直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质

教学过程在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.规律方法证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.【训练1】(2013·江西卷改编)教学效果分析教学过程如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.证明：BE⊥平面BB1C1C.考点二平面与平面垂直的判定与性质【例2】(2014·深圳一模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝AA1，且AC＝2BC，点D是AB的中点．证明：平面ABC1⊥平面B1CD.规律方法证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也教学效果分析教学过程可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键．【训练2】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.考点三平行、垂直关系的综合问题教学效果分析教学过程【例3】(2013·山东卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥P A，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面P AD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.规律方法线面关系与面面关系的证明离不开判定定理和性质定理，而形成结论的“证据链”依然是通过挖掘题目已知条件来实现的，如图形固有的位置关系、中点形成的三角形的中位线等，都为论证提供了丰富的素材．【训练3】(2013·辽宁卷)如图，AB是圆O的直径，P A垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面P AC；(2)设Q为P A的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.教学效果分析1．转化思想：垂直关系的转化2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．创新突破6——求解立体几何中的探索性问题【典例】(2012·北京卷)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．[反思感悟] (1)解决探索性问题一般先假设其存在，把这个假设作已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算，在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在，如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．(2)在处理空间折叠问题中，要注意平面图形与空间图形在折叠前后的相互位置关系与长度关系等，关键是点、线、面位置关系的转化与平面几何知识的应用，注意平面几何与立体几何中相关知识点的异同，盲目套用容易导致错误．【自主体验】(2014·韶关模拟)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AD＝CD＝12AB＝2，点E为AC中点，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2.(1)求证：DA⊥BC；(2)在CD上找一点F，使AD∥平面EFB.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b 在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的________条件．2．(2014·绍兴调研)设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列正确命题的序号是________．①若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α；②若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥α；③若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α；④若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β.3.如图，AB是圆O的直径，P A垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任一点，则图形中有________对线面垂直．4．若M是线段AB的中点，A，B到平面α的距离分别是4 cm，6 cm，则M到平面α的距离为________．5．(2014·郑州模拟)已知平面α，β，γ和直线l，m，且l⊥m，α⊥γ，α∩γ＝m，β∩γ＝l，给出下列四个结论：①β⊥γ；②l⊥α；③m⊥β；④α⊥β.其中正确的是________．6.如图，在四棱锥P ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)7．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．8.如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．二、解答题9．(2013·北京卷)如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.10．(2013·泉州模拟)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(1)求证：B1D1∥平面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线______上．2.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为________．①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC＝BD；④异面直线PM与BD所成的角为45°.3．(2013·南通二模)如图，已知六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．二、解答题4．(2014·北京西城一模)。

