2012初三数学二模答案-丰台

2012年北京市丰台区初三二模数学试卷及答案丰台区2012年初三统一练习（二）数学试卷学校姓名准考证号一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．2-的绝对值是A．12-B．12C．2 D．2-2．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米等于0.000 002 5米，把0.000 002 5用科学记数法表示为A．62.510⨯B．50.2510-⨯C．62.510-⨯D．72510-⨯3．如图，在△ABC中，DE∥BC，如果AD=1，BD=2，那么DEBC的值为A．12B．13C．14EDCBAD ．194．在4张完全相同的卡片上分别画有等边三角形、矩形、菱形和圆，在看不见图形的情况下随机抽取1张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是A ．14B ．12C ．34D ．1 5．若20x +=则 yx 的值为A ．－8B ．－6C ．6D ．86．下列运算正确的是A ．222()a b a b +=+ B ．235a b ab += C ．632aa a ÷=D ．325a a a ⋅= 7．小张每天骑自行车或步行上学，他上学的路程为2 800米，骑自行车的平均速度是步行的平均速度的4倍，骑自行车上学比步行上学少用30分钟．设步行的平均速度为x 米/分．根据题意，下面列出的方程正确的是A ．30428002800=-xx B ．30280042800=-x x C ．30528002800=-x x D ．30280052800=-xx 8．如图1是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格，这时小正方体朝上．．一面的字是15．解分式方程：21124x x x -=--． 16．如图，在△ABC 与△ABD 中， BC 与AD 相交于点O ，∠1=∠2，CO = DO ． 求证：∠C =∠D ．17．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y =-x 的图象与反比例函数k y x =的图象交于A 、B 两点． （1）求k 的值；（2）如果点P 在y 轴上，且满足以点A 、B 、P 为顶点的三角形是直角三角形，直接写出点P 的坐标．18．为了增强居民的节约用电意识，某市拟出台居民阶梯电价政策：每户每月用电量不超过230千瓦时的部分为第一档，按每千瓦时0.49元收费；超过230千瓦时且不超过400千瓦时的部分为第二档，超过的部分按每千瓦时0.54元收费；超过400千瓦时的部分为第三档，超过部分按每千瓦时0.79元收费． （1）将按阶梯电价计算得以下各家4月份应交的电费填入下表:21DOCBA（2）设一户家庭某月用电量为x 千瓦时，写出该户此月应缴电费y （元）与用电量x （千 瓦时）之间的函数关系式．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．已知：如图，菱形ABCD 中，过AD 的中点E 作AC 的垂线EF ，交AB 于点M ，交CB 的延长线于点F ．如果FB 的长是2，求菱形ABCD 的周长．MFEBCDA20．已知：如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O 的切线，联结AB交O C于点D，AC=CD．（2）可以估计这所学校八年级的学生中，每学期参加社会实践活动的时间不少于8小时的学生大约有多少人？22．小杰遇到这样一个问题：如图1，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，连结EF ，△AEF 的三条高线交于点H ，如果AC =4，EF =3，求AH 的长．小杰是这样思考的：要想解决这个问题，应想14～16 100.20 合 计501.00办法将题目中的已知线段与所求线段尽可能集中到同一个三角形中．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现可以通过将△AEH平移至△GCF的位置(如图2)，可以解决这个问题．请你参考小杰同学的思路回答：（1）图2中AH的长等于．（2）如果AC=a，EF=b，那么AH的长等于．B A DCEFHGHFE CDAB图1图2五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知关于x的一元二次方程242(1)0x x k-+-=有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果抛物线242(1)=-+-与x轴的两个交点的横坐y x x k标为整数，求正整数k的值；（3）直线y=x与（2）中的抛物线在第一象限内的交点为点C，点P是射线OC上的Array一个动点（点P不与点O、点C重合），过点P作垂直于x轴的直线，交抛物线于点M，点Q在直线PC上，距离点P为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．