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习题 1—1 解答1．设xf (x, y ) xy，求yf(x ,y),f1(x,1),yf (xy,xy),f1(x, y)解xf (x ,y ) xy；yf1(x,1)y1xyyx; f (xy,xy)x2y ;2 f1(x, y)yxy2x2．设f (x, y ) ln x ln y ，证明：f (xy,uv ) f (x,u ) f (x,v ) f (y,u ) f (y,v)f (xy,uv ) ln(xy ) ln(uv ) (ln x ln y)(ln u ln v )ln x ln u ln x ln v ln y ln u ln y ln vf (x,u ) f (x,v ) f (y,u ) f (y,v)3．求下列函数的定义域，并画出定义域的图形：（1）f (x, y ) 1x 2 y 2 1;4x y（2）f (x, y ) ;ln(1x y )22 2x y z2 2 2（3）f (x, y ) 1;a b c2 2 2x y z（4）f (x, y, z ) .1x 2 y z2 2解（1）D {(x, y) x 1, y 1y1-1 O 1x-1（2）D (x, y) 0x y 1, y 4x2 2 y21-1 1O x-11（3）D x y z2 2 2(x, y ) 1a b c2 2 2zc-a-b O b yax（4）( , , ) 0, 0, 0, 1D x y z x y z x 2 y z2 2z１O y１１x4．求下列各极限：1xy （1）limx0 x y2 2y 11 0= 1 0 1ln(x e y ln(1 e )) 0（2）lim ln 2 x 1 2 12 0x yy02 xy4 (2xy 4)(2 （3）lim limx xy xy0 0 (xy x 2xy4) 4)14y0 y0sin(xy) sin(xy)（4）lim lim x 2 x y2 x 2 xyy0 y05．证明下列极限不存在：x y （1）lim ;x 0 x yy0x y2 2 （2）limx 0 x y (xy )2 2 2y0（1）证明如果动点P(x, y) 沿y 2x 趋向(0,0)x y x 2x则lim lim 3；x 0 x 0x y x 2xy2x0如果动点P(x, y) 沿x 2y 趋向(0,0) ，则lim lim 3 3x y yy0 x y y0 yx 2 y02所以极限不存在。
1 第八章 微分方程初步第一节 微分方程的概念1． 验证函数212y C x C x =+是否为微分方程2220yy y x x'''-+=的解．解：122y C C x y C '''=+=２， ２， 代入方程：()221212222222()0y y y C C C x C x C x x x x x'''-+=-⋅+++=２２ 因此是解。
2．验证由方程22x xy y C -+=所确定的函数为微分方程(2)2x y y x y '-=-的通解．解：对22x xy y C -+=两边求导，有2()20x y xy yy ''-++=，即有 (2)2x y y x y '-=-，是解有因为解中一个任意常数，任意常数个数与微分方程阶数相同， 因此是通解。
3．验证函数1212()(,xy C C x e C C -=+为任意常数）是微分方程20y y y '''++=的通解，并求满足初始条件004,2,x x y y =='==-的特解．解：2122122212212()(),()(2),x x x x x x y C e C C x e C C C x e y C e C C C x e C C C x e ------'=-+=--''=----=--- 将上式代入方程左边有：21221212(2)2()()0x x x C C C x e C C C x e C C x e ------+--++=，又因为解中２个独立的任意常数，且任意常数个数与微分方程阶数相同，因此是通解。
由004,2,x x y y =='==-得： 124,2C C ==特解：(42)xy x e -=+第二节一阶微分方程1、求下列可分离变量微分方程的通解（或特解）（1）0 xydx=解：1,dyy= 11211,(1)ln, ln,,C Cdy x yyy Cy y e--=-==+==±⋅=⎰（20 +=解：,dx=,=()21,y=-arcsin,x C=即为通解（3）212,0x yxy xe y-='==解: 22,,x y y xdyxe e e dy xe dxdx-=⋅=()()22222222221,,211,,221111,ln,2224y x y xy x x y x xy x x x xe dy xe dx e xdee xe e dx e xe e dxe xe e C y xe e C===-=-⎛⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰由12xy==，得1,C=211ln()122xy x e⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦（4）23(4),1xx x y y y='-==．解:22,,(4)(4)dy dx dy dxy x x y x x==--⎰⎰()411111ln,ln ln ln4,4441ln ln,,4444Cy dx y x x Cx xC xx xy C y ex x x=+=--+-=+=±⋅=---⎰ 由31xy==，得113C=，43(4)xyx=-。
常微分2课后习题答案常微分2课后习题答案在学习常微分2这门课程中，我们不可避免地会遇到一些挑战性的习题。
这些习题旨在帮助我们巩固所学的知识，并提供实践应用的机会。
然而，有时候我们可能会遇到一些难以理解或解答的问题。
在本文中，我将分享一些常微分2课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和应用这门课程的内容。
1. 题目：求解方程 dy/dx = 2x + 3解答：这是一个一阶线性常微分方程。
我们可以将它转化为标准形式 dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中 P(x) = 0，Q(x) = 2x + 3。
根据一阶线性常微分方程的解法，我们可以通过求解齐次方程 dy/dx + P(x)y = 0 的通解和特解来得到原方程的解。
首先，我们求解齐次方程 dy/dx = 0。
