【精品课件教案PPT】 勾股定理 回顾与思考

实际应用
在建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理求解直角三角形的边长问题，如计算梯子抵墙 时的长度等。
判断三角形类型问题
判断是否为直角三角形
01
若三角形三边满足勾股定理公式，则该三角形为直角三角形。
判断直角三角形的直角边和斜边
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，通过勾股定理可以判断
哪条边是斜边，哪条边是直角边。
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
勾股定理的定义和表达式
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法
通过多种几何图形（如正方形、梯形等）的面积关系来证明勾股定 理。
勾股定理的应用场景
在几何、三角学、物理学等领域中广泛应用，如求解三角形边长、 角度、面积等问题。
勾股定理与其他数学定理关系探讨
与三角函数关系
勾股定理是三角函数的基础，通 过勾股定理可以推导出正弦、余 弦、正切等三角函数的基本关系。
与向量关系
在向量空间中，勾股定理可以表示 为两个向量的点积等于它们模长的 平方和，这进一步揭示了勾股定理 与向量的紧密联系。
与几何图形关系
勾股定理在几何图形中有着广泛的 应用，如求解直角三角形、矩形、 菱形等图形的边长、面积等问题。
勾股定理是数学中的基本定理之一， 也是几何学中的基础概念，对于理 解三角形、圆等几何形状的性质具 有重要意义。
历史发展及应用
历史发展
勾股定理最早可以追溯到古埃及时期，但最为著名的证明是由 古希腊数学家毕达哥拉斯学派给出的。在中国，商高在周朝时 期就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
应用
勾股定理在几何、三角、代数、物理等多个领域都有广泛应用， 如求解三角形边长、角度、面积等问题，以及力学、光学等领 域的计算。

A． 3
B．3
C． 5
D．5
E
课堂检测
基础巩固题
1. 若一个直角三角形的两直角边长分别为9和12，则斜边的
长为（ C）
A.13
B.17
C. 15
D.18
2.若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则
另一直角边长为（ A ）
A.8
B.40
C.50
D.36
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则 a= _6_0___，b = __8_0___.
课堂检测
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面 积之和为_____4_9_____cm2 ．
C D
B A
7cm
课堂检测
能力提升题
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
形，拼成一个新的正方形.
探究新知 剪、拼过程展示：
b
a ca
朱实
b 朱实 黄实朱实
c 〓b
ba
朱实
a
M a P bb
N
探究新知 “赵爽弦图”
c
朱实
b
朱实
黄实 朱实
a
朱实
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
探究新知
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图 示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，

2 2 22
“总统证法”． 比较上面二式得 c2=a2+b2
16
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
17
做一做：
A
625
P
C
B
400
P的面积 =___2_2__5________ AB=_2__5_______ BC=__2_0_______
b c
a2+b2=c2吗？
• 1881年，伽菲尔 德就任美国第二
A b 1 E aB ∵ S梯形ABCD= 2 a+b2
十任总统.后来， 1
人们为了纪念他 对勾股定理直观、 简捷、易懂、明
= (a2+2ab+b2) 2
又∵ S梯形 ABCD=S
AED+S
EBC+S
CED
了的证明，就把 这一证法称为
1 1 11 = ab+ ba+ c2= (2ab+c2)
33
34
C A
（2）在图2-2中，正 方形A，B，C中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？
B C
图2-1
A
（3）你能发现图2-1 中三个正方形A，B， C的面积之间有什么
B 图2-2
关系吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积） SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
3
s1 s2
s3
返 拼回 图 4
合作 & 交S流1+☞S2=S3
a等²+腰a直²=角c三²角形两直角边

289 225
A （1题图）
B C
A
（2题图）
（五）评测练习
3、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B 到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到
墙根O的距离等于3m．同时梯子的顶端B降落至B′，那么BB′（ ）．
A．小于1m
B．大于1m C．等于1m D．小于或等于1m
（二）深度理解——勾股定理的证明与应用
1.勾股定理的证明
活动一（1）请用图1验证勾股定理
（2）请你结合图1与图2，验证勾股定理
a
b
b
a
bc
a c
b
cb
c a
b
cb a
图1
a
c
a
b
a
图2
（二）深度理解——勾股定理的证明与应用
2.勾股定理的应用 活动二（1）如图3网格中， 请你求出以AB为一边的 正方形面积。
图6（1）
图6（2）
（四）综合建模——收获的知识与方法颗粒归仓
通过本节课的回顾与思考，你有哪些收获？ 与同伴交流。
（五）评测练习
1、如图中字母A所代表的正方形的面积为(
)
A、4
B、8
C、16
D、64
2、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是 （ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对
x3+y3=z3 ？
（三）拓展提升——勾股定理的延伸与提升
问题1:(1)若在锐角三角形(如图5(2))中，你发现, a2+b2，c2有何关系? (2)若在钝角三角形(如图5(3))中,你发现， a2+b2，c2有何关系?

