直线与平面垂直的性质(教案)

直线与平面垂直的判定(简略教案)一、教学目标1. 知识与技能：使学生能够准确理解直线与平面垂直的判定定理，并能熟练运用定理进行相关的几何推理和证明。

2. 过程与方法：通过实例分析、观察、归纳等方法，培养学生的几何直观和空间想象能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生学习几何的兴趣，培养学生的空间思维能力和逻辑推理能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点：直线与平面垂直的判定定理及其应用。

2. 教学难点：定理的理解和证明，以及定理在实际问题中的应用。

三、教学方法采用讲授法、演示法、讨论法等相结合的教学方法，注重学生的参与和互动，提高学生的主体地位。

四、教学过程1. 导入新课通过展示一些生活中直线与平面垂直的实例（如旗杆与地面、电线杆与地面等），引导学生观察并思考直线与平面垂直的特点，激发学生的学习兴趣。

2. 探究新知（1）引导学生回顾直线与直线垂直的定义和性质，为学习直线与平面垂直的判定定理做好铺垫。

（2）通过演示和讲解，使学生理解直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。

（3）通过实例分析，让学生感受定理的实用性和应用广泛性。

3. 巩固练习（1）给出一些简单的练习题，让学生运用定理进行证明和推理，加深对定理的理解和掌握。

（2）引导学生归纳和总结直线与平面垂直的判定方法，形成系统的知识体系。

4. 拓展延伸（1）引导学生思考直线与平面垂直的其他判定方法，如线面角、二面角等，拓宽学生的知识视野。

（2）通过一些实际问题（如建筑设计中垂直线的应用等），让学生感受直线与平面垂直在现实生活中的应用价值。

5. 课堂小结对本节课所学的知识进行回顾和总结，强调直线与平面垂直的判定定理的重要性和应用广泛性，并鼓励学生在课后进行进一步的探究和实践。

五、作业布置1. 完成课后练习题，巩固所学知识。

2. 搜集一些生活中直线与平面垂直的实例，并尝试用所学知识进行解释和证明。

6.2直线与平面垂直的判定定理一等奖创新教案《直线与平面垂直的判定》教学设计【设计思想】《数学课程标准》指出：学生的数学活动不应只限于接受、记忆、模仿、练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。

本节课一方面将通过身边的生活实例引导学生感知直线与平面垂直的概念及判定定理；另一方面通过动手操作体验知识的发生发展过程；第三方面通过引导探究、合作交流、练习巩固等途径使学生深化理解本节课所涉及的知识与方法，体会隐含的数学思想，进而优化学生的思维品质，提升学生的数学核心素养。

【教材分析】必修二第三章内容是立体几何初步，本章内容是培养学生直观想象、逻辑推理等核心素养的重要载体。

教材在本节之前编写的是《平行关系》，本节是《垂直关系的判定》第一节，这两部分内容的研究方法是非常相似的，所以在本节课教学中可引导学生进行类比学习。

教材中本节内容之后是《平面与平面垂直的判定》、《垂直关系的性质》，这两部分内容又是对本节课学习内容的应用。

从这个角度来说，本节内容起到一个承上启下的作用。

空间点线面的位置关系在生活中随处可见，适宜于学生通过实验操作亲身体验。

【学情分析】学生开始接触立体几何，空间想象能力、逻辑推理能力还比较弱。

因此，在本节课教学中，应注重依托对实物的观察，对身边实例的的分析，以及利用简单教具的操作演示，促使学生通过亲身体验理解“直线与平面垂直的概念、直线与平面垂直的判定定理”，逐步发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力。

定理的证明对学生而言难度较大可作为学生课外探究的素材，让一部分学有余力的学生得到提高。

【教学目标】1、通过实例分析初步感知直线与平面垂直的概念，通过类比推理，实验操作概括直线与平面垂直的判定定理；2、体会通过空间模型、实践操作、逻辑推理等方式研究立体几何的基本方法；3、发展学生“数学抽象、直观想象、逻辑推理”等数学核心素养，激发学生动手实践、自主探究的热情。

直线与平面垂直的性质教案教案要求：1. 学生年级：高中数学或几何学课程2. 课时：1课时3. 主题：直线与平面垂直的性质教学目标：1. 了解什么是直线与平面垂直的几何关系；2. 掌握直线与平面垂直的判定条件；3. 能够解答直线与平面垂直相关的数学问题。

教学准备：1. 平面几何教材；2. 黑板、白板或投影设备；3. 教学PPT或展示素材。

教学过程：1. 导入（5分钟）- 引入问题：什么是直线与平面垂直的几何关系？- 引导学生回顾直线与平面的定义，根据直观经验，直线与平面垂直表示什么意思？2. 探究（10分钟）- 提示学生思考：如何判定一条直线与一个平面垂直？- 引导学生尝试给出判定准则，并解释其原理。

