方法.教师设计并向学生提出问题，组织学生思考，交流，并引导学生尝试总结归纳，估算出2的大小，理解无限不循环小数的特点.调动学生思维的积极性，通过拼图活动，经历发现无理数的过程.通过形的研究来感受无理数的存在.从而对数的认识进一步加深，为实现从有理数到实数的过渡作好铺垫.教师设计问题，逐层深入，对学生进行启发引导，通过对2的大小估计，再次从数的角度来感受无理数的存在性.培养学生的估算能力，渗透估算的思想和方法，感受从两端无限逼近的数学思想.如此进行下去，可以得到2的更精确地近似值.事实上，2=1.414 213 56…，同π一样，是一个无限不循环小数，这样的数与以前学的有理数一样吗？得到：小数位数无限且小数局部不循环的小数叫无限不循环小数.像7,5,3,2这样，所有开方开不尽的正数的算术平方根都是无限不循环小数. 4.用计算器计算算术平方根的三个步骤：①进入()；②输入(被开方数)；③输出()用计算器计算，并将计算结果填在表中. 0625.0 625.025.6 5.62 625 6250 观察上表，你发现什么了吗？(1)被开方数增大，算术平方根怎样变化？ (2)被开方数与算术平方根的小数点有何移动规律？(3)直接写出：_____625000;_____62500==. 得到：被开方数增大(或减小)，那么算术平方根也增大(或减小)；被开方数的小数点向左〔右〕移动两位，它的算术平方根的小数点也相应的向左〔右〕移动一位.用一块面积为400cm 2的正方形纸片沿边的方向，能否裁出一块面积为300cm 2的长方形纸片， 使它的长宽之比为3：2？分析：大正方形的面积为400 cm 2， 可求出其边长为400=20cm ；要裁出面积为300cm 2的长方形纸片，并使其长宽之比为3：2，通过列方程可求得长和宽须分别为cm cm 502,503，用计算器求得1.750≈，所以3.21503≈，而21.3>20,即要裁出的长方形的长大于正方形的边长，故不能裁出.如果不使用计算器，因为21493503=>>20,所以不能裁出.不用计算器，估计一个整数的算术平方根的技巧：将这个整数a 拆成两个整数m 、n 的积，那么a 的算术平方根必在m 、n 之间，m 、n 越接近，估值越精确.如，24的算术平方根在4、6之间；56的算术平方根在7、8之间，这种方法虽然简便，但对有的数只能估计一个粗略范围，如50的算术平方根只能估计在5、10之间。

沪科版数学八年级上册《角平分线及其画法》教学设计一. 教材分析《角平分线及其画法》是沪科版数学八年级上册的一章内容，主要介绍了角平分线的定义、性质以及画法。

本章内容是学生在学习了角的概念、角的计算等基础知识后，进一步拓展角的性质和应用。

通过本章的学习，使学生能够掌握角平分线的性质，会使用工具画出角的平分线，提高学生的空间想象能力和动手能力。

二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经掌握了角的基本概念和性质，具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力。

但部分学生在角的计算和画法方面仍有困难，对于角平分线的性质和画法可能较为陌生。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习差异，针对性地进行教学，帮助学生理解和掌握角平分线的相关知识。

三. 教学目标1.理解角平分线的定义和性质；2.学会使用工具画出角的平分线；3.能够运用角平分线的性质解决实际问题；4.培养学生的空间想象能力和动手能力。

四. 教学重难点1.角平分线的定义和性质；2.角平分线的画法；3.运用角平分线解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题情境，引发学生的思考，激发学生的学习兴趣；2.演示教学法：通过教师演示角的平分线画法，引导学生动手操作，培养学生的动手能力；3.讨论教学法：学生进行小组讨论，分享学习心得，提高学生的合作能力；4.练习教学法：通过布置不同难度的练习题，巩固所学知识，提高学生的解题能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，展示角的平分线的定义、性质和画法；2.准备角平分线的模型或图片，方便学生直观地理解角平分线；3.准备练习题，包括不同难度的题目，以便进行巩固练习。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过设置一个实际问题情境，如在平面几何中，如何找到一个角的平分线，引发学生的思考，导入新课。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示角的平分线的定义、性质和画法，同时结合模型或图片进行讲解，帮助学生直观地理解角平分线。

