高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数章末综合测评 苏教版必修1

【金版学案】2016-2017学年高中数学 第3章 指数函数、对数函数和幂函数章末过关检测卷 苏教版必修1(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)1．f (x )＝1x－x 的图象关于( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称解析：f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f (－x )＝1－x －(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ＝－f (x )，则f (x )为奇函数，图象关于原点对称．答案：C2．下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2＋x B ．y ＝－x 3 C ．y ＝e xD ．y ＝lnx 2＋1解析：选项A ，C 为非奇非偶函数，选项B 为奇函数． 答案：D3．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(9，3)，则log 4f (2)的值为( ) A.14 B ．－14C ．2D ．－2 解析：设幂函数为f (x )＝x α，则有3＝9α，得α＝12，所以f (x )＝x 12，f (2)＝2，所以log 4f (2)＝log 42＝log 4414＝14.答案：A4．函数f (x )＝|log 12x |的单调递增区间是( )A ．(0，12)B ．(0，1)C ．(0，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：画f (x )＝|log 12x |的图象如图所示：由图象知单调增区间为[1，＋∞)．答案：D5．已知10m ＝2，10n ＝4，则103m －n2的值为( )A ．2 B.2 C.10 D ．22解析：103m －n 2＝103m2÷10n2＝(10m )32÷(10n )12＝232÷412＝232－1＝ 2.答案：B6．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 解析：由f (0)＝0得b ＝－1.所以f (－1)＝－f (1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.答案：A7．已知函数f (x )＝e －x －e xx，则其图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y ＝x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于y 轴对称解析：函数的定义域为{x |x ≠0}， f (－x )＝e x －e －x －x ＝e －x －e x x＝f (x )，所以函数f (x )的偶函数，其图象关于y 轴对称． 答案：D8．已知定义在R 上的函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下对应值表：则函数f (x )A ．(－∞，1) B ．(1，2) C ．(2，3)D ．(3，＋∞)解析：因为f (2)·f (3)＜0，所以f (x )在(2，3)内一定存在零点． 答案：C9．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x |解析：选项A 为奇函数，选项C ，D 在(0，＋∞)上是减函数． 答案：B10．已知0＜a ＜1，x ＝log a 2＋log a3，y ＝12log a 5，z ＝log a21－log a3，则( )A ．x ＞y ＞zB ．z ＞y ＞xC ．y ＞x ＞zD ．z ＞x ＞y 解析：x ＝log a2＋log a3＝log a6＝12log a 6，z ＝log a21－log a3＝log a7＝12log a 7.因为0＜a ＜1，所以12log a 5＞12log a 6＞12log a 7.即y ＞x ＞z . 答案：C11．某工厂生产某产品x 吨所需费用为P 元，而卖出x 吨的价格为每吨Q 元，已知P ＝1 000＋5x ＋110x 2，Q ＝a ＋xb，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大．此时每吨的价格为40元，则有( )A ．a ＝45，b ＝－30B ．a ＝30，b ＝－45C ．a ＝－30，b ＝45D ．a ＝－45，b ＝－30解析：设生产x 吨产品全部卖出，获利润为y 元，则y ＝xQ －P ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋x b －⎝⎛⎭⎪⎫1 000＋5x ＋110x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110·x 2＋(a －5)x －1 000(x ＞0)．由题意知，当x ＝150时，y 取最大值，此时Q ＝40.所以⎩⎪⎨⎪⎧－a －52⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110＝150，a ＋150b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝－30.答案：A12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－3，x ≤0，x 12，x ＞0，已知f (a )＞1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2，1)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)解析：当a ≤0时，f (a )＝(12)a －3＞1，解得a ＜－2；当a ＞0时，f (a )＝a 12＞1，解得a ＞1. 综上a 的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞)． 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1， x ＜2，log 3（2x－1），x ≥2，则f (f (2))＝________．解析：因为f (2)＝log 3(22－1)＝1， 所以f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2. 答案：214．(2014·上海卷)若f (x )＝x 23－x 12，则满足f (x )＜0的x 的取值范围是________． 解析：根据幂函数的性质，由于12＜23，所以当0＜x ＜1时，x 23＜x 12；当x ＞1时，x 23＞x 12. 因此f (x )＜0的解集为(0，1)． 答案：(0，1)15．若定义运算f (a *b )＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a ＜b ，则函数f (3x *3－x )的值域是________．解析：由定义可知该函数是求a ，b 中较小的那一个，所以分别画出y ＝3x 与y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象， 由图象很容易看出函数f (3x *3－x )的值域是(0，1]． 答案：(0，1]16．(2014·福建卷)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x ＞0的零点个数是________．解析：当x ≤0时，由x 2－2＝0，得x ＝－2.当x ＞0时，f (x )＝2x －6＋ln x 是增函数且f (2)＝ln 2－2＜0，f (3)＝ln 3＞0. 所以f (x )在区间(0，＋∞)上有且只有一个零点． 综上可知f (x )的零点有2个． 答案：2三、解答题(本题共6个小题，满分共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝bxax 2＋1(b ≠0，a ＞0)．(1)判断f (x )的奇偶性；(2)若f (1)＝12，log 3(4a －b )＝12log 24，求a ，b 的值．解：(1)f (x )的定义域为R ，f (－x )＝－bxax 2＋1＝－f (x )， 故f (x )是奇函数．(2)由f (1)＝ba ＋1＝12，得a －2b ＋1＝0.又log 3(4a －b )＝12log 24＝1，即4a －b ＝3.由⎩⎪⎨⎪⎧a －2b ＋1＝0，4a －b ＝3，解得a ＝1，b ＝1.18．(本小题满分12分)对于函数f (x )，若存在x 0∈R 使f (x 0)＝x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点，已知f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1(a ≠0)．(1)当a ＝1，b ＝－2时，求f (x )的不动点；(2)若对任意实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围． 解：(1)因为a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－x －3， 由f (x )＝x ⇒x 2－2x －3＝0⇒x ＝－1或x ＝3， 所以f (x )的不动点为－1和3.(2)由题设知ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1＝x 有两个不等实根， 即ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不等实根，所以Δ＝b 2－4a (b －1)>0⇒b 2－4ab ＋4a >0恒成立． 所以(－4a )2－4×4a <0⇒0<a <1. 故a 的取值范围是(0，1)．19．(本小题满分12分)设海拔x m 处的大气压强是 y Pa ，y 与 x 之间的函数关系式是 y ＝c e kx ，其中c ，k 为常量，已知某地某天在海平面的大气压为1.01×105 Pa ，1 000 m 高空的大气压为0.90×105 Pa ，求600 m 高空的大气压强(精确到0.001)．解：将x ＝0，y ＝1.01×105；x ＝1 000 , y ＝0.90×105, 代入 y ＝c e kx 得：⎩⎪⎨⎪⎧1.01×105＝c e k ·0，0.90×105＝c e k ·1 000，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1.01×105， ①0.90×105＝c e1 000k . ②将①代入②得：0.90×105＝1.01×105e 1 000k ⇒k ＝11 000×ln0.901.01，计算得：k ＝－1.15×10－4.所以y ＝1.01×105×e －1.15×10－4x .将 x ＝600 代入，得：y ＝1.01×105×e －1.15×10－4×600， 计算得：y ＝0.943×105(Pa)．所以在600 m 高空的大气压约为0.943×105 Pa.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝lg(a x －b x )，(a ＞1＞b ＞0)．(1)求f (x )的定义域；(2)若f (x )在(1，＋∞)上递增且恒取正值，求a ，b 满足的关系式．解：(1)由a x －b x ＞0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x＞1.因为a ＞1＞b ＞0，所以ab＞1.所以x ＞0.所以f (x )的定义域为(0，＋∞)．(2)因为f (x )在(1，＋∞)上递增且恒为正值， 所以f (x )＞f (1)，只要f (1)＞0. 则lg(a －b )≥0，所以a －b ≥1. 因此a ，b 满足的关系为a ≥b ＋1.21．(本小题满分12分)某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、2万件、1.3万件，为了预测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y 与月份x 的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y ＝ab x ＋c (其中a ，b ，c 为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．解析：根据题意，该产品的月产量y 是月份x 的函数，可供选用的函数有两种，其中哪一种函数确定的4月份该产品的产量越接近于1.37万件，哪种函数作为模拟函数就较好，故应先确定这两个函数的具体解析式．设y 1＝f (x )＝px 2＋qx ＋r (p ，q ，r 为常数， 且p ≠0)，y 2＝g (x )＝ab x ＋c ，根据已知有⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＋r ＝1，4p ＋2q ＋r ＝1.2，9p ＋3q ＋r ＝1.3和⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝1，ab 2＋c ＝1.2，ab 3＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－0.05，q ＝0.35，r ＝0.7和⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4.所以f (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7，g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4.所以f (4)＝1.3，g (4)＝1.35. 显然g (4)更接近于1.37，故选用y ＝－0.8×0.5x ＋1.4作为模拟函数较好． 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x －12|x |.(1)若f (x )＝2，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1，2]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)当x ＜0时，f (x )＝0；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x.由条件可知2x －12x ＝2，即22x －2×2x －1＝0，解得2x ＝1±2.因为2x ＞0，所以x ＝log 2(1＋2)．(2)当t ∈[1，2]时，2t⎝ ⎛⎭⎪⎫22t －122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0， 因此m (22t －1)≥－(24t －1)． 因为22t －1＞0， 所以m ≥－(22t ＋1)． 因为t ∈[1，2]，所以－(1＋22t )∈[－17，－5]， 故m 的取值范围是[－5，＋∞)．。

