数列综合二轮复习(PPT)5-3

(4)已知an＋1－an＝f(n)，求an，用累加法：an＝(an－an－1)＋(an－
1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝f(n－1)＋f(n－2)＋…＋f(1)＋
a1(n≥2)．
(5)已知
an＋1 an
＝f(n)，求an，用累乘法：an＝
an an－1
·aann－ －12
·…·aa21
·a1＝
[必会结论]
1．判断数列单调性的方法
(1)作差比较法：an＋1－an>0⇔数列{an}是递增数列；an＋1－
an<0⇔数列{an}是递减数列；an＋1－an＝0⇔数列{an}是常数列．
(2)作商比较法：①当an>0时，则
an＋1 an
>1⇔数列{an}是递增数
列；0<
an＋1 an
<1⇔数列{an}是递减数列；
＋am＋1)(am，am＋1为中间两项)，S偶－S奇＝md，SS偶奇＝aamm＋1.
(7)若等差数列{an}的项数为奇数2m－1(m∈N*)，所有奇数项 之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m－1＝(2m－
1)am(am为中间项)，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，
x q
，x，xq；四
个数成等比数列，通常设这四个数分别为qx3，qx，xq，xq3.
提醒 (1)如果数列{an}成等差数列，那么数列{Aan}(Aan总有 意义)必成等比数列．
(2)如果数列{an}成等比数列，且an>0，那么数列{logaan}(a>1 且a≠1)必成等差数列．
(3)如果数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是 非零常数列；数列{an}是常数列仅是数列{an}既成等差数列又成等 比数列的必要不充分条件．

第三节
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新课标A版数学
题型一
等比数列基本量的计算
【例 1】 (2013· 湖北卷)已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和， S4，S2，S3 成等差数列，且 a2＋a3＋a4＝－18. (1)求数列{an}的通项公式； (2)是否存在正整数 n，使得 Sn≥2 013？若存在，求出符合条 件的所有 n 的集合；若不存在，说明理由． 【思维启迪】 (1)由条件易得公比 q 与首项 a1 的关系式，从 而求得 a1 与 q，再求得通项公式；(2)先求出 Sn，再由 Sn>2 013 得 出关于 n 的不等式，再通过分类讨论得出 n 是否存在．
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第五章 数列
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第五章
数列
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第三节 ►►等比数列
读教材· 抓基础
研考点· 知规律
拓思维· 培能力
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第五章
第三节
解析
a2＋a4＝20， a3＋a5＝40，
2 a1q1＋q ＝20， 即 2 2 a q 1 ＋ q ＝40， 1
两式相除得 q＝2，代入 a1q(1＋q2)＝20 得 a1＝2， a11－qn 21－2n ∴Sn＝ ＝ ＝2n＋1－2. 1－q 1－2
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第五章
第三节
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1 1 又 cn＝an－1，故{cn}是以－ 为首项， 为公比的等比数列． 2 2 (2)由(1)可知
1 1 － 1 n 1 n ， cn＝－2· ＝－ 2 2

1．裂项求和 3．错位相减
2．分组求和 4．倒序相加
1．裂项求和
把通项公式分成若干个已知数列的和，分别用公
式求这些数列的和，从而求出原数列的和.
例 : 求Sn
22 13
42 35
(2n
(2n)2 1)(2n 1)
an
1
1 (2n 1)(2n
1)
1
1 2
1 2n 1
1 2n
1
Sn
n
1 2
2．利用前n项和与通项的关系求通项公式
an
S1 ( n Sn
1) Sn1
(n
2)
方法一：直接利用an Sn Sn1求出an
方法二：利用an Sn Sn1消去an，得出Sn与Sn1的 递推关系式，求出Sn，再求an
3．利用递推关系，构造新数列。
①an an1 f (n)型
（叠加）
2 22
3 23
n 2n
1 2
Sn
1 22
2 23
n 2n
1
n 2n1
相减得：(1
1 2
)
Sn
1 2
1 22
1 23
1 2n
n 2n1
1 2
Sn
1 2
1
1 2n
1 1
n 2n1
2
Sn
2
1 2n1
n 2n
4．倒序相加求和
仿推导等差数列和的方法，把某些数列首尾 对称的项对应相加，有时也可得到不错的效果.
其实关键还是"理解"...多做题,多总结 规律!...
要点总结
定义
项、通项
数列基础知识
数列表示法
数