显然，它的通解为 y = C，其中 C 是常数。
接下来，我们寻找特解。
由于 P(x) = 0，我们可以猜测特解为 y = Ax + B，其中 A 和 B 是待定常数。
将这个猜测代入原方程，得到 A = 2，B = 3。
因此，原方程的通解为 y = C + 2x + 3，其中 C 是任意常数。
2. 题目：求解方程 d^2y/dx^2 + 4dy/dx + 4y = e^(-2x)解答：这是一个二阶常系数齐次线性常微分方程。
我们可以使用特征方程的方法来求解。
首先，我们假设 y = e^(rx) 是方程的解。
将这个解代入方程，得到特征方程r^2 + 4r + 4 = 0。
解这个二次方程，得到 r = -2。
因此，方程的通解为 y = (C1 + C2x)e^(-2x)，其中 C1 和 C2 是任意常数。
接下来，我们寻找特解。
由于右侧是指数函数，我们猜测特解为 y = Ae^(-2x)，其中 A 是待定常数。
将这个猜测代入方程，得到 A = 1/9。
因此，原方程的通解为 y = (C1 + C2x)e^(-2x) + 1/9e^(-2x)，其中 C1 和 C2是任意常数。
数学必修二：微积分中的定积分习题答案在微积分学习的过程中，掌握定积分的概念和求解方法是非常重要的。
本文将提供一些关于定积分的习题，并给出详细的解答，帮助读者更好地理解和掌握定积分的应用。
一、基础习题1. 求函数f(x)=2x的定积分∫[1, 3] 2x dx的值。
解答：利用定积分的定义，首先求出原函数F(x) = x^2，在[1, 3]范围内，F(3) - F(1)即为所求的定积分的值。
F(x) = x^2∫[1, 3] 2x dx = [x^2]1^3 = 3^2 - 1^2 = 8。
2. 计算定积分∫[-2, 2] |x| dx。
解答：分段函数|x|的定义为：当x≥0时，|x| = x；当x<0时，|x| = -x。
所以在[-2, 2]范围内，|x|可分为两个部分，负值和正值。
∫[-2, 2] |x| dx = ∫[-2, 0] -x dx + ∫[0, 2] x dx。
根据定积分的性质，负号可以提出定积分符号外，所以上式等于：= -∫[-2, 0] x dx + ∫[0, 2] x dx。
根据定积分的定义，∫[-2, 0] x dx = [x^2/2]_(-2)^0 = (0^2/2) - ((-2)^2/2) = 2。
同样，∫[0, 2] x dx = [x^2/2]_0^2 = 2^2/2 - 0^2/2 = 2。
将上述结果代入原式得：-∫[-2, 0] x dx + ∫[0, 2] x dx = -2 + 2 = 0。
二、综合习题1. 求函数f(x) = x^3 - 2x在[-1, 2]上的定积分。
解答：首先求出原函数F(x)，F(x) = （x^4/4） - (x^2)。
∫[-1, 2] (x^3 - 2x)dx = [（x^4/4） - (x^2)]_(-1)^2。
将x代入方程得：= （2^4/4） - (2^2) - [(-1)^4/4] - [(-1)^2] = 8/4 - 4 - 1/4 - 1。
微积分第二版课后习题答案【篇一：微积分(上册)习题参考答案】0.11.（a）是（b）否（c）是（d）否2.（a）否（b）否（c）否（d）是（e）否（f）否（g）是（h）否（i）是1,2,3},{1,2,4},{1,3,4}, 3.f,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{{2,3,4},{1,2,3,4}.4. a?b5. a?b6~15. 略。
16. 证明：先证a-(b-c)?(ab)惹(ac).若x?a(b-c)，则x蜗a,x①如果x?c，则x蜗a,②如果x?c，则x?b，所以x?aa-(b-c)?(ab)惹(ac).再证a-(b-c)惹(ac)?a(b-c).若x￠?(ab)惹(ac)，则，x￠?ab或x￠吻ac.①如果x￠吻ac，有x￠?c，所以，x￠?bc，又x￠?a，于是x￠?a(b-c) ②如果x￠锨ac，x￠?ab，则有x￠?a，x￠?c，x￠?b，所以，x￠?bc，于是x￠?a(b-c). 因此有(a-b)惹(ac)?a(b-c).综上所述，a-(b-c)=(a-b)惹(ac)，证毕. 17~19. 略。
20. cda.21. a?b{(1,u),(1,v),(2,u),(2,v),(3,u),(3,v)};禳1镲xx?r,睚2镲铪参考答案禳禳11镲镲，，a?d-1,-,0,1,2,3,?a-c=睚0,-1,-睚镲镲44铪铪禳1镲a=睚-1,-,0,1,2,7.镲4铪xx危r,1x 2}x3，a?b={，a-b={xx?r,2x3}.b-cb-c;(ac)，因此有b，也有x?(ab)惹a2={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)};b2={(u,v),(u,v),(v,u),(v,v)}22. a={(x,y,z)}x,y,z危?.0323~25. 略。
（完整版）⾼等数学II练习册-第10章答案习题10-1 ⼆重积分的概念与性质1.根据⼆重积分的性质，⽐较下列积分的⼤⼩：（1）2()D x y d σ+??与3()Dx y d σ+??，其中积分区域D 是圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成；（2）ln()Dx y d σ+??与2[ln()]Dx y d σ+??，其中D 是三⾓形闭区域，三顶点分别为(1,0)，(1,1)，(2,0)；2.利⽤⼆重积分的性质估计下列积分的值：（1）22sin sin DI x yd σ=，其中{(,)|0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤；（2）22(49)DI x y d σ=++??，其中22{(,)|4}D x y x y =+≤.（3）.DI =，其中{(,)|01,02}D x y x y =≤≤≤≤解 (),f x y =Q 2，在D 上(),f x y 的最⼤值()14M x y ===，最⼩值()11,25m x y ====故0.40.5I ≤≤习题10-2 ⼆重积分的计算法1.计算下列⼆重积分：（1）22()Dx y d σ+??，其中{(,)|||1,||1}D x y x y =≤≤；（2）cos()Dx x y d σ+??，其中D 是顶点分别为(0,0)，(,0)π和(,)ππ的三⾓形闭区域。
2.画出积分区域，并计算下列⼆重积分：（1）x y De d σ+??，其中{(,)|||1}D x y x y =+≤（2）22()Dxy x d σ+-??，其中D 是由直线2y =，y x =及2y x =所围成的闭区域。
