微积分习题集带参考答案大全(2)
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微积分习题集带参考答案2（2），求圆的面积为1时，面积变量S 相对于周长l 的变化率。
解 此时S 是l 的函数 πππ4222l l S =⎪⎭⎫ ⎝⎛=。
于是S 对周长l 的变化率为 π2l dl dS =。
当1=S 时π2=l ，此时ππ12==l dl dS 。
5(2). 设ax y ||=，在0=x 点可导，求α的取值范围。
解 设ax x f ||)(=。
当0≤α时，0=x 是函数的间断点，此时函数不可导。
只讨论0>α。
考虑左导数 ⎪⎩⎪⎨⎧>=<∞===---+→1,0111,0)0()(lim10ααααa x x xxx f x f ， 考虑右导数 ⎪⎩⎪⎨⎧>=-<∞=--=-=----→1,0111,)()(0)0()(lim10ααααa x x x x x f x f ， 因此该函数当1>α时在0=x 点可导，导数为0.6. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<≤+<-=1,1)1sin(10,0,1)(x x b x a x x e x f x 。
求b a ,使得)(x f 在1,0=x 可导。
解法1 因可导必连续，则 a f x f x ===-→)0(0)(lim 0，则0=a 。
这样在1=x 处)(x f 也连续。
此时 110)0()(lim )0(0=-=--='-→-x e x f x f f x x ，1lim 0)0()(lim )0(00==--='+→+→+xxx f x f f x x ，。
1111)1()(lim)1(1=--=--='-→-x x x f x f f x ，b x x b x f x f f x x =--=--='+→+→+1)1sin(lim 1)1()(lim )1(11。
若)1('f 存在，则应有b =1。
此时1)1('=f 。
解法2 同理可得0=a 。
1lim )'1(lim )0(00==-='-→-→-x x x x e e f ，11lim )'(lim )0(00==+='+→+→+x x a x f ，则1)0('=f 。
11lim )'(lim )1(11==+='-→-→-x x a x f ，b x b x b f x x =-=+-='+→+→+)1cos(lim ]'1)1sin([lim )1(11。
若)1('f 存在，则应有b =1。
此时1)1('=f 。
7. 设)(x f 在点0=x 连续，且11)(lim-=-→xx f x 。
（1）求)0(f ，（2）问)(x f 在点0=x 处是否可导。
解 （1）由连续性可知 []1)0(1)(lim 0-=-→f x f x 。
若01)0(≠-f ，则∞=-→xx f x 1)(lim， 与题设矛盾。
必有01)0(=-f ，即1)0(=f 。
（2）10)0()(lim 1)(lim00-=--=-→→x f x f x x f x x ， 由导数定义可知)(x f 在点0=x 处可导，1)0('-=f 。
8. 设)(x g 在点0=x 连续，求x x g x f 2sin )()(=在0=x 处的导数。
解 由导数的定义)0(22sin )(lim 2sin )(lim 0)0()(lim)0('000g xxx g x x x g x f x f f x x x ===--=→→→ 注：不能x x g x x g x f 2cos )(22sin )(')('+=，故)0(2)0('g f =。
9. 设1)0(=f ，2)1(=g ，1)0('-=f ，2)0('-=g 。
求 （1）xx f x x )(cos lim 0-→， （2）x x f x x 1)(2lim 0-→， （3）12)(lim1--→x x g x x解 （1）原极限[][]0)0()(lim11cos lim 1)(1cos lim000-----==---=→→→x f x f x x x x f x x x x 1)0(')'(cos 0=-==f x x（2）原极限 012]1)([2lim 122)(2lim 00--+-=-+-=→→x x f x x f x x x x x x x12ln 2ln 21)'2(2)0('022lim 20)0()(lim 000000-=+-=+⋅=--+⋅--==→→x x x x x x f x x f x f（3）原极限1)1(2lim 1]2)([lim 1222)(lim111--+--=--+-=→→→x x x x g x x x x x g x x x x 112)'(21)0('1)1(2lim 1)0()(lim111-=+-=+⋅=--+⋅--==→→x x x x g x x x x g x g10. 设1)0(=f ，1)0('-=f ，求极限 xx f x --→11)(ln lim1。
解 原极限 1)1()0('1ln lim 0)0()(lim 1ln 0ln )0()(ln lim 101=-⋅=-⋅--=-⋅--=→→→f x xu f u f x x x f x f x u x 。
习3.21.3.求下列函数的导数 （3）x x y 32log =解 3ln log 23ln 1log 2)'(log log )'('3233232xx x x x x x x x x x y +=⋅+=+=。
这里用到导数公式ax x a ln 1)(log =。
（8）∏=-=nk k x y 0)(解 此时)()2)(1(n x x x x y -⋅⋅--= 。
由公式''')'(uvw w uv vw u uvw ++=，…… 则 ∑∏=≠=-=n k nkj j j x y 10)('。
用对数求导法 )ln()1ln(ln ln n x x x y -++-+=两边求导数nx x x y y -++-+=1111' 。
则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-⋅⋅--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+=n x x x n x x x x n x x x y y 1111)()2)(1(1111'习3.31.设()f x 可导，求下列函数的导数 (3))(112x f y +=解 ()()()2222222)(1)(')(2)(')(2)(11)]'(1[)(11'x fx f x f x f x f x fx f x fy +-=⋅+-=++-=（5）())(1ln 2x f y +=解 ())(1)(')(2)(1)(11'222x f x f x f x f x f y +='++=2. 求下列函数的导数 （4）ln(234)xx x y ---=++解 1'(234)'(234)x x x xx xy ------=⋅++++ 12ln 2(1)3ln 3(1)4ln 4(1)(234)x x xxx x ------⎡⎤=⋅⋅-+⋅-+⋅-⎣⎦++ 2ln 23ln 34ln 4(234)x x x x x x ------++=-++（5）(2y =解 ('y ''==(12)'x =⋅-===。
（6）|sin |ln 21x y x -=+解 x x x x x xx y x x cos sin 1)'1(1212ln 2)'(sin sin 1)'1(2ln 2'11-++⋅=-+⋅=++x x x cot 1212ln 21-+⋅=+。
（7）||ln 22222a x x a a x x y -+--=解 )'(1)'(21'22222222222a x x a x x a a x a x x a x y -+-+⋅---⋅+-=)1(122222222222ax x ax x a ax x x a x -+-+⋅--⋅+-=)(1222222222222ax x a x ax x a ax x a x -+--+⋅--+-=22222222ax a a x x a x ---+-=222222222a x a x a x a x -=--+-=。
解22'1)'y x x a ⎛⎫'=+=++⎪⎭1⎛⎫=+==解法一 2313313212313212313212)2()2()2()2()2()2()2('⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x x x x x x x x x x y23132323212313212)2(3)2(31)2()2)(22()2(21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--++=--x x x x x x x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++-+=2)2(12232332x x x x x x x x 解法二 对数求导法 )2ln(31)2ln(21ln 32--+=x x x y )2(33)2(222'1322--++=x x x x x y y ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++=)2()2(122)2(33)2(222'322332322x x x x x x x x x x x x x y y 。
（10）xx y ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211解 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅--⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--x x x x x x x e e y xxx xx 2112111)211ln(211)211ln()211ln()211ln( ⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121)211ln(211212111)211ln(2112x x x x x x x x xx（《全解》有误） （1）若()f x 在(,)-∞+∞内可导，求α的取值范围；（2）若()f x 在(,)-∞+∞内连续可导（即'()f x 连续），求α的取值范围。
解 （1）显然左导数(0)0f -'=。
