【数学】四川省宜宾市2019-2020学年高二下学期第四学月考试(文)

四川省宜宾市第四中学2019-2020学年12月月考高二数学（理）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共4页. 全卷满分150分．考试时间120分钟．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知命题0x ∀>,总有()11x e x >+,则p ⌝为A. 00x ∃≤,使得()0011xx e +≤ B. 00x ∃>,使得()0011xx e +≤ C. 0x ∀>,总有()11xx e +≤ D. 0x ∀≤,总有()11xx e +≤2.抛物线214y x =的焦点坐标为 A. ()1,0 B. 1,016⎛⎫⎪⎝⎭C. 10,16⎛⎫⎪⎝⎭ D. ()0,13.通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动,采用独立性检验的方法计算得2K 7.8≈,则根据这一数据参照附表,得到的正确结论是A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为"爱好该项运动与性别有关"B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为"爱好该项运动与性别无关"C.有99%以上的把握认为"爱好该项运动与性别无关"D.有99%以上的把握认为"爱好该项运动与性别有关"4.已知命题11:,23x xp x R ⎛⎫⎛⎫∀∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;命题2000:,10q x R x x ∃∈--=;则下列命题为真命题的是A. p q ∧B. p q ∨⌝C. p q ⌝∧D. p q ⌝∧⌝ 5.设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,则1D 到平面1A BD 的距离是6.已知双曲线 ()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线平行于直线:210l y x =+,则该双曲线的离心率为2 C. 5D.27.直线cos 0x y m θ++=的倾斜角范围是A. 3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 30,,44π⎡⎤⎡⎤⋃ππ⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦D. 3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦8.若不等式组2302400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的区域为Ω,不等式222210x y x y +--+≤表示的区域为T ,则在区域Ω内任取一点,则此点落在区域T 中的概率为 A.4π B. 8π C. 5π D. 10π 9.直线 20x y ++=分别与x 轴, y 轴交于,A B 两点,点P 在圆22(2)2x y -+=上,则ABP ∆面积的取值范围是A. []2,6B. []4,8C.D.⎡⎣ 10.设,,,A B C D 是同一个半径为4的球的球面上四点, ABC ∆为等边三角形且其面积为则三棱锥D ABC -体积的最大值为A.11.已知0,0,228x y x y xy >>++=,则2x y +的最小值是A. 3B. 4C.92 D. 11212.已知F 抛物线 C :24y x =的焦点,过F 作两条互相垂直的直线1l ,2l ,直线1l 与 C 交于A 、B 两点,直线2l 与 C 交于D 、E 两点,则AB DE +的最小值为A. 16B. 14C. 12D. 10第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.设,满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,则32z x y =-的最小值__________.14.F 是双曲线221169x y -=的左焦点, A 是双曲线上一点, P 是线段AF 的中点, O 为坐标原点,若6,OP =则AF =__________.15.已知点()1,1M -和抛物线2:4C y x =,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点。

2020年春四川省宜宾市第四中学高二期中考试文科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数31iz i+=-,则z = （ ) A.1B.25 D.5【参考答案】C【试题分析】先用复数的除法法则进行运算,然后根据复数模的运算公式,进行求模运算. 【试题解答】223(3)(1)121251(1)(1)i i i z z i z i i i ++⋅+=⇒==+⇒=+=--⋅+故本题选C. 本题考查了复数的除法运算、求模运算.关键是掌握除法的运算法则和求模的公式. 2.已知命题p:∀x∈R ,2x ＞0,那么命题¬p 为（ ) A.∃x∈R ,2x ＜0 B.∀x∈R ,2x ＜0 C.∃x∈R ,2x≤0D.∀x∈R ,2x≤0【参考答案】C由全称命题的否定与存在性命题之间的关系可得:0:,20p x R x ⌝∃∈≤,应选答案C.3.下列求导运算正确的是（ ).A.23111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ B.(2)2ln 2x x '= C.2(sin )2cos x x x x '= D.1(ln 2)2x x'=【参考答案】B【试题分析】根据基本初等函数的导数公式、导数的运算法则以及复合函数的导数求法,即可得出结果.【试题解答】对于A,23112x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,故A 不正确； 对于B,(2)2ln 2x x '=,故B 正确；对于C,22(sin )2sin cos x x x x x x '=+,故C 不正确； 对于D,11(ln 2)22x x x'=⨯=,故D 不正确； 故选:B本题主要考查了基本初等函数的导数公式、导数的运算法则以及复合函数的导数,需熟记公式,属于基础题.4.若向量(2,0),(2,1),(,1)a b c x =-==满足条件3a b +与c 共线,则x 的值为（ ) A.2-B.4-C.2D.4【参考答案】B向量()2,0a =-,()2,1b =,(),1c x =, 所以3(6,0)(2,1)(4,1)a b +=-+=-, 所以3a b +与c 共线,所以114x-=,截得4x =-,故选B. 5.若l m n 、、是互不相同的空间直线,αβ、是不重合的平面,则下列命题中真命题是( ) A.若//l m αβαβ⊂⊂，，，则//l m B.若l αβα⊥⊂，， 则l β⊥ C.若l β⊥,//l α,则αβ⊥ D.若l n ⊥,m n ⊥,则//l m 【参考答案】C【试题分析】对于A,考虑空间两直线的位置关系和面面平行的性质定理； 对于B,考虑线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理； 对于C,考虑面面垂直的判定定理；对于D,考虑空间两条直线的位置关系及平行公理.【试题解答】选项A 中,l 除平行m 外,还有异面的位置关系,则A 不正确； 选项B 中,l 与β的位置关系有相交、平行、在β内三种,则B 不正确；选项C 中,由l α,设经过l 的平面与α相交,交线为c ,则l c ,又l β⊥,故c β⊥,又c α⊂,所以αβ⊥,则C 正确；选项D 中,l 与m 的位置关系还有相交和异面,则D 不正确； 故选C.该题考查的是有关立体几何问题,涉及到的知识点有空间直线与平面的位置关系,面面平行的性质,线面垂直的判定,面面垂直的判定和性质,属于简单题目.6.设p 在[0,5]上随机地取值,则关于x 的方程x 2＋px ＋1＝0有实数根的概率为（ )A.15 B.25 C.35D.45【参考答案】C【试题分析】方程有实数根,即0∆≥,解出p 的范围即可得出概率.【试题解答】方程有实根,则Δ＝p 2－4≥0,p 在[0,5]上随机地取值, 解得p ≥2或p ≤－2（舍去), 所以所求概率为523505P -==-. 故选:C此题考查几何概率模型,关键在于准确解出方程有实根得出p 的范围. 7.执行如图所示的程序框图,输出的值是（ ).A.4B.5C.6D.7【参考答案】B第一次循环,35116,011,n k =⨯+==+=继续循环；第二次循环,168,112,2n k ===+=继续循环； 第三次循环,84,213,2n k ===+=继续循环；第四次循环,42,314,2n k ===+=继续循环；第五次循环,21,415,2n k ===+=结束循环；输出5k = 故答案选B8.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>3且它的一个焦点在抛物线212y x =的准线上,则此双曲线的方程为（ )A.22156x y -=B.22175x y -=C.22136x y -=D.22143x y -=【参考答案】C 试题分析:抛物线212y x=的准线为3x =-,焦点为()3,0-3c ∴=336ce a b a==∴=∴= 双曲线方程为22136x y -=考点:双曲线方程及性质 9.函数()2xcosxf x x 1=+ []()x 2,2∈-的大致图象是（ ) A.B.C. D.【参考答案】C由于()()f x f x -=-,故函数为奇函数,排除D选项,06f π⎛⎫>⎪⎝⎭,故排除B 选项,()22cos 205f =<排除A 选项,故选C . 10.设偶函数()f x 满足()()240xf x x =-≥,则满足()20f a ->的实数a 的取值范围为（ ) A.()2,+∞ B.()4,+∞ C.()0,4D.()(),04,-∞+∞【参考答案】D【试题分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系,即可得到结论. 【试题解答】解:偶函数()f x 满足()24(0)xf x x =-,∴函数()f x 在[)0,+∞上为增函数,()20f = ∴不等式(2)0f a ->等价为()()|2|2f a f ->,即|2|2a ->,即22a ->或22a -<-, 解得4a >或0a <, 故选:D.本题主要考查不等式的求解,以及函数奇偶性和单调性的应用,综合考查函数的性质,属于中档题.11.在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球,若AB BC ⊥,6AB =,8BC =,13AA =,则该球体积V 的最大值是A.4πB.92π C.6πD.323π 【参考答案】B 试题分析:设的内切圆半径为,则,故球的最大半径为,故选B.考点:球及其性质.12.设函数()f x 是定义在(0,)+∞上的可导函数,其导函数为()f x ',且有()2()xf x f x '>,则不等式24(2019)(2019)(2)0f x x f ---<的解集为（) A.