aan1
n(n1)
2 2 (n
2)
n(n1)
经验证a1符合an 2 2
练习:已知a1
3, an1
3n 1 3n 2
an ,则通项公式an
________
key
பைடு நூலகம்
: an
6. 3n 1
类型三 : 线性递推式an1 pan q( p 0, p 1, q 0)
例3、已知a1 1, an 3an1 1(n 2).求an .
2
四、裂项相消求和法：
例4.求和Sn
1 13
1 35
1
(2n 1)(2n 1)
解:
11 1
an
2
( 2n
1
2n
) 1
1 111
11
Sn 2 (1 3 3 5
) 2n 1 2n 1
1 (1 1 ) n 2 2n 1 2n 1
把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按 此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消， 于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和 方法称为裂项相消法.
列，则数列{an+cn}是公差为d+d′的等差数列。
练习:
• ⒈在等比数列{an}中，a2=-2,a5=54，a8= -1458.
• ⒉在等比数列{an}中，且an＞0，
a2a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5= _
6.
• ⒊在等比数列{an}中， a15 =10, a45=90,则 a60 =___2_70_或__-2_7_0_.
a
2
a 2an1 (1 a)2
(2n 1)an1 1 a
(a 1)

知识网络
要点梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√”,错误的打 “×”. (1)数列{an}和集合{a1,a2,a3,a4,…,an}是一回事. ( ) (2)一个确定的数列,它的通项公式只有一个. ( ) (3)若数列{an}的前n项和为Sn,对任意的n∈N+,都有an=Sn-Sn-1. ( ) (4)等差数列的单调性是由公差决定的. ( ) (5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数. ( ) (6)若对任意n∈N+,都有2an+1=an+an+2成立,则数列{an}一定为等 差数列. ( )
(2)等比数列: ������������1 ,������ = 1, Sn= ������1 -������������������ = ������1 (1-������������) ,������ ≠ 1,可采用错位相减法得到该公式.
1-������ 1-������
2
2
7.等差数列、等比数列前n项和的性质 (1)等差数列中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等差数列. (2)等比数列中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等思考辨析
5.等差中项与等比中项 (1)若a,b,c成等差数列,则2b=a+c. (2)若a,b,c成等比数列,则b2=ac. 6.等差数列、等比数列的前n项和公式 (1)等差数列: ������(������-1) ������(������1 +������������ ) na + d 1 Sn= =_______________ ,可采用倒序相加法得到该公式.
������������+1 = ������(������∈N+,������为非零常数) ������������ ������(������1 +������������) ������(������-1) = ������������1 + ������ 2 2

an amqnm
中项
A ab 2
G2 ab
性质
an am ap aq an am 2ap
an am ap aq an am ap2
Sk , S2k Sk , S3k S2k 仍成等差 Sk , S2k Sk , S3k S2k 仍成等比
求和 公式
Sn
n(a1 an ) 2
若TSnn＝7nn＋＋32，求ab55.
9a1＋a9
an S2n1 bn T2n1
解： ab55＝22ab55＝ab11＋ ＋ab99＝9b12＋b9 ＝TS99＝7×9＋9＋3 2＝6152.
2
7.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且
a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=( A )
分析:
如果等差数列｛an｝由负数递增到正数，或者由 正数递减到负数，那么前n项和Sn有如下性质：
１．当a1＜0,d＞0时,
aann100 Sn是最小值
２．当a1＞0,d＜0时, 思路1：寻求通项
aann100 Sn是最大值
即：3a1
9a1
30d
1 9 (9 1) d
2
d
1 10
a1
12a1
是关于n的二次式(缺常数项).求等差数列的前n项和 Sn 的最大最小值可用解决二次函数的最值问题的方法.
思路2：从函数的角度来分析数列问题.
9设a1等 差12 数9列(9｛1a)n｝d 的 1公2a差1 为12d,1则2由 (1题2 意1)得 d:
即： 3a1 30d a1 10d ∵a1<0, ∴ d>0,