① 如 果 ∠ A＋∠B＝90º ，则 △ABC是直角三角形； ②如果 C a b △ABC是直角三角形
2 2 2
，则
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么 a2+b2=c2 即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.
通过在方格纸上计算面积的方法探索勾股定理
SA+SB=SC
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文 3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种 最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身 上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱 心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知

员前来灭火。 了解到每层楼高3米，随消防车带来的云 梯有6.5米长.如果梯子底部离墙基至少需 要2.5米,那么消防队员能否借助此云梯进 入三楼灭火? • 3.初春时节,两组同学到村外平坦的田野中 采集标本.分手后,他们向不同的两个方向 行进,第一组的速度是30米/分,第二组的速 度是40米/分,半小时后两组同学同时停下 来,而此时两组同学相距1500米.问两组同 学行走的方向是否成直角?
• 如图是某车间的示意图,电工需在A处安装开 头,G处安装换气扇,问电式如何设计线路,使得用 电线最少?
b
c
a
故事大家说
• • • • • 1.勾股世界:毕达哥拉斯定理 2.勾股数与费马大定理 3毕达哥拉斯与无理数 4勾股定理的巧妙证明 据说,宇宙间凡有智慧的生物,都可能懂得“勾 股定理”,因此,有人建议,在撒哈拉大沙漠,安装 一个巨大的直角三角形模型,向外星人展示地球 上存在着智慧生物,以便与它们取得联系.虽然 我们与外星人还没有共同语言,而勾股定理则是 共知共识的.
知识的回顾
• 1直角三角形的边、角之间分别存在着什么 关系？ • 2举例说明，如何判断一个三角形是否为直 角三角形？ • 3学生总结本章主要内容
直角三角形的性质： 直角三角形的两个锐角互余；勾股定理 直角三角形的判定：是否有一个角是直角；三角形的三边是否满足 性质与判定的实际应用
知识的应用
• 请你举一个生活中的实例，并运用本章 所学的两个定理解决它 • 教师的实例： 1.折竹抵地：今有竹高一丈，末折抵地， 去本三尺。问折者高几何？（一根竹子， 原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折 断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原长竹 子处3尺远。问原处还有多高的竹子？）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
３．若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边
长为16 cm,那么第三边上的高为 ( )
A. 12 cm B. 10 cm C. 8 cm D. 6 cm
2020/10/18
2
５、 ABC中，A,B,C的对边分别是a,b,c,
下列判断错误的是（ ） A.如果CBA,则ABC是直角三角形 B.如果c2=b2-a2,则ABC是直角三角形,且C=90 C.如果(c+a)(c-a)=b2，则ABC是直角三角形 D.如果A：B：C5： 2： 3,则ABC是直角三角
爬上去，所走的路程会最短。你能帮蜘蛛找到
最短路径吗？
（2）若蜘蛛爬行的速度是每秒10厘米，问蜘蛛
沿长方体表面至少爬行几秒钟，才能迅速地抓
到苍蝇？
H G
B F
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D
11
A
C
H
B1
B3
G
F B2
A
CD
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12
在一棵树的10米高处B有两只猴子， 其中一只猴子爬下树走到离树20米的 池塘A，另一只猴子爬到树顶D后直接 跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过 距离相等，试问这棵树有多高？
八年级数学（上册）• 新世纪版
勾股定理回顾与思考
2020/10/18
1
１. 小强量得家里新购置的彩电荧光屏的长为58厘米, 宽为46厘米,则这台电视机的尺寸是(实际测量可不计)
A. 9英寸(23厘米) B. 21英寸(54厘米) C. 29英寸(74厘米) D. 34英寸(87厘米)
２． 观察下列几组数据:(1) 8, 15, 17; (2) 7, 12, 15; (3)12, 15, 20; (4) 7, 24, 25. 其中能作为直角三角形三 边长的有( )组