24．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，在三角形内部取一点P ，使得∠ABP =∠ACP ．过点P 作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥AB 于点F ．（1）如图1，当AB =AC 时，判断的DE 与DF 的数量关系，直接写出你的结论；（2）如图2，当AB ≠AC ，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由．图1图225．如图，将矩形OABC 置于平面直角坐标系xOy 中，A （32，0），C （0，2）． (1) 抛物线2y x bx c=-++经过点B 、C ，求该抛物线的解析式；（2）将矩形OABC 绕原点顺时针旋转一个角度α（0°<α<90°），在旋转过程中，当矩形的顶点落在（1）中的抛物线的对称轴上时，求此时这个顶点A E F P D C C EB AD F P的坐标；（3）如图（2），将矩形OABC绕原点顺时针旋转一个角度θ（0°<θ<180°），将得到矩形OA’B’C’，设A’C’的中点为点E，联结CE，当θ=°时，线段CE的长度最大，最大值为．北京市丰台区2011_2012学年第二学期初三综合练习（二）参考答案一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：原式=3-1+4-422⨯……4分=6-22….5分14．解：2(1)(2)(2)a a a a --+-=22224a a a --+……1分.=224aa -+． ……2分2230a a --=， ∴223a a -=．…3分∴原式=224347a a -+=+=．….….5分15．21124x x x -=-- 解：2(2)(4)1x x x +--=．……1分22241x x x +-+=．……2分23x =-．…… 3分32x =-．…….4分检验：经检验，32x=-是原方程的解． ∴原方程的解是32x =-．……5分 16．证明： ∠1=∠2， ∴OA=OB ．…1分 在△COA 和△DOB 中 ， OA=OB ， ∠AOC =∠BOD ， CO=DO ．∴△COA ≌△DOB ．……….4分∴∠C =∠D ． …………….5分17．解：（1）反比例函数ky x=的图象经过点A (-1，1) ， ∴-11-1k =⨯=．…………1分 （2）P 1(0，2)、 P 2(0，-2)、P 3(0，2)、 P 4(0，-2) ……5分18．解：（1）……2分4月份总用电量/千瓦时电费/元 小刚 200 98 小丽300150.5（2）当时，；……3分 当230400x <≤时，0.54-11.5y x =；……4分当400x >时，0.79-111.5y x =．……5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．解：联结BD ． ∵在菱形ABCD 中， ∴AD ∥BC ，AC ⊥BD ．……1分又∵EF ⊥AC ， ∴BD ∥EF ．∴四边形EFBD 为平行四边形．……2分∴FB = ED =2．……3分 ∵E 是AD 的中点． ∴AD =2ED =4．……4分 ∴菱形ABCD 的周长为4416⨯=．……5分…4分（2）700⨯（1-0.04）=672．……5分 答：这所学校每学期参加社会实践活动的时间不少于8小时的学生大约有672人． 22．解：（1）7；……3分（2）22a b -．……5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．解：（1）由题意得△>0． ∴△=2(4)4[2(1)]8240k k ---=-+>．……1分∴解得3<k ．……2分 （2）∵3<k 且k 为正整数，∴1=k 或2．……3分当1=k 时，xxy 42-=，与x 轴交于点（0，0）、（4，0），符合题意； 当2=k 时，242+-=x x y ，与x 轴的交点不是整数点，故舍去．综上所述，1=k ．……4分（3）∵2,4y x y x x =⎧⎨=-⎩，∴点C 的坐标是（5，5）．∴OC与x 轴的夹角为45°．过点Q 作QN ⊥PM 于点N ，（注：点Q 在射线PC 上时，结果一样，所以只写一种情况即可）∴∠NQP =45°，NQ PM S ⋅=21． ∵PQ，∴NQ =1． ∵P （t t ,），则M （tt t 4,2-），∴PM =tt t tt 5)4(22+-=--．……5分∴ttS 5212+-=．∴当50<<t 时，t tS 25212+-=；……6分当5>t 时，t t S 25212-=．……7分24．解：（1）DE =DF ．……1分（2）DE =DF 不发生改变．……2分理由如下：分别取BP 、CP 的中点M 、N ，联结EM 、DM 、FN 、DN ． ∵D 为BC 的中点，∴BP DN BP DN //,21=．