(0,2021)B.(2019,2021)C.(2019,)+∞D.(,2021)-∞【参考答案】B【试题分析】根据()2()xf x f x '>得到2()()f x g x x =的单调性,再变形不等式根据()g x 单调性求解集. 【试题解答】设2()()f x g x x =,则243()2()()2()()0x f x xf x xf x f x g x x x''--'==>,所以()g x 在(0,)+∞上单调递增,又24(2019)(2019)(2)0f x x f ---<,所以22(2019)(2)(2019)2f x f x -<-,则有2019020192x x ->⎧⎨-<⎩,即(2019,2021)x ∈.故选B.常见的可根据导函数不等式推导抽象函数的情况:（1)已知()()0(0)f x f x '+><,则可设()()xg x e f x =；（2)已知()()0(0)f x f x '-><,则可设()()x f x g x e=； （3)已知()()0(0)xf x f x '+><,则可设()()g x xf x =； （4)已知()()0(0)xf x f x '-><,则可设()()f x g x x=. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.某校共有在职教师200人,其中高级教师20人,中级教师100人,初级教师80人,现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研,则抽取的初级教师的人数__________ 【参考答案】20【试题分析】根据分层抽样的定义即可得到结论. 【试题解答】解:初级教师80人,∴抽取一个容量为50的样本,用分层抽样法抽取的初级教师人数为8020050n=, 解得20n =,即初级教师人数应为20人,故答案为:20.本题主要考查分层抽样的应用,属于基础题.14.函数()()2212f x x =-+的极值点是_____________________ 【参考答案】1x =-或1或0【试题分析】先求出函数的导数,再利用导数的符号可求函数的极值点. 【试题解答】()()2'21f x x x =-,列表讨论如下:综上,()f x 的极值点为1x =-或1x =或0x =,填1x =-或1或0. 若()f x 在0x 及其附近可导,则:（1)在0x 的左侧附近,有()'0f x >,在0x 的右侧附近,有()'0f x <,则0x x =为函数的极大值点； （2)在0x 左侧附近,有()'0f x <,在0x 的右侧附近()'0f x >,有,则0x x =为函数的极小值点；15.设变量x ,y 满足约束条件2202400x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则目标函数z =y -3x 的最大值是______.【参考答案】4【试题分析】由约束条件得到可行域,将问题转化为3y x z =+在y 轴截距最大值的求解,通过平移3y x=可确定过()0,4A 时截距最大,代入求得结果.【试题解答】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示:目标函数可化为3y x z =+,则z 的最大值即为3y x z =+在y 轴截距最大值 由3y x =平移可知,当3y x z =+过A 时,截距最大 又()0,4A max 404z ∴=-= 故答案为4本题考查线性规划中的最值问题的求解,关键是能够将问题转化为直线在y 轴截距的最值的求解问题,属于常考题型. 16.若函数(1)()ln 1a x f x x x -=++在定义域上是增函数,则实数a 的取值范围为__________. 【参考答案】2a ≤定义域()0,∞+,()()22101af x x x -=+≥+'在()0,∞+上恒成立,即()212x a x+≤在()0,∞+上恒成立,()21112222x x xx+=++≥,当且仅当1x =时成立,则2a ≤ 点睛:函数单调性问题,往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题,即转化为方程或不等式解的问题（有解,恒成立,无解等),而不等式有解或恒成立问题,又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. 17.已知函数31()443f x x x =-+.（1)求()f x 在[]0,3上的最值；（2)对任意[]12,0,x x m ∈,1216()()3f x f x -≤恒有成立,求实数m 的取位范围. 【参考答案】（1)当0x =时,()f x 的最大值为4；当2x =时,()f x 的最小值为43-；（2)(0,23].【试题分析】（1)对()f x 求导,令()0f x '=,得到()f x 在[0]3，上的单调性,从而求得最值；（2)由416433⎛⎫--= ⎪⎝⎭,数形结合分析可得取值范围.【试题解答】（1)因为31()443f x x x =-+,所以2()4f x x =-',令()0f x '=,解得2x =-或2x =,因为()f x 在[0]3，上,所以()f x 在[0]2，上单调递减；在](23，上单调递增, 又因为(0)4f =,4(2)3f =-,(3)1f =, 所以,当0x =时,()f x 的最大值为4；当2x =时,()f x 的最小值为43-. （2)因为416433⎛⎫--= ⎪⎝⎭,结合()f x 的图象:令()04f x =,解得023x =, 所以m 的取值范围是(0,23].本题考查利用导数研究函数的最值,考查根据函数的图像和性质求参数法人方法,要熟练掌握数形结合思想方法的运用,属中档题.18.通过随机询问某地100名高中学生在选择座位时是否挑同桌,得到如下22⨯列联表:（1)从这50名男生中按是否挑同桌采取分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本,现从这5名学生中随机选取3名做深度采访,求这3名学生中恰有2名挑同桌的概率；（2)根据以上22⨯列联表,是否有95%以上的把握认为"性别与在选择座位时是否挑同桌"有关？下面的临界值表供参考:（参考公式:22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++,其中n a b c d=+++.)【参考答案】（1)35（2)有95%以上的把握认为"性别与在选择座位时是否挑同桌"有关【试题分析】（1)计算出抽样比例,从而解得5名学生挑同桌的分布情况,再计算从5人中抽2人的所有可能,找出满足题意的可能,用古典概型计算公式求解；（2)根据公式,计算2K,对照参考表即可判断.【试题解答】（1)根据分层抽样方法抽取容量为5的样本,挑同桌有3人,记为A、B、C；不挑同桌有2人,记为d、e；从这5人中随机选取3人,基本事件为ABC ,ABd ,ABe ,ACd ,ACe ,Ade , BCd ,BCe ,Bde ,Cde 共10种,这3名学生中恰有2名要挑同桌的事件为ABd ,ABe ,ACd ,ACe ,BCd ,BCe ,共6种,故所求的概率为63105P ==； （2)根据以上22⨯列联表,计算观测值22100(30102040) 4.7619 3.84170305050K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯,对照临界值表知,有95%以上的把握认为"性别与在选择座位时是否挑同桌"有关. 本题考查了分层抽样、古典概型、2K 的计算,属概率统计综合题,同时也考查了计算能力. 19.如图,四棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABCD ,AD BC ∥,3AB AD AC ===,4PABC ,M 为线段AD 上一点,2AM MD =,N 为PC 的中点. （I)证明MN ∥平面PAB ； （II)求四面体N BCM -的体积.【参考答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)453.试题分析:（Ⅰ)取PB 的中点T ,然后结合条件中的数据证明四边形AMNT 为平行四边形,从而得到MNAT ,由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ)由条件可知四面体N-BCM 的高,即点N 到底面的距离为棱PA 的一半,由此可顺利求得结果. 试题解析:（Ⅰ)由已知得,取中点T ,连接,由N 为中点知,.又,故平行且等于,四边形AMNT 为平行四边形,于是.因为平面,平面,所以平面.（Ⅱ)因为平面,N 为的中点,所以N 到平面的距离为.取的中点,连结.由得,.由得到的距离为,故145252BCMS=⨯⨯=. 所以四面体的体积145323N BCM BCMPA V S -=⨯⨯=. 【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积【技巧点拨】（1)证明立体几何中的平行关系,常常是通过线线平行来实现,而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2)求三棱锥的体积关键是确定其高,而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置,当然有时也采取割补法、体积转换法求解.20.已知抛物线C :()220y px p =>的焦点为F ,点A 为C 上异于顶点的任意一点,过A 的直线l 交C 于另一点B ,交x 轴正半轴于点D ,且有FA FD =,当点A 的横坐标为3时,ADF ∆为正三角形. （1)求C 的方程；（2)若直线1//l l ,且1l 和C 相切于点E ,试问直线AE 是否过定点,若过定点,求出定点坐标；若不过定点,说明理由.【参考答案】(1) 24y x = (2) 直线AE 过定点()1,0.【试题分析】（1)设(),0D t ,抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,由FA FD =,可得322p p t +=-,从而3t p =+,再由A 点横坐标与FD 中点横坐标相同可求得p .（2)设()00,A x y ,可得()02,0D x +,由1//l l ,可设直线1l 的方程为02y y x b =-+,由它与抛物线相切可求得b ,也即得出E 点坐标,求出直线AE 方程,观察得其过定点.注意分类,即按直线AE 斜率是否存在分类讨论. 【试题解答】（1)抛物线的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,设(),0D t ,则FD 的中点坐标为2,04p t +⎛⎫⎪⎝⎭, ∵FA FD =,∴322p pt +=-,解得3t p =+,或3t =-（舍), ∵234p t +=,∴3634p +=,解得2p =, ∴抛物线方程为24y x =.