15.4角的平分线第1课时角的平分线的作法与性质◇教学目标◇【知识与技能】1.掌握角平分线的尺规作法并会证明它的正确性;2.掌握过一点作已知直线的垂线的尺规作法.【过程与方法】1.培养学生用直尺和圆规作图的能力及语言表述能力;2.培养学生分析问题和解决问题的能力.【情感、态度与价值观】在探究作已知角的平分线的方法及作垂线的方法中,培养学生的几何直觉;培养学生探究问题的兴趣,增强探究问题的信心;体验数学活动的探索性和创造性.◇教学重难点◇【教学重点】角平分线及垂线的尺规作法.【教学难点】角平分线的尺规作法的探索过程.◇教学过程◇一、情境导入1.什么是角平分线?2.如图,已知∠AOB,如何作∠AOB的平分线?3.度量法:用量角器作∠AOB的角平分线.4.说明:角是轴对称图形,角平分线所在的直线是对称轴.5.设问:除了这种方法,还有什么方法能作∠AOB的平分线呢?二、合作探究典例1如图,以点B为圆心,任意长为半径画弧,与角的两边分别相交于点A,C,分别以点A,C为圆心,相同的半径画弧,相交于点D,则BD是角的平分线的依据是()A.SSSB.SASC.ASAD.AAS[解析]由作图可知,△ABD和△CBD中,BA=BC,AD=CD,再加上BD为公共边,可有SSS判定两个三角形全等.[答案] A典例2如图所示,在Rt△ACB中,∠C=90°,AD平分∠BAC,若BC=16,BD=10,则点D到AB的距离是()A.9B.8C.7D.6[解析]∵BC=16,BD=10,∴CD=6.由角平分线的性质,得点D到AB的距离等于CD=6.[答案] D三、板书设计角的平分线的作法与性质1.已知∠AOB,求作:∠AOB的平分线.2.过直线外一点作已知直线的垂线.◇教学反思◇本节课开头设计的折纸和画一画的活动,丰富了学生对角平分线性质的感知,有利于学生借助直观图从而准确地用文字语言揭示角平分线的性质.第2课时三角形中边的关系◇教学目标◇【知识与技能】1.认识三角形,理解三角形的三边关系;2.会对三角形按边分类.【过程与方法】经历三角形边长的数量关系的探索过程,理解三角形的三边关系.掌握判断三条线段能否构成一个三角形的方法,并运用此方法解决有关问题.【情感、态度与价值观】通过观察、操作、讨论等活动,培养学生的动手实践能力和语言表达能力.让学生在自主参与、合作交流的活动中,体验成功的喜悦,树立自信,激发学习数学的兴趣.◇教学重难点◇【教学重点】三角形三边关系的探究和归纳.【教学难点】三角形三边关系的应用.◇教学过程◇一、情境导入看下列实物中,有你熟悉的图形吗?二、合作探究在小学数学中我们学习了有关三角形的一些初步知识,现在请观察上面的屋顶框架图,并思考以下问题:(1)你能从图中找出几个不同的三角形?这些三角形有什么共同的特点?(2)什么叫做三角形?(3)三角形的边可以怎么表示?问题1:研究三角形的三条边是否相等,有多少种可能的情况?结论:三角形中,三条边互不相等的三角形叫做不等边三角形;有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,其中相等的两边叫做腰,第三边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做底角;三条边都相等的三角形叫做等边三角形.问题2:我们以前学习过这样一个性质:两点之间的所有连线中,线段最短.那么在一个三角形中,任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系?结论:三角形任意两边之和大于第三边.典例1画一个三角形,分别量出三角形的三边长度,计算出三角形的任意两边之差,并与第三边比较,你能得到什么结论?[解析]三角形任意两边之差小于第三边.典例2有两条长度分别为5 cm和7 cm的线段,用长度为13 cm的线段与它们能摆成三角形吗?为什么?那么换上线段的长度在什么范围内时可以组成三角形呢?[解析]用长度为13 cm的线段与它们不能摆成三角形.因为三角形任意两边之和大于第三边.三角形第三边的取值范围是两边之差<第三边<两边之和,即第三边x的取值范围是2 cm<x<12 cm.三、板书设计三角形中边的关系1.三角形按边长分类:三角形2.三角形中任何两边的和大于第三边,三角形中任何两边的差小于第三边.◇教学反思◇本节课的学习使学生认识到不是任意的三条线段都能构成三角形,并学会判断三条线段能否构成三角形,通过探讨使学生养成积极思考的习惯.。

