微积分3.4.3相关变化率 2
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3.4.3 相关变化率
若两个变量之间有某种关系，并且两个变量又是另外一个变量t 的函数。
0),(=y x F ，并且)()({
t x x t y y ==。
若已知变化率dt x d ，去推倒另外一个变量的变化率dt dy ，我们称之为 相关变化率问题。
解决相关变化率问题的步骤： 1、利用几何或者物理等方面条件建立两个变量间的函数关系；
2、等式的两边对时间t 求微商；
3、将已知的指定时刻t 的相关值代入等式；
4、由给定的条件求出相关变化率。
例1：一气球从离开观察员500米处离地面垂直上升，其速率为140米/秒。
当气球高度为500米时，观察员视线仰角的增加率是多少？
解：设气球上升t 秒后，高度为x ，观察员仰角为θ。
根据题意，则有：
θtan 500
x =（步骤1）。
在等式的两边对时间求微商，则有dt
d dt x θθ⋅=2sec d 5001。
（步骤2） 将已知的条件：140dx =dt
，045=θ代入等式。
(步骤3） 求得dt θd =507。
（步骤4） 故，观察员视线仰角的增加率为7/50(弧度/秒）。
对应习题：一长为5米的梯子斜靠在墙上，如果梯子下端以0.5米/秒的速率滑离墙壁，试求： （1）梯子下端离墙3米时，梯子上端向下滑落的速度； （2）梯子与墙的夹角为3
π时，该夹角的增加率。
AOBO ，微积分STYLE
孩子，简单吧。
微积分就这样，好好学吧，加油哦！
例2：河水以秒米/83的体流量流入水库中，水库的形状是长为4000米，顶角为0120的水槽，问水深为20米时，水面每个小时上升几米？
解：设水面高为h,水库内的水的体积为V ，时间为t 。
由体积公式得234000h V =，
由题意得到t V 28800t 36008=⋅⋅=
即234000t 28800h =，同时对方程两边求微商，得到
dt dh ⋅⋅=h 3800028800，将h=20代入其中，得到h m dt
dh /104.0≈
对应习题：注入水深8米，上顶直径8米的正圆锥形容器中，其速率为每分钟4立方米，当水深为5米时，其表面上升的速率是多少？
小结习题
1.在中午十二点整甲船以6公里/小时的速率向东行驶，乙船在甲船的北面16公里，以8公里/小时的速率向南行驶，问下午一点整两船距离的变化速率是多少？
2.一块石头投入水中使平静的湖面产生波纹。
若最外圈的波纹向外传播的速度是60厘米/秒，求5秒时波纹围成的面积的增加率。
亲，注意前后时间单位哦！
习题参考答案
例1对应习题
解：设梯子的上下端距离墙角为x,y.
（1） 由题意得到2
225=+y x ，同时对方程两边求微商，得到 022=+dt
dy y dt dx x 。
由题意可得x=4,y=3,dt dy =0.5 代入其中，得到dt dx
=3/8 故，梯子上端向下滑落的速度为3/8米每秒。
（2）设梯子上端与墙壁的夹角为θ，根据题意有：
θsin 5
=y 。
同时对方程两边求微商，得到dt d dt dy θθ⋅=⋅cos 51。
由已知得到5.0dy =dt ，3πθ=，代入其中，得到51=dt d θ（弧度/秒）。
例2对应习题
解：设时间为t,水面高度为h ，容器内的水的体积为V 。
由题意得到h h V ⋅⋅⋅=2)2
31（π,而且V=4t.则有t h h 4)2
(312=⋅⋅⋅π。
对方程两边同时求微商，得到 442=⋅⋅dt
dh h π。
由已知得到h=5,代入其中，得到dt dh =π2516 。
故，当水深5米时，其表面的上升速率是π
2516米/分钟。
小结习题
1.解：如图所示，设甲，乙离路口距离为x 、y ，
甲乙之间的距离为h 。
由题意得到
22y x h +=。
对方程的两边同时求微商，得到
2
2222y x dt dy y dt dx x dt dh +⋅+⋅=。
由题意得到6,8,6===dt
dx y x ，代入得到dt dh =-2.8km/h. 故，下午一点整时两车的距离的变化率是-2.8km/h. 2.解：设时间为t ，波纹围成的面积为S 。
根据题意，有t r 60=,2r S ⋅=π，得到：
2)60(t S ⋅=π。
对方程的两边同时求微商，得到：t dt
ds ⋅⋅=23600π。
当5=t ，dt
ds =36000π. 故，5秒时，波纹围成的面积的变化率是36000πs cm /2。