3.化⼆重积分(,)DI f x y d σ=为⼆次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个⼆次积分），其中积分区域D 是：（1）由直线y x =及抛物线24y x =所围成的闭区域；（2）由直线y x =，2x =及双曲线1(0)y x x=>所围成的闭区域。
高等数学第十章答案【篇一：高等数学2第十章答案_62010】=txt>1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1）成；2223d与，其中积分区域是圆周(x?2)?(y?1)?2所围(x?y)d?(x?y)d????? dd（2）??ln(x?y)d?与??[ln(x?y)]d?，其中d是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)，dd2(1,1)，(2,0)；2.利用二重积分的性质估计下列积分的值：（1）i?22sinxsinyd?，其中d?{(x,y)|0?x??,0?y??}；??d（2）i?2222，其中d?{(x,y)|x?y?4}.(x?4y?9)d???d（3）.i?d，其中d?{(x,y)|0?x?1,0?y?2}解f?x,y??，积分区域的面积等于2，在d上f?x,y?的最大值1m?11?x?y?0?，最小值m???x?1,y?2? 45故0.4?i?0.5习题10-2二重积分的计算法1.计算下列二重积分：（1）22(x?y)d?，其中d?{(x,y)||x|?1,|y|?1}；??d（2）??xcos(x?y)d?，其中d是顶点分别为(0,0)，(?,0)和(?,?)的三角形闭区域。
d2.画出积分区域，并计算下列二重积分：（1）x?ye??d?，其中d?{(x,y)||x|?y?1}d2（2）??(xd2?y2?x)d?，其中d是由直线y?2，y?x及y?2x所围成的闭区域。
3.化二重积分i???f(x,y)d?为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次d积分），其中积分区域d是：2（1）由直线y?x及抛物线y?4x所围成的闭区域；（2）由直线y?x，x?2及双曲线y?1(x?0)所围成的闭区域。
x34.求由曲面z?x2?2y2及z?6?2x2?y2所围成的立体的体积。
5.画出积分区域，把积分22其中积分区域d是： ??f(x,y)dxdy表示为极坐标形式的二次积分， d（1）{(x,y)|x?y?2x}；4（2）{(x,y)|0?y?1?x,0?x?1}6.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：（1）?2dxxfdy；5【篇二：高等数学课后习题答案第十章】重积分性质，比较??dln(x?y)d?与??d[ln(x?y)]d?2的大小，其中：（1）d表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形；（2）d表示矩形区域{(x,y)|3?x?5,0?y?2}.解：（1）区域d如图10-1所示，由于区域d夹在直线x+y=1与x+y=2之间，显然有图10-11?x?y?2从而0?lnx(?y?)12故有ln(x?y)?[lnx(?y )]d所以 ??ln(x?y)?d???[lxn?(y2?)]d时，有（2）区域d如图10-2所示.显然，当(x,y)?dx?y?3.图10-2 从而 ln(x+y)1 故有ln(x?y)?[lnx(?y )]d2??所以（1）（2）（3）ln(x?y)?d???d[lxn?(y2?)]d2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： i?i?i???????d?,d?{(x,y)|0?x?2,0?y?2}22;;d(x,y)?d0?y?2时，有0?x?2,2222.解：（1）因为当因而0?xy?4.从而2??2d??故??即而d??d????d?2??d??d??d??d?d??dd???得8???d2??2(2) 因为0?sinx?1,0?siny?1，从而 220?sinxsiny?1故即??d0d????dsinxsinyd??222??d1d?0???dsinxsinyd????dd???2所以0???d22222（3）因为当2(x,y)?d20?x?y?4所以时，229?x?4y?9?4(x?y)?9?25故 ??即d9d??2??d(x?4y?9)d??222??d25d?9????d(x?4y?9)d??25?2所以??d223. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：??（1）（2）d(a??,d?{(x,y)|x?y?a};d?{(x,y)|x?y?a}.222222??d?,(a?解：（1）??d?,在几何上表示以d为底，以z轴为轴，以（0，0，a）为顶点的圆锥的体积，所以d(a???133??（2）d?在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以a为半径的上半球的体积，故??d??233lim4. 设f(x，y)为连续函数，求2r?0??df(x,y)d?,d?{(x,y)|(x?x0)?(y?y0)?r}222.解：因为f(x，y)为连续函数，由二重积分的中值定理得，?(?,?)?d,使得??d2(?,?)?(x0,y0),又由于d是以（x0，y0）为圆心，r为半径的圆盘，所以当r?0时，lim2r?0??df(x,y)d??lim2r?0r?02于是：5. 画出积分区域，把（1）(?,?)?(x0,y0)limf(?,?)?f(x0,y0)??df(x,y)d?化为累次积分：;d?{(x,y)|x?y?1,y?x?1,y?0}2(2)d?{(x,y)|y?x?2,x?y}2xd?{(x,y)|y?(3),y?2x,x?2}解：（1）区域d如图10-3所示，d亦可表示为y?1?x?1?y,0?y?1.??所以2df(x,y)d???10dy?1?yy?1f(x,y)dx(2) 区域d如图10-4所示，直线y=x-2与抛物线x=y2的交点为（1，-1），（4，2），区域d可表示为y?x?y?2,?1?y?2图10-3 图10-4??所以df(x,y)d???2?1dy?y?2y2f(x,y)dxy?