- 让学生讨论并交流，引导他们总结判定直线与平面垂直的条件。

3. 讲解（15分钟）- 结合学生的讨论结果，给出判定直线与平面垂直的条件，并用几何公式或示意图进行解释。

- 强调判定条件的重要性并给出几个典型的示例。

4. 示例分析（10分钟）- 提供一些例题或实际问题，让学生运用所学的知识判定直线与平面之间的垂直关系。

- 引导学生分析和解答问题，让他们积极思考并应用所学知识。

5. 拓展应用（10分钟）- 提供一些更复杂或具有挑战性的问题，让学生应用所学知识解决。

- 引导学生思考解决问题的方法和步骤，并鼓励他们进行讨论和合作。

6. 小结（5分钟）- 总结本节课所学的内容和思考问题，并强调直线与平面垂直的判定条件。

- 提醒学生复习和巩固所学的知识，并鼓励他们提出对直线与平面垂直性质的理解和感悟。

教学延伸：如果时间允许，可以让学生进行实践活动或小组讨论，进一步探究直线与平面垂直性质的应用。

可以使用动画或虚拟现实技术来展示直线与平面垂直的几何关系，以增加学生的兴趣和参与度。

教学设计直线与平面垂直的判定一．教材分析直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的根底，是空间中垂直关系转化的重心，同时它又是直线和平面所成的角、直线与平面、平面与平面距离等内容的根底，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一。

二．学情分析学生已经学习了直线、平面平行的判定及性质，学习了两直线〔共面或异面〕互相垂直的位置关系，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论〞的体会，有了一定的空间想象能力、几何直观能力和推理论证能力。

三．教学目标根据新课标要求和和教学内容的构造特征，学生获得知识、技能、方法及情感、态度、价值观等方面的要求，结合学生的实际水平，制定本节课的教学目标如下：〔1〕使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；〔2〕使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；〔3〕引导学生学会观察、发现问题、提炼结论，使他们在直观感知，操作确认的根底上学会归纳、概括结论。

〔1〕通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；〔2〕通过学生动手实践，亲身经历数学知识的形成过程，体验探究的乐趣，增强学习数学的兴趣。