（2)由（1)知,()1,0F ,设()00,A x y ,(),0D D x ,∵FA FD =,则011D x x -=+,由0D x >得02D x x =+,即()02,0D x +, ∴直线l的斜率02AD y k =-,∵1//l l ,故设直线1l 的方程为02y y x b =-+, 联立方程组2042y xy y x b⎧=⎪⎨=-+⎪⎩,得2000880b y y y y +-=, ∵直线1l 与抛物线相切,∴20064320b y y ∆=+=,02b y =-, 设(),E E E x y ,则04E y y =-,204E x y =, 当204y ≠时,02044AE y k y =-,直线AE 的方程为()0002044y y y x x y -=--, ∵2004y x =,∴直线AE 的方程为()020414y y x y =--,∴直线AE 过定点()1,0, 当204y =时,直线AE 方程为1x =,经过定点()1,0,综上,直线AE 过定点()1,0.本题考查抛物线的标准方程,考查抛物线中定点问题.圆锥曲线中定点问题的两种解法: (1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关. 21.已知函数()2ln f x a x x =+,其中a R ∈.（Ⅰ)讨论()f x 的单调性； （Ⅱ)当1a =时,证明:()21f x x x ≤+-；（Ⅲ)求证:对任意正整数n ,都有2111111222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（其中e≈2.7183为自然对数的底数)【参考答案】（Ⅰ)见解析（Ⅱ)见解析（Ⅲ)见解析【试题分析】（1)分别在0a ≥和0a <两段范围内讨论导函数的正负,从而得到单调区间；（2)将问题转化为证明()ln 10g x x x =-+≤,通过导数求得()()max 10g x g ==,从而证得所证不等式；（3)根据（2)可知ln 1x x ≤-,令()112n x n N *=+∈,则可得11ln 122nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭,累加可得到所证结论.【试题解答】（1)函数()f x 的定义域为()0,∞+,()222a a x f x x x x+'=+=①当0a ≥时,()0f x '>,所以()f x 在()0,∞+上单调递增,②当0a <时,令()0f x '=,解得:x =当0x <<时,()0f x '<, 所以()f x在⎛ ⎝上单调递减；当x >,() 0f x '>,所以()f x在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增, 综上,当0a ≥时,函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a <时,函数()f x在⎛⎝上单调递减,在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增;（2)当1a =时,()2ln f x x x =+要证明()21f x x x ≤+-,即证ln 1x x ≤-,即ln 10x x -+≤,设()ln 1g x x x =-+则()1xg x x-'=,令()0g x '=得,1x =, 当()0,1x ∈时,()0g x '>,当()1,x ∈+∞时,()0g x '< 所以1x =为极大值点,也为最大值点 所以()()10g x g ≤=,即ln 10x x -+≤ 故当1a =时,()21f x x x ≤+-;（3)由（2)ln 1x x ≤-（当且仅当1x =时等号成立), 令()112n x n N *=+∈, 则 22111ln 1112nn n ⎛⎫⎛⎫+≤+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以22111221111111ln 1ln 1ln 111ln 1222222212nnn n e ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦++++⋅⋅⋅++≤++⋅⋅⋅+==-<= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-, 即2111ln 1ln 1ln 1ln 222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⋅⋅⋅++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以2111111222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 本题考查讨论含参数函数的单调性、利用导数最值证明不等式问题、与自然数n 相关的不等式的证明问题.对于导数中含自然数n 的问题的证明,关键是对已知函数关系中的自变量进行赋值,进而得到与n 相关的不等关系,利用放缩的思想进行证明,属于难度题.22.已知曲线C的参数方程是cos x a y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（φ为参数,a >0),直线l 的参数方程是31x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数),曲线C 与直线l 有一个公共点在x 轴上,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立坐标系.（1)求曲线C 的普通方程；（2)若点A （ρ1,θ),B （ρ2,θ＋23π),C （ρ3,θ＋43π)在曲线C 上,求222111OA OB OC ++的值.【参考答案】（1)24x ＋23y ＝1.（2)78.【试题分析】（1)根据题意,求出公共点,代入曲线C 即可；（2)用极坐标进行处理,利用点在曲线上,点的坐标满足方程,化为三角函数式求解. 【试题解答】（1)直线l 的普通方程为x ＋y ＝2,与x 轴的交点为（2,0).又曲线C 的普通方程为22x a ＋23y ＝1,所以a ＝2,故所求曲线C 的普通方程是24x ＋23y ＝1.（2)因为点A （ρ1,θ),B 22,3πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭,C 34,3πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在曲线C 上, 即点A （ρ1cosθ,ρ1sinθ),B(ρ2cos 23πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,ρ2sin （θ＋23π)),C(ρ3cos 43πθ⎛⎫+⎪⎝⎭,ρ3sin 43πθ⎛⎫+⎪⎝⎭)在曲线C 上. 故222111OAOBOC++＝211ρ＋221ρ＋321ρ＝14(cos 2θ＋cos 223πθ⎛⎫+⎪⎝⎭＋cos 243πθ⎛⎫+⎪⎝⎭)＋13(sin 2θ＋sin 22()3πθ+＋sin 243πθ⎛⎫+⎪⎝⎭) ＝11cos 2(42θ+＋41cos 232πθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＋81cos 232πθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭) ＋11cos 2(32θ-＋41cos 232πθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＋81cos 232πθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭) =71482cos 2cos 282433cos ππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=71112222282422cos cos cos sin θθθθθ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭708=- =78 本题考查参数方程与普通方程的转化,涉及三角函数的化简,极坐标中的距离问题,属基础题. 23.已知函数()1f x x a x =-+-.（1)若不等式()3f x ≤的解集为{}03x x ≤≤,求实数a 的值； （2)当2a = 时,若()1422nn f x +≥--对一切实数x 恒成立,求实数n 的取值范围.【参考答案】（1)2a =；（2)(]2,log 3-∞.【试题分析】（1)由题意得出关于x 的方程()3f x =的两根分别为0和3,可得出()()0333f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩,从而求出实数a 的值；（2)利用绝对值三角不等式得出函数()y f x =的最小值为1,可得出14223n n +--≤,再令2n t =,可得出2230t t --≤,解出3t ≤,即23n ≤,从而可解出实数n 的取值范围.【试题解答】（1)由题意得出关于x的方程()3f x =的两根分别为0和3,则()()0333f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即13323a a ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩,解得2a =；（2)当2a =时,由绝对值三角不等式得()21211f x x x x x =-+-≥--+=, 又()1422nn f x +≥--对一切实数x 恒成立,所以11422n n +≥--,令2n t =,化简得2230t t --≤,解得3t ≤,所以2log 3n ≤,实数n 的取值范围为(]2,log 3-∞.本题考查不等式的解集与不等式之间的关系,同时也考查了绝对值不等式恒成立,解题时根据不等式恒成立转化为函数的最值,并借助三角不等式求解,考查化归与转化思想,属于中等题.。