（3）区域d如图10-5所示，直线y=2x与曲线 2x的交点(1，2)，与x=2的交点为(2，4),曲线 y?2x与2x=2的交点为（2，1），区域d可表示为x ?y?2x,1?x?2.图10-5??所以df(x,y)d???21dx?2f(x,y)dyx2x.6. 画出积分区域，改变累次积分的积分次序： ?（1）?(3)1020dy?2yyf(x,y)dx; (2) ?edx?lnx0f(x,y)dy;dy3?2yf(x,y)dx; (4)33?y0?dx?sinx?sinx2f(x,y)dy;(5) ?1dy?2y0f(x,y)dy??1dy?f(x,y)dx.0?y?2,解：（1）相应二重保健的积分区域为d：y?x?2y.如图10-6所示.2图10-60?x?4,d亦可表示为：202yy2x24所以?dy?f(x,y)dx??dxxf(x,y)dy.2(2) 相应二重积分的积分区域d： 1?x?e,0?y?lnx.如图10-7所示.图10-70?y?1,d亦可表示为：e?x?e, 10y所以?e1dx?lnx0f(x,y)dy??dy?eeyf(x,y)dx(3) 相应二重积分的积分区域d 为：0?y?1,?x?3?2y,如图10-8所示.图10-8d亦可看成d1与d2的和，其中 0?x?1,d1：1?x?3,d2：103?2y0?y?x, 0?y?12(3?x).10x022?所以dyf(x,y)dx??dx?f(x,y)dy??311dx?x220(3?x)f(x,y)dy.(4) 相应二重积分的积分区域d为：?sin?y?sinx.如图10-9所示.图10-9d亦可看成由d1与d2两部分之和，其中 d1：d2：?1?y?0,0?y?1,【篇三：高等数学第十章测试练习】基础练习题一、选择题（共5题，每题4分，共20分）1.下列方程中，是一阶齐次微分方程的为（ b ） a．xy?ylny b. y? yydy(1?ln) c．y?2y d．?10x?y xxdx2.一阶线性微分方程y?p(x)y?q(x)的积分因子为（ a ） a．e?p(x)dxb.??p(x)dxp(x)dx c． d．??p(x)dx e?3.微分方程y?6y?9y?0的通解为（ b ） a．(c2?c1x)e b.(c2?c1x)e?3xc．(c2?x)e1 d．(c2?c1x)ecx3x4.下列方程中，线性微分方程有（ c ） a．y?yy(1?ln)b.yy?(y)2 xxc．y?8y?25y?0 d．(1?y2)dx?(arctany?x)dy5.设y1,y2是ay?by?cy?f(x)的两个特解，则下列说法正确的是（ c ） a．y1?y2仍为该方程的特解b.y1?y2仍为该方程的特解c．y?y1?y2?y1为该方程的特解d． y?c1y1?c2y2为该方程的通解二、填空题（共5题，每题4分，共20分） 1.设曲线上任意点p(x,y)处的切线的斜率为x，且曲线经过点(?2,1)，则该曲线的方程为 yy2?x2?3?0 。
考研数学二（多元函数微积分学）模拟试卷10(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设函数f(u)连续，区域D={(x，y)｜x2+y2≤2y}，则，等于( )A．B．C．D．正确答案：D解析：积分区域D={(x，y)｜x2+y2≤2y}(如图4—3)．在直角坐标系下，故排除A、B两个选项．因此正确答案为D．知识模块：多元函数微积分学2．设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，则下列结论正确的是( ) A．f(x0，y)在y=y0处的导数大于零．B．f(x0，y)在y=y0处的导数等于零．C．f(x0，y)在y=y0处的导数小于零．D．f(x0，y)在y=y0处的导数不存在．正确答案：B解析：因可微函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，故有fx’(x0，y0)=0,fy’(x0，y0)=0．又由知识模块：多元函数微积分学3．设函数其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有( )A．B．C．D．正确答案：B解析：知识模块：多元函数微积分学4．设f(x，y)为连续函数，则等于( )A．B．C．D．正确答案：C解析：由题设可知，积分区域D如图4—4所示，则知识模块：多元函数微积分学5．累次积分可以写成( )A．B．C．D．正确答案：D解析：由累次积分可知，积分区域D为由r=cosθ为圆心存x轴上．直径为1的圆可作出D的图形如图4—5所示．该圆的直角坐标方程为故用直角坐标表示区域D为可见A、B、C均不正确，故选D．知识模块：多元函数微积分学6．设g(x)有连续的导数，g(0)=0，g’(0)=a≠0,f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则=( )A．B．C．D．正确答案：C解析：由积分中值定理知知识模块：多元函数微积分学7．设f(x)为连续函数，，则F’(2)等于( )A．2f(2)．B．f(2)．C．一f(2)．D．0．正确答案：B解析：交换累次积分的积分次序，得于是F’(t)=(t一1)f(t)，从而F’(2)=f(2)．故选B．知识模块：多元函数微积分学8．设函数f(x，y)连续，则二次积分等于( )A．B．C．D．正确答案：B解析：由题设可知，，可转化为0≤y≤1，π—arcsiny≤x≤π，故应选B．知识模块：多元函数微积分学9．设有平面闭区域，D={(x，y)｜—a≤x≤a，x≤y≤a}，D1={(x，y)｜0≤x≤a，x≤y≤a}，则=( )A．B．C．D．0正确答案：A解析：将闭区间D={(x，y)｜一a≤x≤a，x≤y≤a}按照直线y=一x将其分成两部分D1和D2，如图4—6所示，其中D1关于y轴对称，D2关于x轴对称，xy关于x和y均为奇函数，所以在D，和D2上，均有．而cosxsiny是关于x的偶函数，关于y的奇函数，在D1积分不为零，在D2积为零，因此故选项A正确．知识模块：多元函数微积分学10．累次积分∫01dx∫x1f(x，y)dy+∫12dy∫12-yf(x，y)dx可写成( ) A．∫02-xdx∫x2-xf(x,y)dy．B．∫01dy∫02-yf(x,y)dx．C．∫01dx∫x2-yf(x,y)dyD．∫01dy∫y2-yf(x,y)dx．正确答案：C解析：原积分域为直线y=x，x+y=2，与y轴围成的三角形区域，故选C．知识模块：多元函数微积分学填空题11．设函数f(u，v)具有二阶连续偏导数z=f(x，xy)，则=___________.正确答案：xf12’’+f2’+xyf22’’解析：由题干可知，知识模块：多元函数微积分学12．