培养学生学会从“感性认识〞到“理性认识〞过程中获取新知。

培养学生认真参与积极交流的主观意识；勇于探索新知的精神。

渗透由具体到抽象的思想及事物间相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。

四．教学重点、难点依据新课标要求及本节课在高中数学中的地位和作用确定以下重点和难点教学重点：直线与平面垂直的定义和判定定理。

教学难点：直线与平面垂直定义的正确理解；判定定理的探究和线线垂直与线面垂直关系的灵活相互转化。

五．教法和学法教法：讲授法；探究法；多媒体辅助教学法。

学法：本节课注重让学生认真观察分析、积极思考、主动探索、合作交流，尽可能增加学生参与课堂的时间；通过练习使学生稳固知识，熟练应用知识解决简单问题。

六．教学环境和教学用具教学环境：多媒体教室；教学用具：利用计算机多媒体课件辅助教学，黑板、三角板，自制三角形纸片，正方体模型，课本〔表示平面、书脊表示直线〕。

教案（2）如图，已知直线a ，b 和平面α. 如果a ⊥α， b ⊥α，那么直线a 与b 一定平行吗？直观观察，这两个问题中的直线都是相互平行.不失一般性，我们以问题（2）为例加以证明. 由于无法把两条直线a ，b 归入到一个平面内，所以无法应用平行直线的判定知识，也无法应用基本事实4（即平行于同一条直线的两条直线平行），在这种情况下我们采用一种特殊的证明方法，叫做“反证法”. 证明：如图，假设b 与a 不平行，且b ∩α于点O .显然点O 不在直线a 上，所以点O 与直线a 可以确定一个平面， 在该平面内过点O 做直线//b a '，则直线b 与b ' 是相交于点O 的两条不同直线， 所以直线 b 与 b ' 可以确定一个平面β. 设αβ=c ，则点O 在直线c 上. 因为a ⊥α，b ⊥α， 所以a ⊥c ，b ⊥c.又因为//b a '，所以 b c '⊥.这样在平面 β 内，经过直线c 上同一点O 就有两条直线b ，b '与c 垂直，这显然不可能.所以假设不成立，因此b // a . 证明完毕.上述证明过程就是反证法，它的基本证明流程是：首先假设命题不成立，然后推导出矛盾，说明假设不成立，进而得出命题成立.反证法是间接论证的方法之一，也称为“逆证”. 它是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证比较困难时，用反证法会收到更好的效果.同学们，你们还有不同的证明方法吗？让我们看一看，从另一个角度如何证明：方法2 如图，假设b 与a 不平行，且b ∩α于点O ，显然点O 不在直线a 上， 所以点O 与直线a 可以确定一个平面β， 在β内过点O 做直线//b a '，则b α'⊥，因为b ⊥α，且直线b '与b 相交于点O ， 这与过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条矛盾. 所以假设不成立，因此b // a. 证明完毕. 通过问题（2）的证明，同学们，你能否总结一下，垂直于同一个平面的两条直线，具有怎样的位置关系呢？ 直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行. 同学们，你能用图形语言和符号语言，表示定理的内容吗？ 图形表示和符号表示： //.a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭ 直线与平面垂直的性质定理告诉我们，可以由两条 直线与一个平面垂直，判定这两条直线互相平行. 它揭 示了“平行”与“垂直”之间的内在联系.巩固练习（一）：1、直线l1，l2互相平行的一个充分条件是（）（A）l1，l2都平行于同一个平面；（B）l1，l2与同一个平面所成的角相等；（C）l1，l2都垂直于同一个平面；（D）l1平行于l2所在的平面.2、两条异面直线与同一平面所成的角，不可能是（）（A）两个角均为锐角（B）一个角为0°，一个角为90°（C）两个角均为0°（D）两个角均为90°3、如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，EF⊥平面ABCD，且EF=12PD，G，H分别为PC，DC中点. 求证：FG//平面ABCD.请同学们回忆一下，空间中直线与平面的位置关系有哪些呢？三种位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行.思考：在aα⊥的条件下，如果平面α外的直线b与直线a垂直，你能得到什么结论呢？证明：因为直线b在平面α外，所以假设b与α相交.若b⊥α ，因a⊥α，由线面垂直性质定理，则有a // b，这与已知a ⊥b 矛盾；若b 与α不垂直，设b A α= 取直线b 上一点P ，作PO ⊥α ，垂足为O ．连接AO ，则有PO //a ，且PO ⊥AO ．又因为a ⊥b ，所以PO 垂直b ，显然不成立. 综上，假设不成立，所以b // α.我们可以把结论这样描述：已知a ⊥α ，若b ⊄α ，且b ⊥a ，则b //α. 这样我们又得到一个判断直线与平面平行的方法.如果平面β与平面α平行，你又能得到什么结论呢？证明：在平面α内任取两条相交直线m ，n .⊥α//β，⊥m //β，n //β. 由线面平行性质，⊥在平面β内存在两条相交直线m n ''，，分别与m ，n 平行.⊥a ⊥α，⊥a ⊥m 且a ⊥n .⊥a m a n ''⊥⊥，.又 m n ''，是平面β内两条相交直线， ⊥a ⊥β.我们可以把结论这样描述：已知a ⊥α ，若β//α ，则a ⊥β.这样我们又得到一个判断直线与平面垂直的方法.上述两个问题，不仅呈现出线面垂直的性质，而且还体现了，“平行”与“垂直”之间可以进行相互转化，同学们要认真思考，可以尝试着提出更多的问题，发现更多的结论.例题： 如图，直线 l 平行于平面α，求证：直线l 上各点到平面α的距离相等.分析：要证明直线l 上各点到平面α的距离都相等，只需证明直线l 上任意两个点，到平面α的距离相等，具体证明如下：证明：过直线l 上任意两点A ，B 分别作平面α的垂线AA 1，BB 1，垂足分别为A 1，B 1.11,AA BB αα⊥⊥，11//AA BB ∴，于是直线AA 1，BB 1确定一个平面. 设直线AA 1，BB 1确定的平面为11,A B ββα=11//,//l l A B α∴ ，所以四边形AA 1B 1B 是矩形. 11AA BB ∴= 由A ，B 是直线l 上任取的两点，可知直线l 上各点到平面α的距离相等.当一条直线与一个平面平行时，直线上所有点到平面的距离都相等，此时，我们把这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.当两个平面平行时，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.随堂检测：如图，已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =2，BC=CC 1=1.（1）直线A 1B 1到平面ABCD 的距离为多少？ （2）直线A 1A 到平面BCC 1B 1的距离为多少？ （3）直线CC 1到平面BDD 1B 1的距离为多少？（4）若E 为A 1B 1中点，判断直线A 1C 与平面BEC 1是否平行，若平行，求出直线A 1C 到平面BEC 1的距离；若不平行，请说明理由. 通过这几个题目，我们不难看出，在研究直线到平面的距离时，一般都转化成求点到平面的距离. 同学们在解题时要有这种转化意识. 同学们请想一想，前面我们学习过棱柱、棱台，在它们的体积公式中，哪个量代表着上、下底面间的距离呢？ 棱柱、棱台的高是它们上、下底面间的距离. 例题 推导棱台的体积公式: 1().3V h S S S S ''=++棱台其中S '，S 分别是棱台的上、下底面面积，h 是高. 棱台可看作由某个棱锥截得，所以我们先计算“截得棱台的棱锥的体积”，再减“去掉的棱锥的体积”，进而得到棱台的体积. 具体过程如下： 如图，延长棱台各侧棱交于点P ，得到截得棱台的棱锥.过点P 作棱台的下底面的垂线，分别与棱台的上、4、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C中点，MN⊥平面A1DC. 求证：MN//AD1.证明直线与直线平行，常用的几种方法：（1）平行公理；（2）线面平行性质定理；（3）线面垂直性质定理；（4）面面平行性质定理；5、如图，已知平面α∩平面β=l，EA⊥α ，垂足为A，EB⊥ β ，直线a β ，a⊥AB. 求证：a//l.小结：作业1如图，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=2DC，F是EB的中点，求证：DF//平面ABC.作业2我们已经研究了空间直线与直线、直线与平面的垂直问题，接下来你还想研究什么问题？怎样去研究呢？【课后作业参考答案】证明：取AB中点G，连接FG，CG.∵F是EB的中点，∴FG//AE，且FG=12 EA.∵EA和DC都垂直于平面ABC，由线面垂直性质定理∴EA//DC，且EA=2DC.∴FG//DC，且FG=DC.∴四边形CDFG为平行四边形.∴DF//CG.又∵DF⊄平面ABC，CG⊂平面ABC，∴DF//平面ABC.。