宜宾市普通高中2018级调研考试文科数学（考试时间：120分钟总分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足i z i 2)1(=+，i 为虚数单位，则=z A ．i +1B ．i -1C ．i D ．i -2．两个变量y 与x 的回归模型中，有4个不同模型的相关指数2R 如下，其中拟合效果最好的是A ．0.962=R B ．0.812=R C ．0.502=R D ．0.252=R 3．右图是函数)(x f y =的导函数)(x f y '=的图象，则函数)(x f y =的极大值点的个数为A ．3B ．2C ．1D ．04．已知复数),(R b a bi a z ∈+=满足5=z ，且1-z 为纯虚数，则=z A ．i21+B ．i-2C ．i±2D ．i21±5．为调查乘客晕车情况，在某一次行程中，50名男乘客中有25名晕车，30名女乘客中有5名晕车．在检验这些乘客晕车是否与性别相关时，常采用的数据分析方法是A ．回归分析B ．独立性检验C ．频率分布直方图D ．用样本估计总体6．执行如图所示框图，输出的S 值为A ．25B ．617C ．1237D ．601977．下列命题为真命题的是A ．任意,,R y x ∈若22,yx y x >>则B ．任意,,R y x ∈若33,y x y x >>则C ．若21,0>+>xx x 则D．函数45)(22++=x x x f 的最小值为2题图38．已知函数2()ln f x x x =+，则函数()f x 在1=x 处的切线方程是A ．320x y --=B ．320x y +-=C ．320x y -+=D ．320x y ++=9．已知函数x ax x f e )(-=在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是A ．[)+∞,0B ．()+∞,0C ．(]0,∞-D ．()0,∞-10．甲、乙、丙、丁4名同学参加了学校组织的科技知识竞赛，学校只推荐一名到市里参加决赛，结果揭晓前，他们4人对结果预测如下：甲说：“是丙或丁”；乙说：“是我”；丙说：“不是甲和丁”；丁说：“是丙”.若这4名同学中恰有2人说的话是对的，则推荐的同学是A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁11．已知函数a x x x f x -+-=e )14()(2恰有三个零点，则实数a 的取值范围为A ．(),e 23-B ．6(,0)e-C ．36(,2e )e -D ．6(0,e 12．已知()f x '是函数()f x 的导函数，对任意x R ∈，都有12e )()(-=-'x x f x f x，且(0)1f =，则不等式()3e x f x <的解集为A ．(2,1)--B ．(2,1)-C ．(1,1)-D ．(1,2)-二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知复数343i z +=，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第▲象限.14．已知函数3()cos e x f x x x x =-+，则=')0(f ▲.15．已知数列{}n a 的前n 项和222131211nS n ++++= ，当2≥n 且*N n ∈时，观察下列不等式232<S ，353<S ，474<S ，595<S ，…，按此规律，则<n S ▲.16．已知函数2()ln 3a f x x x =+-，3223()32g x x x x =-+-，对任意的1x ，21[,2]3x ∈，都有12()()f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围是▲.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）已知函数32()244f x x x x =+-+．（I ）求)(x f 的单调减区间；（II ）求)(x f 在区间[]0,3-上的最大值和最小值．18.（本小题满分12分）2020年5月22日晚,国际权威医学杂志《柳叶刀》在线发表了全球首个新冠疫苗临床试验结果，该试验结果来自我国的陈薇院士和朱凤才教授团队.由于非人灵长类动物解剖生理、组织器官功能和免疫应答反应等性状与人类非常接近，所以常选择恒河猴进行科研和临床实验.某生物制品研究所将某一型号疫苗用在恒河猴身上进行科研和临床实验，得到部分数据如下表.现从注射疫苗的恒河猴中任取1只,取到感染病毒的恒河猴的概率为52．（I ）补全22⨯列联表中的数据；并通过计算判断能否有95％把握认为注射此种疫苗有效？（Ⅱ）在感染病毒的恒河猴中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病理分析，然后从这5只恒河猴中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，求恰好抽到2只未注射疫苗的恒河猴的概率．附：d c b a n d b c a d c b a bc ad n K +++=++++-=,))()()(()(22.)(02K K P ≥0.050.010.0050.0010K 3.8416.6357.87910.82819.（本小题满分12分）已知函数x a xax x f ln )1()(+--=)(R a ∈．（I ）当2=a 时，求)(x f 的极值；（Ⅱ）若10≤<a ，求)(x f 的单调区间.20.（本小题满分12分）某公司为了制定下一季度的投入计划，收集了今年前6个月投入量x （单位：万元）和产量y （单位：吨）的数据，用两种模型①a bx y +=，②a x b y +=分别进行拟合，得到相应的回归方程0.22.11ˆ1+=x y，8.92.28ˆ2-=x y ，进行残差分析得到如图所示的残差值及一些统计量的值：未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗20注射疫苗30总计5050100月份1234565.3=x 41=y 104961=∑=ii i y x 91612=∑=i ix投入量x (万元)123456产量y (吨）132243455568模型①的残差值－0.2－2.4－1.8－3－1.2模型②的残差值－5.4－8.04.0－1.61.69.0（I ）求上表中空格内的值；（Ⅱ）残差值的绝对值之和越小说明模型拟合效果越好，根据残差比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型？并说明理由；（Ⅲ）残差绝对值大于3的数据认为是异常数据，需要剔除，剔除异常数据后，重新求出（II ）中所选模型的回归方程.（参考公式：a x b y e ii i ˆˆˆ--=,x b y ax n xy x n yx b ni ini iiˆˆ,ˆ2121-=--=∑∑==）21.（本小题满分12分）已知函数1e e )(--=x x f x.（I）求)(x f 的零点个数；（Ⅱ）若0≤a ，证明：当1≥x 时，1ln )(-≥x a x f ．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：极坐标与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线y x C 4:21-=的准线为1l ，曲线⎩⎨⎧=+=ϕϕsin 2cos 22:2y x C （ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I ）写出1l 与2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若射线)0(:>=ραθl 与1l 交于A 点，与2C 交于B 点，求OAOB 的最大值.23．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知函数|2|||)(-++=x a x x f .（I ）若2=a ，解不等式6<)(x f ；（II ）若对任意满足2=+n m 的正实数m ，n ，存在实数0x ，使得)(0x f mnnm ≥+成立，求实数a 的取值范围.。

基础练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．甲乙丙丁四名学生报名参加四项体育比赛，每人只报一项，记事件A =“四名同学所报比赛各不相同”，事件B =“甲同学单独报一项比赛”，则()P A B =( ) A ．59B ．49C ．13D ．292．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若角α是第三象限角，且1sin 3α=-，则cos β=（ ） A ．22B ．22-C ．13D ．13-3．若α是第一象限角，则sinα+cosα的值与1的大小关系是（ ） A ．sinα+cosα＞1B ．sinα+cosα=1C ．sinα+cosα＜1D ．不能确定4．已知函数2()()f x x a =-，且'(1)2f =，则a =（ ） A ．1-B ．2C ．1D ．05．设复数z 满足()1i i z +=，则z =（ ）A ．2 B ．12C ．2D ．26．已知函数()2ln f x a x x =+，a R ∈，若()f x 在21,x e ⎡⎤∈⎣⎦上有且只有一个零点，则a 的范围是( ) A ．4,2e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．{}4,22e e ⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭C ．44,2e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．{}4,22e e ⎛⎤-∞-⋃- ⎥⎝⎦7．在市高二下学期期中考试中，理科学生的数学成绩()2~90,X N σ，已知(7090)0.35P X<=，则从全市理科生中任选一名学生，他的数学成绩小于110分的概率为（ ） A ．0.15B ．0.50C ．0.70D ．0.858．已知全集U =R ，集合2{|20},{|2}A x x x B x x =-<=<，则（） A ．()R B C A R ⋂= B ．()R B C A ⋂=∅ C ．A B A ⋃= D ．A B A =9．直线分别与直线，曲线交于点，则的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．D ．10． “0x =”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知复数()()121z i i =+-，则其共轭复数z 对应的点在复平面上位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．若223x m >-是14x -<<的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－3,3] B ．(][),33,-∞-+∞C ．(][),11,-∞-+∞D ．[－1,1]二、填空题：本题共4小题13．设过抛物线()220y px p =>上任意一点P （异于原点O ）的直线与抛物线()280y px p =>交于A ，B 两点，直线OP 与抛物线()280y px p =>的另一个交点为Q ，则ABQ ABOS S ∆∆=__________．14．观察下面一组等式：11S =，22349S =++=， 33456725S =++++=， 44567891049S =++++++=，......根据上面等式猜测()()2143n S n an b -=-+，则22a b += __________． 15．关于x 的方程240(16)x x m m -+=-≤≤有两个正实根的概率是______；16．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ， 1AC CB PA AC BC ⊥===，，则三棱锥P ABC -外接球的体积为_____.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

四川省宜宾市2019-2020学年数学高二第二学期期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．由直线3y x =-，曲线2y x =以及x 轴所围成的封闭图形的面积是（ ） A ．83B ．3C ．103D ．2+2【答案】C 【解析】 【分析】作出图象，确定被积函数以及被积区间，再利用定积分公式可计算出所围成封闭图形的面积。