章末综合检测(三)[学生用书P125(单独成册)](时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若a <12，则化简4（2a －1）2的结果是( )A.2a －1 B ．－2a －1 C.1－2aD ．－1－2a解析：选C.因为a <12，所以2a －1<0.于是，原式＝4（2a －1）2＝1－2a .2．函数y ＝lg x ＋lg(5－3x )的定义域是( ) A.⎣⎡⎭⎫0，53 B ．⎣⎡⎦⎤0，53 C.⎣⎡⎭⎫1，53 D ．⎣⎡⎦⎤1，53 解析：选C.由函数的解析式得： ⎩⎨⎧lg x ≥0，x >0，5－3x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x >0，x <53. 所以1≤x <53.3．已知幂函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫13＝9，则f (x )的图象所分布的象限是( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限 D ．第一象限解析：选A.设f (x )＝x n，则⎝⎛⎭⎫13n＝9，n ＝－2.所以f (x )＝x －2，因此f (x )的图象在第一、二象限． 4．函数f (x )＝3x －log 2(－x )的零点所在区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫－52，－2 B ．(－2，－1)C ．(1，2)D ．⎝⎛⎭⎫2，52 解析：选B.f (x )＝3x －log 2(－x )的定义域为(－∞，0)，所以排除C ，D ；又f (－2)·f (－1)＜0，且f (x )在定义域内是单调递增函数，故零点在(－2，－1)内．5．已知log 2m ＝2.016，log 2n ＝1.016，则nm 等于( )A ．2B ．12C ．10D ．110解析：选B.因为log 2m ＝2.016，log 2n ＝1.016， 所以m ＝22.016，n ＝21.016，所以n m ＝21.01622.016＝12. 6．函数f (x )＝4x ＋12x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称解析：选D.因为f (x )＝4x ＋12x ＝2x ＋12x ＝2x ＋2－x ，所以f (－x )＝2－x ＋2x ＝2x ＋2－x ＝f (x )， 所以f (x )为偶函数．所以f (x )的图象关于y 轴对称．7．设a ∈⎝⎛⎭⎫0，12，则a a ，log 12a ，a 12之间的大小关系是( ) A ．a a>a 12>log 12aB ．a 12>log 12a >a aC ．log 12a >a a>a 12D ．log 12a >a 12>a a解析：选C.因为0<a <12，所以1>a a >a 12>0，log 12a >log 1212＝1，所以log 12a >a a >a 12.8．函数y ＝x|x |log 2|x |的大致图象是( )解析：选D.当x >0时， y ＝xx log 2x ＝log 2x ， 当x <0时，y ＝x－xlog 2(－x )＝－log 2(－x )，分别作图象可知选D.9．已知函数f (x )＝log a (6－ax )(a ＞0且a ≠1)在[0，2]上为减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(1，3)C ．(1，3]D ．[3，＋∞)解析：选B.由于a ＞0，x ∈[0，2]，则g (x )＝6－ax 是减函数．要使f (x )＝log a (6－ax )在[0，2]上是减函数，根据复合函数的单调性可知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，g （2）＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，6－2a ＞0，所以1＜a ＜3，故选B.10．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( ) A ．(0，1)∪(1，＋∞) B ．(0，1) C ．(1，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选D.方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个实数根转化为函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 有两个交点．①当0<a <1时，如图(1)， 所以0<2a <1， 即0<a <12.②当a >1时，如图(2)， 而y ＝2a >1不符合要求．综上，0<a <12.11．将甲桶中的a 升水缓慢注入大小、形状都相同的空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e n t ．若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m 分钟后甲桶中的水只有a8升，则m 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选D.令18a ＝a e nt ，即18＝e nt ，由已知得12＝e 5n ，故18＝e 15n ，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.12．已知0＜a ＜1，则方程a |x |＝|log a x |的实根个数为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．与a 的值有关解析：选A.设y 1＝a |x |，y 2＝|log a x |，分别作出它们的图象如图所示．由图可知，有两个交点，故方程a |x |＝|log a x |有两个根．故选A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调递增区间是________． 解析：函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞， 令t ＝2x ＋1(t >0)．因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝2x ＋1在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上为增函数，所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.答案：⎝⎛⎭⎫－12，＋∞14．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x＋1，x≤0，log2x，x>0，则使函数f(x)的图象位于直线y＝1上方的x的取值范围是________．解析：当x≤0时，3x＋1>1⇒x＋1>0，所以－1<x≤0；当x>0时，log2x>1⇒x>2，所以x>2.综上所述，x的取值范围为－1<x≤0或x>2.答案：(－1，0]∪(2，＋∞)15．定义：区间[x1，x2](x1<x2)的长度为x2－x1.已知函数y＝|log0.5x|的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]的长度的最大值为________．解析：画出函数y＝|log0.5x|的图象(如图所示)，由0≤|log0.5x|≤2，得14≤x≤4，所以[a，b]长度的最大值为4－14＝154.答案：15416．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表高峰月用电量(单位：千瓦时)高峰电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.568超过50至200的部分0.598超过200的部分0.668低谷时间段用电价格表则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．解析：由题意知：高峰时间段用电时，f (x )＝⎩⎨⎧0.568x ，0≤x ≤50，0.568×50＋0.598·（x －50），50<x ≤200，0.568×50＋0.598×150＋0.668·（x －200），x >200，低谷时间段用时，g (x )＝⎩⎨⎧0.288x ，0≤x ≤50，0.288×50＋0.318（x －50），50<x ≤200，0.288×50＋0.318×150＋0.388（x －200），x >200，W ＝f (x )＋g (x )＝f (200)＋g (100)＝148.4(元)． 答案：148.4三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋2是奇函数．(1)求b 的值；(2)判断函数f (x )的单调性；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围． 解：(1)因为f (x )是奇函数， 所以f (0)＝0， 即b －12＋2＝0⇒b ＝1， 所以f (x )＝1－2x2＋2x ＋1.(2)由(1)知f (x )＝1－2x2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1，设x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝12x 1＋1－12x 2＋1＝2x 2－2x 1（2x 1＋1）（2x 2＋1）.因为函数y ＝2x 在R 上是增函数且x 1<x 2， 所以2x 2－2x 1>0. 又(2x 1＋1)(2x 2＋1)>0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)．所以f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数． (3)因为f (x )是奇函数，从而不等式： f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)， 因f (x )为减函数，由上式推得， t 2－2t >k －2t 2.即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0， 从而判别式Δ＝4＋12k <0⇒k <－13.或k <(3t 2－2t )min ⇒k <－13.18.(本小题满分12分)(1)比较大小：0.70.8，0.80.7；(2)比较f (x )＝log a (1－x )，g (x )＝log a (1＋x )(其中a >1)在公共定义域下的函数值的大小． 解：(1)因为指数函数y ＝0.7x 在R 上是减函数， 所以0.70.7>0.70.8，又幂函数y ＝x 0.7在(0，＋∞)是增函数， 所以0.80.7>0.70.7， 故0.80.7>0.70.8.(2)函数f (x )＝log a (1－x )，g (x )＝log a (1＋x )的公共定义域是(－1，1)， 因为f (x )－g (x )＝log a 1－x1＋x (a >1)，所以当－1<x <0时，1－x1＋x >1，此时f (x )>g (x )；当x ＝0时，1－x1＋x ＝1，此时f (x )＝g (x )；当0<x <1时，0<1－x1＋x <1，此时f (x )<g (x )．综上，当－1<x <0时，f (x )>g (x )； 当x ＝0时，f (x )＝g (x )； 当0<x <1时，f (x )<g (x )．19.(本小题满分12分)若奇函数f (x )在定义域(－1，1)上是减函数． (1)求满足f (1－a )＋f (－a )<0的a 的取值集合M ； (2)对于(1)中的a ，求函数F (x )＝log a ⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1a 2－x的定义域． 解：(1)不等式f (1－a )＋f (－a )<0可化为f (1－a )<－f (－a )， 而f (x )为奇函数，所以f (1－a )<f (a )， 又f (x )在定义域(－1，1)上是减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<－a <1，1－a >a ，解得0<a <12，所以M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪0<a <12. (2)为使F (x )＝log a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫1a 2－x 有意义，必须1－⎝⎛⎭⎫1a 2－x>0，即⎝⎛⎭⎫1a 2－x<1.由0<a <12得1a >2，所以2－x <0，所以x >2. 所以函数的定义域为{x |x >2}．20.(本小题满分12分)经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足f (t )＝20－12|t －10|(元)．(1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式； (2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．解：(1)y ＝g (t )·f (t )＝(80－2t )·⎝⎛⎭⎫20－12||t －10 ＝(40－t )(40－|t －10|)＝⎩⎪⎨⎪⎧（30＋t ）（40－t ），0≤t <10，（40－t ）（50－t ），10≤t ≤20. (2)当0≤t <10时，y 的取值范围是[1 200，1 225]， 在t ＝5时，y 取得最大值为1 225；当10≤t ≤20时，y 的取值范围是[600，1 200]，在t ＝20时，y 取得最小值为600. 所以第5天，日销售额y 取得最大值，为1 225元； 第20天，日销售额y 取得最小值，为600元． 所以，日销售额y 最大为1 225元，最小为600元．21.(本小题满分12分)已知函数f (x －3)＝log a x 6－x (a >0，a ≠1)．(1)判断f (x )的奇偶性，并且说明理由； (2)当0<a <1时，求函数f (x )的单调区间． 解：令x －3＝u ，则x ＝u ＋3，于是f (u )＝log a 3＋u3－u (a >0，a ≠1，－3<u <3)，所以f (x )＝log a 3＋x3－x(a >0，a ≠1，－3<x <3)．(1)因为f (－x )＋f (x )＝log a 3－x 3＋x ＋log a 3＋x3－x ＝log a 1＝0，所以f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数．(2)令t ＝3＋x 3－x ＝－1－6x －3在(－3，3)上是增函数，当0<a <1时，函数y ＝log a t 是减函数，所以f (x )＝log a 3＋x3－x (0<a <1)在(－3，3)上是减函数，即其单调递减区间是(－3，3)．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x . (1)求f (x )的解析式，并画出f (x )的图象；(2)设g (x )＝f (x )－k ，利用图象讨论：当实数k 为何值时，函数g (x )有一个零点？二个零点？三个零点？解：(1)当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x . 设x <0，可得－x >0，则f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ， 因为函数f (x )为奇函数， 则f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，函数的图象如图所示．(2)由g(x)＝f(x)－k＝0，可得f(x)＝k，结合函数的图象可知：①当k<－1或k>1时，y＝k与y＝f(x)的图象有1个交点，即g(x)＝f(x)－k有1个零点；②当k＝－1或k＝1时，y＝k与y＝f(x)的图象有2个交点，即g(x)＝f(x)－k有2个零点；③当－1<k<1时，y＝k与y＝f(x)的图象有3个交点，即g(x)＝f(x)－k有3个零点．。

