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微积分第二版课后习题答案【篇一：微积分(上册)习题参考答案】0.11.（a）是（b）否（c）是（d）否2.（a）否（b）否（c）否（d）是（e）否（f）否（g）是（h）否（i）是1,2,3},{1,2,4},{1,3,4}, 3.f,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{{2,3,4},{1,2,3,4}.4. a?b5. a?b6~15. 略。
16. 证明：先证a-(b-c)?(ab)惹(ac).若x?a(b-c)，则x蜗a,x①如果x?c，则x蜗a,②如果x?c，则x?b，所以x?aa-(b-c)?(ab)惹(ac).再证a-(b-c)惹(ac)?a(b-c).若x￠?(ab)惹(ac)，则，x￠?ab或x￠吻ac.①如果x￠吻ac，有x￠?c，所以，x￠?bc，又x￠?a，于是x￠?a(b-c) ②如果x￠锨ac，x￠?ab，则有x￠?a，x￠?c，x￠?b，所以，x￠?bc，于是x￠?a(b-c). 因此有(a-b)惹(ac)?a(b-c).综上所述，a-(b-c)=(a-b)惹(ac)，证毕. 17~19. 略。
20. cda.21. a?b{(1,u),(1,v),(2,u),(2,v),(3,u),(3,v)};禳1镲xx?r,睚2镲铪参考答案禳禳11镲镲，，a?d-1,-,0,1,2,3,?a-c=睚0,-1,-睚镲镲44铪铪禳1镲a=睚-1,-,0,1,2,7.镲4铪xx危r,1x 2}x3，a?b={，a-b={xx?r,2x3}.b-cb-c;(ac)，因此有b，也有x?(ab)惹a2={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)};b2={(u,v),(u,v),(v,u),(v,v)}22. a={(x,y,z)}x,y,z危?.0323~25. 略。
常微分2课后习题答案常微分2课后习题答案在学习常微分2这门课程中，我们不可避免地会遇到一些挑战性的习题。
这些习题旨在帮助我们巩固所学的知识，并提供实践应用的机会。
然而，有时候我们可能会遇到一些难以理解或解答的问题。
在本文中，我将分享一些常微分2课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和应用这门课程的内容。
1. 题目：求解方程 dy/dx = 2x + 3解答：这是一个一阶线性常微分方程。
我们可以将它转化为标准形式 dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中 P(x) = 0，Q(x) = 2x + 3。
根据一阶线性常微分方程的解法，我们可以通过求解齐次方程 dy/dx + P(x)y = 0 的通解和特解来得到原方程的解。
首先，我们求解齐次方程 dy/dx = 0。
显然，它的通解为 y = C，其中 C 是常数。
接下来，我们寻找特解。
由于 P(x) = 0，我们可以猜测特解为 y = Ax + B，其中 A 和 B 是待定常数。
将这个猜测代入原方程，得到 A = 2，B = 3。
因此，原方程的通解为 y = C + 2x + 3，其中 C 是任意常数。
2. 题目：求解方程 d^2y/dx^2 + 4dy/dx + 4y = e^(-2x)解答：这是一个二阶常系数齐次线性常微分方程。
我们可以使用特征方程的方法来求解。
首先，我们假设 y = e^(rx) 是方程的解。
将这个解代入方程，得到特征方程r^2 + 4r + 4 = 0。
解这个二次方程，得到 r = -2。
因此，方程的通解为 y = (C1 + C2x)e^(-2x)，其中 C1 和 C2 是任意常数。
接下来，我们寻找特解。
由于右侧是指数函数，我们猜测特解为 y = Ae^(-2x)，其中 A 是待定常数。
将这个猜测代入方程，得到 A = 1/9。
因此，原方程的通解为 y = (C1 + C2x)e^(-2x) + 1/9e^(-2x)，其中 C1 和 C2是任意常数。
2017—2018学年度第一学期半期考试高二理科数学试卷（答题时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）每小题只有．．一个．．正确选项，请将正确选项填到答题卡处1．下列语句中，是命题的个数是①|x＋2|=0；②－5∈Z；③π∉R；④{0}∈N.A．1 B．2 C．3 D．42．设P是椭圆22+=12516x y上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于A．4 B．5 C．8 D．103．现要完成下列3项抽样调查：①从8盒饼干中抽取2盒进行质量检查；②学校报告厅有32排座位，每排有20个座位，报告会恰好坐满了学生，报告会结束后，为了听取学生的意见，需要请32名学生进行座谈.③某学校共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名.为了了解教职工对学校在教学改革方面上的意见，拟抽取一个容量为20的样本.较为合理的抽样方法是A.①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样B.①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样C.①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样D.①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样4．已知集合A＝{2，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为30， 则输入的n 为 A ．2 B ．3 C ．4D ．56．已知点P 是边长为4的正方形内任一点，则 点P 到四个顶点的距离均大于2的概率是 A .π4 B . 14 C . 1－π4D .π37．若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为A . 15B . 25C . 35D . 458．