二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的极小值为__________.正确答案：解析：由题干可知，知识模块：多元函数微积分学13．函数f(x，y)=x2y(4一x一y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最小值是___________．正确答案：一64解析：根据题意可知，得区域D内驻点(2，1)．则有fxx’’=8y一6xy一2y2；fxy’’=8x一3x2—4xy；fyy’’=一2x2．则A=一6，B=一4，C=一8，有AC—B2=32＞0，且A＜0．所以，点(2，1)是z=f(x，y)的极大值点，且f(2，1)=4．当y=0(0≤x≤6)时，z=0；当x=0(0≤y≤6)时，z=0；当x+y=6(0≤y≤6)时，则z=2x3一12x2(0≤x≤6)，且令，解得x=4．则y=2,f(4，2)=一64．且由上f(2，1)=4,f(0，0)=0．则z=f(x，y)在D上的最大值为f(2，1)=4，最小值为f(4，2)=一64．知识模块：多元函数微积分学14．设其中函数f(u)可微，则=___________.正确答案：0解析：因为知识模块：多元函数微积分学15．设函数f(u，v)由关系式f[xg(y),y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)≠0，则=___________．正确答案：解析：知识模块：多元函数微积分学16．设D={(x，y)｜x2+y2≤1}，则=_____________．正确答案：解析：知识模块：多元函数微积分学17．设=________.正确答案：2ln2+1解析：由z=(x+ey)x，故z(x，0)=(x+1)x，则知识模块：多元函数微积分学18．设函数z=z(x，y)由方程z=e2x-3z+2y确定，则=___________.正确答案：2解析：知识模块：多元函数微积分学19．设函数=__________.正确答案：(1+2ln2)dx+(一1—2ln2)dy解析：知识模块：多元函数微积分学20．设=___________．正确答案：解析：知识模块：多元函数微积分学21．将∫01dy∫0yf(x2+y2)dx化为极坐标下的二次积分为__________．正确答案：解析：如图4—9所示，则有知识模块：多元函数微积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
I 10.令 x = asect第四章 不定积分答案2 24. I = sin x sinxdx = - 1-cosxdcosx 、填空题 2.F x |亠 C 3.1 二-cosx — \ 3 1 31 3 cos x J ■ C cos x-cosx C3 3x C 5.4. -C In 2 」x 335.一丄Cxxe (e x ) +1dx 二一de _2 二 arctang XC ’1+(e x ) 6. 6e x C 7.-3sin x C I 二 t 2—1 t 2tdt =2 t 4 -t 2 dt8. 3x x arcta n x C 39.x r 2 C1-In 3x + 2x +C 2 1 2 10. In 2x C 2 -cos2x C 12. le 7x C7114. 丄 In 1+2x+C 2 13. 7. 令 t = 6x11.15.1—2x C 1 316. 「cosx cos x C 3 8. 17. e" 1 x C 18. 6"dt t 123t 2—6t +6ln t +1 +C1 13x^ -6x® +6 In x令 x= si nt3I =1 - sin 2t 2costdt - I i cost dt二、 单项选择题 1 . C 2 . A 3 . D 4 7 . D 8 . D 9 . 12.B 三、 计算题 1 .A10.A.B11.Bx二 sec 2 tdt 二 tant CCTT79 .令 x =ta ntseC tdt (1+tan 2t j2 .■sec 4-dt二 costdt sec t2 -.2 -x 2d 2 -x2 -x 2 C2. 1 x 2 = l n 1 x 2 C-exd ;1 111 cos2t dt t —sin2t C2 2 4 11 1x t sintcost C arctanx 2 C 2 2 21 x 23.1-e" C.a2 sect -1 asectantdt =a tarn tdtasec=a lise^t -1 dt =a tant -t Cf'-2—2 、x -a aarccos a x4C=Jx2 217. a-a -aarccos Cx2x 2 _xI = - x de = x e_ 2xe*dx-x2e» -2 xde^-x2e» -2xe" 2 e^dx_x2 _2x_2 e」C11. I =dx2、厂1_ 1 sect tant3 ta nt22令x^sect secttantdt 18.=1J322Jsec t -1dt^1sectdt31=Tn sect +tant 3 C = 】ln33x站4219.12.1 d 3x-1 _J(3X-12+6 3=]| n j9x2-6x+7+3x-1+C13. 2 2I =xln 1 X - xdln 1 x2 =xln 1 x2 =xln 1 x -x^dx；_2x 2arctanx C20.14.xde x = xe x - e x dx =xe x-e x C15.I = x arccosx - xd arccosxx arccosx dx1-x21「1 ,2 .= xarccosx-—J ；2d(1-x )21.16.x arccosx - 1 - x2 CI = lnxdl 」一hx ^dx — Sx」C x x x x x4 4二(ln x)2d£4(ln x)2-4 41 3x ln xdx = — (ln x)21 4| 1x ln x8 81 4 1 4--x ln x x C8 324x 2(ln x)44=—(ln x)24x4 (ln x)4=sin xde xx41(2ln x)—dx44 x4、4 1 .x dxx=e x sin x - e x cosxdx=e x sin x - cosxde xX ・x x .