质点和质点系动力学

§3.3 质点系的动力学方程 一、质点组的动力学方程。 1、质点系的动力学方程为简单计，研究两个质点构成的质点系
m1a1 F1 f12 ,
f12 f21
m2a2 F2 f21

m1a1 m2a2 F1 F2
推广到质点组 （1） m a F F ii i （1）称为质点组的动力学方程。 2、质点系质心动力学方程
（5）
质点系的质心运动定理在直角坐标系中投影式为
Fx Fix maCx , Fy Fiy maCy , Fz Fiz maCz （6）
质心运动定理给出质心加速度，描述了质点系整体运动的重要 特征．并未对质点系运动作全面描述，更全面描述质点系的运 动，还应进—步研究各质点相对质心的运动．
d 2 ri F Fi mi ai mi 2 dt
2 2
d d mi ri 2 mi ri m 2 dt dt m
（2）
m r ii m
具有长度的量纲，描述与质点系相关的某一空间点的位置 m r ii （3） 引入质心的概念 rC m 在直角坐标系
m1r1 m2 r2 rc (t ) m1 m2 r2 (t ) r1 (t ) r (t )

m2 r1 (t ) rc (t ) m m r (t ) 1 2 m1 r r (t ) 2 (t ) rc (t ) m1 m2
m x ,
i i
xc
m
yc
m y ,
i i
m

2 2 2 α + a1 cos2 α
a1 = cot α 方 向: tanθ = ax g
由式④得:
ay
θ 为 a 与 x 正向夹角
FN = m(g + a1) cosα
10
例2-2 阿特伍德机 (1)如图所示滑轮和绳子的质量均不计,滑 轮与绳间的摩擦力以及滑轮与轴间的摩擦力 均不计.且 m > m2 . 求重物释放后,物体 1 的加速度和绳的张力. 解: 以地面为参考系 画受力图,选取坐标如图
ar
ar
m1 m2
a
m g FT = m a1 1 1 m2g + FT = m2a2
a1 = ar a
FT 0
a2 = ar + a
m1 m2 ar = m + m (g + a) 1 2 a1 FT = 2m1m2 (g + a) P 1 m1 + m2
a2
y FT
y
P0 2
12
8
桥梁是加速度 a
例2-1 升降机以加速度a1上升,其中光滑斜面上有一物体m沿 斜面下滑. 求:物体对地的加速度 a ? y 斜面所受正压力的大小? 解: 由于升降机对地有加速度,为一非惯性 系,故选地面为参考系,设坐标如图.
FN
a1
a2
a = a2 + a1
在 x , y 方向上有:
G
α
x
ax = a2 a1 sin α a = a cosα 1 y
m1 m2
FT 0
m g FT = m a 1 1 m2 g + FT = m2a
m1 m2 a= g m1 + m2
2m m2 1 FT = g m + m2 1

4 4
y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m，忽略摩擦及连 杆AB的质量，试求当 t 0 和 时，连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解：
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象，当φ=ωt 时，受力 如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连 杆质量，AB 为二力杆，它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解： 以弹簧未变形处为坐标原点O，物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ，弹簧 力大小为 F k x ，并指向点O，如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块
质量为 m ，弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时， 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知质点的运动，求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程，通过其对时间微分两次得到质 点的加速度，代入质点运动微分方程，就可得到作用在质点 上的力。

大学力学质点系的功能原理大学力学中，质点系是指由多个质点组成的系统。

质点系的功能原理可以通过牛顿第二定律和牛顿的引力定律来阐述。

首先，根据牛顿第二定律，当作用在质点上的合外力不为零时，质点会产生加速度。

这表明质点的运动状态与其所受的外力密切相关。

在质点系中，每个质点都受到诸多作用力，这些作用力可能来自于其他质点的引力、弹簧的弹性力、接触力等。

因此，质点系中每个质点的加速度都与其所受的合外力有关。

其次，对于质点系中的每个质点，根据牛顿的引力定律，其与其他质点之间存在着引力。

牛顿的引力定律表明，两个质点之间的引力与它们的质量和距离有关。

具体而言，两个质点之间的引力与质点质量的乘积成正比，与质点之间的距离的平方成反比。

质点系中的每个质点都会受到其他质点的引力作用，这些引力作用将影响质点系的整体运动状态。

根据以上原理，我们可以得出质点系的功能原理：1. 动力学原理：质点系的运动状态受到作用在每个质点上的合外力的影响。

根据牛顿第二定律，合外力与质点的加速度成正比，质点系中的每个质点都会受到作用力的影响而产生加速度。

因此，通过分析质点系中每个质点所受的外力，可以预测整个质点系的运动状态。

2. 引力相互作用原理：质点系中的每个质点都会受到其他质点的引力作用。

根据牛顿的引力定律，引力与质量的乘积和距离的平方成正比和反比。

因此，质点系中的每个质点都会受到其他质点的引力作用，并产生相应的加速度。

这些引力作用将影响质点系的整体运动状态。

3. 系统的平衡和稳定性分析：质点系中的平衡状态和稳定状态是分析质点系功能的重要内容。

平衡状态是指当质点系内的每个质点都不受合外力的作用时，质点系保持静止或作匀速直线运动的状态。

稳定状态是指当质点系受到微小扰动后能够回到原来的平衡状态。

通过对质点系的平衡和稳定性进行分析，可以了解质点系的功能特性和响应能力。

总的来说，质点系的功能原理可以通过动力学原理和引力相互作用原理进行解释。

质点系中的每个质点受到外力和引力的影响，其运动状态与所受的作用力密切相关。