一个小孩任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为 A . 29 B . 9100 C . 350 D . 31009．椭圆22+=14x y 的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|的值为 A . 4 B . 72 C . 3 D . 3210．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点刚好是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为A.63B .53C.32D.2211．已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是A．x2＋y2＝4 B．x2＋y2＝2C．x2＋y2＝4(x≠±2)D．x2＋y2＝2(x≠±2)12．现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这组数的标准差是A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）13．已知椭圆22+=120x yk的焦距为4，则k的值为．14．命题p：∀x∈R， x2＋x＋1>0，则 p为．15．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．16．在区间[－3,3]上随机取一个数x，则使得lg(x－1)＜lg2成立的概率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．(满分10分)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是1 2 .从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率.18. (满分12分)某汽车厂生产A，B，C三类小汽车，每类小汽车均有豪华型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：按A、B、C50辆，其中A类小汽车抽取10辆.(1)求x的值；(2)用分层抽样的方法在C类小汽车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆标准型小汽车的概率；19．(满分10分)已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4，3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．20．(满分12分)已知椭圆C 的两条对称轴分别为x 轴和y 轴,左焦点为F 1(－1,0)，右焦点为F 2，短轴的两个端点分别为B 1、B 2. (1)若△F 1B 1B 2为等边三角形，求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的短轴长为2，过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且F 1P →⋅F 1Q → 0=，求直线l 的方程．21．(满分12分)命题p ：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为∅，命题q ：函数y ＝(2a 2－a )x 为增函数．分别求出符合下列条件的实数a 的取值范围． (1)p q ∧是真命题；(2)p q ∨为真命题且p q ∧为假命题．22．(满分12分)在平面直角坐标系中，动点(,)P x y 到两点1F (0，、2F (0)的距离之和为4，设点P 的轨迹为C . (1)求P 的轨迹C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点，k 为何值时OA ⊥OB ？此时|AB |的值是多少？高二半期考试理科数学参考答案二、选择题13、16或24 14、2000,10x R x x ∃∈++≤15、9 16、13三、解答题17、解：设标号为2的球的个数为n ,由题意可知：1112n n=++，解得n ＝2,不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为：(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12个，事件A 包含的基本事件为：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个．所以()P A ＝412＝13.18、解：(1)设该厂这个月共生产小汽车n 辆，由题意得5010100300n =+， 解得n ＝2000.则x ＝2000－(100＋300)－(200＋400)－600＝400. (2)设所抽样本中有a 辆豪华型小汽车，由题意得40010005a=，即a ＝2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆豪华型小汽车，3辆标准型小汽车.用A 1，A 2表示2辆豪华型小汽车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型小汽车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆标准型小汽车”，则所有的基本事件10个，列举如下：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3).事件E 包含的基本事件有： (A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)， (A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)共9个.故9()10P E =，即所求概率为910.19、解：设焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)．∵F 1A ⊥F 2A ，∴1F A ·2F A ＝0，而1F A ＝(－4＋c ，3)，2F A ＝(－4－c ，3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5. ∴F 1(－5，0)，F 2(5，0)．∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝（－4＋5）2＋32＋（－4－5）2＋32＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为2214015x y+=.20、解：(1)设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．根据题意知2221a b a b =⎧⎨-=⎩，解得a 2＝43，b 2＝13，故椭圆C 的方程为2214133x y +=. (2)容易求得椭圆C 的方程为2212x y +=.当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝1，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)． 由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝22421k k +，x 1x 2＝222(1)21k k -+，1F P ＝(x 1＋1，y 1)，1F Q ＝(x 2＋1，y 2)因为1F P ·1F Q ＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝(k 2＋1)x 1x 2－(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋12271021k k -==+，解得k 2＝17，即k ＝±77. 故直线l 的方程为x ＋7y －1＝0或x －7y －1＝0.21、解：命题p 为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2＜0，即a ＞13或a ＜－1. 命题q 为真时，2a 2－a ＞1，即a ＞1或a ＜12- .(1) ∵p q ∧是真命题，∴p 和q 都是真命题，a 的取值范围也即上面两个范围的交集， ∴a 的取值范围是{a |a ＜－1或a ＞1}．(2) p q ∨为真命题且p q ∧为假命题，有两种情况：p 真q 假时，13＜a ≤1，p 假q 真时，－1≤a ＜12-，∴p 、q 中有且只有一个真命题时，a 的取值范围为{a |13＜a ≤1或－1≤a ＜－12}．22、解 (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0)，(0)为焦点，长半轴长为2的椭圆．它的短半轴长b1，故曲线C 的方程为2214y x +=.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足22114y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，故x 1＋x 2＝224k k -+，x 1x 2＝234k -+.∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.又∵y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1， 于是x 1x 2＋y 1y 2234k =-+2234k k -+22214k k -+=+22414k k -++. 又x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴k ＝±12.当k ＝±12时，x 1＋x 2＝∓417，x 1x 2＝－1217. |AB |而 (x 2＋x 1)2－4x 1x 2＝42172＋4×1217＝43×13172，∴|AB |＝54×43×13172＝46517.。
武汉大学2017-2018学年第二学期期末考试高等数学A2试题（A）1、（9分）设(,)z z x y 是由方程222(2)x z f y z 所确定的隐函数，其中f 可微，求证z z y x xy x y.2、（9分）设{(,)||||1}D x y x y ，计算二重积分2(1)Dx y dxdy .3、（9分）设C 为圆周曲线221x y ，计算曲线积分4224(21)Cx x y y ds .4、（9分）已知)1,2,0(),0,0,1(B A ，试在z 轴上求一点C ，使ABC 的面积最小。
5、（8分）3、设22222222, 0(,)0, 0x y xy x y x y f x y x y，求(0,0)xyf 和(0,0)yx f . 6、（9分）求过直线2210420x y z x y z 并在y 轴和z 轴上有相同的非零截距的平面方程。
7、（8分）设f 是任意二阶可导函数，并设)(x ay f z 满足方程0622222 y zy x z xz ，试确定a 的值.8、（8分）在椭球面22221x y z 上求一点，使函数222(,,)tan f x y z x y z 在该点沿曲线23,12,3x t y t z t t 在点(1,1,2) 处的切线方向的方向导数最大。
9、（9分）计算曲线积分)d d Lx y y x, 其中有向曲线弧L：y点 5,0B 到点 1,0A .10、（8分）已知10=sin (1,2,3,)n b x n xdx n ，，证明级数11(1)1n nn b n收敛，并求其和。
11、（8分）求22I xz dydz x dxdy，其中 是曲面2221x y z 夹在两平面1z 与2z 之间的部分，其法向量与z 轴正向的夹角为锐角。
12、（6分）设a ，b 为任意常数，()f x 在0x 的邻域内具有二阶连续导数，且0()lim0,x f x x''()0f x m试讨论级数:af bf af bf af bf 的敛散性。