【详解】 如下图所示，联立3y xy x⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，则直线3y x =-与曲线2y x =()1,2A ，结合图形可知，所求区域的面积为()13312321014123332xdx x dx x x x ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭⎰⎰410233=+=， 故选：C 。

【点睛】本题考查利用定积分求曲边多边形区域的面积，确定被积函数与被积区间是解这类问题的关键，考查计算能力与数形结合思想，属于中等题。

2．设实数x ，y 满足约束条件202301x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩,则z x y =-的取值范围是（ ）A ．3[,3]2-B ．[1,3]-C ．3[,0]2-D ．[1,0]-【答案】A 【解析】分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=|x|﹣y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，即可得出z的取值范围．详解：作出实数x，y满足约束条件202301x yx yx-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，﹣2），B（0，3 2），O（0，0）．设z=F（x，y）=|x|﹣y，将直线l：z=|x|﹣y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，当x≥0时，直线为图形中的红色线，可得当l经过B与O点时，取得最值z∈[0，32]，当x＜0时，直线是图形中的蓝色直线，经过A或B时取得最值，z∈[﹣32，3]综上所述，z∈[﹣32，3]．故答案为：A．点睛：（1）本题主要考查线性规划，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合的思想方法，考查学生分类讨论思想方法.(2)解答本题的关键是对x分x≥0和x＜0讨论，通过分类转化成常见的线性规划问题. 3．已知定义域为R的函数()f x满足：对任意实数,a b有()()()f a b f a f b+=⋅，且()0f x>，若1(1)2f=，则(2)f-＝( )A．2 B．4 C．12D．14【答案】B【解析】分析：令0a b==，可求得()01f=，再令1,1a b==-，可求得()1f-，再对,a b均赋值1-，即可求得()2f -.详解：()()()f a b f a f b +=⋅Q ，∴令0a b ==，得()()200f f =，又()()0,01f x f >∴=，再令1,1a b ==-，得()()()1101f f f -⋅==，()()11,122f f =∴-=Q ，令1a b ==-，得()()()211224f f f -=-⋅-=⨯=，故选B.点睛：本题考查利用赋值法求函数值，正确赋值是解题的关键，属于中档题.4．已知()()501221x x a a x +-=++2626a x a x ++L ．则024a a a ++=（ ）A ．123B ．91C ．152-D ．120-【答案】C 【解析】 【分析】由二项式定理及利用赋值法即令1x =和1=-，两式相加可得0246a a a a +++，结合最高次系数6a 的值即可得结果. 【详解】()()52012221x x a a x a x +-=++ 34563456a x a x a x a x ++++中，取1x =，得0123a a a a +++ 4563a a a +++=， 取1x =-，得0123456243a a a a a a a -+-+-+=-， 所以()02462240a a a a +++=-， 即0246120a a a a +++=-， 又632a =，则024152a a a ++=-， 故选C ． 【点睛】本题主要考查了二项式定理及利用赋值法求二项式展开式的系数，属于中档题. 5．给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即'()f x 存在，且导函数'()f x 在D 上也可导，则称()f x 在D上存在二阶导函数，记''()('())'f x f x =，若''()0f x <在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数．以下四个函数在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不是凸函数的是 （ ） A ．()sin cos f x x x =+ B ．()ln 2f x x x =- C ．3()21f x x x =-+- D ．()e x f x x -=-【答案】D 【解析】 【分析】对A ，B ，C ，D 四个选项逐个进行二次求导，判断其在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的符号即可得选项. 【详解】若()sin cos f x x x =+，则()sin cos f x x x ''=--，在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，恒有()0f x ''<； 若()ln 2f x x x =-，则21()f x x ''=-，在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，恒有()0f x ''<； 若3()21f x x x =-+-，则()6f x x ''=-，在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，恒有()0f x ''<； 若()xf x xe-=-，则()2(2)xx x f x exe x e ''---=-=-.在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，恒有()0f x ''>，故选D.【点睛】本题主要考查函数的求导公式，充分理解凸函数的概念是解题的关键，属基础题．6．（2017新课标全国I 理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】C 【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C. 点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.7．已知向量()21,2a x x =-+v ，(),1b x =v ，若a v ∥b v ，则x =A ．1-B ．12CD ．12-【答案】D 【解析】 【分析】根据a v∥b v得到2(1)1(2)0x x x -⋅-+=，解方程即得x 的值. 【详解】根据a v ∥b v 得到21(1)1(2)0,120,2x x x x x -⋅-+=∴--=∴=-.故答案为D 【点睛】(1)本题主要考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 如果a r =11(,)x y ,b r =22(,)x y ，则a r ||b r 的充要条件是12210x y x y -=.8．已知函数()211x f x x +=-，其定义域是[)8,4--，则下列说法正确的是（） A ．()f x 有最大值53，无最小值 B ．()f x 有最大值53，最小值75C ．()f x 有最大值75，无最小值D ．()f x 无最大值，最小值75【答案】A 【解析】 【分析】先化简函数()f x ，再根据反比例函数单调性确定函数最值取法 【详解】 因为函数()()2132132111x x f x x x x -++===+---，所以()f x 在[)8,4--上单调递减，则()f x 在8x =-处取得最大值，最大值为53，4x=-取不到函数值，即最小值取不到.故选A.【点睛】本题考查反比例函数单调性以及利用函数单调性求最值，考查分析判断求解能力，属基础题.9．根据如下样本数据得到的回归方程为ˆy bx a=+，则3 4 5 6 7 84.0 2.50.5-0.5 2.0- 3.0-A．0a>，B．0a>，C．0a<，D．0a<，【答案】B【解析】【分析】【详解】试题分析：由表格数据,x y的变化情况可知回归直线斜率为负数0b∴<，中心点为()5.5,0.25，代入回归方程可知0a>考点：回归方程10．动点A在圆221x y+=上移动时，它与定点()3,0B连线的中点的轨迹方程是（）A．22320x y x+++=B．22320x y x+-+=C．22320x y y+++=D．22320x y y+-+=【答案】B【解析】【分析】设连线的中点为(,)P x y,再表示出动点A的坐标,代入圆221x y+=化简即可.【详解】设连线的中点为(,)P x y,则因为动点(,)A AA x y与定点()3,0B连线的中点为(,)P x y,故323222AAAAxx x xy yyy+⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=⎪⎩,又A在圆221x y+=上,故22(23)(2)1x y-+=,即2222412941,412840x x y x x y-++=-++=即22320x y x+-+=故选：B 【点睛】本题主要考查了轨迹方程的一般方法,属于基础题型.11．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说:“罪犯在 乙、丙、丁三人之中”；乙说:“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话， 且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 【答案】B【解析】∵乙、丁两人的观点一致，∴乙、丁两人的供词应该是同真或同假；若乙、丁两人说的是真话，则甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论，矛盾；∴乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯．12．已知函数()cos()0,||2f x A wx w πφφ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中N ，P 的坐标分别为5,A 8π⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则函数f （x ）的单调递减区间不可能为（ ）A ．5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．73,88ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．921,48ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．933,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】利用排除法，根据周期选出正确答案． 