……3分∵,AB PE ⊥∴BP BM EM 21==． ∴21,∠=∠=EM DN ．∴12213∠=∠+∠=∠．…4分 同理,524,//DM FN MD PC =∠=∠． ∴四边形MDNP 为平行四边形．……5分∴67∠=∠．∵,41∠=∠∴35∠=∠． ∴EMD DNF ∠=∠．……6分∴△EMD ≌△DNF ． ∴DE =DF ．……7分25．解：（1）∵矩形OABC ，A （32，0），C （0，2），∴B （32，2）．∴抛物线的对称轴为x =3．∴b =3．……1分∴二次函数的解析式为：22y x =-++．……2分(2)①当顶点A 落在对称轴上时，设点A的对应点为点A ’，联结OA ’，7654321NMCD B PFEA设对称轴x=3与x轴交于点D，∴OD=3．∴OA’ = OA=32．在Rt△OA’D中，根据勾股定理A’D =3．∴A’(3，-3) ．……4分②当顶点落C对称轴上时(图略)，设点C的对应点为点C’，联结OC’，在Rt△OC’D中，根据勾股定理C’D =1．∴C’(3，1)．……6分(3) 120°，4．……8分。

2012年北京各区县二模试题分类几何综合解析版2012年北京市中考数学二模分类汇编——几何综合与中点有关的问题1.(昌平24) 如图，D 是△ABC 中AB 边的中点，△BCE 和△ACF 都是等边三角形，M 、N 别是CE 、CF 的中点. （1）求证：△DMN 是等边三角形； （2）连接EF ，Q 是EF 中点，CP ⊥EF 于点P .求证：DP ＝DQ . 同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考：小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？她考虑将△NCM 绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置.24. 证明：（1）取AC 的中点G ，连接NG 、DG .NME F C∴DG ＝21BC ，DG ∥BC ；△NGC 是等边三角形.∴NG = NC CM . …………………2分 ∵∠1 + ∠2 = 180º，∴∠NGD + ∠2 = 240º.∵∠2 + ∠3 = 240º，∴∠NGD =∠3.∴△NGD≌△NCM . ……………………3分 ∴ND = NM ，∠GND =∠CNM .∴∠DNM =∠GNC = 60º.∴△DMN 是等边三角形.………………………………4分（2）连接QN 、PM .∴QN=21CE= PM . ……………………5分Rt △CPE 中，PM =EM ，∴∠4= ∠5.∵MN ∥EF ，∴∠5= ∠6，∠7=∠8.67854P Q N M E C C 321G NM E F∵NQ ∥CE ，∴∠7= ∠4.∴∠6= ∠8.∴∠QND = ∠PMD . ………………………6分∴△QND ≌△PMD .∴DQ = DP . ……………………7分2.（丰台24）在△ABC 中，D 为BC 边的中点，在三角形内部取一点P ，使得∠ABP =∠ACP ．过点P 作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥AB 于点F ． （1）如图1，当AB =AC 时，判断的DE 与DF 的数量关系，直接写出你的结论； （2）如图2，当AB AC ，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由．图1图224．解：（1）DE =DF ．……1分A E F PB DC E B A DF P（2）DE =DF 不发生改变． (2)分理由如下：分别取BP 、CP 的中点M 、N ，联结EM 、DM 、FN 、DN ．∵D 为BC 的中点，∴BP DN BP DN //,21=．……3分∵,AB PE ⊥∴BP BM EM 21==． ∴21,∠=∠=EM DN ．∴12213∠=∠+∠=∠．…4分 同理,524,//DM FN MD PC =∠=∠．∴四边形MDNP 为平行四边形．……5分∴67∠=∠ ∵,41∠=∠∴35∠=∠． ∴EMD DNF ∠=∠．……6分∴△EMD ≌△DNF ． ∴DE =DF ．……7分3.(海淀25.)在矩形ABCD 中, 点F 在AD 延长线上，且DF = DC , M 为AB 边上一点, N 为MD 的中点, 点E 在直线CF 上（点E 、C 不重合）.（1）如图1, 若AB =BC , 点M 、A 重合, E为CF 的中点，试探究BN 与NE 的位置关系及BM CE 的值, 并证明你的结论;（2）如图2，且若AB =BC , 点M 、A 不重合,7654321N M C D B P F E ABN =NE ，你在（1）中得到的两个结论是否成立,若成立,加以证明; 若不成立, 请说明理由;（3）如图3，若点M 、A 不重合，BN =NE ，你在（1）中得到的结论两个是否成立, 请直接写出你的结论.