物理学中的应用
勾股定理在力学中的应用
在物理学中，勾股定理可以用于确定力的分解和合成，特别是确 定直角力系中的力的大小和方向。
勾股定理在电磁学中的应用
在电磁学中，勾股定理可以用于确定电场和磁场的方向，特别是在 直角坐标系中的应用。
勾股定理在光学中的应用
在光学中，勾股定理可以用于确定光的反射和折射的角度，特别是 在确定光线的入射角和折射角之间的关系时。
其他三角形的面积。
立体几何中的应用
1 2
勾股定理在三维空间中的应用
在三维空间中，勾股定理可以用于确定空间直角 三角形的边长关系，以及判断是否为直角三角形 。
勾股定理在球体中的应用
球体的表面积和体积可以通过勾股定理进行计算 ，特别是球体的半径和直径之间的关系。
3
勾股定理在四面体中的应用
四面体的边长和角度关系可以通过勾股定理进行 确定，特别是判断是否为直角四面体。
勾股定理在复数域的推广
勾股定理在复数域的推广
勾股定理可以在复数域上得到推广，涉及到复数的模和共轭等概念。
证明方法
利用复数的性质和代数方法，通过严格的数学证明。
05
对勾股定理的思考和启示
数学的美与和谐
勾股定理是数学中一个简单而美丽的定理，它揭示了直角三 角形三边的关系，即直角边的平方和等于斜边的平方。这种 关系体现了数学中的和谐与平衡，使得勾股定理成为数学美 的重要代表之一。
勾股定理回顾与思考ppt课件
目录
• 勾股定理的起源和历史 • 勾股定理的证明方法 • 勾股定理的应用 • 勾股定理的推广和变种 • 对勾股定理的思考和启示
01
勾股定理的起源和历史
古代文明中的勾股定理
01
02

THANKS
感谢观看
衡性非常重要。
03
地貌形成
地貌的形成过程中涉及到物体的高度和距离的关系，而这种关系可以用
勾股定理来描述，因此勾股定理可以帮助我们理解地貌的形成过程。
06
总结与回顾
勾股定理的重要性和应用价值
勾股定理是几何学中一个非常重要的定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关 系，对于解决几何问题具有关键作用。
建筑中的支撑结构需要精确计算和设计，勾股定理可以帮助建筑师确 定支撑结构的尺寸和形状，以确保建筑物的承重能力。
勾股定理在航天工程中的应用
确定飞行轨道
在航天工程中，勾股定理被用来确定飞行器的轨道和速度 ，以确保飞行器能够准确到达目标。
导航
飞行器在飞行过程中需要精确的导航，勾股定理可以帮助 飞行员计算出飞行器的位置和方向，以确保飞行器的安全 和准确性。
04
勾股定理的变式和推广
勾股定理的变式
勾股定理的逆定理
如果一个三角形的三条边满足勾 股定理的条件，那么这个三角形
是直角三角形。
勾股定理的推广
如果一个三角形的两条边长分别 为a和b，且它们的夹角为α，那 么这个三角形的第三条边长c满
足$c^2 = a^2 + b^2 2ab\cos(α)$。
勾股定理的变形
在现实生活中，勾股定理的应用非常广泛，例如在建筑、测量、航空等领域都有实 际应用。
通过对勾股定理的学习和应用，可以更好地理解几何学的基本概念和原理，提高解 决实际问题的能力。
学习勾股定理的收获和感悟
学习勾股定理需要掌握其基本 概念和定理，了解其历史背景 和证明方法。
通过学习和实践，可以培养自 己的逻辑思维能力和空间想象 力，同时提高对数学的兴趣和 热情。

探究活动
分成四人小组，每个小组课前准备好4个全等的直角三角形和以直角三角形各边为边长的3个正方形（如右图）.
运用这些材料（不一定全用），你能另外拼出一些正方形吗？试试看，你能拼几种.
图１
图３
图２
方法一：
而
所以
即
，
，..ຫໍສະໝຸດ 因为，方法二：
，
化简得：
方法三：
，
化简得：
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
议一议：
（1）你能用直角三角形的两直角边的长a、b和斜边长c来表示图中正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
表示为：Rt△ABC中，∠C=90°
16 9
？
？
（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流.
“割”
“补”
“拼”
（4）分析填表数据，你发现了什么？
A的面积
B的面积
C的面积
左图
4
9
13
右图
16
9
25
结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
2、我国数学家刘徽在他的《九章算术注》中给出的“青朱出入图” ：
证法四：（伽菲尔德证法1876年）
如图，Rt△ABE≌Rt△ECD，可知∠AED=90°；
证法五：（欧几里得证法公元前3世纪）
“新娘的轿椅”或“修士的头巾”
如图，Rt△ ABC中，∠ACB=90°，四边形ACHK、BCGF、ABED都是正方形，CN⊥DE，连接BK、CD。