【详解】根据题意，设函数()cos()f x A wx φ=+的周期为T ，则311534884T πππ=-=,所以 T π=.因为在选项D 中，区间长度为339388πππ-= ∴()f x 在区间933,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是单调减函数．所以选择D 【点睛】本题考查了余弦函数()cos()f x A wx φ=+的图象与性质的应用问题，解决此类问题需要结合单调性、周期等．属于中等题．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ,过1F 作圆222x y a +=的切线，交双曲线右支于点M ，若1245F MF ∠=．，则双曲线的渐近线方程为__________．【答案】2y x =± 【解析】 【分析】先计算22BF a =，在12Rt BF F ∆中，根据勾股定理得22222(22)(2)(2)2a a c b a +=⇒=得到渐近线方程. 【详解】 如图所示：切点为A ，连接OA ，过2F 作21BF F M ⊥于BO 是12F F 中点，2222OA BF BF OA a ⇒==∥1214522,222FMF MF a BM a BF a∠=⇒==⇒=．在12Rt BF F ∆中，根据勾股定理得：22222(22)(2)(2)2a a c b a +=⇒=渐近线方程为：2y x =± 故答案为2y x =±【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，作辅助线21BF F M ⊥是解题的关键，也可以直接利用正弦定理和余弦定理计算得到答案.14．已知,x y 满足约束条件240,1,50,x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≥⎩则2z x y =+的最小值为______________.【答案】8 【解析】 【分析】由题意画出可行域，利用图像求出最优解，再将最优解的坐标代入目标函数即可求出z 的最小值. 【详解】由题意画出约束条件240150x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≥⎩的可行域如图所示，由图像知，当2z x y =+过点A 时，z 取得最小值， 联立24050x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得()2,3A ，代入目标函数，min 2238z =+⨯=. 故答案为：8 【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，考查学生数形结合的思想，属于基础题. 15．已知向量a r与b r的夹角为60°，|a r|=2，|b r|=1，则|a r+2 b r|= ______ . 【答案】3【解析】 【分析】 【详解】∵平面向量a r 与b r 的夹角为060，21a b ==r r ，∴021cos601a b ⋅=⨯⨯=rr .∴2222(2)4(2)44423a b a b a a b b +=+=+⋅+=++=r r rr r r r r故答案为23.点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式． (2) a a a =⋅r r r常用来求向量的模． 16．若，则实数________.【答案】或 【解析】 【分析】根据组合数的性质得解. 【详解】 由组合数的性质得或，所以或【点睛】本题考查组合数的性质，属于基础题. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点2,0)，左、右焦点分别是1F ，2F ，P 点在椭圆上，且满足1290F PF ︒∠=的P 点只有两个.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过2F 且不垂直于坐标轴的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，在x 轴上是否存在一点(,0)N n ，使得ANB ∠的角平分线是x 轴？若存在求出n ，若不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）详见解析.【解析】 【分析】（Ⅰ）由题得P 点为椭圆的上下顶点，得到a,b,c 的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线l 的方程为()10x my m =+≠，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，根据0AN BN k k +=得到2n =. 所以存在点()2,0N ，使得ANB ∠的平分线是x 轴. 【详解】解：（I ）由题设知P 点为椭圆的上下顶点，所以2a =b=c,222b c a +=,故a =1b =,故椭圆C 方程为2212x y += . （Ⅱ）设直线l 的方程为()10x my m =+≠，联立222201x y x my ⎧+-=⎨=+⎩ 消x 得()222210m y my ++-= 设A ，B 坐标为()11,A x y ，()22,B x y 则有12222m y y m +=-+，1221·2y y m =-+，又111x my =+，221x my =+ 假设在x 轴上存在这样的点(),0N n ，使得x 轴是ANB ∠的平分线，则有0AN BN k k += 而121200AN BN y y k k x n x n --+=+-- ()()()()122112y x n y x n x n x n -+-=-- ()()()()12211211y my n y my n x n x n +-++-=-- ()()()()121212210my y n y y x n x n +-+==-- 将，12222m y y m +=-+，1221·2y y m =-+代入()()1212210my y n y y +-+= 有()22122122m m n m m --+-++ ()22202m n m --==+ 即()220m n -=因为0m ≠，故2n =. 所以存在点()2,0N ，使得ANB ∠的平分线是x 轴.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和椭圆中的存在性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18．（1）化简：()()()()()()sin cos 3tan tan 2tan 4sin 5παπααπαππαπα------+；（2）若α、β为锐角，且()12cos 13αβ+=，()3cos 25αβ+=，求cos α的值． 【答案】（1）sin α；（2）5665. 【解析】【分析】 （1）利用诱导公式对代数式进行化简即可；（2）根据()12cos 13αβ+=，()3cos 25αβ+=得出αβ+、2αβ+的取值范围，利用同角三角函数的基本关系计算出()sin αβ+和()sin 2αβ+，再利用两角差的余弦公式得出()()cos cos 2ααβαβ⎡⎤=+-+⎣⎦的值.【详解】（1）()()()()()()sin cos 3tan tan 2tan 4sin 5παπααπαππαπα------+()()()()()sin cos tan tan tan sin παπαπαααπα---=-⋅+()()()()sin cos tan tan cos tan sin tan sin ααααααααα⋅-⋅-⋅===-⋅-； （2）因为α、β为锐角，且()12cos 013αβ+=>，()3cos 205αβ+=>， 0,2παβ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，20,2παβ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以()()25sin 1cos 13αβαβ+=-+=，()()24sin 21cos 25αβαβ+=-+=， ()()()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin ααβαβαβαβαβαβ⎡⎤∴=+-+=+++++⎣⎦ 123545613513565=⨯+⨯=. 【点睛】本题考查诱导公式化简，考查利用两角差的余弦公式求值，解题时要注意利用已知角去配凑未知角，在利用同角三角函数求值时，要考查角的象限或取值范围，考查计算能力，属于中等题.19．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率23， （Ⅰ）记甲击中目标的次数为X ，求X 的概率分布及数学期望；（Ⅱ）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．【答案】（1）分布列（见解析），Eξ=1.5；（2）. 【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）因甲每次是否击中目标相互独立，所以ξ服从二项分布，即，由期望1()()i i i n E P ξξξ==∑⋅或(二项分布)；（2）甲恰好比乙多击中目标2次：分为2类，甲3次乙1次，甲2次乙0次.甲乙相互独立概率相乘.试题解析：甲射击三次其集中次数ξ服从二项分布：(1)P(ξ＝0)＝03311()28C =,P(ξ＝1)＝13313()28C =P(ξ＝2)＝23313()28C =,P(ξ＝3)＝33311()28C = ξ0 12 3 Pξ的概率分布如下表：Eξ＝13310123 1.58888⋅+⋅+⋅+⋅=， （2）甲恰好比乙多击中目标2次：分为2类，甲3次乙1次，甲2次乙0次.甲乙相互独立概率相乘..考点：（1）二项分布及其概率计算；（2）独立事件概率计算.20．如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点． （1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．【答案】（1）详见解析（145． 【解析】 分析：（1）连接OB ，欲证PO ⊥平面ABC ，只需证明,PO AC PO OB ⊥⊥即可；（1）过点C 作CH OM ⊥，垂足为M ，只需论证CH 的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可.详解：（1）因为AP=CP=AC=4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP=3连结OB ．因为AB=BC=22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB=12AC =1． 由222OP OB PB +=知，OP ⊥OB ．由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC ．（1）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC=12AC=1，CM=23BC42，∠ACB=45°．