直线与平面垂直的性质学习目标：探究直线与平面垂直的性质定理，培养学生的空间想象能力; 掌握性质定理的应用，提高逻辑推理能力。

重点、难点：直线与平面垂直的性质定理及其应用知识储备（判断正误）（1）已知平面a,点A 和直线m 在a 内，过点A 作直线m 的垂线只能作一条。

（）⑵已知直线a 在平面a 内，直线m 不在a 内，若m 丄a,贝!j m 丄a 。

（）二. 猜想、论证 1 •注意观察下图，在长方体ABCD —AECD 中，棱AA 】、BB 】、CC 】、DD 】与平面ABCD 是 .各侧棱之间是 。

4.思考：通过上题的证明你能得出什么结论?三、归纳直线与平面垂直的性质定理 定理：（文字语言）（图形）（符号语言）四、直线与平面垂直的性质的应用（一）判断下列命题的正误。

1 •平行于同一直线的两条直线互相平行（）2•垂直于同一直线的两条直线互相平行（）3 •平行于同一平面的两条直线互相平行（）2•如果有两条、三条或更多直线 垂直于一个平面，则这些直线 之间会有怎样的位置关系?3.如图，已知直线a, b 和平面a A B站色如果a 丄a ,4•垂直于同一平面的两条直线互相平行()A1个B2个 C3个 D4个(三) 证明 1.如图,m,斤是两条相交直线，1、,厶是与加，〃都垂直的两条直线, 且直线/与厶，厶都相交.求证：Z1=Z2求证：a I II五、通过本节学习，你有什么收获？1直线与平面垂直的性质定理：2反证法的证明思路：反设一归谬一结论3数学思想方法：转化法空间问题平面化(二) 如果直线/丄平面66 ⑴若直线加丄则加/仏 ⑶若直线加Ila,则加丄/. 其中正确的有几个(2)若直线zn u a,贝I"丄m.(4)若直线加丄/,则加Ila.C B 丄0, A, B 是垂足0,且 a Cl /3 = I, C A 丄 a, a cz a . a 丄 A Br直线与平面垂直的性质教学反思教师是学生学习的组织者、促进者、合作者；在本节的备课和教学过程中，为学生的动手实践、自主探索与合作交流提供机会，搭建平台，鼓励学生提出自己的见解，学会提出问题，尊重学生的个人感受和独特见解。

2.3（3）直线与平面垂直的判定及其性质（教学设计）2.3.3直线与平面垂直的性质院 2.3.4平面与平面垂直的性质一、教学目标1、知识与技能（1）掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；（2）能运用性质定理解决一些简单问题；（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系.2、过程与方法（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；（2）经历面面垂直到线面垂直再到线线垂直的思维过程.3、情感、态度与价值观通过“直观感知、操作确认，推理证明”，形成空间思维意识,会用图形和符号表达空间图形，体验数学的应用价值.二、教学重点、难点重点：线面垂直和面面垂直的性质定理的证明及应用.难点：线面垂直和面面垂直的两个性质定理的应用.三、教学方法与教学用具（1）教学方法：直观感知、操作确认，猜想与证明.（2）教学用具：长方体模型四、教学设计（一）复习回顾1、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

2、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

（二）创设情景，导入新课设问：若一条直线与一个平面垂直，则可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？（三）师生互动，新课讲解1、思考引出线面垂直的性质定理思考1：观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间是有什么位置关系？思考2：已知直线a ⊥α 、b ⊥α、那么直线a 、b 一定平行吗？（一定）我们能否证明这一事实的正确性呢？证明:假定b 不平行于a,设O b =⋂α, b ’是经过点O 的两直线a 平行的直线.a ∥b ’, a α⊥,∴ b ’ α⊥即经过同一点O 的两直线b ,b ’都与α垂直,这是不可能的,因此b ∥a.定理 垂直于同一个平面的两条直线平行。