a3
＋n≥…2＋，21nan＝2n＋5，则数列{an}的通项公式为( B )
A两 ∴．式 aan＝n相＝2减n2＋可n1＋，得 1 n，≥a22nn，＝n2B∈n．＋N*5a.－n＝2(n12－4n＋，11)，－n＝n5≥＝1，22，
C当．na＝n＝1 2时n ，a21＝7，∴Da．1＝an1＝4，2n＋2
等差数列的 命题分析
Ⅱ
基本运
数列在解答题中的考查常从数列的相关项
卷
算·T17
以及关系式，或数列的前 n 项和与第 n 项的
关系入手，结合数列的递推关系式与等差数
列或等比数列的定义展开，求解数列的通
2016
等比数列的
项、前 n 项和，有时与参数的求解、数列不
Ⅲ 通项公式、
等式的证明等加以综合．试题难度中等．
Ⅱ 通项公式和 或等比数列的定义展开，求解数列的通项、 2018
卷 前 n 项和公 前 n 项和，有时与参数的求解、数列不等式
式·T17
的证明等加以综合．试题难度中等． 学科素养
通过递推关系求通项，根据通项结构选择恰
当的求和方法求和.
考情分析 明确方向
卷 考查角度及 年份
别 命题位置
命题分析及学科素养
考点一 由递推关系求通项
[全练——快速解答]
由题意可知，数列{an}满足条件12a1＋212a2＋213a3＋…＋21nan＝2n＋
1．(2018·洛
5，则 n≥2
阳时四，有校12联a1＋考21)2已a2＋知21数3a3列＋{…an＋}满2n1－足1a条n－1件＝122(an1－＋121)＋2a25＋，213
考点一 由递推关系求通项
2Tn＝1×2＋3×22＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n② 由①－②得 －Tn＝1＋2×(21＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)·2n ＝1＋2×2－12－n－21×2－(2n－1)×2n ＝(3－2n)×2n－3， 所以 Tn＝(2n－3)×2n＋3.

an＝a(1＋r)n,属于等比模型.
(3)递推数列模型：如果题目中给出的 前后两项之间的关系不固定,随项的变 化而变化时,应考虑是an与an＋1之间的
递推关系,还是前n项和Sn与前n＋1项和
Sn＋1之间的递推关系.
课前热身
1.(2012· 盘锦调研 ) 已知 {an},{bn} 均为
等差数列 , 且 a2 ＝ 8,a6 ＝ 16,b2 ＝ 4,b6 ＝ a6, 则由 {an},{bn}的公共项组成的新数 列{cn}的通项公式cn＝( A.3n＋4 ) B.6n＋2
低题目的难度,解题时有时还需利用条
件联立方程求解.
例1
已知等差数列 {an}的前四项的和
A4＝60,第二项与第四项的和为 34,等比
数列{bn}的前四项的和 B4＝120,第二项
与第四项的和为90. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2) 设 cn ＝ an· bn, 且 {cn} 的前 n 项和为 Sn, 求Sn.
＋
① －②得：
－ 2Sn ＝ 9· 3 ＋ 4· 32 ＋ 4· 33 ＋…＋ 4· 3n － (4n＋ ＋ 5)· 3n 1 3 1－3 ＝ 27＋4· 1－3 ＝ 27＋2· 3
n＋ 1 2 n－1

－ (4n＋5)· 3n
n＋ 1
＋1
－ 18－(4n＋5)· 3
,
1 n＋ 1 ∴ Sn＝ [(4n＋ 3)· 3 － 9]. 2
答案：B
4.某种产品三次调价,单价由原来的每克
512 元降到 216 元 , 则这种产品平均每次
降价的百分率为________. 答案：25%
5.(2012· 威海调研 )已知函数 f(x)＝a· bx 的图 1 象过点 A(2, ),B(3,1),若记 an＝ log2f(n)(n∈ 2 N*),Sn 是数列 {an}的前 n 项和 ,则 Sn 的最小 值是________.