2017—2018学年度第⼀学期半期考试⾼⼆理科数学试卷（含答案）A.充分不必要条件C.充分必要条件B.必要不充分条件D .既不充分也不必要条件2017—2018学年度第⼀学期半期考试⾼⼆理科数学试卷（答题时间：120分钟满分：150分）⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，满分60分）每⼩题只有⼀个正确选项，请将正确选项填到答题卡处1. 下列语句中，是命题的个数是①|x + 2|=0 ; ②⼀5€ Z; ③ n?R; ④{0} € N.A. 1B. 2C. 3D. 42 22. 设P是椭圆—+ ^ = 1上的⼀点，F1, F2是椭圆的两个焦点，贝S |PF1| +25 16| PF2|等于A. 4B. 5C. 8D. 103. 现要完成下列3项抽样调查：①从8盒饼⼲中抽取2盒进⾏质量检查；②学校报告厅有32排座位，每排有20个座位，报告会恰好坐满了学⽣，报告会结束后，为了听取学⽣的意见，需要请32名学⽣进⾏座谈.③某学校共有160名教职⼯，其中⼀般教师120名，⾏政⼈员16名，后勤⼈员24名?为了了解教职⼯对学校在教学改⾰⽅⾯上的意见，拟抽取⼀个容量为20的样本.较为合理的抽样⽅法是A. ①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样B. ①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样C. ①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样D. ①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样4 .已知集合A= {2 , a}, B = {1,2,3}，贝S “ a = 3” 是“ A? B” 的A . 4B . 3C . 2次只敲击⼀个数字键）得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为 2 9 3 3 A.B.C.D.1005010029.椭圆—+y 2=1的左，右焦点分别为F 1, F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与4椭圆相交，⼀个交点为P ,则| PF 2|的值为A. 4B. 2C. ：3D. -210 .若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点刚好是⼀个正⽅形的四个顶点，5.执⾏如图所⽰的程序框图，输出的S 的值为30则输⼊的n 为A . 2B . 3C . 4D . 5 6.已知点P 是边长为4的正⽅形内任⼀点，则点P 到四个顶点的距离均⼤于2的概率是 n 1 A 盲 B. 4n n C. 1-7D.空7.若⼀个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列, 3 C. 3 （&]则该椭圆的离⼼率为2B. 2 8.—个⼩孩任意敲击电脑键盘上的0到9这⼗个数字键，则它敲击两次（每则椭圆的离⼼率为 '6 代三11.已知 M （ — 2, B.<5 3 N （2C. D.2 20），则以MN 为斜边的直⾓三⾓形的直⾓顶点P 的轨迹⽅程是A2 |2■A . x + y = 42 2C . x + y =4（X M ⼠ 2） 12 .现有10个数，其平均数是 B . x 2+y 2= 2D . x + y = 2（X M ⼠ 2）4, 且这10个数的平⽅和是200,那么这组数的标准差是 /输出&/⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20 分）2 213. 已知椭圆—+ ^=1的焦距为4,20 k则k的值为_____________ .14. 命题p：?x€ R, x2+ x+ 1>0,贝y p为_________________________15. 执⾏如图所⽰的程序框图，则输出的16. 在区间［—3,3］上随机取⼀个数x, 则使得lg（x—1）v lg2成⽴的概率为 .三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分.解答时，应写出必要的⽂字说明、证明过程或演算步骤）17. （满分10分）袋⼦中放有⼤⼩和形状相同的⼩球若⼲个，其中标号为0 的⼩球1个，标号为1的⼩球1个，标号为2的⼩球n个.已知从袋⼦中随机抽取1个⼩球，取到标号是2的⼩球的概率是才从袋⼦中不放回地随机抽取2个⼩球，记第⼀次取出的⼩球标号为a,第⼆次取出的⼩球标号为b.记事件A表⽰“a + b= 2”，求事件A的概率.18. （满分12分）某汽车⼚⽣产A, B, C三类⼩汽车，每类⼩汽车均有豪华型汽车A汽车B汽车C豪华型100200x标准型300400600按A、B、C三类⽤分层抽样的⽅法在这个⽉⽣产的⼩汽车中抽取50辆, 其中A类⼩汽车抽取10辆.（1）求x的值；（2）⽤分层抽样的⽅法在C类⼩汽车中抽取⼀个容量为5的样本?将该样本看成⼀个总体，从中任取2辆，求⾄少有1辆标准型⼩汽车的概率；19. (满分10分)已知椭圆的中⼼在原点，两焦点F i, F2在x轴上，且过点A(—4, 3).若F i A丄F2A,求椭圆的标准⽅程.20. (满分12分)已知椭圆C的两条对称轴分别为x轴和y轴,左焦点为F i( —1,0)，右焦点为F2,短轴的两个端点分别为B i、B2.(1) 若⼛F1B1B2为等边三⾓形，求椭圆C的⽅程；(2) 若椭圆C的短轴长为2,过点F2的直线I与椭圆C相交于P、Q两点, 且R P FQ 0，求直线I的⽅程.21. (满分12分)命题p :关于x的不等式x2+ (a—1)x+ a2<0的解集为，命题q :函数y= (2 a2—a)x为增函数.分别求出符合下列条件的实数a 的取值范围.(1) p q是真命题；(2) p q为真命题且p q为假命题.22. (满分12分)在平⾯直⾓坐标系中，动点P(x,y)到两点F1(0，—3) > F2 (0 ,3)的距离之和为4,设点P的轨迹为C.(1) 求P的轨迹C的⽅程；(2) 设直线y= kx+1与C交于A、B两点，k为何值时0A丄OB ?此时| AB|的值是多少？选择题13、16 或 24 14 、 x o R,x o 21 15、 916、 3 3三、解答题17、解：设标号为2的球的个数为n,由题意可知：⼀n ⼀1，解得n = 2,1 1 n 2不放回地随机抽取2个⼩球的所有基本事件为：(0,1) ，(0,2 1)，(0,2 2)，(1,0) ，(1,2 1)，(1,2 2)，(2 1,0)，(2 1,1)，(2 1,22)，(2 2,0)，(22,1)，(2 2,21)，共 12 个,41 事件A 包含的基本事件为：(0,2 1) , (0,2 2) , (2 1,0) , (22,0)，共4个?