高一数学必修1第三章《指数函数、对数函数和幂函数》测练题（满分：150分；考试时间：100分钟）一、选择题（本大题共10小题. 每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的） 1．指数函数y=a x 的图像经过点（2，16）则a 的值是 （ ）A ．41 B ．21C ．2D ．4 2．化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果 （ ）A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a3．在区间),0(+∞上不是增函数的是 ( )A.2x y =B.x y log 2=C.xy 2= D.122++=x x y 4．式子82log 9log 3的值为 ( ) A .23 B .32C .2D .3 5．已知0ab >，下面四个等式中：①lg()lg lg ab a b =+； ②lg lg lg a a b b=-；③b ab a lg )lg(212= ；④1lg()log 10ab ab =．其中正确命题的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．36．已知2log 0.3a =，0.32b =，0.20.3c =，则c b a ,,三者的大小关系是（ ） A ．a c b >> B ．c a b >> C ．c b a >> D ．a b c >> 7．已知函数)(x f y =的反函数)21(log )(211-=-x x f，则方程1)(=x f 的解集是（ ）A ．{1}B ．{2}C ．{3}D ．{4} 8．图中曲线分别表示l g a y o x =，l g b y o x =，l g c y o x =， l g d y o x =的图象，,,,a b c d 的关系是（ ）A. 0<a <b <1<d<cB. 0<b<a <1<c<dC. 0<d<c<1<a<bD. 0<c<d <1<a<b9．函数y= | lg （x-1）| 的图象是 （ ）xyOy=log a xy=log x y=log c x y=log d x110．给出幂函数①f (x )=x ；②f (x )=x 2；③f (x )=x 3；④f (x )=；⑤f (x )=1x ．其中满意条件f 12()2x x + ＞12()()2f x f x + (x 1＞x 2＞0)的函数的个数是 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（.每小题5分，共20分） 11．函数21()log (2)f x x =-的定义域是 ．12．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点 .13．函数)x 2x (log y 221-=的单调递减区间是_________________．14．关于函数21()lg (0,R)||x f x x x x +=≠∈有下列命题：①函数()y f x =的图象关于y 轴对称；②在区 间(,0)-∞上，函数()y f x =是减函数；③函数()y f x =的最小值为lg 2；④在区间(1,)+∞上，函 数()y f x =是增函数．其中正确命题序号为_______________． 三、解答题（6小题，共80分）15．（本小题满分12分）4160.250321648200549-+---）（）（）16． （本小题满分12分）设函数421()log 1x x f x x x -⎧<=⎨>⎩，求满意()f x =41的x 的值．C17．（本小题满分14分）已知()2xf x =，()g x 是一次函数，并且点(2,2)在函数[()]f g x 的图象上，点(2,5)在函数[()]g f x 的图象上，求()g x 的解析式．18．（本小题满分14分）若0≤x ≤2，求函数y=523421+⨯--x x 的最大值和最小值．19．（本小题满分14分）光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为x 块玻璃后强度为y .（1）写出y 关于x 的函数关系式；（2）通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下? ( lg30.4771)≈20．（本小题满分14分）已知定义域为R 的函数12()22x x bf x +-+=+是奇函数.（1）求b 的值；（2）推断函数()f x 的单调性；（3）若对随意的R t ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围．高一数学必修1第三章《指数函数、对数函数和幂函数》测练题参考答案及解析一、选择题1．D 解析：由a 2=16且a ＞0得a =42．C 解析：原式a ab ba9990653121612132-=-=-=-+-+3．C 解析：依据反比例函数的性质4．A 解析：因log 89=22232log 32log 3log 23=，故原式=23 5．B 解析：ab ＞0，故a 、b 同号；当a 、b 同小于0时，①②不成立；当ab =1时，④不成立，故只有③对。

章末综合测评(三) 指数函数、对数函数和幂函数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.x －2x －1＝x －2x －1成立的条件是( ) A ．x ≥2或x <1 B ．x ≠1 C ．x <1D ．x ≥2D [要使该式有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x －1>0，解得x ≥2.]2．若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)内只存在一个零点，则a 的取值范围是( )A ．a >15 B ．a >15或a <－1 C ．－1<a <15D ．a <－1B [∵函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)内只存在一个零点，∴函数f (x )＝3ax ＋1－2a 只能是一次函数，且f (－1)·f (1)<0，即(－3a ＋1－2a )(3a ＋1－2a )<0，即(5a －1)(a ＋1)>0，解得a >15或a <－1.]3．若a >1，－1<b <0，则函数y ＝a x ＋b 的图象一定在( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、三、四象限 C ．第二、三、四象限D ．第一、二、四象限A [y ＝a x 的图象在第一、二象限．∵－1<b <0，∴y ＝a x ＋b 的图象是由y ＝a x 的图象向下平移|b |个单位长度，可知y ＝a x ＋b 的图象过第一、二、三象限．]4．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 等于( )A ．12B ．9C ．18D ．27B [log 416＝2，由换底公式得log 34·log 48·log 8m ＝log 3m ＝2，∴m ＝9.] 5．若幂函数y ＝x α的图象在0<x <1时位于直线y ＝x 的下方，则实数α的取值范围是( )A ．α<1B ．α<0C ．0<α<1D ．α>1D [当0<x <1，α>1时．x α<x ，此时y ＝x α的图象位于直线y ＝x 的下方．] 6．函数f (x )＝|log 12x |的单调递增区间是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)C[画出y ＝|log 12x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，0<x <1，－log 12x ，x >1的图象如下：由图象可知，单调单增区间为[1，＋∞)．]7．函数y ＝f (x )的图象与g (x )＝log 2x (x >0)的图象关于直线y ＝x 对称，则f (－2)＝( )A ．－1B ．1C ．－14D ．14D [由y ＝f (x )的图象与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，可知f (x )与g (x )互为反函数．令log 2x ＝－2，得x ＝14，即f (－2)＝14.]8．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,4)上的实数根时，下一个有根区间是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52B ．(2,3)C ．(3,4)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫73，4B [设f (x )＝x 3－2x －5，则f (2)<0，f (3)>0，f (4)>0，有f (2)f (3)<0，则下一个有根区间是(2,3)．]9．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1x B ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg|x |C [A 项，y ＝1x 是奇函数，故不正确；B 项，y ＝e －x 为非奇非偶函数，故不正确；C 、D 两项中的两个函数都是偶函数，且y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y ＝lg |x |在(0，＋∞)上是增函数，故选C.]10．函数y ＝a x －3－2(a >0且a ≠1)的图象必经过点( ) A ．(0,1) B ．(2,1) C ．(3,0)D ．(3，－1)D [y ＝a x 的图象过点(0,1)，图象向右平移3个单位得y ＝a x －3，图象定点为(3,1)，再向下平移2个单位得y ＝a x －3－2图象，定点为(3，－1)．]11．设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数A [由已知可得，f (x )的定义域为(－1,1)，f (x )＝ln 1＋x1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1，又y ＝21－x－1在(0,1)上为增函数，∴f (x )在(0,1)上是增函数，又f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．]12．函数y ＝x 33x －1的图象大致是( )C [分别根据函数的定义域、单调性、取值符号进行排除判断．要使函数有意义，则3x －1≠0，解得x ≠0，∴函数的定义域为{x |x ≠0}，排除A.当x <0时，y >0，排除B.当x →＋∞时，y →0，排除D.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x (x ≤0)，log 2 x (x >0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值是________．12 [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 12＝f (－1)＝2－1＝12.] 14．已知集合A ＝{y |y ＝log 2 x ，x >1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >1，则A ∩B ＝________.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [∵x >1，∴y ＝log 2 x >log 2 1＝0， ∴A ＝(0，＋∞)， 又∵x >1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <12，∴B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.∴A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.]15．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染指数量P mg/L ，与时间t h 间的关系为P ＝P 0e －kt .如果在前5个小时消除了10%的污染物，则10小时后还剩________%的污染物．81 [由题意知，前5小时消除了10%，即(1－10%)P 0＝P 0·e －5k .解得k ＝－15ln0.9.则10小时后还剩P ＝P 0·e －10k ＝P 0·e 2ln 0.9＝P 0·e ln 0.81＝0.81 P 0＝81%P 0.]16．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 [因为f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x －1e －x ＝－x 3＋2x －e x ＋1e x ＝－f (x )， 所以f (x )＝x 3－2x ＋e x－1ex 是奇函数．