图 1 图 2 图325. 解：（1）BN 与NE 的位置关系是BN ⊥NE ；CE BM 2 证明：如图，过点E 作EG ⊥AF 于G , 则∠EGN =90°．∵ 矩形ABCD 中, AB =BC ，∴ 矩形ABCD 为正方形.∴ AB =AD =CD , ∠A =∠ADC =∠DCB =90°．∴ EG//CD , ∠EGN =∠A , ∠CDF =90°．……………1分∵ E 为CF , F A ( M ) D N D A C E N M B F E C BF N M E C B∴ GF =DG =11.22DF CD = ∴ 1.2GE CD = ∵ N 为MD (AD )的中点，∴ AN =ND =11.22AD CD = ∴ GE =AN ,NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB . ………2分∴ △NGE ≌△BAN ．∴ ∠1=∠2.∵ ∠2+∠3=90°，∴ ∠1+∠3=90°．∴ ∠BNE =90°.∴ BN ⊥NE ． ……………………………3分∵ ∠CDF =90°, CD =DF ,可得 ∠F =∠FCD =45°， 2.CF CD =. 于是122CF CE CE CE BM BA CD CD ==== …………4分（2）在（1）中得到的两个结论均成立.证明：如图，延长BN 交CD 的延长线于点G ，连结BE 、GE ，过E 作EH ⊥CE ，交CD 于点H ．H B C E M∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CG．∴∠MBN=∠DGN，∠BMN=∠GDN.∵N为MD的中点，∴MN=DN．∴△BMN≌△GDN．∴MB=DG，BN=GN.∵BN=NE，∴BN=NE=GN.∴∠BEG=90°． (5)分∵EH⊥CE，∴∠CEH =90°．∴∠BEG=∠CEH．∴∠BEC=∠GEH．由（1）得∠DCF =45°．∴∠CHE=∠HCE =45°．∴EC=EH,∠EHG =135°．∵∠ECB=∠DCB+∠HCE =135°，∴∠ECB =∠EHG．∴△ECB≌△EHG．∴EB=EG，CB=HG．∵BN=NG，∴BN⊥NE. ……………………6分∵BM =DG= HG-HD= BC-HD =CD-2CE，∴2. ……………………7分CEBM不一定等于（3）BN⊥NE；CEBM2. ……………………8分密云25．已知菱形ABCD的边长为1，60ADC∠=o，等边△AEF两边分别交DC、CB于点E、F．（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为P．①猜想验证：如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当E 、F 分别是边DC 、CB 的中点时，过点P 任作一直线，分别交DA 边于点M ，BC 边于点G ，DC 边的延长线于点N ，请你直接写出11DM DN+的值．25．（本小题满分8分）证明：（1）如图1：分别连结OE 、OF ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AD DC CB ==，AC BD ⊥，DO BO =， 且112302ADC ∠=∠=∠=o ． ∴在Rt △AOD 中，有12AO AD =． 又 E 、F 分别是边DC 、CB 的中点，∴1122EO CB DC OF ===．∴AO EO FO ==．∴点O 即为等边△AEF 的外心． ------------------------- 3分（2）①猜想：△AEF 的外心P 落在对角线DB 所在的直线上．证明：如图2：分别连结PE 、PA ，作PQ DC ⊥于Q ，PH AD⊥于H ．则90PQE PHD ∠=∠=o∵60ADC ∠=o， ∴在四边形QDHP 中，120QPH ∠=o．又 ∵点P 是等边△AEF 的外心，60EFA ∠=o，∴PE PA =，2260120EPA EFA ∠=∠=⨯=oo． ∴αβ∠=∠．∴△PQE ≌△PHA （AAS ）．∴PQ=PH ． ∴点P 在ADC ∠的角平分线上．∵菱形ABCD 的对角线DB 平分ADC ∠， ∴ 点P 落在对角线DB 所在直线上--- 6分 ②112DM DN+=． ---------------------- 8分 旋转变换在几何证明应用延庆24. （1）如图1：在△ABC 中，AB=AC ，当∠ABD =∠ACD=60°时，猜想AB 与BD+CD 数量关系，请直接写出结果 ；（2）如图2：在△ABC 中，AB=AC ，当∠ABD =∠ACD=45°时，猜想AB 与BD+CD 数量关系并证明你的结论； （3）如图3：在△ABC 中，AB=AC ，当∠ABD =∠ACD=β（20°≤β≤70°）时，直接写出AB 与BD+CD 数量关系(用含β的式子表示)。