19．5（1）角的平分线（1）教学目标1．通过学生探究发现角平分线性质定理，理解并掌握角平分线性质定理及其逆定理；2．会应用性质定理及其逆定理解决问题；3．进一步提高观察、分析、解决问题的能力.教学重点及难点重点：角平分线性质定理及其逆定理.难点：角平分线性质定理及其逆定理的区别及灵活应用. 教学用具准备纸片、作图工具、多媒体教学流程设计教学过程设计一、复习旧知，引入课题通过多媒体展示飞机（模型-纸飞机），让学生折飞机，并引导学生观察折痕得出本节课的课题——角的平分线.二、创设情景，学习新知 复习引入 应用深化 作业反馈 学习新知 小结深化思考：一个角是轴对称图形，它的对称轴是角的平分线所在的直线.角的平分线除了平分这个角以外，还有其他的性质吗？操作探究：如果OC是∠AOB的平分线，在OC上任取一个与点O不重合的点P，从点P分别向边OA、OB作垂线段，那么这两条垂线段的长有怎样数量关系？经操作后猜想得到结论：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等.学生证明这个猜想.已知：如图17-26，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E.求证：PD=PE.证明：略.这样我们得到了角平分线的性质定理：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等.这个定理也有逆定理，请学生叙述并说明我们以后再进行证明.逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.由上述的定理和逆定理可以知道：角的平分线可以看作是在这个角的内部（包括顶点）到角两边距离相等的点的集合.三、应用定理，巩固所学例1已知：如图17-27，AO、BO分别是∠A、∠B的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为D、E.求证：点O在∠C的平分线上.证明：过点O作OF⊥AC，垂足为点F.∵AO、BO分别是∠A、∠B的平分线(已知)，OE⊥AB，OD⊥BC（已知）,OF⊥AC(所作)，∴OE=OD，OE=OF（在角的平分线上的点到这个角两边距离相等）,∴OD=OF（等量代换）.∴点O在∠C的平分线上（在一个角的内部且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）.四、深化新知，学以致用1、活动一：如图，要在M区建一个大型超级购物中心G，使它到两条公路的距离相等，离两公路交叉处1000米，这个超级购物中心应建于何处（在图上标出点G的位置，比例尺1：50000）？活动二：若此时再加一条公路与这两条公路都相交，目标还在G且到这三条公路的距离都相等.请问该如何找这一目标？请说明理由.分析：目标到这三条路等距，可将原题化为“在△ABC内找一点，使其到三边的距离相等”.2、P86/练习17.5（1）2、3.五、小结深化通过这节课的学习，你有什么收获和体会？六、作业反馈练习册习题17.5（1）。

《角平分线》教学设计第1课时《角平分线的尺规作图》教学目标：1．理解和掌握用尺规作已知角的平分线，以及过一点作已知直线的垂线；2．应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理；3．在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神．教学重点：理解和掌握用尺规作已知角的平分线，以及过一点作已知直线的垂线。