因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0，所以f (2a 2)≤－f (a －1)，即f (2a 2)≤f (1－a )． 经证明f (x )在R 上单调递增， 所以2a 2≤1－a ，即2a 2＋a －1≤0， 所以－1≤a ≤12.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)计算下列各式的值： (1)3(3－π)3＋4(2－π)4； (2)2log 5 10＋log 5 0.25；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－338－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0； (4)log 2.5 6.25＋lg 1100＋ln e ＋21＋log 2 3. [解] (1)原式＝(3－π)＋(π－2)＝1.(2)原式＝2log 5 (2×5)＋log 5 0.52＝2(log 5 2＋log 5 5)＋2log 5 12＝2(log 5 2＋1－log 5 2)＝2.(3)原式＝(－1)－23 ⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋50012－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1 ＝－1679.(4)原式＝log 2.5 2.52＋lg 10－2＋ln e 12＋2·2log 2 3＝2－2＋12＋2×3＝132.18．(本小题满分12分)设函数y ＝f (x )且lg(lg y )＝lg(3x )＋lg(3－x )． (1)求f (x )的解析式及定义域； (2)求f (x )的值域．[解] (1)∵lg(lg y )＝lg(3x )＋lg(3－x )， ∴lg(lg y )＝lg[3x (3－x )]， ∴lg y ＝3x (3－x )，∴y ＝103x (3－x )，即f (x )＝103x (3－x )． ∵⎩⎪⎨⎪⎧3x >0，3－x >0，∴0<x <3，即函数的定义域为(0,3)．(2)令t ＝3x (3－x )＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274，则f (x )＝10t .∵x ∈(0,3)，∴t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，274，∴10t ∈(1,10274]，∴函数的值域为(1,10274]．19．(本小题满分12分)已知幂函数y ＝f (x )＝x －2m 2－m ＋3，其中m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }，满足：(1)是区间(0，＋∞)上的增函数； (2)对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f (x )的解析式，并求x ∈[0,3]时f (x )的值域． [解] 因为m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }， 所以m ＝－1,0,1.因为对任意x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0， 即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．当m ＝－1时，f (x )＝x 2只满足条件(1)而不满足条件(2)；当m ＝1时，f (x )＝x 0条件(1)、(2)都不满足；当m ＝0时，f (x )＝x 3条件(1)、(2)都满足，且在区间[0,3]上是增函数． 所以幂函数f (x )的解析式为f (x )＝x 3 所以x ∈[0,3]时，函数f (x )的值域为[0,27]．20．(本小题满分12分)(1)已知－1≤x ≤2，求函数f (x )＝3＋2·3x ＋1－9x 的值域； (2)已知－3≤log12x ≤－32，求函数f (x )＝log 2 x 2·log 2 x 4的值域．[解] (1)f (x )＝3＋2·3x ＋1－9x ＝－(3x )2＋6·3x ＋3，令3x ＝t ，则y ＝－t 2＋6t ＋3＝－(t －3)2＋12，∵－1≤x ≤2，∴13≤t ≤9，∴当t ＝3，即x ＝1时，y 取得最大值12；当t ＝9，即x ＝2时，y 取得最小值－24，即f (x )的最大值为12，最小值为－24，所以函数f (x )的值域为[－24，12]．(2)∵－3≤log 12x ≤－32，∴－3≤log 2x log 212≤－32， 即－3≤log 2x －1≤－32， ∴32≤log 2x ≤3. ∵f (x )＝log 2x 2·log 2x4＝(log 2x －log 2 2)·(log 2x －log 24) ＝(log 2x －1)·(log 2x －2)． 令t ＝log 2x ，则32≤t ≤3，f (x )＝g (t )＝(t －1)(t －2) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－14. ∵32≤t ≤3，∴f (x )max ＝g (3)＝2，f (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－14.∴函数f (x )＝log 2x 2·log 2x 4的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 131＋x1＋ax(a ≠1)是奇函数， (1)求a 的值； (2)若g (x )＝f (x )＋21＋2x，x ∈(－1,1)，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12的值； (3)若g (m )>g (n )(m ，n ∈(－1,1))，比较m ，n 的大小．[解] (1)∵f (x )为奇函数，∴对定义域内任意x ，都有f (－x )＋f (x )＝0，即log 131－x1－ax ＋log 13 1＋x 1＋ax ＝log 13 1－x21－a 2x2＝0， ∴a ＝±1，由条件知a ≠1，∴a ＝－1.(2)∵f (x )为奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，令h (x )＝21＋2x， 则h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝21＋2＋21＋12＝2， ∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2. (3)f (x )＝log13 1＋x 1－x ＝log13⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－x 随x 增大，1－x 减小，∴21－x 增大，∴1＋x 1－x 增大，∴f (x )单调递减， 又h (x )＝21＋2x也随x 增大而减小， ∴g (x )单调递减． ∵g (m )>g (n )，∴m <n .22．(本小题满分12分)在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q (百件)与销售价格P (元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？ [解] 设该店月利润余额为L ，则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000，① 由销量图易得Q ＝⎩⎨⎧－2P ＋50(14≤P ≤20)，－32P ＋40(20<P ≤26)，代入①式得L ＝⎩⎨⎧(－2P ＋50)(P －14)×100－5 600(14≤P ≤20)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32P ＋40(P －14)×100－5 600(20<P ≤26)，(1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元； 当20<P ≤26时，L max ＝1 2503元，此时P ＝613元． 故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元． (2)设可在n 年后脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20. 即最早可望在20年后脱贫．。

(时间：120分钟；总分值：160分)一、填空题(本大题共14小题 ,每题5分 ,共70分 ,请把答案填在题中横线上)1.log 22的值为________．解析：log 22＝log 2212＝12log 22＝12. 答案：122.a 12＝49(a >0) ,那么log 23a ＝________. 解析：由a 12＝49得a ＝(49)2＝(23)4 , ∴log 23a ＝log 23(23)4＝4. 答案：43.x －1＋x ＝2 2 ,且x >1 ,那么x －x －1的值为________．解析：由x －1＋x ＝22平方得x －2＋2＋x 2＝8 ,那么x －2－2＋x 2＝4 ,∴(x －1－x )2＝4 ,又∵x >1 ,∴x －x －1＝2.答案：24.函数y ＝lg(x ＋5)＋ln (5－x )＋x －1x －3的定义域为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5>05－x >0x －1≥0x －3≠0得定义域为：[1 ,3)∪(3 ,5)． 答案：[1 ,3)∪(3 ,5) 5.函数y ＝(12)x 2－2x ＋3的值域为________． 解析：设y ＝(12)u ,u ＝x 2－2x ＋3≥2 ,所以结合函数图象知 ,函数y 的值域为(0 ,14]． 答案：(0 ,14] 6.方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为________．解析：画出函数y ＝2－x 与y ＝3－x 2图象(图略) ,它们有两个交点 ,故方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为2.答案：27.假设a ＝log 3π ,b ＝log 76 ,c ＝log 2 ,那么a ,b ,c 由大到小的顺序为________．解析：利用中间值0和1来比拟：a ＝log 3π>1 ,0<b ＝log 76<1 ,c ＝log 20.8<0 ,故a >b >c . 答案：a >b >c .8.设方程2x ＋x ＝4的根为x 0 ,假设x 0∈(k －12 ,k ＋12) ,那么整数k ＝________.解析：设y 1＝2x ,y 2＝4－x ,结合图象分析可知 ,仅有一个根x 0∈(12 ,32) ,故k ＝1. 答案：1 9.某市出租车收费标准如下：起步价为8元 ,起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时 ,超过局部按每千米2.15元收费；超过8 km 时 , , ,那么此次出租车行驶了________ , .解析：出租车行驶不超过3 km ,付费9元；出租车行驶8 km ,×(8－3) ,故出租车行驶里程超过8 km , ,所以此次出租车行驶了8＋1＝9 km.答案：910.0<a <1 ,x ＝log a 2＋log a 3 ,y ＝12log a 5 ,z ＝log a 21－log a 3 ,那么x ,y ,z 由大到小的顺序为________．解析：由对数运算法那么知x ＝log a 6 ,y ＝log a 5 ,z ＝log a 7 ,又由0<a <1知y ＝log a x 在(0 ,＋∞)上为减函数 ,∴y >x >z .答案：y >x >z11.函数f (x )满足：x ≥4 ,那么f (x )＝(12)x ；当x <4时 ,f (x )＝f (x ＋1) ,那么f (2＋log 23)＝________.解析：∵3<2＋log 23<4 ,所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23) ,且3＋log 23>4 ,∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝(12)3＋log 23＝18×(12)log 23＝18×(12)log 1213＝18×13＝124. 答案：12412.给定函数①y ＝x 12,②y ＝log 12(x ＋1) ,③y ＝|x －1| ,④y ＝2x ＋1 ,其中在区间(0 ,1)上单调递减的函数序号是________．解析：①是幂函数 ,由图象知其在(0 ,＋∞)第|一象限内为增函数 ,故此项不符合要求 ,②中的函数是由函数y ＝log 12x 向左平移一个单位而得到的 ,因原函数在(0 ,＋∞)内为减函数 ,故此项符合要求 ,③中的函数图象是由函数y ＝x －1的图象保存x 轴上方 ,下方图象翻折到x 轴上方而得到的 ,故由其图象可知该图象符合要求 ,④中的函数为指数型函数 ,因其底数大于1 ,故其在R 上单调递增 ,不符合题意 ,所以②③正确．答案：②③13.幂函数y ＝x α,当α取不同的正数时 ,在区间[0 ,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)．设点A (1 ,0) ,B (0 ,1) ,连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α ,y ＝x β的图象三等分 ,即有BM ＝M N ＝N A .那么 ,αβ＝________. 解析：因为M ,N 为A ,B 的三等分点 ,所以M (13 ,23) ,N(23 ,13) ,∴23＝(13)α ,∴α＝log 1323 , 同理β＝log 2313 ,∴αβ＝1. 答案：114.某地区居民生活用电分为顶峰和低谷两个时间段进行分时计价 ,该地区的电网销售,那么按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．解析：由题意知：顶峰时间段用电时 ,f (x )＝错误! ,低谷时间段用时 ,g (x )＝错误! ,W ＝f (x )＋g (x )＝f (200)＋g (100)(元)．答案：二、解答题(本大题共6小题 ,共90分 ,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题总分值14分)定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋2是奇函数． (1)求b 的值；(2)判断函数f (x )的单调性；(3)假设对任意的t ∈R ,不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立 ,求k 的取值范围．