所以P(A)=⽯=-.12 3贝U x = 2000 — (100 + 300) — (200 + 400) — 600= 400. (2)设所抽样本中有a 辆豪华型⼩汽车，由题意得迴空，即a = 2.1000 5因此抽取的容量为 5的样本中，有2辆豪华型⼩汽车，3辆标准型⼩汽车. ⽤A 1, A 表⽰2辆豪华型⼩汽车，⽤ B 1, B 2, B 3表⽰3辆标准型⼩汽车，⽤ E 表⽰事件 “在该样本中任取 2辆，其中⾄少有1辆标准型⼩汽车”，则所有的基本事件10个，列举如下：(A i , A 2) , (A i , B i ) , (A i , B 2) , (A i , B 3) , (A 2, B i ) , (A 2, B 2) , (A 2, B 3) , (B i , B 2), (B 1, B 3), (B 2, B 3).事件 E 包含的基本事件有： (A i , B i ), (A i , B 2) , (A i , B 3) , (A 2, B i ) , (A 2 , B 2), (A 2 , B 3), (B i , B 2) , (B i , B 3) , (B 2 , B 3)共 9 个. 故P(E)—,即所求概率为 —.10 10 uu n uuuULLT19、解：设焦点 F i ( — c , 0) , F 2(C , 0)( c>0) . F i A 丄 F 2A , A F ’A ? F 2A = 0,⽽ F 1A = ( — 4 + c , 3), uuuu 22F 2A = ( — 4 — C , 3) , A ( — 4+ C ) ? ( — 4 — C ) + 3 = 0, A C = 25 ,即 C = 5.A F i ( — 5 , 0) , F 2(5 , 0). A 2a = | AF i |+ |AF 2| = (— 4+ 5) 2+ 32 + (— 4— 5) 2+ 32 = 五 + 90= 4 五.2 2A a = 2航,A b 2 = a 2 — C 2= (2伍)2— 52= 15. A 所求椭圆的标准⽅程为 — — 140 15220、解：(1)设椭圆C 的⽅程为笃4 1(a b 0).a b 2a 2b根据题意知22，解得a 2 =b 2=,故椭圆2C 的⽅程为— 2⼯1a 2b 21334 123 3⑵容易求得椭圆C 的⽅程为—y 2 1. 2当直线I 的斜率不存在时，其⽅程为 x = 1,不符合题意; 当直线的斜率存在时，设直线 I 的⽅程为y = k(x — 1).18、解：(1)设该⼚这个⽉共⽣产⼩汽车解得 n = 2000.n 辆，由题意得50 10 100 300y k(x 1)由 x2 2 ，得(2 k 2+ 1)x 2 — 4k 2x + 2( k 2— 1) = 0.y 1 24k 2设 P(X 1, yj , Q(X 2, y 2)，贝U X 1+ X 2= --2k 1 uuur RP =(X 1+ 1, y" , RQ = (X 2+ 1, y 2)uuur uuur因为Ff ? FQ = 0,即⼙2(X 1+ 1)( X 2 + 1) + y 1y 2= X 1X 2+ (X 1+ X 2) + 1 + k (X 1— 1)( X 2 — 1) 2 2 2 =(k + 1)X 1X 2— (k — 1)( X 1 + X 2) + k + 1 7k ］」0，解得 k 2= 7,即⼙ k =±￥? 2k 2 1 7 7故直线I 的⽅程为x + 7y — 1 = 0或x — 7y — 1 = 0.12 2 |21、解：命题 p 为真时，△= (a — 1) — 4a v 0, 即⼙ a >3或 a v — 1.31命题q 为真时，2a — a > 1，即a > 1或a v -2 '(1)T p q 是真命题，? p 和q 都是真命题，a 的取值范围也即上⾯两个范围的交集，a 的取值范围是{a|a v — 1或a > 1}.p 真q 假时，3V a < 1, p 假q 真时，—K a v22、解(1)设P(x , y)，由椭圆定义可知, 点P 的轨迹C 是以(0 ,=232 1 ,故曲线 C 的⽅程为—3 ) , (0 , 3)为焦点，长半轴长为 2的椭圆.它的短半轴长 b⑵设A(x i ,y i ), B(x 2,y 2)，其坐标满⾜kx 1y 2 14消去 y ,并整理得(k 2+ 4)x 2+ 2kx — 3= 0, 故 X 1+ X 2= j k , X 1X 2=—.k 4 k 4T OA 丄 OB , ? X 1X 2+ y 1y 2= 0.⼜?/ y 1y 2= k 「x 1X 2+ k( X 1 + X 2) +1 , 3 3k2 k 2 4 k 2 41 ? k =± —.24 是 X 1X 2 + yy ⼜ X 1X 2 + y i y 2= 0, 4k 2 1k 2 412 1 . 当 k =± 2时，X 1+ X 2= ?17，X 1X 2= —⽯.| AB| = 1 k 2(X ! x 2)2 4XX 2 ,2324 12 4 X 13 ⽽(x2 + x" — 4刘％=1p +4X后=172 , 5 43X 13 4 '65 _X ------ 2 = . 4 17 17I AB| =2 2(k 1) X 1X 2= 2 ----- ,2k 2 1 uur 1 2，1 1p 、q 中有且只有⼀个真命题时，a 的取值范围为{ a|3V a wl 或⼀1< a v — $}.。
2017-2018学年度高二下学期第二次段考数学（理科）试题答案与评分标准一、选择题：（每小题5分满分60分）ADDBB BDCAC CB;11.C;解析：∵ ∴，设过(0，0)点与 相切的切点为 ，∴解得 且 ，即过点 ， 与 相切的切线方程为当直线 与直线平行时，;当 时，当 时， ;当 时，∴ 和y=的图象在 ， ， ， 各有1个交点；直线 在y= 与y= 之间时，与函数 图象有两个交点，∴故选C. 二、填空题（每小题5分满分20分）：13. 0.5；14. -10；15.1440；16.①②④16. 答：①②④；解：因为函数 ，所以，因为导函数 在 上单调递增.又，1(0)103f '=->，所以()0f x '=在 上有唯一的实根,设为0x ，且0(1,0)x ∈-，故②正确；同时 在 有极小值也为最小值 ，故①正确；由 得，即 ，故.因为 ， ，由双勾函数性质知值域为，，所以. 故④正确同时判断③错误. 