4.1.2圆的一般方程ppt课件

4.1.2 圆的一般方程
目标导航 课标要求 素养达成
1.了解圆的一般方程的特点,会由一般方程求圆心和 半径. 2.会根据给定的条件求圆的一般方程,并能用圆的一 般方程解决简单问题. 3.初步掌握求动点的轨迹方程的方法.
通过对圆的一般方程的学习,促进学生数形结合思想 方法的养成,帮助直观想象,数学运算、数学抽象等 核心素养的达成.
D 8,
解得
E
2,
……………………………………………10
分
F 12.
所以△ABC 外接圆的方程为 x2+y2-8x-2y+12=0.………12 分
法二 设所求的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,…………2 分
(2 a)2 (2 b)2 r2,
由题意得
(5
a)2
(3
b)2
r2,
解:方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 是否表示圆,关键看将该方程配方转化为圆的标准方程
的形式(x+ D )2+(y+ E )2= D2 E2 4F 后,D2+E2-4F 是否大于 0,若大于 0 则表示
2
2
4
圆,否则不表示圆.
法一 (1)将原方程转化为(x- 1 )2+y2=0,表示一个点,坐标为( 1 ,0).
(4)由于 D2+E2-4F=1+4-4=1>0,所以该二元二次方程表示的是圆.
又 x2+y2+x+2y+1=(x+ 1 )2+(y+1)2= 1 ,所以它表示以(- 1 ,-1)为圆心,以 1 为半径的圆.
2
4

C. (－1,2)
D. (－1, －2)
解析: 选A.2).
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第四章 圆与方程
2. 圆x2＋y2－6x＋8y＝0的半径等于( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 25
解析: 选C.(x－3)2＋(y＋4)2＝25.
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第四章 圆与方程
典题例证·技法归纳
【满分警示】 求动点的轨迹方程是指动点(x, y)满足的等式 关系, 求动点轨迹是说明动点满足的曲线或者 图形.
(1)当___D__2＋__E__2－___4_F_＝__0_____时, 方程表示一
个点, 该点的坐标为(－D2 , －E2 );
(2)当___D__2＋__E__2－___4_F_<_0_______时, 方程不表
示任何图形;
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第四章 圆与方程
(3)当__D__2＋__E__2－__4_F__>_0___时, 方程表示的曲线 为圆, 它的圆心坐标为 _(_－__D2_,_－__E2__)___, 半径长等于
x－x23＋2y＋2 y2＝12.6 分
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第四章 圆与方程
两边平方并化简, 得曲线方程 x2＋y2＋2x－3＝0. 将方程配方, 得(x＋1)2＋y2＝4.10 分 ∴所求曲线是圆心为(－1,0), 半径为 2 的圆, 其方程为(x＋1)2＋y2＝4.12 分
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第四章 圆与方程
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第四章 圆与方程
(3)方程 x2＋y2－2x－4y＋10＝0 化为 (x－1)2＋(y－2)2＝－5, ∴它不能表示圆.
(4)方程 2x2＋2y2－5x＝0 化为x－542＋y2 ＝452, ∴它表示以45，0为圆心, 54为半径的圆.

[答案] x2＋y2＋6x－2y－15＝0 [解析] 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. ∵三点A、B、C在圆上，
5E＋F＋25＝0 ∴D－2E＋F＋5＝0
D＝6 ，∴E＝－2 ，
3D＋4E－F－25＝0
F＝－15
故所求圆的方程为 x2＋y2＋6x－2y－15＝0.
2．用待定系数法求圆的方程时，①如果由已知条件容 易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程 的问题，一般采用圆的标准方程，求出a、b、r即可．②如 果给出圆上三个点坐标或已知条件与圆心或半径都无直接 关系，一般采用一般方程，求出D、E、F即可．
过三点A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)的圆的方程为 ________．
[答案] ① (x0－a)2＋(y0－b)2－r2；
② x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F 推证利用|PC|2＝l2＋r2(其中 l 为切线长)．
一、选择题
1．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0
垂直的直线方程是
()
A．x＋y＋1＝0
B．x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0
D．x－y－1＝0
①点P(x0，y0)在圆C外，圆C方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则由P引圆C的切线长为__________．
②点P(x0，y0)在⊙C外，圆C方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋ F ＝ 0(D2 ＋ E2 － 4F>0) ， 则 由 P 点 引 圆 C 的 切 线 长 为 __________．
[例3] 自圆x2＋y2＝4上的点A(2,0)引此圆的弦AB，求 弦AB的中点轨迹方程．
[解析] 设 AB 的中点 P(x，y)，B(x1，y1)，则有 x21＋y12＝ 4，且 x＝x1＋2 2，y＝y1＋2 0.∴x1＝2x－2，y1＝2y.

以（1，-2）为圆心，以
（3）(x a)2 y2 a2 b2
为半径的圆
表示以（-a，0）为圆心，以 a2 b2 为半
径的圆
表示点（-a，0）
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程 方法一：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
x2 y2 Dx Ey F 0
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0
72
(1)2
7D
E
F
0
22 82 2D 8E F 0
所求圆的方程为
D 4
E
6
F 12
x2 y2 4x 6 y 12 0
方法二： 几何方法 y
O E
A(5,1)
x
B(7,-3)
C(2,-8)
,
3 2
为圆心，1为半径的圆
点的轨迹方程指的是该点坐标(x,y)满足的关系式； “轨迹”与“轨迹方程”既有区分又有联系，求 “轨迹”时第一要求出“轨迹方程”，然后再说 明方程的所表示的图形。
求轨迹方程的一般步骤: 1.建系,设点;
2.列式,代入;
3.简化,检验.
P123 练习 3
作业布置 P124 A组 第4题 P124 B组 第2、3题
小结：求圆的方程
几何方法
待定系数法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
再如：
(1)x2 y2 2x 4 y 1 0
配方得