北京市丰台区2012年高三二模 2012.5数学（理科）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数1i2i-+的虚部是 (A) i -(B) 3i 5-(C) –1(D) 35-2．一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如右图所示，则该正四棱锥的正 视图的面积为(A)(B)(C) 2 (D) 43．由曲线1y x =与y =x ，x =4以及x 轴所围成的封闭图形的面积是 (A) 3132 (B) 2316(C) 1ln 42+ (D) ln41+4．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填(A) 7n ≤ (B) 7n > (C) 6n ≤ (D) 6n >5．盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机 取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是(A) 18125 (B)36125 (C) 44125(D) 811256．在△ABC 中，∠BAC =90º，D 是BC 中点，AB =4，AC =3，则AD BC ⋅u u u r u u u r(A) 7- (B) 72-(C)72(D) 77．已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =+的图象可能是俯视图(A)(B)(C)(D)8．已知平面上四个点1(0,0)A ，2(23,2)A ，3(234,2)A ，4(4,0)A ．设D 是四边形1234A A A A 及其内部的点构成的点的集合，点0P 是四边形对角线的交点，若集合0{|||||,1,2,3,4}i S P D PP PA i =∈≤=，则集合S 所表示的平面区域的面积为(A) 2(B) 4(C) 8(D) 16第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心的极坐标是____．10．已知椭圆22221(7)7x y m m m +=>-上一点M 到两个焦点的距离分别是5和3，则该椭圆的离心率为______．11．如图所示，AB 是圆的直径，点C 在圆上，过点B ，C 的切线交于点P ，AP 交圆于D ，若AB =2，AC =1，则PC =______，PD =______．12．某地区恩格尔系数(%)y 与年份x 的统计数据如下表：年份x 2004 2005 2006 2007 恩格尔系数y (%)4745.543.541PDCBA从散点图可以看出y 与x 线性相关，且可得回归方程为ˆˆ4055.25ybx =+，据此模型可预测2012年该地区的恩格尔系数(%)为______．13．从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加，若甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有 种． 14. 在平面直角坐标系中，若点A ，B 同时满足：①点A ，B 都在函数()y f x =图象上；②点A ，B 关于原点对称，则称点对(A ,B )是函数()y f x =的一个“姐妹点对”（规定点对(A ,B )与点对(B ,A )是同一个“姐妹点对”）．那么函数24,0,()2,0,x x f x x x x -≥⎧=⎨-<⎩ 的“姐妹点对”的个数为_______；当函数()xg x a x a =--有“姐妹点对”时，a 的取值范围是______．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数()cos sin )f x x x x =-- （Ⅰ）求()3f π的值；（Ⅱ）求函数()y f x =在区间[0,]2π上的最小值，并求使()y f x =取得最小值时的x 的值．16.（本小题共13分）某商场举办促销抽奖活动，奖券上印有数字100，80，60，0．凡顾客当天在该商场消费每．超过1000元，即可随机从抽奖箱里摸取奖券一张，商场即赠送与奖券上所标数字等额的数学期望E ξ=22．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）若某顾客当天在商场消费2500元，求该顾客获得奖金数不少于160元的概率．17.（本小题共14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， EF // AB ，∠BAF =90º，AD = 2，AB =AF =2EF =1，点P 在棱DF 上．（Ⅰ）若P 是DF 的中点，(ⅰ) 求证：BF // 平面ACP ；(ⅱ) 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值；（Ⅱ）若二面角D -AP -CPF 的长度． PFEDCAB18.（本小题共13分）已知数列{a n }满足14a =，131n n n a a p +=+⋅+(n *∈N ，p 为常数)，1a ，26a +，3a 成等差数列．