1.6空间中的垂直关系（优质课）教案教学目标：理解空间中三种垂直关系的定义；掌握空间中三种垂直关系判定及性质；用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决垂直问题．教学过程：一、直线与平面垂直1.如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互垂直．2.如果一条直线(AB)和一个平面(α)相交于点O，并且和这个平面内过点O的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作AB⊥α，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足．垂线上任一点到垂足间的线段，叫做这点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到平面的距离3.直线和平面垂直的判定4.(1)判定定理：如果一条直线和一个平面内的任何两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．符号语言：l⊥a，l⊥b，a∩b＝A，a⊂α，b⊂α⇒l⊥α，如图：(2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．符号语言：a∥b，a⊥α⇒b⊥α，如图：5．直线与平面垂直的性质(1)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b，如图：(2)一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．符号语言：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b，如图：6．设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB中点．(2)若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心．(3)若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC的内心．7．(1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．二、直线和平面平行1．平面与平面垂直的定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．平面α、β互相垂直，记作α⊥β.2．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．符号表示：a⊥α，a⊂β⇒α⊥β，如图：3．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面．符号表示：α⊥β，α∩β＝CD，BA⊂α，BA⊥CD，B为垂足⇒BA⊥β，如图：推论：如果两个平面垂直，那么过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．类型一线面垂直例1：如图，直角△ABC 所在平面外一点S ，且SA ＝SB ＝SC ，点D 为斜边AC 的中点． (1)求证：SD ⊥平面ABC ；(2)若AB ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC.解析：由于D 是AC 中点，SA ＝SC ，∴SD 是△SAC 的高，连接BD ，可证△SDB ≌△SDA .由AB ＝BC ，则Rt △ABC 是等腰直角三角形，则BD ⊥AC ，利用线面垂直的判定定理即可得证． 答案：(1)∵SA ＝SC ，D 为AC 的中点， ∴SD ⊥AC .在Rt △ABC 中，连接BD ，则AD ＝DC ＝BD ，又∵SB ＝SA ，SD ＝SD ， ∴△ADS ≌△BDS .∴SD ⊥BD .又AC ∩BD ＝D ， ∴SD ⊥面ABC .(2)∵BA ＝BC ，D 为AC 中点，∴BD ⊥AC . 又由(1)知SD ⊥面ABC ，∴SD ⊥BD .于是BD 垂直于平面SAC 内的两条相交直线， ∴BD ⊥平面SAC . 练习1：((2014·河南南阳一中高一月考)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中， 底面ABCD 是矩形，侧棱P A ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PC 的中点， P A ＝AD .求证：EF ⊥平面PCD .答案：如图，取PD 的中点H ，连接AH 、HF .∴FH12CD ， ∴FH AE ，∴四边形AEFH 是平行四边形，∴AH ∥EF . ∵底面ABCD 是矩形，∴CD ⊥AD . 又∵PA ⊥底面ABCD ， ∴PA ⊥CD ，PA ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD .又∵AH ⊂平面PAD ，∴CD ⊥AH .又∵PA ＝AD ，∴AH ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ， ∴AH ⊥平面PCD ，又∵AH ∥EF ，∴EF ⊥平面PCD .练习2：如右图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1DD 的中点，O 为ABCD 的中心， 求证：1B O ⊥平面PAC 答案：连结111,,PO PB B D ,OP D 1C 1B 1A 1D CA由正方体的性质可知，1,AC BD AC BB ⊥⊥,且1BD BB B =∴AC ⊥面11BDD B 又∵BO ⊂面11BDD B ∴1B O AC ⊥ 设AB a =，则11121,2,2OB OD a B D a PD PD a ===== ∵2222222222221113113,22424OB OB BB a a a OP PD DO a a a =+=+==+=+= 222222111119244PB B D PD a a a =+=+=∴2221OB PO PB += ∴1B O PO ⊥ ∵PO AC O =∴1B O ⊥平面PAC练习3：在如右图，在空间四边形ABCD 中，,AB AD BC CD ==, 求证：AC BD ⊥答案：设E 为BD 的中点，连结,AE EC∵AB AD = ∴BD AE ⊥ 同理可证：BD EC ⊥ 又∵AEEC E = ∴BD ⊥面AEC∵AE ⊂面AEC ∴BD AC ⊥例2：如图在△ABC 中，∠B ＝90°，SA ⊥平面ABC ， 点A 在SB 和SC 上的射影分别是N 、M ，求证：MN ⊥SC . 解析：根据直线平面垂直的性质，找到所求垂直的线段中的 一条与另一条所在的平面垂直，即可证明这两条线段互相垂直． 答案：证明：∵SA ⊥平面ABC ， ∴SA ⊥BC ，又∠ABC ＝90°， ∴BC ⊥AB ，∴BC ⊥平面SAB ， ∴AN ⊥BC ，又AN ⊥SB ，∴AN ⊥平面SBC ， ∴AN ⊥SC ，又AM ⊥SC ， ∴SC ⊥平面AMN ， ∴MN ⊥SC .练习1：如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为A 1D 、AC 上的点，且EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .求证：EF ∥BD 1. 答案：如图所示，连接A 1C 1、C 1D 、BD 、B 1D 1. 由于AC ∥A 1C 1，EF ⊥AC ，∴EF ⊥A 1C 1. 又EF ⊥A 1D ，A 1D ∩A 1C 1＝A 1， ∴EF ⊥平面A 1C 1D .①E ABCD∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴BB 1⊥A 1C 1.又∵四边形A 1B 1C 1D 1为正方形，∴A 1C 1⊥B 1D 1. ∵BB 1∩B 1D 1＝B 1，∴A 1C 1⊥平面BB 1D 1D . 而BD 1⊂平面BB 1D 1D ，∴BD 1⊥A 1C 1. 同理，DC 1⊥BD 1，DC 1∩A 1C 1＝C 1， ∴BD 1⊥平面A 1C 1D .