所以OM=253，CH=sinOC MC ACBOM⋅⋅∠=55．所以点C到平面POM的距离为455．点睛：立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线面的证明为主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明；本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解，也可利用等体积法解决.21．设椭圆2222:1(0)y xM a ba b+=>>经过点2)P，其离心率2e=.（1）求椭圆M的方程；（2）直线1:2()l y x m m=+∈R与椭圆M交于A、B两点，且PAB△2，求m的值.【答案】 (1)22142y x+=;(2)2m=±.【解析】分析：（1）由经过点P222211b=2得ca2，再根据a2=b2+c2联立解方程组即可；（2）联立直线方程与椭圆方程消y，得2242240x mx m++-=，易知判别式△＞1，设A（x1，y1），B（x2，y2），弦长公式及点到直线的距离公式可表示出△PAB2，即可解出m值，验证是否满足△＞1．详解：（1）解：由已知222222112a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得24a =，22b =，∴椭圆M 的方程为22142y x +=. （2）解：由22142y m y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得：22440x m ++-=由()()221640m ∆=-->得：m -<<设()12,A x y ，()22,B x y，则122x x +=-，21244m x x -=∴12AB x =-== 又P 到AB的距离为d =∴12ABC S AB d ==V==即428160m m -+=，解得：2m=±.符合m -<<2m =±.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．22．已知函数()(1)ln xf x x e a x =-+. （1）讨论()f x 的导函数'()f x 零点的个数；（2）若函数()f x 存在最小值，证明：()f x 的最小值不大于1．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据条件求出f'（x ），然后通过构造函数g （x ）＝x 2e x （x ＞1），进一步得到f'（x ）的零点个数；（2）由题意可知a ≥1时，函数f （x ）无最小值，则只需讨论当a ＜1时，f （x ）是否存在最小值即可．【详解】(1)2e ()e (0)x xa x a f x x x x x +=+=>',令()22()(0)()20x xg x x e x g x x x e '=>=+>,故()g x 在(0,)+∞上单调递增,且(0)0g =. 当0a …时,导函数()f x '没有零点, 当0a <时,导函数()f x '只有一个零点. (2)证明:当0a …时.()0f x '>.则函数()f x 无最小值. 故0a <时,则必存在正数0x 使得0200xx a +=e . 函数()f x 在()00,x 上单调递减,在()0,x +∞上单调递增，()()()0min 0000002200011()1e ln 1ln ln x a f x f x x a x x a x a x x x x ⎛⎫-==-+=-+=-+ ⎪⎝⎭, 令211()ln h x x x x =-+.则223331122(1)(2)()x x x x h x x x x x x+--+'=+-== 令()0h x '=,则1x =,所以函数()h x 在(0,1)上单调递减,在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0h x h =…,即()00f x ….所以()f x 的最小值不大于1. 【点睛】本题考查了函数零点个数的判断和利用导数研究函数的单调性与最值，考查了函数思想和分类讨论思想，属中档题．。

四川省宜宾市第四中学2019-2020学年高二数学上学期期末模拟考试试题 文第I 卷(选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.2018年央视大型文化节目《经典咏流传》的热播，在全民中掀起了诵读诗词的热潮，节目组为热心广众给以奖励，要从2018名观众中抽取50名幸运观众，先用简单随机抽样从2018人中剔除18人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2018人中，每个人被抽到的可能性 A. 均不相等 B. 不全相等 C. 都相等，且为100925D. 都相等，且为2.已知命题p ：∃x ∈R ，x 2+2x +3=0，则￢p 是 A. ∀x ∈R ，x 2+2x +3≠0 B. ∀x ∈R ，x 2+2x +3=0 C. ∃x ∈R ，x 2+2x +3≠0D. ∃x ∈R ，x 2+2x +3=03.抛物线的焦点坐标是 A.B.C.D.4.某学校在数学联赛成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，统计后得到如图所示的频率分布直方图，这100名学生成绩中位数的估计值为A. 80B. 82C. 82.5D. 84 5.已知直线x y l 33:1-=，若直线，则直线的斜率为A. 3-B. 3C.33D. 33-6.若x ，y 满足，则的最小值为A.B.C.D.7.设,a b R ∈，则“a b >”是“a a b b >”成立的（ ） A. 充要不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充要也不必要条件 8.过点、、的圆的标准方程为 A. B. C.D.9.已知命题p ：0832,2<-+∈∀mx mx R x ，命题q ：121>+m ．若“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，则实数m 的取值范围是 A. （-3，-1）∪[0，+∞） B. （-3，-1]∪[0，+∞）C. （-3，-1）∪（0，+∞）D. （-3，-1]∪（0，+∞）10.在正四棱柱中，，则与平面所成角的正弦值为 A.31B.32C.33D.32 11.如果椭圆22142x y +=的弦被点()1,1平分，则这条弦所在的直线方程是A. 230x y +-= B . 230x y --= C. 230x y +-=D. 230x y ++=12.设，是双曲线C ：的左，右焦点，O 是坐标原点过作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若，则C 的离心率为A.B. 2C.D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.宜宾市有一学校为了从254名学生选取部分学生参加某次南宁研学活动，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为42的样本，那么从总体中应随机剔除的个体数目为__________． 14.若直线：与：平行，则______．15.已知，，，则yx 12+的最小值为______． 16.已知圆和点，是圆上一点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹方程为__________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（10分） 解关于的不等式.18.（12分） 已知，命题方程12122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，命题:q 方程表示双曲线.(Ⅰ)若命题p 是真命题，求实数m 的范围；（2）若命题“或”为真命题，“且”是假命题，求实数的范围.19.（12分）2019年11月、12月全国大范围流感爆发，为研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，一兴趣小组抄录了某医院11月到12月间的连续6个星期的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料: 日期第一周第二周第三周第四周第五周第六周昼夜温差x(°C)1011131286就诊人数y(个) 222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验。

四川省宜宾市2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题 文一、选择题1．已知复数z 满足()12i z i +=，i 为虚数单位，则z =（ ） A ．1i +B ．1i -C ．iD ．i -2．两个变量y 与x 的回归模型中，有4个不同模型的相关指数2R 如下，其中拟合效果最好的是（ ） A ．20.96R =B ．20.81R =C ．20.50R =D ．20.25R =3．如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，则函数()y f x =的极大值点的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．04．已知复数z a bi =+(),a b R ∈满足5z =，且1z -为纯虚数，则z =（ ） A ．12i +B ．2i -C ．2i ±D ．12i ±5．为调查乘客晕车情况，在某一次行程中，50名男乘客中有25名晕车，30名女乘客中有5名晕车.在检验这些乘客晕车是否与性别相关时，常采用的数据分析方法是（ ） A ．回归分析B ．独立性检验C ．频率分布直方图D ．用样本估计总体6．执行如图所示框图，输出的S 值为（ ）A ．52B ．176C ．3712D ．197607．下列命题为真命题的是（ ）A ．任意,x y R ∈，若x y >，则22x y >B ．任意,x y R ∈，若x y >，则33x y >C ．若0x >，则12x x+> D ．函数()2f x =的最小值为28．已知函数()2ln f x x x =+，则函数()f x 在1x =处的切线方程是（ ） A ．320x y --= B ．320x y +-= C ．320x y -+=D ．320x y ++=9．已知函数()xf x ax e =-在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)0,+∞B ．()0,+∞C ．(],0-∞D ．(),0-∞10．甲、乙、丙、丁4名同学参加了学校组织的科技知识竞赛，学校只推荐一名到市里参加决赛，结果揭晓前，他们4人对结果预测如下：甲说：“是丙或丁”；乙说：“是我”；丙说：“不是甲和丁”；丁说：“是丙”.若这4名同学中恰有2人说的话是对的，则推荐的同学是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁11．已知函数()()241x f x x x e a =-+-恰有三个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()32,0e -B ．