解：(1)因为f (x )是奇函数 ,所以f (0)＝0 ,即b －12＋2＝0⇒b ＝1 , ∴f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1. (2)由(1)知f (x )＝1－2x2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1 , 设x 1<x 2 ,那么f (x 1)－f (x 2)＝12x 1＋1－12x 2＋1＝2x 2－2x 1(2x 1＋1 ) (2x 2＋1 ). 因为函数y ＝2x 在R 上是增函数且x 1<x 2 ,∴2x 2－2x 1>0.又(2x 1＋1)(2x 2＋1)>0 ,∴f (x 1)－f (x 2)>0 ,即f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在(－∞ ,＋∞)上为减函数．(3)因f (x )是奇函数 ,从而不等式：f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2) ,因f (x )为减函数 ,由上式推得：t 2－2t >k －2t 2.即对一切t ∈R 有：3t 2－2t －k >0 ,从而判别式Δ＝4＋12k <0⇒k <－13. 或k <(3t 2－2t )min ⇒k <－13. 16.(本小题总分值14分)(1) ,；(2)比拟f (x )＝log a (1－x ) ,g (x )＝log a (1＋x )(其中a >1)在公共定义域下的函数值的大小． 解：(1)因为指数函数y x 在R 上是减函数 ,,又幂函数y ＝x 在(0 ,＋∞)是增函数 ,,.(2)函数f (x )＝log a (1－x ) ,g (x )＝log a (1＋x )的公共定义域是(－1 ,1) ,因为f (x )－g (x )＝log a 1－x 1＋x(a >1) , 所以当－1<x <0时 ,1－x 1＋x>1 ,此时f (x )>g (x )； 当x ＝0时 ,1－x 1＋x＝1 ,此时f (x )＝g (x )； 当0<x <1时 ,0<1－x 1＋x<1 ,此时f (x )<g (x )． 综上 ,当－1<x <0时 ,f (x )>g (x )；当x ＝0时 ,f (x )＝g (x )；当0<x <1时 ,f (x )<g (x )．17.(本小题总分值14分)假设奇函数f (x )在定义域(－1 ,1)上是减函数 ,(1)求满足f (1－a )＋f (－a )<0的a 的取值集合M ；(2)对于(1)中的a ,求函数F (x )＝log a [1－(1a)2－x ]的定义域． 解：(1)不等式f (1－a )＋f (－a )<0可化为f (1－a )<－f (－a ) ,而f (x )为奇函数 ,∴f (1－a )<f (a ) ,又f (x )在定义域(－1 ,1)上是减函数 ,∴⎩⎨⎧－1<1－a <1－1<－a <1 1－a >a解得0<a <12 , ∴M ＝{a |0<a <12}． (2)为使F (x )＝log a [1－(1a)2－x ]有意义 , 必须1－(1a )2－x >0 ,即(1a)2－x <1. 由0<a <12得1a>2 , ∴2－x <0 ,∴x >2.∴函数的定义域为{x |x >2}．18.(本小题总分值16分)经市场调查 ,某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数 ,且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件) ,价格近似满足f (t )＝20－12|t －10|(元)． (1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y 的最|大值与最|小值．解：(1)y ＝g (t )·f (t )＝(80－2t )·(20－12|t －10|) ＝(40－t )(40－|t －10|) ＝⎩⎪⎨⎪⎧ (30＋t ) (40－t )(0≤t <10 ) (40－t ) (50－t ) (10≤t ≤20 ).(2)当0≤t <10时 ,y 的取值范围是[1 200 ,1 225] ,在t ＝5时 ,y 取得最|大值为1 225； 当10≤t ≤20时 ,y 的取值范围是[600 ,1 200] ,在t ＝20时 ,y 取得最|小值为600. ∴第5天 ,日销售额y 取得最|大值 ,为1 225元；第20天 ,日销售额y 取得最|小值 ,为600元．所以 ,日销售额y 最|大为1 225元 ,最|小为600元．19.(本小题总分值16分)函数f (x －3)＝log a x 6－x(a >0 ,a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性 ,并且说明理由；(2)当0<a <1时 ,求函数f (x )的单调区间．解：令x －3＝u ,那么x ＝u ＋3 ,于是f (u )＝log a 3＋u 3－u(a >0 ,a ≠1 ,－3<u <3) , 所以f (x )＝log a 3＋x 3－x(a >0 ,a ≠1 ,－3<x <3)． (1)因为f (－x )＋f (x )＝log a 3－x 3＋x ＋log a 3＋x 3－x＝log a 1＝0 ,所以f (－x )＝－f (x ) , 所以f (x )是奇函数．(2)令t ＝3＋x 3－x ＝－1－6x －3在(－3 ,3)上是增函数 , 当0<a <1时 ,函数y ＝log a t 是减函数 ,所以f (x )＝log a 3＋x 3－x(0<a <1)在(－3 ,3)上是减函数 ,即其单调递减区间是(－3 ,3)． 20.(本小题总分值16分)函数f (x )＝log 2(2x ＋1)．(1)求证：函数f (x )在(－∞ ,＋∞)内单调递增；(2)假设g (x )＝log 2(2x －1)(x >0) ,且关于x 的方程g (x )＝m ＋f (x )在[1 ,2]上有解 ,求m 的取值范围．解：(1)证明：任取x 1<x 2 ,那么f (x 1)－f (x 2)＝log 2(2x 1＋1)－log 2(2x 2＋1)＝log 22x 1＋12x 2＋1, ∵x 1<x 2 ,∴0<2x 1＋1<2x 2＋1 ,∴0<2x 1＋12x 2＋1<1 , ∴log 22x 1＋12x 2＋1<0 , ∴f (x 1)<f (x 2) ,即函数f (x )在(－∞ ,＋∞)内单调递增．(2)法一：由g (x )＝m ＋f (x )得m ＝g (x )－f (x )＝log 2(2x －1)－log 2(2x ＋1)＝log 22x －12x ＋1＝log 2(1－22x ＋1) , 当1≤x ≤2时 ,25≤22x ＋1≤23, ∴13≤1－22x ＋1≤35, ∴m 的取值范围是[log 213 ,log 235]． 法二：解方程log 2(2x －1)＝m ＋log 2(2x ＋1) ,得x ＝log 2(2m ＋11－2m) , ∵1≤x ≤2 ,∴1≤log 2(2m ＋11－2m)≤2 , 解得log 213≤m ≤log 235. ∴m 的取值范围是[log 213 ,log 235]．。

阶段质量检测（三） 指数函数、对数函数和幂函数(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1．已知幂函数f (x )的图象过点A ⎝⎛⎭⎫13，9，则幂函数的解析式为________． 解析：设f (x )＝x α，则9＝⎝⎛⎭⎫13α，解得α＝－2， 故f (x )＝x －2. 答案：f (x )＝x －22．函数f (x )＝log 2(3－x )＋x ＋1的定义域为________．解析：要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧3－x ＞0，x ＋1≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＜3，x ≥－1.即－1≤x ＜3.答案：[－1,3)3．函数f (x )＝log a (2x －1)＋1(a ＞0且a ≠1)恒过定点________． 解析：令2x －1＝1，解得x ＝1，则f (x )恒过定点(1,1)． 答案：(1,1)4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x ＞0)，3x (x ≤0)，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14＝________. 解析：f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14＝f ⎝⎛⎭⎫log 214＝f (－2)＝19. 答案：195．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－1，x ∈[－1,1]的值域为________．解析：由指数函数的性质知y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在[－1,1]上是减函数，则f (x )∈⎣⎡⎦⎤－23，2. 答案：⎣⎡⎦⎤－23，2 6．计算432-＋2lg 4＋lg 58＋log 916·log 881＝________.解析：原式＝18＋lg 16·58＋4lg 2lg 9·2lg 93lg 2＝18＋1＋83＝9124. 答案：91247．若m ∈(1,2)，a ＝0.3m ，b ＝log 0.3m ，c ＝m 0.3，用“＞”将a ，b ，c 可排列为________． 解析：因为m ∈(1,2)，所以0＜0.3m ＜0.3， log 0.3m ＜0，m 0.3＞1，故c ＞a ＞b . 答案：c ＞a ＞b8．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是单调增函数，若f (lg x )＞f (1)，则实数x 的取值范围是________．解析：由f (x )在R 上是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f (|lg x |)＞f (1)， 即|lg x |＞1，解得x ＞10或0＜x ＜110. 答案：⎝⎛⎭⎫0，110∪(10，＋∞) 9．用列举法表示集合A ＝{x |－1＜log 2x ＜2，x ∈Z}，其表示结果为________． 解析：由－1＜log 2x ＜2，得log 212＜log 2x ＜log 2 4.即12＜x ＜4，又x ∈Z ，故x ＝1,2,3. 答案：{1,2,3}10．已知函数f (x )＝a －22x ＋1是奇函数，则实数a 的值为________． 解析：由f (x )是奇函数，得f (0)＝a －220＋1＝0，解得a ＝1，经检验适合．答案：111．已知函数f (x )＝kx 3＋2x －2(k ∈R)，且f (lg 5)＝1，则f ⎝⎛⎭⎫lg 15＝________. 解析：设g (x )＝kx 3＋2x ，则g (x )是奇函数．且f (x )＝g (x )－2， ∴f (lg 5)＝g (lg 5)－2＝1. ∴g (lg 5)＝3.∴f ⎝⎛⎭⎫lg 15＝g ⎝⎛⎭⎫lg 15－2＝g (－lg 5)－2＝－g (lg 5)－2＝－3－2＝－5. 答案：－512．已知函数f (x )＝3x ＋x －5的零点x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1，a ，b ∈N *，则a ＋b ＝________. 解析：∵f (1)＜0，f (2)＞0，∴f (x )在[1,2]上有零点，又f (x )是增函数， ∴x 0∈[1,2]，∴a ＝1，b ＝2，∴a ＋b ＝3. 答案：313．下列命题：(1)函数y ＝x (x 2－2)x 2－2是奇函数；(2)函数y ＝2－|x ＋3|在(－∞，－3)上是增函数；(3)将函数y ＝log 2(x －2)的图象向左平移3个单位可得到y ＝log 2(x ＋1)的图象； (4)若1.4a ＝1.5b ＜1，则a ＜b ＜0.则上述正确命题的序号是________．(将正确命题的序号都填上) 解析：y ＝f (x )＝x (x 2－2)x 2－2，可化简为f (x )＝x ，x ≠±2，由奇函数的定义知(1)正确； 画出函数y ＝2－|x ＋3|的图象如图①.知函数在(－∞，－3)上是增函数，(2)正确，(3)正确． (4)在同一坐标系中作出y ＝1.4x 和y ＝1.5x 的图象如图②. 由图象知a ＜b ＜0，正确． 答案：(1)(2)(3)(4)14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 4x |，0＜x ≤4，－12x ＋3，x ＞4，若a ＜b ＜c 且f (a )＝f (b )＝f (c )，则(ab ＋1)c 的取值范围是________．解析：作出函数f (x )的图象如图所示． ∵f (a )＝f (b )，∴|log 4a |＝|log 4b |. ∴ab ＝1，且4＜c ＜6， ∴(ab ＋1)c ＝2c ，又c ∈(4,6)，∴16＜2c ＜64. 答案：(16,64)二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)设全集U ＝R ，函数f (x )＝x －a ＋lg(a ＋3－x )的定义域为集合A ，集合B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫14≤2x ≤8. (1)若a ＝－3，求A ∩B ，A ∪B ； (2)若A ⊆∁U B ，求实数a 的取值范围． 解：(1)要使函数f (x )有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧x －a ≥0，a ＋3－x ＞0，则a ≤x ＜a ＋3，当a ＝－3时，A ＝[－3,0)，由14≤2x ≤8，得－2≤x ≤3，故B ＝[－2,3]， 故A ∩B ＝[－2,0)，A ∪B ＝[－3,3]． (2)由(1)得A ＝[a ，a ＋3)，由B ＝[－2,3]得∁U B ＝(－∞，－2)∪(3，＋∞)， 因为A ⊆∁U B ，所以a ＋3＜－2或a ＞3， 即a ＜－5或a ＞3.故a 的取值范围为(－∞，－5)∪(3，＋∞)．16．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝4x －2·2x ＋1－6，其中x ∈[0,3]． (1)求函数f (x )的最大值和最小值；(2)若实数a 满足：f (x )－a ≥0恒成立，求a 的取值范围． 解：(1)f (x )＝(2x )2－4·2x －6(0≤x ≤3)． 令t ＝2x ，∵0≤x ≤3，∴1≤t ≤8.令h (t )＝t 2－4t －6＝(t －2)2－10(1≤t ≤8)．当t ∈[1,2]时，h (t )是减函数，当t ∈(2,8]时，h (t )是增函数． ∴f (x )min ＝h (2)＝－10，f (x )max ＝h (8)＝26.(2)∵f (x )－a ≥0恒成立，即a ≤f (x )恒成立， ∴a ≤f (x )min 恒成立．由(1)知f (x )min ＝－10，∴a ≤－10. 