教学难点：应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理教学过程：一、情境导入温故知新什么是角平分线？问题：怎样作∠AOB 的平分线呢？①折纸法；②度量法．如果用尺规作图，该怎么做呢？二、合作探究探究点一：角平分线的尺规作图请在图中作出线段AD ，使其平分∠BAC 且长度等于m .要求：用尺规作图，并写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法和结论．已知：求作：解析：首先以A 为圆心，任意长为半径作弧，交射线AB 、AC 于E 、F ，然后以E 、F 为圆心，大于12EF 长为半径作弧，交于点M ，那么AM 就是∠BAC 的角平分线，只需在射线AM 上截取AD ＝m 即可．解：已知：线段m ，∠BAC ；求作：线段AD ，使得∠BAD ＝∠CAD ，AD ＝m .如图所示．方法总结：此题主要考查的是角平分线的作法，难度不大．作一个角的平分线是基本的作图．尺规作图时，应该遵循作图必需的正确步骤．探究点二：过一点作已知直线的垂线如图，分别过点P 作线段MN 的垂线．解析：利用过直线外一点作已知直线的垂线的方法分别作各条线段所在的直线的垂线即可．解：如图，(1)延长NM，过点P作NM所在直线的垂线；(2)延长NM，过点P作NM所在直线的垂线；(3)延长MN，过点P作MN所在直线的垂线；(4)延长NM，过点P作NM所在直线的垂线．方法总结：过一点作线段的垂线，就是作线段所在直线的垂线．探究点三：尺规作图的综合应用如图，已知直线l及其两侧两点A、B.(1)在直线l上求一点O，使到A、B两点距离之和最短；(2)在直线l上求一点P，使PA＝PB；(3)在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB.解析：(1)根据两点之间线段最短，连接AB，线段AB交直线l于点O，则O为所求点；(2)根据线段垂直平分线的性质连接AB，再作出线段AB的垂直平分线即可；(3)作B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l与点Q，连接BQ，由三角形全等的判定定理得出△BDQ≌△B′DQ，再由全等三角形的性质可得出∠BQD＝∠B′QD，即直线l 平分∠AQB.解：(1)如图①，连接AB，线段AB交直线l于点O，∵点A、O、B在一条直线上，∴O 点即为所求点；(2)如图②，连接AB ，分别以A 、B 两点为圆心，以大于12AB 的长度为半径作弧，两弧相交于C 、D 两点，连接CD 与直线l 相交于P 点，连接BD 、AD 、BP 、AP 、BC 、AC ，∵BD ＝AD ＝BC ＝AC ，即C 、D 两点都在AB 的垂直平分线上，∴CD 是线段AB 的垂直平分线，∵P 是CD 上的点，∴PA ＝PB ；(3)如图③，作B 关于直线l 的对称点B ′，连接AB ′交直线l 与点Q ，连接BQ ，∵B 与B ′两点关于直线l 对称，∴BD ＝B ′D ，DQ ＝DQ ，∠BDQ ＝∠B ′DQ ，∴△BDQ ≌△B ′DQ ，∴∠BQD ＝∠B ′QD ，即直线l 平分∠AQB .方法总结：本题考查的是两点之间线段最短、线段垂直平分线的性质及角平分线的性质，熟知各题的知识点是解答此题的关键．三、板书设计角平分线的尺规作图教学反思：本节课的知识点有角平分线的尺规作图，过直线上的点作已知直线的垂线．教学时采用了体验探究的方式，为学生提供了亲自操作的机会，引导学生运用已有经验、知识、方法去探索这两个基本作图，进而通过教师的引导加工上升为理性认识，从而获得新知，使学生的学习变为一个再创造的过程，同时让学生学到获取知识的思想和方法.第2课时《角平分线的性质和判定》教学设计教学目标：1．会叙述角的平分线的性质及判定；2．能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题；3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．教学重点：会叙述角的平分线的性质及判定。