②由①②可知EF ∥BD 1.练习2：在空间中，下列命题：①平行于同一条直线的两条直线平行；②垂直与同一直线的两条直线平行；③平行与同一平面的两条直线平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的由___ ． 答案：①④练习3：已知,,a b c 及平面β，则下列命题正确的是（ ）A 、////a a b b ββ⎫⇒⎬⊂⎭B 、a a b b ββ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭C 、//a c a b b c ⊥⎫⇒⎬⊥⎭D 、//a a b b ββ⊂⎫⇒⎬⊂⎭ 答案：B例3：如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ， ∠ABC ＝90°，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.求证：BD ⊥平面PAC .解析：通过计算得到直角，进而得到垂直． 答案：∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PA .∵∠BAD 和∠ABC 都是直角，∴tan ∠ABD ＝AD AB ＝33，tan ∠BAC ＝BCAB＝3， ∴∠ABD ＝30°，∠BAC ＝60°.∴∠AEB ＝90°，即BD ⊥AC ， 又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC .练习1：在正方体中ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点， O 为底面ABCD 的中心．求证：B 1O ⊥平面PAC . 答案：如图所示，连接AB 1、CB 1、B 1D 1、PB 1、PO .设AB ＝a ，则AB 1＝CB 1＝B 1D 1＝2a ，AO ＝OC ＝22a ， ∴B 1O ⊥AC .∵B 1O 2＝OB 2＋BB 21＝⎝⎛⎭⎪⎫22a 2＋a 2＝32a 2，PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋(2a )2＝94a 2，OP 2＝PD 2＋DO 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋⎝⎛⎭⎪⎫22a 2＝34a 2，∴B 1O 2＋OP 2＝PB 21，∴B 1O ⊥OP . 又PO ∩AC ＝O ，∴B 1O ⊥平面PAC .练习2: 如图，若测得旗杆PO ＝4，P A ＝PB ＝5，OA ＝OB ＝3，则旗杆PO 和地面α的关系是________．答案：∵PO ＝4，OA ＝OB ＝3，P A ＝PB ＝5，∴PO 2＋AO 2＝P A 2，PO 2＋OB 2＝PB 2， ∴PO ⊥OA ，PO ⊥OB .又OA ∩OB ＝O ，∴PO ⊥平面AOB ，∴PO ⊥地面α.类型二 平面与平面垂直例4：(2014·山东临沂高一期末测试)如图，在底面为正三角形的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 是BC的中点，求证：平面AC 1D ⊥平面BCC 1B 1. 解析：运用平面垂直的判定．答案：∵△ABC 为正三角形，D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC .又∵CC 1⊥底面ABC ，AD ⊂平面ABC ， ∴CC 1⊥AD .又BC ∩CC 1＝C ， ∴AD ⊥平面BCC 1B 1. 又AD ⊂平面AC 1D ，∴平面AC 1D ⊥平面BCC 1B 1.练习1：三棱锥S －ABC 中，∠BSC ＝90°，∠ASB ＝60°，∠ASC ＝60°，SA ＝SB ＝SC . 求证：平面ABC ⊥平面SBC .答案：解法一：取BC 的中点D ，连接AD 、SD .由题意知△ASB 与△ASC 是等边三角形，则AB ＝AC . ∴AD ⊥BC ，SD ⊥BC .令SA ＝a ，在△SBC 中，SD ＝22a ， 又∵AD ＝AC 2－CD 2＝22a ，∴AD 2＋SD 2＝SA 2. 即AD ⊥SD .又∵AD ⊥BC ，∴AD ⊥平面SBC . ∵AD ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面SBC .解法二：∵SA ＝SB ＝SC ＝a ， 又∵∠ASB ＝∠ASC ＝60°，∴△ASB 、△ASC 都是等边三角形． ∴AB ＝AC ＝a .作AD ⊥平面SBC 于点D ，∵AB ＝AC ＝AS ，∴D 为△SBC 的外心． 又∵△BSC 是以BC 为斜边的直角三角形， ∴D 为BC 的中点，故AD ⊂平面ABC . ∴平面ABC ⊥平面SBC .练习2：如右图,在四面体ABCD 中，2,BD a AB AD CB CD a =====．求证：平面ABD ⊥平面BCD ． 答案：取BD 的中点E ，连结,AE EC∵AB AD = ∴AE BD ⊥ 同理CE BD ⊥ 在△ABD 中，12,2AB a BE BD a === ∴2222AE AB BE a =-=同理22CE a = 在△AEC 中，2,2AE CE a AC a === ∴222AC AE CE =+ ∴AE CE ⊥ ∵BDCE E = ∴AE ⊥平面BCD ∵AE ⊂平面ABD ∴平面ABD ⊥平面BCD练习3：空间四边形ABCD 中，若,AD BC BD AD ⊥⊥，那么有（ ） A 、平面ABC ⊥平面ADC B 、平面ABC ⊥平面ADBC 、平面ABC ⊥平面DBCD 、平面ADC ⊥平面DBC 答案：D例5：已知P 是△ABC 所在平面外的一点，且P A ⊥平面ABC ，平面P AC ⊥平面PBC ，求证：BC ⊥AC .解析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条放入一平面中，使另一条直线与该平面垂直，即由线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到：面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直． 答案：如图，在平面P AC 内作AD ⊥PC 于点D ，∵平面P AC ⊥平面PBC ，AD ⊂平面P AC ，且AD ⊥PC ， ∴AD ⊥平面PBC ，又BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC .∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴P A ⊥BC ，∵AD ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ， 又AC ⊂平面P AC ，∴BC ⊥AC .练习1：已知三棱锥P －ABC 中，侧面PAC 与底面ABC 垂直，PA ＝PB ＝PC . (1)求证：AB ⊥BC ；(2)若AB ＝BC ，过点A 作AF ⊥PB 于点F ，连接CF ，求证：平面PBD ⊥平面AFC . 答案：如图所示：(1)取AC 的中点D ，连接PD 、BD ， ∵PA ＝PC ，∴PD ⊥AC ，又平面PAC ⊥平面ABC ，且平面PAC ∩平面ABC ＝AC ， ∴PD ⊥平面ABC ，D 为垂足． ∵PA ＝PB ＝PC ， ∴DA ＝DB ＝DC ，∴AC 为△ABC 的外接圆的直径，故AB ⊥BC . (2)∵PA ＝PC ，AB ＝BC ，PB ＝PB ， ∴△ABP ≌△CBP .ABCDE∵AF⊥PB，∴CF⊥PB，又AF∩CF＝F，∴PB⊥平面AFC，又PB⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面AFC.练习2：已知平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，如图所示．求证：P A⊥平面ABC.