等差数列和等Fra bibliotek数列的性质及应用
三、应用举例
例1、等比数列an中，a1 an 66，a2an1 128，
前n项的和Sn 126，求n和公比q
等差数列和等比数列的性质及应用 一、知识回顾
等差数列的性质 设有等差数列{an}公差为d，前n项和为Sn
1.若m, n, p, q N*, m n p q,则am an ap aq
2.数列
Sn n
也是等差数列，公差
d 2
3.数列Sk , S2k Sk , S3k S2k ,也成等差数列，公差为 k 2d
4.若项数为2n(n 2, n N ), S偶 S奇 nd
若项数为2n 1(n 2, n N ), S奇 n 1
5.设等差数列
bn
的前n项和为ST偶n，则nabnn
S 2 n 1 T2n1
6.若a1 0, d 0, Sn有最大值 若a1 0, d 0, Sn 有最小值
可由aa
n 0 n1
来确 0
定n
可由aann
0 1
0来确定n
水、奶油、糖、果汁等物混合搅拌，在低温下冻成的砖形硬块。 【冰锥】īī（～儿）名雪后檐头滴水凝成锥形的冰。也叫冰锥子、冰柱、冰溜（）。 【并】ī 名山西太原的别称。 【兵】ī①兵器：短～相接｜秣马厉～。②名军人；军队：当～｜～种｜骑～。③名军队中的最基层成员：官～一致。④指军事或战 争：～法｜～书。；中国保藏中心 微生物资源中心 保藏中心 https:/// 中国保藏中心 微生物资源中心 保藏中心 ；军队哗变：发动～。 【兵不血刃】ī兵器上面没有沾血，指未经交锋而取得胜利。 【兵不厌诈】ī用兵打仗可以使用欺诈的办法迷惑敌人（语本《韩非子?难一》：“战阵之间，不 厌诈伪。”不厌：不排斥；不以为非）。 【兵车】ī名①古代作战用的车辆。②指运载军队的列车、汽车等。 【兵船】ī名旧时指军舰。 【兵丁】īī名士兵的 旧称。 【兵法】ī名古代指用兵作战的策略和方法：熟谙～。 【兵符】ī名①古代调兵遣将的符节。②兵书。 【兵戈】ī〈书〉名兵器，借指战争：不动～｜～ 四起。 【兵革】ī〈书〉名兵器和甲胄，借指战争：～未息。 【兵工】ī名军工。 【兵工厂】ī名制造武器装备的工厂。 【兵贵神速】ī用兵以行动特别迅速最 为重要（语出《三国志?魏书?郭嘉传》）。 【兵荒马乱】ī形容战时社会动荡不安的景象。 【兵火】ī名战火，指战争：～连天｜书稿毁于～。 【兵家】ī名① 古代研究军事理论、从事军事活动的学派。主要代表人物有孙武、孙膑等。②用兵的人：胜败乃～常事｜徐州历来为～必争之地。 【兵舰】ī名军舰。 【兵 谏】ī动用武力胁迫君主或当权者接受规劝：发动～。 【兵来将挡，水来土掩】ī，比喻不管对方使用什么计策、手段，都有对付办法。也比喻针对具体情况 采取相应对策。 【兵力】ī名军队的实力，包括人员和武器装备等：～雄厚｜集中～。 【兵临城下】ī指大军压境，城被围困。形容形势危急。 【兵乱】ī名由 战争造成的混乱局面；兵灾：屡遭～。 【兵马俑】ī名古代用来殉葬的兵马形象的陶俑。 【兵痞】ī名指在旧军队中长期当兵、品质恶劣、为非作歹的人。 【兵棋】ī名特制的军队标号图型和人员、兵器、地物等模型，在沙盘和地图上可以像棋子一样摆放或移动，供指挥员研究作战和训练等情况时使用。 【兵器】 ī名武器?。 【兵强马壮】形容军队实力强，富有战斗力。 【兵权】ī名军权。 【兵戎】ī〈书〉名指武器、军队：～相见（武装冲突的婉辞）。 【兵士】ī名士 兵。 【兵书】ī名讲兵法的书。 【兵团】ī名①军队的一级组织，下辖几个军或师。②泛指团以上的部队：主力～｜地方～。

.
1 数列 anan1 仍是等比数列:其首项是 a1a2 8, ，公比为 4 .
所以, a1a2a2a3 anan18[11(1 1 4)n]332(14n) 4
应选〔C〕。
［点评］此题主要考察等比数列通项的性质。
考题剖析
例7、(2021福建理)设｛an｝是公比为正数的等比数列， 假设a1=1,a5=16,那么数列｛an｝前7项的和为〔 〕
考题剖析
二、等差数列相关问题
1、课标要求
〔1〕通过实例，理解等差数列的概念，掌握等差数列
的通项公式，前n项和公式。
〔2〕能在具体问题中，发现数列的等差数列关系，并
能用有关的知识解决相应的问题。
〔3〕掌握等差数列的一些性质，并能灵活运用解题；
〔4〕体会实际生活中的等差数列，并能解决一些实际
问题。 2、解题方法指导
高考命题趋势
1、以客观题考察等差数列、等比数列的概念、 性质、通项公式，前n项和公式、数列极限的四 那么运算法那么等。
2、解答题将以等差、等比数列的根本问题为 主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等 式、数列与解析几何的综合应用，数列与导数、 平面向量、概率等新知识相结合也不可无视。更 要特别重视数列的应用性问题。
3
99
9
所以｛an｝不是等比数列.
考题剖析
(Ⅱ)解：因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+21］2 =(-
1)2 n+1( an-2n+14) 2
3
=3 (-1)n·〔an-3n+21〕3 =- bn
又b1=-(λ+18),所以
当λ＝－18，bn=0(n∈N+),此时｛bn｝不是等比数列：