6,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．36,2e e ⎛⎫-⎪⎝⎭D ．60,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭12．已知()f x '是函数()f x 的导函数，对任意x R ∈，都有()()21xf x f x x e'-=-，且()01f =，则不等式()3xf x e <的解集为（ ）A ．()2,1--B ．()2,1-C ．()1,1-D ．()1,2-二、填空题13．已知复数334z i =+，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第______象限. 14．已知函数()3cos xf x x x e x =-+，则()0f '=______.15．已知数列{}n a 的前n 项和2221111...23n S n =++++，当2n ≥且*n N ∈时，观察下列不等式232S <，353S <，474S <，595S <，…，按此规律，则n S <______. 16．已知函数()2ln 3a f x x x =+-，()322332g x x x x =-+-，对任意的1x ，21,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围是______.三、解答题17．已知函数()32244f x x x x =+-+.（Ⅰ）求()f x 的单调减区间；（Ⅱ）求()f x 在区间[]3,0-上的最大值和最小值.18．2020年5月22日晚，国际权威医学杂志《柳叶刀》在线发表了全球首个新冠疫苗临床试验结果，该试验结果来自我国的陈薇院士和朱凤才教授团队、由于非人灵长类动物解剖生理、组织器官功能和免疫应答反应等性状与人类非常接近，所以常选择恒河猴进行科研和临床实验.某生物制品研究所将某一型号疫苗用在恒河猴身上进行科研和临床实验，得到部分数据如下表.现从注射疫苗的恒河猴中任取1只，取到感染病毒的恒河猴的概率为25. （Ⅰ）补全2×2列联表中的数据；并通过计算判断能否有95%把握认为注射此种疫苗有效？（Ⅱ）在感染病毒的恒河猴中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病理分析，然后从这5只恒河猴中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实,求恰好抽到2只未注射疫苗的恒河猴的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.19．已知函数()()()1ln f x x a x a R x=--+∈. （Ⅰ）当2a =时，求()f x 的极值； （Ⅱ）若01a <≤，求()f x 的单调区间.20．某公司为了制定下一季度的投入计划，收集了今年前6个月投入量x （单位：万元）和产量y （单位：吨）的数据，用两种模型①y bx a =+，②y a =分别进行拟合，得到相应的回归方程111.2 2.0y x =+，29.8y =，进行残差分析得到如图所示的残差值及一些统计量的值：（Ⅰ）求上表中空格内的值；（Ⅱ）残差值的绝对值之和越小说明模型拟合效果越好，根据残差比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型？并说明理由；（Ⅲ）残差绝对值大于3的数据认为是异常数据,需要剔除，剔除异常数据后，重新求出（Ⅱ）中所选模型的回归方程.（参考公式：i i i e y bx a =--，1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-）21．已知函数()1xf x e ex =--.（Ⅰ）求()f x 的零点个数；（Ⅱ）若0a ≤，证明：当1x ≥时，()ln 1f x a x ≥-.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C ：24x y =-的准线为1l ，曲线2C ：22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）写出1l 与2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若射线():0l θαρ=>与1l 交于A 点，与2C 交于B 点，求OB OA的最大值.23．已知函数()2f x x a x =++-. （Ⅰ）若2a =，解不等式()6f x <；（Ⅱ）若对任意满足2m n +=的正实数m ，n ，存在实数0x ，使得()0m nf x mn+≥成立，求实数a 的取值范围.2020年春期高中教育阶段教学质量监测高二年级文科数学参考答案一、选择题AACDBC BACBDD二、填空题 13．一 14．0 15．21n n-16．a e≥三、解答题17．解：（Ⅰ）()32244f x x x x =+-+，()()()2344322f x x x x x '=+-=-+，令()0f x '<，则223x -<<， 所以减区间为22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.（Ⅱ）令()0f x '=，得2x =-或2x =（舍去），又∵()37f -=，()212f -=，()04f =， ∴函数的最大值为12，最小值为4. 18．解：（Ⅰ）由列联表中数据，计算()22100202030304 3.84150505050K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯∴有95%把握认为注射此种疫苗有效；（Ⅱ）)在感染病毒的恒河猴中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只，未注射疫苗的有3只，注射疫苗的有2只.记这5只恒河猴中3只未注射疫苗猴子为1A ，2A ，3A ，注射疫苗的2只为1B ，2B ，则抽取3只，基本事件如下所示：()123,,A A A ，()121,,A A B ，()122,,A A B ，()131,,A A B ，()132,,A A B ，()231,,A A B ，()232,,A A B ，()112,,A B B ，()312,,A B B ，()212,,A B B ，基本事件数为10，则至少抽到2只为未注射疫苗的事件是()121,,A A B ，()122,,A A B ，()131,,A A B ，()132,,A A B ，()231,,A A B ，()232,,A A B ，共6种，故所求的概率为63105P ==. 19．解：（Ⅰ）∵当2a =时，()23ln f x x x x=--，∴()()22320x x f x x x -+'=>，由()0f x '=得1x =或2x =，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况列表如下：∴当1x =时()f x 取极大值－1，当2x =时()f x 取极小值13ln 2-.（Ⅱ）()()()()22211x a a x x a x f x x x +-+--'==. ①当1a =时，()0,x ∈+∞，()0f x '≥，()f x 递增. ②当01a <<时，(),1x a ∈，()0f x '<，()f x 递减；()0,x a ∈或()1,x ∈+∞，()0f x '>，()f x 递增；综上所述，当1a =时，()f x 递增区间为()0,+∞；当01a <<时，()f x 递减区间为(),1a ；()f x 递增区间为()0,a 和()1,+∞. 20．解：（Ⅰ）空格处的值为()43311.2 2.07.4-⨯+=.（Ⅱ）应选择模型①因为模型①的残差值的绝对值之和为0.2+2.4+7.4+1.8+3+1.2=16； 模型②的残差值的绝对值之和为5.4+8.0+4.0+1.6+1.6+9.0=29.6， 16<29.6，所以模型①的拟合效果好，应该选模型①. （Ⅲ）剔除异常数据，即剔除3月份的数据后，得()13.563 3.65x =⨯-=， ()14164340.65y =⨯-=，511049343920i i i x y ==-⨯=∑，522191382i i x ==-=∑.51522159205 3.640.6189.211825 3.6 3.617.25i ii ii x y x yb xx==--⨯⨯====-⨯⨯-∑∑，40.611 3.61a y bx =-=-⨯=.所以y 关于x 的回归方程为111y x =+.21．解：（Ⅰ）()xf x e e '=-，当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在(),1-∞上递减，在()1,+∞上递增， 所以()()min 110f x f ==-<，又()1110f e e --=+->，()22210f e e =-->，所以()f x 的零点有两个；（Ⅱ）()ln 1f x a x ≥-即()ln 0xh x e ex a x =--≥，()1x ≥()()1x ah x e e x x'=--≥，∵0x e e -≥， 当0a ≤时，0ax-≥，所以()0h x '≥，()h x 在[)1,+∞上单调递增， 所以()()10h x h ≥=，当0a ≤时，()ln 1f x a x ≥-对1x ≥恒成立.22．解：（Ⅰ）1C ：24x y =-的准线为1l ：1y =，极坐标方程为sin 1ρθ=.∵曲线2C ：22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），曲线2C 的直角坐标方程为()2224x y -+=， 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入方程()2224x y -+=，得曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （Ⅱ）设()1,A ρα，()2,B ρα，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则11sin ρα=，24cos ρα=，214sin cos 2sin 2OB OA ραααρ===， 当4πα=时，OB OA的最大值为2.23．解：（Ⅰ）2a =，则()22f x x x =++-，当2x ≤-时，由()26f x x =-<，得3x >-，则32x -<≤-； 当22x -<≤时，()46f x =<恒成立，则22x -<≤； 当2x >时，由()26f x x =<，得3x <，则23x <<. 综上，不等式()6f x <的解集为{}33x x -<<. （Ⅱ）由题意2m n +=得()1111112222m n n m m n mn m n m n m n +⎛⎫⎛⎫=+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当m n =时取等号） 由绝对值不等式得()22f x x a x a =++-≥+，当且仅当()()20x a x +-≤时取等号，所以()f x 的最小值为2a +. 由题意得22a +≤，解得{}40a a -≤≤.。