=e sin x -e cosx e dcosx= e x(sin x-cosx) - ' e x sin xdxe x sin xdx = - e x(sin x -cosx) C2I = sec x secxdx = secxd tan x=secxtanx- 'tanx tanx secxdx=secxtanx- '(sec x-1)secxdx=secxtan x- sef xdx亠i secxdx3=secxtanx- Jsec xdx + In secx +31[sec xdx = —(secxtanx + ln secx +2x-8 ln xdx4tanxtanx C令t=, xI二.eStdt = 2 tdd =2td -2 ddt= 2td -2& C =2 =e x-2e x C22. l=Jlnlnxdlnx =（lnlnx）nx —J Inxd（lnlnx） 21.=lnlnx lnx- lnx —-dxlnx x =lnlnx lnx-lnx C 23.24.F b —F a1e --e22.5ln623.d cos2x = 4 xcos2x sin2xC4 825.1 26. JI227. e-2 28.4 29. 2,3-2arctan f 3 - arctan f 124. l = ln xd3 1 3x lnx x ——■C3 9第五章定积分及其应用答案32.5633.e 34. _135.<36. 1 37. 38. 12 2 3兀 139. 一2 _2二单项选择题30.0 31.0、填空题[f （x pxb a4.2.03.5.负6.正7. l1>l28. 1. A 2 . D 3 . B 4 . C 5 . A 6 . C7. C 8 . B9 . A 10.C 11.C 12.D 13.C 14.C 15.B 16.C17.A 18.B 19.B 20.A 21.B22.C 23.B 24.A 25.C 26.A三、证明题1冃2 9. l1>l2 证：令u=a， b-a,则10.- 11. 12. baf x dx du 二b-a dx,所以13. 2xe x14. sin xb - a ] I f || a b - a x dx =1 1f u du = 0 f x dx-x sin3fi x 16.10,1 2x1 cos2 x215.2.证：令u)]17.1 18.fx3f （x2=x2,则du = 2xdx ,所以1 a2.d^=- 0 uf udu=? 0 1 a220xf x dx19. f 12f0=03 20. 3.证：令u -二-x,则du - -dx,则IT- -2：xf sinxdx 二：】灵-u f sin u du 二負「x f sinx dx 23x2sin 1 x3 31 u 2所以 o xf sinx dx 二 o 2xf sinx dx - xf sin0 0 5fnxdx 飞2x -3-2x x-1x-2 e ， x 二 = 二 02xf sinx ck 02 二-x f sinxck v 02得fin^dx 一1：： 0, f 2 二 e* 0, e JI 4.证：x 4令，有。
第十章 无穷级数习题解答练习 10.11. 写出下列级数的一般项: (1)1(1)n +- ; (2)1121(1)n n n a +-+-; (3) 21nn+; (4)21n n -+. 2. 用定义判断下列级数的敛散性:(1) 当n 为奇数时, 前n 项和为1; 当为偶数时, 前n 项和为0, 故此级数发散. (2) 前n 项和为ln n , 其极限为+∞, 故此级数发散. (3) 此级数为公比是15的等比级数, 故此级数收敛. (4) 当1x <时, 此级数为公比是x -的等比级数, 故级数收敛; 当1x ≥时, 此级数为公比是x -的等比级数, 故级数发散. (5) 前n 项和为11(1)221n -+, 其极限为12, 故此级数收敛. 练习 10.21. 根据级数收敛的性质判断下列级数的敛散性: (1) 此级数通项的极限为10≠, 故此级数发散. (2) 此级数通项的极限为不存在, 故此级数发散 (3) 此级数通项的极限为10≠, 故此级数发散 (4) 此级数通项的极限为10≠, 故此级数发散 (5) 此级数是两个收敛级数的差, 故此级数收敛(6) 此级数是一个有限数和一个收敛级数的和, 故此级数收敛 (7) 此级数是一个发散级数和一个收敛级数的和, 故此级数发散 2. 若级数1nn u∞=∑ 收敛, 指出下列哪些级数是一定收敛的, 哪些级数是发散的? 哪些不能确定?(1) 此级数是两个收敛级数的差, 故此级数收敛(2) 此级数是由收敛级数删掉有限项后得到, 故此级数收敛 (3) 此级数通项的极限为∞, 故此级数发散 (4) 不一定 (5) 不一定 练习 10.31. 用比较判别法判别下列级数的敛散性: (1) 此级数的通项小于1()2n, 后者对应的级数收敛, 故此级数收敛(2) 此级数的通项小于21n, 后者对应的级数收敛, 故此级数收敛(3) 此级数的通项大于12n +, 后者对应的级数发散, 故此级数发散 (4) 此级数的通项大于111[]b a n a⋅++, 后者对应的级数发散, 故此级数发散 (5) 此级数的通项小于2103n, 后者对应的级数收敛, 故此级数收敛(6) 此级数的通项小于21n, 后者对应的级数收敛, 故此级数收敛(7) 此级数的通项小于321(1)n +, 后者对应的级数收敛, 故此级数收敛2. 用比值或根值判别法判别下列级数的敛散性: (1) 由根值判别法, 此级数收敛 (2) 由比较判别法, 此级数收敛 (3) 由根值判别法, 此级数收敛 (4) 由根值判别法, 此级数收敛 (5) 由根值判别法, 此级数收敛 (6) 由根值判别法, 此级数收敛 (7) 由根值判别法, 此级数收敛 (8) 由根值判别法, 此级数收敛3. 判别下列级数的敛散性, 若收敛, 指出是绝对收敛还是条件收敛:(1) 由交错级数敛散性判别法, 此级数收敛, 但其通项取绝对值后所得级数发散, 故此级数条件收敛(2) 此级数通项的极限不存在, 故此级数发散 (3) 由根值判别法, 此级数绝对收敛 (4) 由根值判别法, 此级数绝对收敛(5) 由交错级数敛散性判别法, 以及调和级数的定义, 可知:1p >时绝对收敛; 01p <≤时条件收敛; 0p ≤时发散 练习 10.41. 求下列幂级数的收敛区间:(1) 此级数收敛半径为1, 中心在0x =, 在1x =处发散, 故其收敛区间为[)1,1- (2) 此级数收敛半径为+∞, 中心在0x =,故其收敛区间为(),-∞+∞ (3) 此级数收敛半径为0, 中心在0x =, 故此级数仅在0x =处收敛 (4) 此级数收敛半径为, 中心在0x =,在x =处发散, 故其收敛区间为(-(5) 此级数收敛半径为12, 中心在1x =, 在32x =处发散, 故其收敛区间为[)12,32 2. 