（Ⅰ）求p 的值及数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n }满足2n n n b a n=-，证明：49n b ≤．19.（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的焦点在y 轴上，且抛物线上的点P (x 0，4)到焦点F 的距离为5．斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点．（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程，及抛物线在P 点处的切线方程；（Ⅱ）若AB 的垂直平分线分别交y 轴和抛物线于M ，N 两点（M ，N 位于直线l 两侧），当四边形AMBN 为菱形时，求直线l 的方程．20.（本小题共13分）设函数()ln ()ln()f x x x a x a x =+--(0)a >． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）证明：对∀x 1，x 2∈R +，都有[]11221212ln ln ()ln()ln 2x x x x x x x x +≥++-； （Ⅲ）若211nii x==∑，证明：21ln ln 2nn i i i x x =≥-∑ *(,)i n ∈N ．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）。

北京市丰台区2012年高三二模数学(文)试卷及答案各位考生，2012年高考信息陆续出炉，下面是教育城高考网（/gaokao ）小编整理的：北京市丰台区2012年高三二模数学(文)试卷及答案，请大家继续关注教育城高考网（/gaokao ）。

北京市丰台区2012年高三二模 2012.5数学（文科）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数1i2i-+的虚部是 (A)–1(B) 35-(C) i - (D) 3i 5-2．设a ，b 是向量，命题“若a b =- ，则a b =”的否命题是(A)若a b =，则a b =- (B) 若a b =- ，则a b ≠ (C)若a b ≠，则a b ≠-(D) 若a b ≠- ，则a b ≠3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，514a =，则4S 的值为 (A)152(B)516(C) 516- (D) 52-4．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P ，Q 分别是AA 1，A 1D 1，CC 1，BC 的中点，给出以下四个结论：①A 1C ⊥MN ；②A 1C ∥平面MNPQ ；③A 1C 与PM 相交；④NC 与PM 异面．其中不．正确的结论是 (A) ①(B) ② (C) ③(D) ④5．函数()sin ()f x x x x =+∈R(A) 是偶函数，且在(,+)-∞∞上是减函数 (B) 是偶函数，且在(,+)-∞∞上是增函数 (C) 是奇函数，且在(,+)-∞∞上是减函数 (D) 是奇函数，且在(,+)-∞∞上是增函数6．在△ABC 中，∠BAC =90º，D 是BC 的中点，AB =4，AC =3，则AD BC ⋅=(A) -7(B) 72-(C)72(D) 77．已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =+的图象可能是P 1A(A)(B)(C)(D)8．已知平面上四个点1(0,0)A ，2A ，34,2)A ，4(4,0)A ．设D 是四边形1234A A A A 及其内部的点构成的集合，点0P 是四边形对角线的交点，若集合0{|||||,1,2,3,4}i S P D PP PA i =∈≤=，则集合S 所表示的平面区域的面积为 (A) 16 (B) 8(C) 4(D) 2第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知集合A =｛x ｜2x -x 2>0｝，B =｛x ｜x >1｝，则A B = ______． 10．某地区恩格尔系数(%)y 与年份x 的统计数据如下表：从散点图可以看出y 与x 线性相关，且可得回归方程为ˆˆ4055.25ybx =+，则ˆb =______，据此模型可预测2012年该地区的恩格尔系数(%)为______．11．已知cos 2sin θθ=，则cos 2θ 的值为______．12．执行如右图所示的程序框图，则输出的结果是______．13．已知双曲线2222128x y m m-=+上一点M 到两个焦点的距离分别为20和4，则该双曲线的离心率为______．14．