故填写：①②④ 三、解答题：（本大题共6个小题，满分80分） 17. （10分）解：(1)当n ＝1时，，………………………1分当n ＝2时， + ＝ ＝ － ，∴ ＝4. ………………………2分 当n ＝3时， + ＝ ＝ － ，∴ ＝8. ………………………3分 当n ＝4时， + ＝ ＝ － ，∴ ＝16. ……………………4分 由此猜想： ． ………………………5分 (2)证明：①当 ＝ 时， ＝2，猜想成立． ………………………6分②假设 ＝ 且 时，猜想成立，即 ， ……………………7分 那么n ＝k ＋1时， ……………………8分 ∴ ， 这表明n ＝k ＋1时，猜想成立，……………………9分由①②知猜想 成立．………………………10分18. （12分）解:(Ⅰ)由点斜式方程得直线l 的方程为， ……1分将cos ,sin x y ρθρθ==代人以上方程中，所以,直线l 的极坐标方程为. ………………3分同理,圆C 的极坐标方程为26cos 6sin 140ρρθρθ--+=. …………6分 (Ⅱ)在极坐标系中,由已知可设，，.联立……………………7分可得 ，所以233ρρ+=+ ………………………8分 因为点M 恰好为AB 的中点,所以 ,即 ，. ……………9分把，代入得………11分所以. …………………………………12分19.（12分）解：（Ⅰ）…………………………………………2分 根据列联表中数据，计算随机变量的观测值，………… 4分又∵ 且 …………………………5分 答：有99.5%的把握认为平均车速超过100/km h 与性别有关． ……………………………6分 （Ⅱ）记这10辆车中驾驶员为男性且车速超过100/km h 的车辆数为 ，根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100/km h 的车辆的频率为，利用频率估计它的概率为． …………… 8分 由已知可知X 服从二项分布，即 ，， ………………………………9分所以驾驶员为男性且超过100km/h 的车辆数 的均值(辆). ………11分答：在随机抽取的10辆车中平均有4辆车中驾驶员为男性且车速超过100/km h . ……12分 20.（12分）解：（Ⅰ）因为14=x 时，， 代入关系式，得， 解得 . ……………………………………4分 （Ⅱ）由（1）可知，套题每日的销售量， …………5分所以每日销售套题所获得的利润定义域 ， ……………………………………6分从而 . （7分） 令 ，∵ ,得（8分）且当 ， 时, ， 当， 时， ，函数 在 ，上单调递增；在， 上单调递减， ……………………9分 所以是函数 在()16,12内的极大值点，也是最大值点， ………………10分所以当时，函数 取得最大值. …………………………11分答：当销售价格为3.13元/盒时，餐厅每日销售所获得的利润最大. ……………………12分 21.（12分）解：（Ⅰ）选出的4人中智慧队和理想队的都要有，所以选法种数是：种……………………………………2分 选出的4名大学生仅有1名女生的选法有：第一类：从智慧队中选取1名女生的选法有:种……………3分第二类：从理想队中选取1名女生的选法有:…4分或者用排除法种所以选取4名女大学生仅有1名女生的概率为；………………………………5分（Ⅱ）随机变量 的可能取值为0，1，2，3 …………………………………………6分则………………………………………………………………7分………………………………………………………………8分………………………………………………………………9分21y =……………………………………………………………………………10分女生人数为数学期望…………………12分22.（12分）解：（Ⅰ）∵，∴，…（1分）当时，∵，∴．∴在上是递增函数，即的单调递增区间为（0，+∞），无递减区间．…………………………………3分当时，，令，得．∴当，时，；当时，；．∴的单调递增区间为，，单调递减区间为．……………………5分综上，当a≤0时，的单调递增区间为，无递减区间；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为．………………6分（Ⅱ）当﹣时，，（＞）正实数，满足，⇒⇒………………………………7分令函数﹣，（），则﹣……………………………………9分，时，，为递减；，∞时，，为递增；即当t=1时有极小值也是最小值；∴（）（）∴．…………………………10分则，或（舍去）, ………………………………………………11分∴………………………………………………12分。
2017-2018学年度高二下学期第二次段考数学（理科）试题答案与评分标准一、选择题：（每小题5分满分60分）ADDBB BDCAC CB;11.C;解析：∵ ∴，设过(0，0)点与 相切的切点为 ，∴解得 且 ，即过点 ， 与 相切的切线方程为当直线 与直线平行时，;当 时，当 时， ;当 时，∴ 和y=的图象在 ， ， ， 各有1个交点；直线 在y= 与y= 之间时，与函数 图象有两个交点，∴故选C. 二、填空题（每小题5分满分20分）：13. 0.5；14. -10；15.1440；16.①②④16. 答：①②④；解：因为函数 ，所以，因为导函数 在 上单调递增.又，1(0)103f '=->，所以()0f x '=在 上有唯一的实根,设为0x ，且0(1,0)x ∈-，故②正确；同时 在 有极小值也为最小值 ，故①正确；由 得，即 ，故.因为 ， ，由双勾函数性质知值域为，，所以. 故④正确同时判断③错误. 故填写：①②④ 三、解答题：（本大题共6个小题，满分80分） 17. （10分）解：(1)当n ＝1时，，………………………1分当n ＝2时， + ＝ ＝ － ，∴ ＝4. ………………………2分 当n ＝3时， + ＝ ＝ － ，∴ ＝8. ………………………3分 当n ＝4时， + ＝ ＝ － ，∴ ＝16. ……………………4分 由此猜想： ． ………………………5分 (2)证明：①当 ＝ 时， ＝2，猜想成立． ………………………6分②假设 ＝ 且 时，猜想成立，即 ， ……………………7分 那么n ＝k ＋1时， ……………………8分 ∴ ， 这表明n ＝k ＋1时，猜想成立，……………………9分由①②知猜想 成立．