求幂级数!nn n x ∞=∑ 的和函数, 并求级数 1(1)!2n n n +∞=+∑ 的和. 解: 利用xe的展开示,!nn n x∞==∑()12,,;1(1)!2n xn x n e e +∞=∈-∞+∞=-+∑3. 求幂级数2121n n n x+∞=+∑ 的和函数, 并求级数211211()2n n n +∞=+∑ 的和.解: 21221()211n nn n n x x x+∞∞=='==+-∑∑, 再根据例7, 则21021n n n x+∞=+∑=()11ln ,1,1;21xx x +∈-- 211211()2n n n +∞=+∑1ln 32=练习 10.51. 写出下列函数的n 阶麦克劳林公式:(1) 解: 12311()23(1)n nx Rn x nx x x--++++-, 其中11()1(1)(1)nn n Rn x n x ξ++=⋅+-+.(2) 解: 2(1)(1)(1)12!!nn x n xxαααααα---++++++()Rn x , 其中()Rn x =11(1)()(1)!(1)n n n n x xααααθ--+--++, 01θ<<2. 将下列函数展开成x 的幂级数, 并求收敛区间: (1) 解:()2,,!2n nn x n x +∞=∈-∞+∞⋅∑ (2) 解: ()201,,22(2)!(1)nn n x n x ∞=+∈-∞+∞-∑ (3) 解:()21(21)!!,1,1(2)!!21(1)nn n n x n n x+∞=-⋅∈-++-∑3. 将函数 f(x)=lnx 展开成x -1的幂级数. 解:(]11,0,2(1)(1)nn n x nx ∞-=∈--∑4. 利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值:(1)12e= 1.649(2)1573(1)243=+ 3.017(3) 11ln 3ln 2ln(1)ln(11)ln(1)22=++=+++ 1.0986(4) 20cos cos 18(2)!()18(1)10nnn n ππ∞===-∑0.9848习题十1. 单项选择题:(1) A (2) C (3) A (4) C (5) C (6) D (7) B (8) B (9) A (10) D (11) C (12) C (13) C (14) D (15) D (16) D (17) B (18) B (19) D (20) C 2. 填空: (1)2,2(1)n n +; (2) 12S u -; (3) 0a =; (4) ()(),11,-∞+∞(5) 01a <<; (6) ln 0.9-; (7)1(1cos1)2- 3. 判断正误:(1) F (2) F (3) T (4) F (5) F (6) T (7) F (8) F (9) F (10) F (11) F (12) T (13) T (14) F (15) T (16) F (17) F 4. 根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的敛散性: (1) 此级数通项极限不存在, 故发散(2) 此级数为公比是213<的级数, 故收敛 (3) 此级数前n 项和的极限为12, 故收敛5. 已知级数的部分和1n n ns +=, 写出这个级数.解: 11122132(1)n n -----⋅⋅-6. 判别下列级数的敛散性:(1) 此级数通项的极限为108≠, 故此级数发散 (2) 此级数通项的极限为30≠, 故此级数发散(3) 此级数是两个收敛级数的和, 故此级数收敛(4) 此级数是公比是sin11<的级数加有限项, 故此级数收敛 (5) 此级数通项的极限为10≠, 故此级数发散(6) 由根值判别法知此级数收敛7. 用比较判别法判别下列级数的敛散性: (1) sin22nnππ<, 故收敛; (2)22211n an<+,故收敛; (3) 11n >+, 故发散 (4)11(ln )2nn n <, 故收敛; (5) 22111cos 221(sin)2n nn-=<, 故收敛(6)12n>, 故发散 8. 用比值或根值判别法判别下列级数的敛散性:(1) 由根值判别法, 此级数的通项开n 次方的极限为2>1, 故发散 (2) 由根值判别法, 此级数的通项开n 次方的极限为12<1, 故收敛 (3) 由比值判别法, 此级数发散 (4) 由比值判别法, 此级数发散(5) 由根值判别法, 此级数的通项开n 次方的极限为12<1, 故收敛 (6) 由比值判别法, 此级数收敛(7) 由根值判别法, 此级数的通项开n 次方的极限为12<1, 故收敛 (8) 由根值判别法, a b >时级数收敛, a b <时级数发散 (9) 由比值判别法, 此级数收敛 9. 判定下列级数的敛散性: (1) 由根值判别法, 此级数收敛(2) 此级数是一个发散级数和一个收敛级数的差, 故发散 (3) 由比较判别法, 此级数发散 (4) 由比值判别法, 此级数收敛 (5) 由根值判别法, 此级数收敛 (6) 由比较判别法, 此级数收敛 (7) 由比较判别法, 此级数发散(8) 此级数通项极限不为0, 故此级数发散 (9) 由根值判别法, 此级数收敛 (10) 由比较判别法, 此级数收敛 (11) 由比较判别法, 此级数收敛 (12) 由比较判别法, 此级数收敛10. 下列级数哪些是绝对收敛、条件收敛或发散的: (1) 由交错级数的莱布尼兹判别法, 此级数条件收敛 (2) 此级数通项极限不为0, 故此级数发散 (3) 由比较判别法, 此级数绝对收敛 (4) 由比较判别法, 此级数绝对收敛(5) 此级数通项极限不存在, 故此级数发散(6) 由交错级数的莱布尼兹判别法, 此级数条件收敛 (7) 由比较判别法, 此级数绝对收敛 (8) 由比较判别法, 此级数绝对收敛(9) 由交错级数的莱布尼兹判别法, 此级数条件收敛 (10) 由交错级数的莱布尼兹判别法, 此级数条件收敛 (11) 由根值判别法, 此级数绝对收敛 (12) 由比较判别法, 此级数绝对收敛(13) 1x <时绝对收敛, 1x =且1p >时绝对收敛, 1x =且01p <<时条件收敛 (14) 由比较判别法, 此级数绝对收敛(15) 由交错级数的莱布尼兹判别法, 此级数条件收敛 11. 讨论级数1()1nn an n ∞=+∑(a >0) 的敛散性. 解: 1a ≥时发散, 01a <<时收敛12. 讨论级数 11(1)nn n np∞+=-∑ 的敛散性 (p >0).解: 1p >时绝对收敛, 1p =时条件收敛, 01p <<时发散13. 证明当∣x ∣≠1时, 级数 211nnn x x ∞=+∑ 绝对收敛. 