答案：如图所示，在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G，∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∴DF⊥平面PAC，又∵PA⊂平面PAC，∴PA⊥DF，同理可证：DG⊥PA，∵DF∩DG＝D，且DF⊂平面ABC，DG⊂平面ABC，∴PA⊥平面ABC.1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( ) A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定答案：B2．若一条直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l与α的关系是( )A．平行B．相交C．垂直D．不确定答案：D3．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列四个命题：①α∥β，l⊄β⇒l⊥m②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α∥β其中正确的两个命题是( )A．①②B．③④C．②④D．①③答案：D4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案：D5．若有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α答案：D6. Rt △ABC 所在平面α外一点P 到直角顶点的距离为24，到两直角边的距离都是610，那么点P 到平面α的距离等于__________．答案： 12_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．不能确定 答案：B2．直线a ⊥直线b ，a ⊥平面β，则b 与β的位置关系是( )A ．b ⊥βB ．b ∥βC ．b ⊂βD ．b ⊂β或b ∥β 答案：D 3．下列命题①⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b ； ②⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ∥b ⇒b ⊥α； ③⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ∥α⇒a ⊥b; ④⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥ba ⊥b b ⊂αc ⊂α⇒a ⊥α； ⑤⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b ⇒b ⊥α； ⑥⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥a ⇒b ∥α. 其中正确命题的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：A4.．若平面α∥平面β，直线a ⊂α，直线b ⊂β，那么a 、b 的位置关系是( )A ．无公共点B ．平行C ．既不平行也不相交D ．相交答案：A5．直线a 与平面α内的两条直线都垂直，则a 与α的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．a 在平面α内D ．不确定 答案：D6．若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a 垂直于平面β内的一条直线b ，则( )A ．直线a 必垂直于平面βB ．直线b 必垂直于平面αC ．直线a 不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直答案：C7．长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系为____________________．答案：MN⊥AB8．如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的面对角线A1B⊥B1C，求证B1C⊥C1A.答案：如图所示，连接A1C，交AC1于点D，则点D是A1C的中点．取BC的中点N，连接AN、DN，则DN∥A1B.又A1B⊥B1C，∴B1C⊥DN.又△ABC是正三角形，∴AN⊥BC.又平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABCD∩平面BB1C1C＝BC，AN⊂平面ABC，∴AN⊥平面BB1C1C.又B1C⊂平面BB1C1C，∴B1C⊥AN.又AN⊂平面AND，DN⊂平面AND，AN∩DN＝N，∴B1C⊥平面AND.又C1A⊂平面AND，∴B1C⊥AC1.能力提升9．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面()A．有且只有一个B．至多有一个C．有无数多个D．一定不存在答案：B10.已知三棱锥S－ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC＝2r，则球的体积与三棱锥体积之比是()A．πB．2πC．3πD．4π答案：D11. (2014·浙江文，6)设m，n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面()A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α答案：C12.已知平面ABC外一点P，且PH⊥平面ABC于H.给出下列4个命题：①若P A⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；②若P A、PB、PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；③若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则P A＝PB＝PC；④若P A＝PB＝PC，则H是△ABC的外心．其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4答案：D13. 平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹为________．(填直线、圆、其它曲线)答案：直线14. 如图所示，已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a ，P A ⊥平面ABCD ，若在BC 上只有一个点Q 满足PQ ⊥QD ，则a 的值等于________．答案：215. 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD .底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________________时，平面MBD ⊥平面PCD .(注：只要填写一个你认为正确的即可)答案：BM ⊥PC （其它合理答案亦可）16. 如图所示，△ABC 为正三角形，CE ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝AC ＝2BD ，M 是AE 的中点．(1)求证：DE ＝DA ；(2)求证：平面BDM ⊥平面ECA ；(3)求证：平面DEA ⊥平面ECA .答案：(1)取EC 的中点F ，连接DF .∵CE ⊥平面ABC ，∴CE ⊥BC .易知DF ∥BC ，∴CE ⊥DF .∵BD ∥CE ，∴BD ⊥平面ABC .在Rt △EFD 和Rt △DBA 中，EF ＝12CE ＝DB ，DF ＝BC ＝AB ， ∴Rt △EFD ≌Rt △DBA .故DE ＝DA .(2)取AC 的中点N ，连接MN 、BN ，则MN CF .∵BD CF ，∴MN BD ，∴N ∈平面BDM .∵EC ⊥平面ABC ，∴EC ⊥BN .又∵AC ⊥BN ，EC ∩AC ＝C ，∴BN ⊥平面ECA .又∵BN ⊂平面BDM ，∴平面BDM ⊥平面ECA .(3)∵DM ∥BN ，BN ⊥平面ECA ，∴DM ⊥平面ECA .又∵DM ⊂平面DEA ，∴平面DEA ⊥平面ECA .。