………………………10分18. （12分）解:(Ⅰ)由点斜式方程得直线l 的方程为， ……1分将cos ,sin x y ρθρθ==代人以上方程中，所以,直线l 的极坐标方程为. ………………3分同理,圆C 的极坐标方程为26cos 6sin 140ρρθρθ--+=. …………6分 (Ⅱ)在极坐标系中,由已知可设，，.联立……………………7分可得 ，所以233ρρ+=+ ………………………8分 因为点M 恰好为AB 的中点,所以 ,即 ，. ……………9分把，代入得………11分所以. …………………………………12分19.（12分）解：（Ⅰ）…………………………………………2分 根据列联表中数据，计算随机变量的观测值，………… 4分又∵ 且 …………………………5分 答：有99.5%的把握认为平均车速超过100/km h 与性别有关． ……………………………6分 （Ⅱ）记这10辆车中驾驶员为男性且车速超过100/km h 的车辆数为 ，根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100/km h 的车辆的频率为，利用频率估计它的概率为． …………… 8分 由已知可知X 服从二项分布，即 ，， ………………………………9分所以驾驶员为男性且超过100km/h 的车辆数 的均值(辆). ………11分答：在随机抽取的10辆车中平均有4辆车中驾驶员为男性且车速超过100/km h . ……12分 20.（12分）解：（Ⅰ）因为14=x 时，， 代入关系式，得， 解得 . ……………………………………4分 （Ⅱ）由（1）可知，套题每日的销售量， …………5分所以每日销售套题所获得的利润定义域 ， ……………………………………6分从而 . （7分） 令 ，∵ ,得（8分）且当 ， 时, ， 当， 时， ，函数 在 ，上单调递增；在， 上单调递减， ……………………9分 所以是函数 在()16,12内的极大值点，也是最大值点， ………………10分所以当时，函数 取得最大值. …………………………11分答：当销售价格为3.13元/盒时，餐厅每日销售所获得的利润最大. ……………………12分 21.（12分）解：（Ⅰ）选出的4人中智慧队和理想队的都要有，所以选法种数是：种……………………………………2分 选出的4名大学生仅有1名女生的选法有：第一类：从智慧队中选取1名女生的选法有:种……………3分第二类：从理想队中选取1名女生的选法有:…4分或者用排除法种所以选取4名女大学生仅有1名女生的概率为；………………………………5分（Ⅱ）随机变量 的可能取值为0，1，2，3 …………………………………………6分则………………………………………………………………7分………………………………………………………………8分………………………………………………………………9分21y =……………………………………………………………………………10分女生人数为数学期望…………………12分22.（12分）解：（Ⅰ）∵，∴，…（1分）当时，∵，∴．∴在上是递增函数，即的单调递增区间为（0，+∞），无递减区间．…………………………………3分当时，，令，得．∴当，时，；当时，；．∴的单调递增区间为，，单调递减区间为．……………………5分综上，当a≤0时，的单调递增区间为，无递减区间；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为．………………6分（Ⅱ）当﹣时，，（＞）正实数，满足，⇒⇒………………………………7分令函数﹣，（），则﹣……………………………………9分，时，，为递减；，∞时，，为递增；即当t=1时有极小值也是最小值；∴（）（）∴．…………………………10分则，或（舍去）, ………………………………………………11分∴………………………………………………12分。
I 10.令 x = asect第四章 不定积分答案2 24. I = sin x sinxdx = - 1-cosxdcosx 、填空题 2.F x |亠 C 3.1 二-cosx — \ 3 1 31 3 cos x J ■ C cos x-cosx C3 3x C 5.4. -C In 2 」x 335.一丄Cxxe (e x ) +1dx 二一de _2 二 arctang XC ’1+(e x ) 6. 6e x C 7.-3sin x C I 二 t 2—1 t 2tdt =2 t 4 -t 2 dt8. 3x x arcta n x C 39.x r 2 C1-In 3x + 2x +C 2 1 2 10. In 2x C 2 -cos2x C 12. le 7x C7114. 丄 In 1+2x+C 2 13. 7. 令 t = 6x11.15.1—2x C 1 316. 「cosx cos x C 3 8. 17. e" 1 x C 18. 6"dt t 123t 2—6t +6ln t +1 +C1 13x^ -6x® +6 In x令 x= si nt3I =1 - sin 2t 2costdt - I i cost dt二、 单项选择题 1 . C 2 . A 3 . D 4 7 . D 8 . D 9 . 12.B 三、 计算题 1 .A10.A.B11.Bx二 sec 2 tdt 二 tant CCTT79 .令 x =ta ntseC tdt (1+tan 2t j2 .■sec 4-dt二 costdt sec t2 -.2 -x 2d 2 -x2 -x 2 C2. 1 x 2 = l n 1 x 2 C-exd ;1 111 cos2t dt t —sin2t C2 2 4 11 1x t sintcost C arctanx 2 C 2 2 21 x 23.1-e" C.a2 sect -1 asectantdt =a tarn tdtasec=a lise^t -1 dt =a tant -t Cf'-2—2 、x -a aarccos a x4C=Jx2 217. a-a -aarccos Cx2x 2 _xI = - x de = x e_ 2xe*dx-x2e» -2 xde^-x2e» -2xe" 2 e^dx_x2 _2x_2 e」C11. I =dx2、厂1_ 1 sect tant3 ta nt22令x^sect secttantdt 18.=1J322Jsec t -1dt^1sectdt31=Tn sect +tant 3 C = 】ln33x站4219.12.1 d 3x-1 _J(3X-12+6 3=]| n j9x2-6x+7+3x-1+C13. 