故a 的取值范围为(－∞，－10]．17．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2x －12x ＋1，(1)证明函数f (x )是R 上的增函数； (2)求函数f (x )的值域；(3)令g (x )＝xf (x )，判定函数g (x )的奇偶性，并证明．解：(1)证明：设x 1，x 2是R 内任意两个值，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝222121x x -+－112121x x -+＝2·2x 2－2·2x 1(2x 1＋1)(2x 2＋1)＝2(2x 2－2x 1)(2x 1＋1)(2x 2＋1)，∵x 1<x 2，∴2x 1<2x 2，2x 2－2x 1>0.又2x 1＋1>0,2x 2＋1>0，∴f (x 2)－f (x 1)>0， ∴f (x )是R 上的增函数． (2)f (x )＝2x ＋1－22x ＋1＝1－22x ＋1，∵2x ＋1>1，∴0<22x ＋1<2，即－2<－22x ＋1<0，∴－1<1－22x ＋1<1.∴f (x )的值域为(－1,1)．(3)函数g (x )为偶函数，证明如下：由题意知g (x )＝x f (x )＝2x＋12x －1·x ，易知函数g (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，g (－x )＝(－x )·2－x ＋12－x －1＝(－x )·1＋2x 1－2x ＝x ·2x ＋12x －1＝g (x )，∴函数g (x )为偶函数．18．(本小题满分16分)某上市股票在30天内每股的交易价格p (元)与时间t (天)组成有序数对(t ，p )，点(t ，p )落在下图中的两条线段上，该股票在30天内(包括30天)的日交易量q (万股)与时间t (天)的部分数据如下表所示：第t 天 4 10 16 22 q (万股)2620148(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格p (元)与时间t (天)所满足的函数关系式；(2)若t 与q 满足一次函数关系，根据表中数据确定日交易量q (万股)与时间t (天)的函数关系式；(3)在(2)的结论下，用y (万元)表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求出这30天中第几日交易额最大，最大值为多少？解：(1)当0≤t ＜20时，设p ＝at ＋b ，由图象可知过点(0,2)，(20,6)，代入得⎩⎪⎨⎪⎧2＝b ，6＝20a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ＝15，即p ＝15t ＋2，同理可得当20≤t ≤30时，p ＝－110t ＋8，综上可得p ＝⎩⎨⎧15t ＋2，0≤t ＜20，－110t ＋8，20≤t ≤30.(2)由题意设q ＝kt ＋m ，过点(4,26)，(10,20)，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 26＝4k ＋m ，20＝10k ＋m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，m ＝30，即q ＝－t ＋30，(3)由题意可得y ＝p ·q ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫15t ＋2(－t ＋30)， 0≤t ＜20，⎝⎛⎭⎫－110t ＋8(－t ＋30)， 20≤t ≤30，＝⎩⎨⎧－15t 2＋4t ＋60，0≤t ＜20，110t 2－11t ＋240，20≤t ≤30.当0＜t＜20时，t＝10时，y max＝80万元，当20≤t≤30时，t＝20时，y max＝60万元，综上可得第10日的交易额最大为80万元．19．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫13x.(1)当x∈[－1,1]时，求函数y＝(f(x))2－2af(x)＋3的最小值g(a)；(2)若a∈[－4,4]时，在(1)的条件下，求g(a)的值域．解：(1)设t＝f(x)，则t∈⎣⎡⎦⎤13，3，则y＝h(t)＝t2－2at＋3＝(t－a)2＋3－a2.其对称轴为t＝a，①若a＜13，则g(a)＝h⎝⎛⎭⎫13＝289－23a，②若13≤a≤3，则g(a)＝h(a)＝3－a2，③若a＞3，则g(a)＝h(3)＝12－6a，综上g(a)＝⎩⎨⎧289－23a，a＜13，3－a2，13≤a≤3，12－6a，a＞3.(2)画出g(a)在[－4,4]上图象(略)可知g(a)min＝g(4)＝－12，g(a)max＝g(－4)＝529，故值域为⎣⎡⎦⎤－12，529.20．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝|3x－1|，a∈⎣⎡⎭⎫13，1，若函数g(x)＝f(x)－a有两个不同的零点x1，x2(x1＜x2)，函数h(x)＝f(x)－a2a＋1有两个不同的零点x3，x4(x3＜x4)．(1)若a＝23，求x1的值；(2)求x2－x1＋x4－x3的最小值．解：(1)当a ＝23时，令g (x )＝|3x －1|－23＝0，即3x ＝13或53，∵x 1＜x 2，∴x 1＝－1.(2)∵g (x )＝|3x －1|－a ＝0，∴3x ＝1±a . ∵x 1＜x 2，∴x 1＝log 3(1－a )，x 2＝log 3(1＋a )， ∵h (x )＝|3x －1|－a2a ＋1＝0，∴3x ＝1±a2a ＋1，∵x 3＜x 4，∴x 3＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2a ＋1，x 4＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2a ＋1，∴x 2－x 1＋x 4－x 3＝log 3(1＋a )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2a ＋1(1－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2a ＋1＝log 31＋3a 1－a＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫41－a －3，∵y ＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫41－a －3在a ∈⎣⎡⎭⎫13，1上单调递增， 所以当a ＝13时，x 2－x 1＋x 4－x 3的最小值为1.。

章末知识整合一 指数、对数的基本运算[例1] 计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋⎝ ⎛⎭⎪⎫18－13＋ 4（3－π）4＝________.(2)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________．解析：(1)原式＝1＋813＋|3－π|＝1＋2＋π－3＝π. (2)因为f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg a 2b 2， 又f (ab )＝lg ab ＝1，所以lg a 2b 2＝2lg ab ＝2. 答案：(1)π (2)2 规律方法1．指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是考查的重要问题类型，也是高考的常考内容．主要考查指数和对数的运算性质，以客观题为主．2．(1)指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数运算．(2)对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式进行对数计算、化简．[即时演练] 1.计算：(1)(2014·安徽卷)⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34＋log 354＋log 345＝________．(2)(2015·浙江卷)2log 23＋log 43＝________． 解析：(1)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－34＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫54×45＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＋log 31＝⎝ ⎛⎭⎪⎫323＋0＝278.(2)原式＝2log 23＋log 23＝2log 2(33)＝3 3. 答案：(1)278 (2)3 3二 幂函数的图象与性质[例2] 已知幂函数f (x )＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随着x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m2<(3－2a )－m2的a 的取值范围．解：因为函数f (x )在(0，＋∞)上的函数值随着x 的增大而减小， 所以m 2－2m －3<0.利用二次函数的图象可得－1<m <3. 又m ∈N *，所以m ＝1，2. 又函数图象关于y 轴对称， 所以m 2－2m －3为偶数，故m ＝1. 所以所以有(a ＋1)－12<(3－2a )－12.又因为y ＝x －12的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上是减函数， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0，3－2a ＞0，a ＋1＞3－2a ，解得23<a <32.故实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪23<a <32. 规律方法1．幂函数y ＝x n 的图象，关键是根据n 的取值，确定第一象限的情况，然后再由定义域及奇偶性进一步确定幂函数在其他象限的图象．2．幂函数中的参数问题，要依据题设条件列出指数中参数所含的方程或不等式，求出参数，然后再利用幂函数的图象和相关的性质进行计算检验．[即时演练] 2.已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)． (1)试确定函数的定义域，并指明该函数的单调性； (2)若该函数的图象经过点(2，2)，求函数的解析式． 解：(1)m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *， 而m 与m ＋1中必有一个为偶数， 所以m (m ＋1)为偶数．所以函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．(2)因为函数f (x )经过点(2，2)，所以2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1. 所以m 2＋m ＝2.解得m ＝1或m ＝－2. 又因为m ∈N *，所以m ＝1.因此函数f (x )＝x 12.三 指数函数与对数函数的图象与性质 [例3] 已知函数f (x )＝log 12ax －2x －1(a 为常数)． (1)若常数a ＜2且a ≠0，求f (x )的定义域；(2)若f (x )在区间(2，4)上是减函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意，ax －2x －1＞0，即(x －1)(ax －2)＞0.当0＜a ＜2时，2a ＞1.解不等式得x ＜1或x ＞2a .当a ＜0时，解得2a＜x ＜1.故当a ＜0时，定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2a ＜x ＜1；当0＜a ＜2时，定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜1或x ＞2a .(2)令u ＝ax －2x －1，因为f (x )＝log 12u 为减函数，故要使f (x )在(2，4)上是减函数，只需函数u (x )＝ax －2x －1＝a ＋a －2x －1， 在(2，4)上单调递增且为正．故由⎩⎨⎧a－2＜0，u（2）＝2a－22－1≥0，解得1≤a＜2.所以实数a的取值范围为[1，2)．规律方法1．求解f(x)的定义域，注意a的取值影响，要进行分类讨论．2．第(2)问中，逆用“对数型”复合函数的性质，在脱去对数符号时，其真数一定要大于0，从而u(2)≥0得到关于a的不等式组．[即时演练] 3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫12x.(1)画出函数f(x)的图象；(2)根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．解：(1)先作出当x≥0时，f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫12x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．(2)函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0，1]．四 函数模型的实际应用[例4] 甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息如图甲和图乙所示．甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第六年2万只．乙调查表明：甲鱼池个数由第一年30个减少到第六年10个，请你根据提供的信息说明．图甲 图乙(1)第二年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；(2)到第六年这个县的甲鱼养殖业的规模比第一年是扩大了还是缩小了？说明理由；(3)哪一年的规模最大？说明理由．解：(1)由题图可知，直线y 甲＝kx ＋b ，经过(1，1)和(6，2)．可求得k ＝0.2，b ＝0.8.所以y 甲＝0.2(x ＋4)．故第二年甲鱼池的产量为1.2万只．同理可得y 乙＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋172.故第二年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为26×1.2＝31.2(万只)．(2)规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只．(3)设第x 年规模最大，即求y 甲·y 乙＝0.2(x ＋4)·4⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋172＝－0.8x 2＋3.6x ＋27.2的最大值．