《15.4.2角的平分线》教案教学目标知识目标：1、会用尺规作图 画出一个角的角平分线.2、理解并会证明角平分线的两个定理.3、能够运用性质定理证明两个角相等或两条线段相等.能力目标：通过公理的初步应用，培养学生的逻辑推理能力及创新的能力.教学重点角平分线的性质定理，逆定理及它们的应用.教学难点掌握角平分线性质定理及其逆定理并进行证明.教学方法1、启发引导法.2、总结归纳法.教学过程一、思考导入OP 是∠AOB 的平分线，P 是OP 上的任意一点，过点P 分别作PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，点C ，D 为垂足.你能猜想PC ，PD 长度间有什么关系吗？证明你的猜想.学生思考并讨论.二、定理探索1OB ，PC ⊥OA ，垂足分别是D ，C .求证：PC =PD 证明：∵OP 平分AOB ，(已知)∴∠AOP =∠BOP .又∵PC ⊥OA ，PD ⊥OB ， O AC∴∠PCO=∠PDO=90°.在△PCO和△PDO中，∠AOP＝∠BOP(已知)，∠PCO＝∠PDO(已证)，PO＝PO(公共边)，∴△PCO≌△PDO(AAS)∴PC=PD.由以上的证明可以得到定理1：角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等.2、已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PE=PD求证：点P在∠AOB的平分线上证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，∠PDO= ∠PEO=90°在Rt△PDO与Rt△PEO中OP=OP(公共边)PD=PE(已知)∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL)∴∠1=∠2即点P在∠AOB的平分线上定理2：在一个角的内部，到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.三、性质应用例：已知：△ABC中，∠B的角平分线BE与∠C的平分线CF相交于点P.求证：AP平分∠BAC.证明：过点P作PM⊥BC，PNAB，垂足分别为M，N，Q.∵BE是∠B的平分线，点P在BE上，∴PQ=PM.(角平分线上的点到角两边的距离相等)同理，PN=PM.∴PN=PQ(等量代换)∴AP平分∠BAC.(角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上)由上例可以得出：三角形三个内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等.四、总结定理1：角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等.定理2：在一个角的内部，到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.五、作业布置P146习题15.4的1、2、3、4、5题.。

教学设计模板（可加页）（5）教师拖动点A,改变NAOB的大小,学生再观察这两条垂线段的长度有怎样的数量关系。

NAOB 大小的改变,让学生理解猜想的结果不随角的大小的改变而改变。

引入 回忆角平分线的概念 请学生回忆角平分线的概念开门见山，直接引入 学生回忆，并作答。

教师：今天我们学习角平分线的知识。

强调角平分线是角的内部的一条射线。

为探究角平分线的性质定理和逆定理做铺垫。

新知探究 1．探究角平分线的性质（1）教师在电子白板上操作：运用几何画板和电子白板通 定理依次画出一个角NAOB,画出它 过教师的操作可以把问题更 的角平分线OC,度量NAOC 和NCOB 的大小并显示在白板上，在OC 上取一点P,作PD^OA,PELOB,垂足分别为点直观地呈现在学生面前,使学生的猜想更合理。

（1）实验操作得出猜想。

（2）几何画板动态演示,验证猜想。

（3）归纳、概括得出命题。

（2）学生猜测这两条垂线段的长有怎样的数量关系。

（3）教师用几何画板的度量功能量出线段PD 、PE 的长度，并显示在电子白板上。

让学生学会猜想,培养直觉 思维。

用度量出的结果验证学生的猜想。

（5）得到角平分线的性质定理,并写出其符号表达式。

（4）教师拖动点P,同学观察这两条垂线段的长度有怎样的数量关系。

P 点位置的变化，让学生理解角平分线上所有点都符合猜想。

合语言表达能力。

巩固应用1．例题讲解：已知：如图，AO、BO分别是NA、ZB的平分线，OD±BC,OEXAB,垂足分别为D、E。

求证：点。

在NC的平分线上AEOBD C （1）教师在电子白板上显示例题。

学生读题、思考。

（2）请学生分析问题的条件、结论，正确区分定理和逆定理，并得出解决方法。

2．变式训练深化新知：（3）板演证明过程。

提高学生正确运用定理和逆定理解决问题的能力。

训练学生分析问题解决问题的能力。

让学生借助几何画板展现给学生的几何图形的模型，进行思考、构造、寻找解题思路示范规范的解题过程，让学生掌握正确的书写方法。