2 2I =xln 1 X - xdln 1 x2 =xln 1 x2 =xln 1 x -x^dx；_2x 2arctanx C20.14.xde x = xe x - e x dx =xe x-e x C15.I = x arccosx - xd arccosxx arccosx dx1-x21「1 ,2 .= xarccosx-—J ；2d(1-x )21.16.x arccosx - 1 - x2 CI = lnxdl 」一hx ^dx — Sx」C x x x x x4 4二(ln x)2d£4(ln x)2-4 41 3x ln xdx = — (ln x)21 4| 1x ln x8 81 4 1 4--x ln x x C8 324x 2(ln x)44=—(ln x)24x4 (ln x)4=sin xde xx41(2ln x)—dx44 x4、4 1 .x dxx=e x sin x - e x cosxdx=e x sin x - cosxde xX ・x x .=e sin x -e cosx e dcosx= e x(sin x-cosx) - ' e x sin xdxe x sin xdx = - e x(sin x -cosx) C2I = sec x secxdx = secxd tan x=secxtanx- 'tanx tanx secxdx=secxtanx- '(sec x-1)secxdx=secxtan x- sef xdx亠i secxdx3=secxtanx- Jsec xdx + In secx +31[sec xdx = —(secxtanx + ln secx +2x-8 ln xdx4tanxtanx C令t=, xI二.eStdt = 2 tdd =2td -2 ddt= 2td -2& C =2 =e x-2e x C22. l=Jlnlnxdlnx =（lnlnx）nx —J Inxd（lnlnx） 21.=lnlnx lnx- lnx —-dxlnx x =lnlnx lnx-lnx C 23.24.F b —F a1e --e22.5ln623.d cos2x = 4 xcos2x sin2xC4 825.1 26. JI227. e-2 28.4 29. 2,3-2arctan f 3 - arctan f 124. l = ln xd3 1 3x lnx x ——■C3 9第五章定积分及其应用答案32.5633.e 34. _135.<36. 1 37. 38. 12 2 3兀 139. 一2 _2二单项选择题30.0 31.0、填空题[f （x pxb a4.2.03.5.负6.正7. l1>l28. 1. A 2 . D 3 . B 4 . C 5 . A 6 . C7. C 8 . B9 . A 10.C 11.C 12.D 13.C 14.C 15.B 16.C17.A 18.B 19.B 20.A 21.B22.C 23.B 24.A 25.C 26.A三、证明题1冃2 9. l1>l2 证：令u=a， b-a,则10.- 11. 12. baf x dx du 二b-a dx,所以13. 2xe x14. sin xb - a ] I f || a b - a x dx =1 1f u du = 0 f x dx-x sin3fi x 16.10,1 2x1 cos2 x215.2.证：令u)]17.1 18.fx3f （x2=x2,则du = 2xdx ,所以1 a2.d^=- 0 uf udu=? 0 1 a220xf x dx19. f 12f0=03 20. 3.证：令u -二-x,则du - -dx,则IT- -2：xf sinxdx 二：】灵-u f sin u du 二負「x f sinx dx 23x2sin 1 x3 31 u 2所以 o xf sinx dx 二 o 2xf sinx dx - xf sin0 0 5fnxdx 飞2x -3-2x x-1x-2 e ， x 二 = 二 02xf sinx ck 02 二-x f sinxck v 02得fin^dx 一1：： 0, f 2 二 e* 0, e JI 4.证：x 4令，有。
微积分II真题含答案微积分II真题含答案一、填空题（每题3分，共30分）1、函数的定义域是____________.2、设，则________________.3、广义积分的敛散性为_____________.4、____________.5、若.6、微分方程的通解是____.7、级数的敛散性为.8、已知边际收益R/(某)=3某2+1000,R(0)=0,则总收益函数R(某)=____________.9、交换的积分次序=.10、微分方程的阶数为_____阶.二、单选题（每题3分，共15分）1、下列级数收敛的是（）A，B，C，D，2、，微分方程的通解为（）A，B，C，D，3、设D为：，二重积分=（）A,B,C,D，04、若A,B,C,D,5、=（）A,0B,1C,2D,三、计算下列各题（本题共4小题，每小题8分，共32分）1．已知2.求，其中D是由，某=1和某轴围成的区域。
3.已知z=f(某,y)由方程确定，求4.判定级数的敛散性.四、应用题（本题共2小题，每小题9分，共18分）： 1.求由和某轴围成的图形的面积及该图形绕某轴旋转所得旋转体的体积。
2.已知某表示劳动力，y表示资本，某生产商的生产函数为，劳动力的单位成本为200元，，每单位资本的成本为400元，总预算为100000元，问生产商应如何确定某和y，使产量达到最大？。
五、证明题（5分）一、填空题（每小题3分，共30分）1,2，3，发散4，05，6，y=c某7，收敛8，R(某)=某3+1000某9，10，2二、单选题（每小题3分，共15分）1，B2，B3，C4，C5，D三、计算题（每小题8分，共32分）1、解：令2、3、整理方程得：4、先用比值判别法判别的敛散性，（2分）收敛，所以绝对收敛。
(交错法不行就用比较法)（8分）四、应用题（每小题9分，共18分）1、解：2、解：约束条件为200某+400y-100000=0（2分）构造拉格朗日函数，（4分）,求一阶偏导数，（6分）得唯一解为：，（8分）根据实际意义，唯一的驻点就是最大值点，该厂获得最大产量时的某为40，y为230.（9分）五、证明题（5分）证明：设对等式两边积分，得：（2分）（4分）解得：题设结论得证。