当x ＝－ 3.62×（－0.8）＝214≈2时，y 甲·y 乙＝－0.8×4＋3.6×2＋27.2＝31.2(万只)最大． 即第二年规模最大，甲鱼产量为31.2万只．[即时演练] 4.某汽车公司曾在2014年初公告：2014年销量目标为39.3万辆；且该公司董事长极力表示有信心完成这个销量目标．已知2011年，某汽车年销量8万辆；2012年，某汽车年销量18万辆；2013年，某汽车年销量30万辆．如果我们分别将2011，2012，2013，2014年定义为第一、第二、第三、第四年，现在有两个函数模型：二次函数型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，指数函数型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b ≠1，b ＞0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y 与第x 年的关系？解：建立年销量y (万辆)与第x 年的函数，可知函数图象必过点(1，8)，(2，18)，(3，30)．(1)构造二次函数型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将点的坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝7，c ＝0.则f (x )＝x 2＋7x ，故f (4)＝44，与计划误差为4.7. (2)构造指数函数型g (x )＝a ·b x ＋c ，将点的坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1253，b ＝65，c ＝－42.则g (x )＝1253×⎝ ⎛⎭⎪⎫65x－42，故g (4)＝1253×⎝ ⎛⎭⎪⎫654－42＝44.4，与计划误差为5.1.由上可得，f (x )＝x 2＋7x 模型能更好地反映该公司年销量y (万辆)与第x 年的关系．五 转化与数形结合思想[例5] 当a 为何值时，函数y ＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2的一个零点在区间(0，1)上，另一个零点在区间(1，2)上？解：已知函数对应的方程为7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0， 函数的大致图象如图所示．根据方程的根与函数的零点的关系，方程的根一个在(0，1)上，另一个在(1，2)上，则：⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （2）＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＞0，a 2－2a －8＜0，a 2－3a ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－1或a ＞2，－2＜a ＜4，a ＜0或a ＞3，所以－2＜a ＜－1或3＜a ＜4. 规律方法1．转化是将数学命题由一种形式转向另一种形式的转换过程；化归是将待解决的问题通过某种转化的过程，归结为一类已解决或比较容易解决的问题．2．在解决函数问题时，常进行数与形或数与数的转化，从而达到解决问题的目的．[即时演练] 5.(2015·湖南卷)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．解析：函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，等价于函数y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象有两个不同的交点．在同一坐标系中作出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象(如图所示)． 由图象知，两图象有2个交点，则0＜b ＜2.答案：{b|0＜b＜2}。

第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1 指数函数3.1.2 指数函数A级基础巩固1．下列一定是指数函数的是()A．形如y＝a x的函数B．y＝x a(a>0，a≠1)C．y＝(|a|＋2)－x D．y＝(a－2)a x答案：C2．下列判断正确的是()A．2.52.5＞2.53B．0.82＜0.83C．π2＜π2D．0.90.3＞0.90.5解析：因为y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.3，所以0.90.3＞0.90.5.答案：D3．函数y＝2x＋1的图象是()解析：当x＝0时，y＝2，且函数单调递增，故选A.答案：A4．函数f(x)的图象向右平移一个单位长度所得图象与y＝e x关于y轴对称，则f(x)＝()A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e －x －1D ．e －x ＋1解析：和y ＝e x 关于y 轴对称的是y ＝e －x ，将其向左移一个单位即y ＝e －x －1.答案：C5．(2019·江西卷)已知函数f (x )＝5x，g (x )＝ax 2－x (a ∈R)．若f (g (1))＝1，则a ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．－1 解析：先求函数值，再解指数方程．因为g (x )＝ax 2－x ，所以g (1)＝a －1.因为f (x )＝5|x |， 所以f (g (1))＝f (a －1)＝5|a －1|＝1.所以|a －1|＝0. 所以a ＝1. 答案：A6．当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，则实数a 的取值范围是( )A ．1＜|a |＜2B ．|a |＜1C ．|a |＞1D ．|a |＞2解析：根据指数函数性质知a 2－1＞1，即a 2＞2. 所以|a |＞ 2. 答案：D7．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋a ＋32x >⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋a ＋321－x ，则实数x 的取值范围________．解析：因为a 2＋a ＋32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋54>1，即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋a ＋32x在R 上为增函数，所以x >1－x ⇒x >12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 8．函数y ＝a 2x ＋b ＋1(a ＞0，且a ≠1，b ∈R)的图象恒过定点(1，2)，则b 的值为________．解析：因为函数y ＝a 2x ＋b ＋1的图象恒过定点(1，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2×1＋b ＝0，a 0＋1＝2，即b ＝－2.答案：－29．若函数f (x )＝a ＋14x ＋1为奇函数，则a ＝________．解析：因为f (x )为奇函数且定义域为R ， 所以f (0)＝0，即a ＋140＋1＝0.所以a ＝－12.答案：－1210．求函数y ＝32x －1－19的定义域为________． 解析：要使函数有意义，则x 应满足32x －1－19≥0， 即32x －1≥3－2.因为函数y ＝3x 是增函数， 所以2x －1≥－2，即x ≥－12.故所求函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞11．求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ＋2(0≤x ≤3)的值域．解：令t ＝x 2－2x ＋2，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t，又t ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1， 因为0≤x ≤3，所以当x ＝1时，t min ＝1，当x ＝3时，t max ＝5.故1≤t ≤5，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫125≤y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫121.故所求函数的值域⎣⎢⎡⎦⎥⎤132，12.12．已知函数f (x )＝1＋22x －1.(1)求函数f (x )的定义域；(2)证明函数f (x )在(－∞，0)上为减函数． (1)解：f (x )＝1＋22x －1，因为2x －1≠0，所以x ≠0.所以函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}． (2)证明：任意设x 1，x 2∈(－∞，0)且x 1＜x 2. f (x 1)－f (x 2)＝22x 1－1－22x 2－1＝2（2x 2－2x 1）（2x 1－1）（2x 2－1）.因为x 1，x 2∈(－∞，0)且x 1＜x 2， 所以2x 2＞2x 1且2x 1＜1，2x 2＜1. 所以f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)． 所以函数f (x )在(－∞，0)上为减函数．B 级 能力提升13．函数y ＝a x －1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )解析：函数y ＝a x －1a 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1a ，当a >1时，1－1a ∈(0，1)且为增函数，排除A ，B ；当0<a <1时，1－1a <0且y ＝a x －1a 为减函数，排除C.答案：D14．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a ＞0，且a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)等于( )A ．2 B.154 C.174D ．a 2解析：因为f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， 所以由f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2.①所以得f (－x )＋g (－x )＝－f (x )＋g (x )＝a －x －a x ＋2.② ①＋②，得g (x )＝2， ①－②，得f (x )＝a x －a －x .又g (2)＝a ，所以a ＝2.所以f (x )＝2x －2－x . 所以f (2)＝22－2－2＝154.答案：B15．若函数f (x )＝⎩⎨⎧1x ，x ＜0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≥0，则不等式f (x )≥13的解集是________．解析：(1)当x ≥0时，由f (x )≥13得⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥13，所以0≤x ≤1.(2)当x ＜0时，不等式1x ≥13明显不成立，综上可知不等式f (x )≥13的解集是{x |0≤x ≤1}．答案：{x |0≤x ≤1}16．若函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________．解析：当a >1时，有a 2＝4，a －1＝m ⇒a ＝2，m ＝12，但此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意．若0<a <1，则a －1＝4，a 2＝m ⇒a ＝14，m ＝116，适合题意．答案：1417．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1时，求函数f (x )的单调增区间； (2)如果函数f (x )有最大值3，求实数a 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7， 由于g (x )在(－2，＋∞)上递减，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是减函数， 所以f (x )在(－2，＋∞)上是增函数，即f (x )的单调增区间是(－2，＋∞)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h （x ），由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1；因此必有⎩⎨⎧a ＞0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1.故当f (x )有最大值3时，a 的值为1.18．一个人喝了少量酒后，血液中酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少．为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液酒精含量不得超过0.08 mg/mL ，那么喝了少量酒的驾驶员，至少要过几小时才能驾驶(精确到1小时)?解：1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3(1－50%)mg/mL ，…，x 小时后其酒精含量为0.3(1－50%)x mg/mL ，由题意知0.3(1－50%)x≤0.08，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤415.采用估算法，x ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12＞415.x ＝2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14＝416＜415.由于⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数，所以满足要求的x 的最小整数为2.故至少要过2小时驾驶员才能驾驶.。