证明: a) 当0x =时结论显然成立; b) 当1x <时,21nnxx +11nnxx=+nx<, 结论成立;c) 当1x >时, 21nnx x+1nx<,结论成立.14. 证明: (1) 设正项级数1nn u∞=∑ 收敛, 证明级数21nn u∞=∑ 也收敛; 试问反之是否成立?(2) 设n a ≥0, 且数列 {n n a } 有界, 证明级数21nn a∞=∑ 收敛;(3) 若级数21nn a∞=∑,21nn b∞=∑ 收敛, 证明1n nn a b∞=∑ 绝对收敛;(4) 设级数21n n u ∞=∑ 收敛, 证明级数1(0)nn n u u n∞=>∑ 也收敛.证明: (1) 由正项级数1n n u ∞=∑ 收敛, 则其前n 项和n S 的极限存在, 从而2()n S 的极限存在, 设级数 21nn u∞=∑的前n 项和为nT, 显然nT<2()n S , 故级数21nn u∞=∑ 也收敛, 但反之不成立;(2) 由n a ≥0, 且数列 {n n a } 有界, 故存在固定常数c , 使得n n a c ≤, 从而()22n c n a ≤, 因此级数 21nn a∞=∑ 收敛;(3) 由级数21nn a∞=∑,21nn b∞=∑ 收敛, 又有222nnn n a ba b ≤+, 故1n n n a b ∞=∑ 绝对收敛;(4) 由级数21n n u ∞=∑ 收敛,211n n∞=∑收敛, 由(3)知级数 1(0)nn n u u n ∞=>∑ 也收敛. 15. 设1nn u∞=∑是绝对收敛的级数, 试证: 由1nn u∞=∑的一切正项组成的级数1nn p∞=∑是收敛的; 由1nn u∞=∑的一切负项组成的级数1nn q∞=∑是收敛的.证明: 由题设知nnp u≤,nnq u≤, 故级数1nn p∞=∑收敛, 级数1nn q∞=∑也收敛16. 证明 lim 0!nn c n →∞= (c >1, 常数) 证明: 由0!n xn n x e ∞==∑, 则0!ncn n c e ∞==∑, 故lim 0!nn cn →∞= (c >1, 常数) 17. 确定下列幂级数的收敛区间:(1) 此级数收敛半径为1, 中心在3x =, 故其收敛区间为[]2,4(2) 此级数收敛半径为1, 中心在0x =, 在1x =处发散, 故其收敛区间为[)1,1- (3) 此级数收敛半径为0, 故其收敛区间为0(4) 此级数收敛半径为1, 中心在0x =, 在1x =-处发散, 故其收敛区间为(]1,1- (5)中心在0x =,故其收敛区间为⎡⎣(6) 此级数收敛半径为e , 中心在1x =, 在1x e =-处发散, 故其收敛区间为(]1,1e e -+(7) 无收敛域(8) 此级数收敛半径为1, 中心在0x =, 在1x =±处发散, 故其收敛区间为()1,1- 18. 将下列函数展开成关于x 的幂级数, 并求收敛区间: (1)[]21,1,121(1)n nn x n x +∞=∈-+-∑(2) 13211113(23)32(21)(1)!(1)2n n n n x n n xx ---⋅--+++⋅---, []1,1x ∈-(3)111ln (1)()nn n a nx a∞-=+-∑, (],x a a ∈- (4)()20,,!nn x n x ∞=∈-∞+∞∑ (5)[]21(21)!!,1,1(2)!!(21)n n n x n n x ∞+=-⋅∈-+∑ (6) 1231113(23)1,2!(1)22n nnn x n x x-⋅-+-+++⋅-(]1,1x ∈-19. 将函数13x- 展开成 x -1 的幂级数. 解:10111,1313212(1)2nn n x x x x∞+==⋅=-<<----∑ 20. 将 展开成x 的幂级数. 解: 21011ln ,112121n n xx x n x +∞=-==--<<++∑21. 将 21()32f x x x =++ 在x =1 处展开成幂级数.解:11201111111()(),32122(1)3(1)(1)(1)23n n n n n f x x x x x x x x ∞++===-=-=-+++++-+---∑13x -<<22. 求下列函数在 x=1 处的泰勒展开式. (1) 23815(1)177(1)(1)x x x +-++--(2)(1)(1)n nn x ∞=--∑23. 求和函数:(1) ()S x =1ln(1)111,01100xx x x x x x -⎧-+-≤<≠⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩(2) 先求导, 再积分,11ln ,121x x x+<- (3) 先除以x, 再积分, 然后求导,2,1(1)xx x <-24. 求幂级数 21121n n x n -∞=-∑ 在 (-1, 1) 内的和函数并求级数2111(21)3n n n ∞-=-∑ 的和.解: 先求导, 再积分, ()S x=211111,ln 2(21)3n n x n ∞-=-<<=-∑ 25. 判定下列级数的敛散性:(1) 此级数是两个发散级数的差, 故发散 (2) 由比较判别法, 此级数收敛 (3) 由比较判别法, 此级数发散 26. 设q >0, 级数1(1)(3)nn n q ∞=+∑ 收敛, 试决定q 的取值范围.解: 视此级数为幂级数1(1)n n n x ∞=+∑, 求其收敛域, 得103q <<27. 判定下列级数是绝对收敛, 条件收敛, 还是发散: (1) 由交错级数的莱布尼兹判别法, 此级数条件收敛(2) 当1x >时绝对收敛, 01x <≤时条件收敛, 0x ≤时发散(3) 当1a <时绝对收敛, 1a >时发散, 1a =且1k >时绝对收敛, 1a =且1k ≤时发散, 1a =-且1k ≤时条件收敛.28. 设 p >0, 讨论 p 取何值时, 级数 11(1)nn n n p∞+=-⋅∑ (1) 绝对收敛; (2) 条件收敛; (3) 发散. 解: (1)1p >; (2)1p =;(3) 1p <29. 将函数 1()arctan1xf x x+=- 展开成x 的幂级数. 解: 由于1arctan 1x x +-的导函数为12121(1)n n n xx x∞++=-=+-∑ 故2101()arctan,111421(1)nn n x f x x x n xπ∞+=+==+-≤<-+-∑30. 求级数1(1)2nnn n∞=-∑ 的和. 解: 考察1(1)nn n n x ∞=-∑的和, 先积分, 再求导, 得21111(1)(1)(1)n n n n x x x x x ∞=-=-+++∑+, 故12(1)29nn n n ∞=-=-∑。