在平面直角坐标系中，若点A ，B 同时满足：①点A ，B 都在函数()y f x =图象上；②点A ，B 关于原点对称，则称点对(A ,B )是函数()y f x =的一个“姐妹点对”（规定点对(A ,B )与点对(B ,A )是同一个“姐妹点对”）．那么函数24,0,()2,0,x x f x x x x -≥⎧=⎨-<⎩ 的“姐妹点对”的个数为_______．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数1()cos (cos )2f x x x x =--． （Ⅰ）求()6f π的值；（Ⅱ）求函数()y f x =在区间[0,]2π上的最小值，并求使()y f x =取得最小值时的x 的值．16.（本小题共13分）某地区农科所为了选择更适应本地区种植的棉花品种，在该地区选择了5块土地，每块土地平均分成面积相等的两部分，分别种植甲、乙两个品种的棉花，收获时测得棉花的亩产量如下图所示：（Ⅰ）请问甲、乙两种棉花哪种亩产量更稳定，并说明理由；（Ⅱ）求从种植甲种棉花的5块土地中任选2块土地，这两块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量的概率．17.（本小题共14分）14387255511109乙甲Q PBACD如图所示，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，Q 是棱PA 上的动点． （Ⅰ）若Q 是P A 的中点，求证：PC //平面BDQ ； （Ⅱ）若PB =PD ，求证：BD ⊥CQ ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若P A =PC ，PB =3，∠ABC =60º，求四棱锥P -ABCD 的体积．18.（本小题共13分）已知等差数列{a n }的公差0d ≠，该数列的前n 项和为n S ，且满足2352S a a ==． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设11b a =，*12()n an n b b n +-=∈N ，求数列{b n }的通项公式．19.（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在原点，焦点1F ，2F 在x 轴上，焦距为，P 是椭圆上一动点，12PF F ∆的面积最大值为2．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点(1,0)M 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，交y 轴于点N ，若1N A A M λ= ，2NB BM λ=，求证：12λλ+为定值．20.（本小题共13分）已知函数f (x )=ln x ，()b g x ax x=+，两函数图象的交点在x 轴上，且在该点处切线相同． （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求证：当x >1时，f (x )<g (x )成立； （Ⅲ）证明：1111...ln(1)23n n++++>+（*n ∈N ）．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）北京市丰台区2012年高三二模 数 学（文科）参考答案9．{}12x x << 10． -2，31.25 11．3512． 63 13．5414．1 注：第10题第一个空答对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．解：因为1()cos (cos )2f x x x x =--＝21cos cos 2x x x -＝1cos 23222x x +-＝1cos 2222x x - ＝cos(2)3x π+． （Ⅰ）()6f π＝cos(2)63ππ⨯+＝12-． ……………………7分 （Ⅱ）因为 [0,]2x π∈，OQPBACD所以42333x πππ≤+≤． 当 23x π+=π，即3x π=时，函数()y f x =有最小值是1-．当 3x π=时，函数()y f x =有最小值是1-． ……………………13分16．解：（Ⅰ）由茎叶图可知甲种棉花的平均亩产量为：95+102+105+107+111=1045，方差为2221=[(115S --甲．乙种棉花的平均亩产量为：98+103+104+105+110=1045，方差为2221=[(015S --乙．因为 22>S S 乙甲， 所以乙种棉花的平均亩产量更稳定． ……………………8分（Ⅱ）从种植甲种棉花的5块土地中任选2块土地的所有选法有(95，102)，(95，105)，(95，107)，(95，111)，(102，105)，(102，107)，(102，111)，(105，107)，(105，111)，(107，111) 共10种，设“亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量”为事件A ， 包括的基本事件为(105，107)，(105，111)，(107，111)共3种． 