直线与平面垂直的判定（一）教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修2课题：2.3.1直线与平面垂直的判定（一）一、教学目标1.知识与技能：借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义。

2.过程与方法：通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。

3.情感态度与价值观：让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，从问题解决过程中认识事物发展，变化规律，多角度分析，思考问题，培养学生的创新精神。

二、教学重点、难点1.教学重点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。

2.教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。

三、课前准备1.教师准备：教学课件2.学生自备：三角形纸片、铁丝（代表直线）、纸板（代表平面）、三角板四、教学过程设计1.直线与平面垂直定义的建构（1）创设情境①请同学们观察图片，说出旗杆与地面、高楼的侧棱与地面的位置有什么关系？②请把自己的数学书打开直立在桌面上，观察书脊与桌面的位置有什么关系？③请将①中旗杆与地面的位置关系画出相应的几何图形。

（2）观察归纳①思考：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？ ②多媒体演示：旗杆与它在地面上影子的位置变化。

③归纳出直线与平面垂直的定义及相关概念。

定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作：l ⊥α.直线 l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足。

用符号语言表示为：（3）辨析（完成下列练习）：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直。

②若a ⊥α,b ⊂α，则a ⊥b 。

在创设情境中，学生练习本上画图，教师针对学生出现的问题，如不直观、不标字母等加以强调，并指出这就叫直线与平面垂直，引出课题。

中等专业学校2023-2024-1教案编号：备课组别数学组课程名称数学所在年级二年级主备教师授课教师授课系部授课班级授课日期课题 4.3.2 直线与平面垂直教学目标1.知道直线与平面垂直的定义、判定与性质定理2.能根据定义或判定定理来证明直线与平面垂直重点直线与平面垂直的判定定理难点直线与平面垂直的性质定理教法数形结合，实物演示，讲练结合教学设备多媒体教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容一、情境导入某型号无人机如图所示，其每根螺旋桨(如BC)与旋转轴 AB 均垂直，垂足是B.设螺旋桨旋转时构成的平面为α，显然，无人机的每根螺旋桨都在平面α内.试问，平面α与旋轴AB之间有怎样的位置关系？二、探索新知1.直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面互相垂直.这条直线称为这个平面的垂线，这个平面称为这条直线的垂面，直线与平面的交点称为垂足.直线l与平面α垂直记作l ⊥α.教学内容2.直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的判定定理如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直.如图所示，若m、n是平面α内的两条相交直线，且直线l⊥m，l⊥n，则l⊥α.例4 四个面都是正三角形的四面体称为正四面体.已知正四面体ABCD，如图所示.求证：BD⊥AC.证明设BD的中点为O，连接AO、CO.因为正四面体ABCD的四个面都是正三角形，所以AO⊥BD，CO ⊥BD.又AO∩CO=O，且AO、CO⊆平面AOC，故BD⊥平面AOC.根据直线与平面垂直的定义，由AC⊆平面AOC，可知BD⊥AC.例 5 证明: 如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.已知: m∥n，m⊥α，如图所示.求证: n⊥α.教学内容证明在平面α内任取两条相交直线c和d，因为m ⊥α,c⊆α，d⊆α，所以m⊥c，m⊥d. 又m∥n，故n ⊥c，n⊥d，根据直线与平面垂直的判定定理，由c与d 相交，n⊥α.3.直线与平面垂直的性质定理直线与平面垂直的性质定理如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.例6 如图所示，已知一条直线l和平面α平行，过直线l上任意两点A、B分别引平面α的垂线AA'、BB'，垂足分别为A'、B'. 求证: AA'=BB'.证明因为AA'⊥α，BB'⊥α，所以AA'∥BB'.设经过直线AA'、BB'的平面为β，则β∩α=A'B'.由l∥α，可知l∥A'B' ，因此四边形AA'B'B为平行四边形，所以AA'=BB'.巩固练习1.判断下列命题的真假.(1)如果直线m垂直于平面α内的无数条直线，那么m⊥α；(2)如果l⊥m，且m⊆α，n⊆α，那么l⊥α；(3)如果l⊥α，m⊥α，那么l⊥m.教学内容2.已知如图，PO⊥α，垂直为O，P A∩α=A，m⊆α，且m⊥OA.求证: m⊥P A.3.如果l⊥α，m//α，求证: l⊥m.4.己知线段AB、CD位于平面α的同侧，AB⊥α，DC⊥α，垂足分别为B、C，AB=DC.求证: AD=BC.5.某中职学校建设新校区时，修建了升旗台，用于开展爱国主义教育活动.技术人员在安装旗杆时，要保证旗杆与地面垂直.请你帮忙设计一个方案以确保旗杆与地面垂直.课堂小结板书设计教后札记。