第2、3章 章末检测(A)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．若a<12，则化简42a －12的结果是________．2．函数y ＝lg x ＋lg (5－3x)的定义域是________．3．函数y ＝2＋log 2(x 2＋3)(x≥1)的值域为__________________________________． 4．已知2x ＝72y＝A ，且1x ＋1y ＝2，则A 的值是________________________________．5．已知函数f(x)＝ax 2＋(a 3－a)x ＋1在(－∞，－1]上递增，则a 的取值X 围是________．6．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3 x>10f f x ＋5x≤10，则f(5)的值是________．7．函数y ＝1＋1x的零点是________．8．利用一根长6米的木料，做一个如图的矩形窗框(包括中间两条横档)，则窗框的高和宽的比值为________时透过的光线最多(即矩形窗框围成的面积最大)．9．某企业2010年12月份的产值是这年1月份产值的P 倍，则该企业2010年度产值的月平均增长率为________．10．已知函数y ＝f(x)是R 上的增函数，且f (m ＋3)≤f (5)，则实数m 的取值X 围是________．11．函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3在区间[－2,3]上的最大值与最小值的和为________．12．若函数f (x )＝x 2＋a ＋1x ＋a x为奇函数，则实数a ＝________.13．函数f (x )＝x 2－2x ＋b 的零点均是正数，则实数b 的取值X 围是________． 14．设偶函数f (x )＝log a |x ＋b |在(0，＋∞)上具有单调性，则f (b －2)与f (a ＋1)的大小关系为________．二、解答题(本大题共6小题，共90分) 15．(14分)(1)设log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m ＋n的值；(2)计算：log 49－log 212＋5lg210-.16．(14分)函数f (x )是R 上的偶函数，且当x >0时，函数的解析式为f (x )＝2x－1.(1)用定义证明f (x )在(0，＋∞)上是减函数； (2)求当x <0时，函数的解析式．17．(14分)已知函数f (x )＝log a x ＋1x －1(a >0且a ≠1)， (1)求f (x )的定义域；(2)判断函数的奇偶性和单调性．18．(16分)已知函数f (x )对一切实数x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且当x >0时，f(x)<0，又f(3)＝－2.(1)试判定该函数的奇偶性；(2)试判断该函数在R上的单调性；(3)求f(x)在[－12,12]上的最大值和最小值．19．(16分)某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图(1)，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图(2)．(注：利润与投资量单位：万元)(1)分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式．(2)该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？20．(16分)已知常数a、b满足a>1>b>0，若f(x)＝lg(a x－b x)．(1)求y＝f(x)的定义域；(2)证明y＝f(x)在定义域内是增函数；(3)若f(x)恰在(1，＋∞)内取正值，且f(2)＝lg 2，求a、b的值．第2章 章末检测(A )1.1－2a解析 ∵a <12，∴2a －1<0.于是，原式＝41－2a2＝1－2a .2．[1，53)解析 由函数的解析式得：⎩⎪⎨⎪⎧lg x ≥0，x >0，5－3x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x >0，x <53.所以1≤x <53.3．[4，＋∞)解析 ∵x ≥1，∴x 2＋3≥4，∴log 2(x 2＋3)≥2，则有y ≥4. 4．7 2解析 由2x ＝72y＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ，则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2， A 2＝98.又A >0，故A ＝98＝7 2.5．[－3，0)解析 由题意知a <0，－a 3－a 2a ≥－1，－a 22＋12≥－1，即a 2≤3.∴－3≤a <0. 6．24解析 f (5)＝f (f (10))＝f (f (f (15)))＝f (f (18))＝f (21)＝24.7．－1解析 由1＋1x ＝0，得1x＝－1，∴x ＝－1.8．2解析 设窗框的宽为x ，高为h ，则2h ＋4x ＝6， 即h ＋2x ＝3，∴h ＝3－2x ，∴矩形窗框围成的面积S ＝x (3－2x )＝－2x 2＋3x (0<x <32)，当x ＝－32×－2＝34＝0.75时，S 有最大值．∴h ＝3－2x ＝1.5，∴高与宽之比为2. 9.11P －1解析 设1月份产值为a ，增长率为x ，则aP ＝a (1＋x )11，∴x ＝11P －1.10．m ≤2解析 由函数单调性可知，由f (m ＋3)≤f (5)有m ＋3≤5，故m ≤2. 11．－1解析 f (x )＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∵1∈[－2,3]， ∴f (x )max ＝4，又∵1－(－2)>3－1，由f (x )图象的对称性可知，f (－2)的值为f (x )在[－2,3]上的最小值，即f (x )min ＝f (－2)＝－5，∴－5＋4＝－1.12．－1解析 由题意知，f (－x )＝－f (x )，即x 2－a ＋1x ＋a －x ＝－x 2＋a ＋1x ＋ax，∴(a ＋1)x ＝0对x ≠0恒成立， ∴a ＋1＝0，a ＝－1. 13．(0,1]解析 设x 1，x 2是函数f (x )的零点，则x 1，x 2为方程x 2－2x ＋b ＝0的两正根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1＋x 2＝2>0x 1x 2＝b >0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4b ≥0b >0.解得0<b ≤1.14．f (b －2)<f (a ＋1)解析 ∵函数f (x )是偶函数，∴b ＝0，此时f (x )＝log a |x |. 当a >1时，函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上是增函数， ∴f (a ＋1)>f (2)＝f (b －2)；当0<a <1时，函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上是减函数， ∴f (a ＋1)>f (2)＝f (b －2)． 综上可知f (b －2)<f (a ＋1)．15．解 (1)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n＝3. ∴a2m ＋n＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝22·3＝12.(2)原式＝log 23－(log 23＋log 24)＋2lg 510＝log 23－log 23－2＋25＝－85.16．(1)证明 设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1－1)－(2x 2－1)＝2x 2－x 1x 1x 2，∵0<x 1<x 2，∴x 1x 2>0，x 2－x 1>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．(2)解 设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝－2x－1，又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝－2x －1，即f (x )＝－2x－1(x <0)．17．解 (1)要使此函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0x －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0x －1<0，解得x >1或x <－1，此函数的定义域为 (－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．(2)f (－x )＝log a －x ＋1－x －1＝log a x －1x ＋1＝－log a x ＋1x －1＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．f (x )＝log a x ＋1x －1＝log a (1＋2x －1)，函数u ＝1＋2x －1在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减．所以当a >1时，f (x )＝log a x ＋1x －1在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递减； 当0<a <1时，f (x )＝log ax ＋1x －1在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递增． 18．解 (1)令x ＝y ＝0，得f (0＋0)＝f (0)＝f (0)＋f (0) ＝2f (0)，∴f (0)＝0.令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0， ∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．(2)任取x 1<x 2，则x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)<0， ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)<0， 即f (x 2)<f (x 1)∴f (x )在R 上是减函数．(3)∵f (x )在[－12,12]上是减函数， ∴f (12)最小，f (－12)最大．又f (12)＝f (6＋6)＝f (6)＋f (6)＝2f (6) ＝2[f (3)＋f (3)]＝4f (3)＝－8， ∴f (－12)＝－f (12)＝8.∴f (x )在[－12,12]上的最大值是8，最小值是－8.19．解 (1)设投资为x 万元，A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元． 由题意，得f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x . 由题图可知f (1)＝15，∴k 1＝15.又g (4)＝1.6，∴k 2＝45.从而f (x )＝15x (x ≥0)，g (x )＝45x (x ≥0)．(2)设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10－x 万元，该企业利润为y 万元．y ＝f (x )＋g (10－x )＝x 5＋4510－x (0≤x ≤10)，令10－x ＝t ，则x ＝10－t 2，于是y ＝10－t 25＋45t ＝－15(t －2)2＋145(0≤t ≤10)．当t ＝2时，y max ＝145＝2.8，此时x ＝10－4＝6，即当A 产品投入6万元，则B 产品投入4万元时，该企业获得最大利润，最大利润为2.8万元．20．(1)解 ∵a x－b x>0，∴a x>b x，∴(ab)x>1. ∵a >1>b >0，∴a b>1. ∴y ＝(a b)x在R 上递增． ∵(a b)x>(a b)0，∴x >0.∴f (x )的定义域为(0，＋∞)． (2)证明 设x 1>x 2>0，∵a >1>b >0， ∴ax 1>ax 2>1,0<bx 1<bx 2<1.∴－bx 1>－bx 2>－1.∴ax 1－bx 1>ax 2－bx 2>0. 又∵y ＝lg x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴lg(ax 1－bx 1)>lg(ax 2－bx 2)，即f (x 1)>f (x 2)． ∴f (x )在定义域内是增函数．(3)解 由(2)得，f (x )在定义域内为增函数， 又恰在(1，＋∞)内取正值， ∴f (1)＝0.又f (2)＝lg 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧lg a －b ＝0，lg a 2－b 2＝lg 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，a 2－b 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝12.。

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(三) 指数函数、对数函数和幂函数（时间120分钟，满分160分)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上）1．设函数f （x）＝错误!则f 错误!的值是________．【解析】 f 错误!＝f 错误!＝f （－1）＝2－1＝错误!.【答案】1 22．下列函数中,既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是________．(填序号)①y＝错误!;②y＝e－x；③y＝－x2＋1;④y＝lg|x|.【解析】①项,y＝错误!是奇函数，故不正确；②项，y＝e－x为非奇非偶函数，故不正确;③④两项中的两个函数都是偶函数，且y＝－x2＋1在(0，＋∞）上是减函数，y＝lg |x｜在(0，＋∞)上是增函数，故选③。

【答案】③3．f (x)是定义在R上的奇函数，且当x∈（0，＋∞)时，f （x)＝2 016x＋log2 016x,则函数f (x）的零点的个数是________．【解析】作出函数y1＝2 016x，y2＝－log2 016x的图象，可知函数f （x）＝2 016x＋log2 016x在x∈（0，＋∞)内存在一个零点，又因为f (x）是定义在R上的奇函数,所以f (x）在x∈(－∞，0）上也有一个零点，又f （0)＝0，所以函数f (x）的零点的个数是3个．【答案】34．把函数y＝a x向________平移________个单位得到函数y＝错误!－x＋2的图象，函数y＝a3x－2(a>0且a≠1)的图象过定点________．【解析】y＝错误!－x＋2＝a x－2可由y＝a x向右平移2个单位得到．令3x－2＝0，即x＝错误!,则y＝1，∴y＝a3x－2的图象过定点错误!。