所以3()10P A． ……………………13分答：两块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量的概率为310．17．证明：（Ⅰ）连结AC ，交BD 于O ．因为 底面ABCD 为菱形，所以 O 为AC 中点． 因为 Q 是P A 的中点， 所以 OQ // PC ，因为OQ ⊂平面BDQ ，PC ⊄平面BDQ ，所以PC //平面BDQ ． ……………………5分 （Ⅱ）因为 底面ABCD 为菱形，所以 AC ⊥BD ，O 为BD 中点． 因为 PB =PD ，所以 PO ⊥BD ． 因为 PO ∩BD =O ，所以 BD ⊥平面P AC ．因为 CQ ⊂平面P AC ， 所以 BD ⊥CQ ． ……………………10分（Ⅲ）因为 P A =PC ，所以 △P AC 为等腰三角形 ． 因为 O 为AC 中点， 所以 PO ⊥AC ．由（Ⅱ）知 PO ⊥BD ，且AC ∩BD =O ，所以 PO ⊥平面ABCD ，即PO 为四棱锥P -ABCD 的高． 因为四边形是边长为2的菱形，且∠ABC =60º，所以所以所以13P ABCD V -=⨯=P ABCD V -= ……………………14分18．解：（Ⅰ）因为35232S a S a =⎧⎨=⎩所以112123()43()a d a d a d a +=+⎧⎨+=⎩，即122223a da a =⎧⎨=⎩．因为252a a =，0d ≠， 所以20a ≠． 所以112a d =⎧⎨=⎩ ．所以21n a n =-． ……………………6分（Ⅱ）因为*12()n an n b b n N +-=∈，所以1212ab b -=，2322a b b -=，……112n a n n b b ---=．相加得 1121222n a aan b b --=+++=1323222n -+++ =12(41)3n -- ……………………13分即21213n n b -+=．19．解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为22221x y a b+=．因为焦距为c当点P 在短轴的顶点时，P 到F 1F 2的距离最大，所以此时△PF 1F 2的面积最大， 所以121222PF F S c b =⋅⋅= ，所以b = 因为2224a b c =+=， 所以24a =， 椭圆方程为22142x y +=． ……………………5分 （Ⅱ）依题意，直线l 的斜率存在，可设为k ，则直线l ：(1)y k x =-．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立22240(1)x y y k x ⎧+-=⎨=-⎩ 消y 得 2222(21)4240k x k x k +-+-=．显然0∆>，且 2122421k x x k +=+，21222421k x x k -=+．因为直线l 交y 轴于点N ，所以(0,)N k -．所以 11(1,)AM x y =-- ，11(,)NA x k y =+ ，且1NA AM λ=所以 1111x x λ=-，同理2221x x λ=-． 所以12121212121212()28111()3x x x x x x x x x x x x λλ+-+=+==----++. 即12λλ+为定值是83-. ……………………14分 20．解：（Ⅰ）因为()f x 与()g x 的图象在x 轴上有公共点(1，0)，所以(1)0g =，即0a b +=． 又因为1()f x x '=，2()bg x a x'=-， 由题意(1)(1)1f g ''==， 所以12a =，12b =-． ……………………4分 （Ⅱ）设11()()()ln ()22F x f x g x x x x=-=--， 则2211111()(1)0222F x x x x'=--=--<．所以()F x 在1x >时单调递减． 由(1)0F = 可得当1x >时，()F x <即()()f x g x <． ……………………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）得，11()ln 2x x x-> (1)x >． 令1k x k+=，则1111ln()212k k k k k k k++⎡⎤<-=+--=+⎢⎥+++⎣⎦， 所以111ln(1)ln ()21k k k k +-<++，1,2,3...,k n =． 将上述n 个不等式依次相加得 11111ln(1)(...)2232(1)n n n +<++++++， 所以111.23nn n nn ++++>++>++． ……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）小编推荐》》》2012年北京各区高三一模各科试题及答案汇总2012年北京各区高三二模各科试题及答案汇总2012年北京各区高三三模各科试题及答案汇总。