空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。

推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。

2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。

两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。

推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。

一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。

直线、平面垂直与平面，平面垂直的判定及其性质类型1线面垂直的判定［要点点击］对直线与平面垂直的几点说明(1) 直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式.(2) 由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线.这是判断两条直线垂直的一种重要方法.［典例1］如图，在四棱锥P— ABC西，底面ABC的菱形，P任PG P申PD ACT BD=0求证：(1) PCX平面ABCD(2) ACX平面PBD［巧归纳］证明线面垂直的步骤(1) 在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直;(2) 确定这个平面内的两条直线是相交的直线；(3) 根据判定定理得出结论.［练习1］如图所示，空间四边形ABCD勺边BO AC AA BD作BA CD垂足为E, 作A电BE垂足为H求证：A电平面BCD类型2直线与平面所成的角［要点点击］对斜线和平面所成的角的定义的理解斜线和平面所成的角的定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的角.［典例2］如图，三棱锥A— SBC中，Z BS& 90° , Z ASE^ Z ASO60° , S任SB=SC求直线AS与平面SBC听成的角.［巧归纳］求直线和平面所成角的步骤(1) 寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;(2) 连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角;(3) 把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.［练习2］如图所示，已知正四面体(各棱长都相等的三棱锥)A— BCD勺棱长为a, E为AD的中点，连接CE(1) 求证：顶点A在底面BCDtt的射影是△ BCD勺外心；(2) 求AD与底面BC所成的角的余弦值；(3) 求CE与底面BC所成的角的正弦值.类型3线面垂直的综合应用［典例3］如图所示，四棱锥P— ABC［^,底面ABC驹矩形，PDL底面ABCD AS PD E, F分别为CD PB的中点.(1) 求证：EFL平面PAB(2) 设AA寸2BG求AC与平面AEF所成角的正弦值.［思路点拨］(1)要证线面垂直，需证平面内有两条相交直线与已知直线垂直，而根据条件易得EFL PB, Ed AF,所以本题得证.(2)要求线面角，得先找出或作出这个角，根据条件易得 只需过AC 与BE 的交点G 作BF 的平行线 GH 贝U GK 平面EFA / GA 咽所求角.［巧归纳］利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧证明线面垂直时要注意分析几何图形， 寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系， 进 而证明线面垂直.三角形全等、等腰三角形、梯形底边的中线、高、菱形、正方形的对角线、 三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法.［练习3］ 如图，在四棱锥 P-ABCW ，底面为直角梯形，AD/ BC ZBAt> 90° , PA上底面 ABCD 且P 任AA A 申2BG M N 分别为PC PB 的中点. 类型4面面垂直的判定［要点点击］平面与平面垂直的关键点(1) 两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况.例如正方体中任意相邻两个面都是互相 垂直的.(2) 两个平面垂直和两条直线互相垂直的共同点：都是通过所成的角是直角来定义的.［典例4］ 如图所示，在梯形 ABC 畔，AB// CD E, F 是线段AB 上的两点，且 Dd AB, Cd AB A 申 12, A ［> 5, BO 4^2, DB 4.现将△ ADE △ CF 盼别沿 DE CF 折起，使 A, B 两点重合于点G,得到多面体CDEFG(1)求证：平面 DEQ 平面 CFG⑵求多面体CDEFGJ 体积.［思路点拨］(1)由^ EGF^的数量关系证得 E(^FG 再由C 巨平面EGF ? E(^CF 从 而E 饥平面CFG 进而得证.(2)作出四棱锥的高，由体积公式易得.又Cm GA F, . . E 国平面CFGBPL 平面EF4故在△ BEF 中, A B又EG 平面DEG 平面DEQ平面CFG［巧归纳］常用的两个平面互相垂直的判定方法(1) 定义法，即说明这两个平面所成的二面角是直二面角；(2) 判定定理，即一个平面经过另一个平面内的一条垂线，则这两个平面互相垂直；(3) 两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面.对于判定定理，可简述为"线面垂直，则面面垂直”.［练习4］如图，在长方体ABCD-ABCD中，AAAA 1, AA = 2, M是棱CC的中点.求证：平面ABI^平面ABM类型5二面角及其平面角的求法［要点点击］确定二面角的平面角的方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线.(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.［典例5］在四棱锥P— ABC呻，底面是边长为a的正方形，P［U面ABCD PA a.⑴求证：Ad面PBD(2) 求二面角P— BO D的平面角；(3) 求二面角P- AO D的平面角的正切值.［巧归纳］求二面角大小的步骤(1) 找出这个平面角.(2) 证明这个角是二面角的平面角.(3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小.［练习5］如图，四边形ABC说正方形，P/U平面ABCD且P任AB求二面角B—PC 一D的平面角的大小.类型6垂直关系的综合应用［要点点击］有助于判断面面垂直的结论(1) m// n,讪a , n? 3 ? a X 3 >(2) 讪a , n± 3 , m^n? a ± 3 ；⑶ a // 3 , y X a ? 7X3 .［典例6］如图，在四棱锥P- ABC西，底面是边长为a的正方形，侧棱PA a, PA=Pd .2a,求证：(1) PCX平面ABCD(2) 平面PA(X平面PBD(3) 二面角P- BO D是45°的二面角.［巧归纳］证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直线面垂直r面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每［练习6］如图，四棱锥P— ABCD勺底面是边长为a的正方形，PBL平面ABCD(1)求证：平面PA［X平面PAB⑵若平面PD牌平面ABCIM 60°的二面角，求该四棱锥的体积.类型7线面垂直性质定理的应用［要点点击］直线与平面垂直性质定理的理解(1) 该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下，可得出什么结论.(2) 定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同一个平面垂直即可).(3) 定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行” 关系相互转化的依据.(4) 定理的推证过程采用了反证法.［典例7］如图所示，在正方体A i B i CD — ABC［^, EF与异面直线AC AD都垂直相交,求证：EF// BD.［巧归纳］线面垂直的性质定理的应用线面垂直的性质是证明线线平行的方法之一，还可应用线面垂直的其他性质进而证明线面平行、面面平行，实现线面垂直关系与线线平行关系的相互转化.［练习7］如图，PAL正方形ABCN在平面，经过点A且垂直于PC的平面分别交PB,PC PD于点E, F, G 求证：AH PB类型8面面垂直性质定理的应用［要点点击］从平面与平面垂直的性质定理可以看出，由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直，而由平面与平面垂直的判定定理可以看出，由直线与平面垂直可以得到平面与平面垂直，其转化关系可表示为面面垂直的判定定理线面垂直I面面垂直的件质宋理I面面垂直这种相互转化的关系是解决空间图形问题的重要思想方法.［典例8］如图，在三棱锥V— ABg，平面VA乩平面ABC △ VAB为等边三角形，AC±BC且A。

§2.3.3 直线与平面垂直的性质§2.3.4 平面与平面垂直的性质一、课前准备复习1：①什么是二面角？什么是二面角的平面角？②当两个平面所成的二面角____________时，这两个平面互相垂直.复习2：两个平面垂直的判定（1）方法一：方法二：________________.复习3：①垂直于同一直线的两条直线的位置关系是____________；②垂直于同一平面的两个平面的位置关系是___________.二、新课导学探究一：直线与平面垂直的性质定理问题1：已知直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，求证：a∥b.新知1：直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行.反思：这个定理揭示了什么?探究二：平面与平面垂直的性质问题2：黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？新知2：平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.反思：这个定理实现了什么关系的转化?例1 判断下列命题是否正确，并说明理由.⑴两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线；⑵两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面；⑶两个平行平面中的一个垂直于某个平面，则另一个也垂直与这个平面；⑷垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑸垂直于同一条直线的两个平面互相平行；⑹垂直于同一个平面的两个平面互相平行.例2. 如图，在三棱锥中，PA PB⊥，若M是PC的中点，=，AB BC试确定AB上点N的位置，使得MN AB⊥.例3. 如图，平面α⊥平面γ，βγ⊥平面平面，l αβ=，求证：l γ⊥.例4. 如图，四棱锥P ABCD -的底面是个矩形，2,AB BC ==PAB 是等边三角形，且侧面PAB 垂直于底面ABCD . ⑴证明：侧面PAB ⊥侧面PBC ；⑵求侧棱PC 与底面ABCD 所成的角.线线垂直面面垂直 面面平行。