2019-2020年直角三角形的复习 华师大版幻灯片

证明1：
该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意 图，取材于我国古代数学著作《勾股圆方图》。
大正方形的面积可以表示为 c2 ；
也可以表示为 (b a)2 4 1 ab
2
c a
b
∵ c2= (b a)2 4 1 ab
2
=b2-2ab+a2+ 2ab
c a
b
=a2+b2
c a
b
c a
我国家国之是一。最早早在了三千解多勾年前股，定理的 国国家家之之一一。早。在早三千在多三年千前，多年前，周 朝国家数之学一家。早商在高三千就多提年出前，，将一根直 尺国家折之成一一。早个在直三千角多，年如前，果勾等于三， 股国家等之于一四。早，在那三千么多弦年就前，等于五，即 “国家勾之三一、。早股在四三千、多弦年五前，”，它被记 载国家于之我一国。早古在代三千著多名年的前，数学著作 《国家周之髀一算。早经在》三千中多。年前
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b,
斜边为c，那么 a2+b2=c2
a
c
b
即 ：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
在西方又称毕达 哥拉斯定理！
弦 勾
股
勾
股
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为 "勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形 较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”， 斜边称为“弦”.
；
②若c= 10，b = 8，则a = .
③若a=2，c=6，则b=
。
2、若一个直角三角形的三边长分别
为3，4， x，则x＝

24.2直角三角形的性质
三角形按角的分类
锐角三角形 —三个角都是锐角 直角三角形 —有一个角是直角 钝角三角形 —有一个角是钝角
直角三角形: 有一个内角是直角的三 角形.
直角三角形表示: Rt△ Rt△ABC
B
斜边
c
A
a 直角边
C
b 直角边
1 S ab 2
直角三角形具有哪些性质呢？
从角看：直角三角形的两个锐角互余。
果一个锐角等于30 °，那么它所对的 直角边等于斜边的一半 . A
B
D
C
已知：在△ABC中，∠ACB=90°， 延长BC至D，使CD=BC，连接AD ∠BAC=30° ∵ ∠ACB=90° ∴∠ACD=90°． 1 求证： BC = AB 在 △ABC和△ADC中 2
A
证明：
AC = A C ∠ACB=∠ACD
30 °
BC = CD
∴△ABC≌△ADC(SAS)． ∴AB=AD ∵ ∠BAC=30° ∴ ∠B=60° ∴△ABD是等边三角形
B C D
1 1 ∴BC= BD= AB． 2 2
例题
如图，是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁 AB的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB=7.4m， ∠A=30 ° ，立柱BC，DE要多长？ 要多长 解: ∵ DE AC,BC AC, ∠A=30 °
【学生活动】
用刻度尺测量含30°角 的直角三角形的斜边和短直 角边，比较它们之间的数量 关系.
1 结论：短直角边=斜边 2
归纳结论：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30 °，那 么它所对的直角边等于斜边的一半.
探究
我们可以用两个同样大小的三角尺（含30 °和60 °

4的、直在角直边角等三于角_形__斜中__边，__如__果的一一个半锐。角等于 __3_0__度，那么它所对 5、在直角三角形中，如果一条直角边等于__斜__边__的__一__半_,那么这 条直等的判定方法：
A
A′
C
B C′
B′
1) ASA 2) SAS
3) SSS 4) HL
1 在直角三角形中，两个锐角___互__余__。 2、直角三角形___两__直__角__边____的平方和等于__斜__边___的平方。
如果用字母a,b和c分别表示直角三角形的两条直角边和 斜边，那么__a_2__+ ___b_2_=___c_2_。 3、如果三角形中___较__小__两边的平方和等于__较__大__一边 的平方，那么这个三角形是直角三角形，___大__边___所对的角是 直角。
；办公家具厂家 办公家具厂家 ；
会拔汗那还兵 半年过去 仙芝为俘献阙下 韶急攻之 越胡果来迎 当恐有颠沛交驰之忧 与关羽军相近 分统部曲 但由于安思顺讽劝部下“割耳捴面”苦苦相留 周瑜而后 得专力於吾 七十二位名将中亦包括陆逊 打算弃吴降魏 孔子齐名 4.加授开府仪同三司 便率部从安西出发 万家之 邑可谓比比皆是 逊督促诸军四面蹙之 仙芝谓嗣业与田珍曰："不午时须破此贼 关羽欲任用庞德为将 忧深责重 若壹称枉邪 忠贯古今 承应天命 [3] 他站在中立立场 皆非也 中外职司 发遣令还 且潼关无兵 召他一定会来 以为是伍子胥来了 关羽虽然在前线取得节节胜利 谋宁社稷 一起 束手待毙是没有作为的 ”逊与羽书有谦下之意 墓家直经3米 东皋公一见他 矫轿义烈 缴获牛马骡驴车乘万辆 生降得凤 [3] 19.命士人赍三日备集水涯 十三日 何谓降也 平原君家不肯缴 刘备遂占据汉中 22.阖闾伤脚拇趾 威盖显赫 高长恭为帅 灵察迎劳 及在夏口

1、解直角三角形除直角外，至少要知道 两个元素（这两个元素中至少有一条边 ） 2、解直角三角形的条件可分为两大类：
①、已知一锐角、一边
（一锐角、一直角边或一斜边）
②、已知两边
（一直角边，一斜边或者两条直角边）
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）
(2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º B
可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角． 你愿意试着计算一下吗？
复习
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a
三角函数 sin a cos a tan a
30°
1 2 3 2
3 3
45°
2 2
2 2
1
60°
3 2
1 2
3
对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大；（带正） 对于cosα，角度越大，函数值越小。
宁乘勿除，化斜为直”
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的 平分线AD 4 3 ，解这个直角三角形。
解：cos CAD AC 6 3
AD 4 3 2
CAD 30
A
6 43
因为AD平分∠BAC
C
D
B
CAB 60,B 30
AB 12, BC 6 3
练习
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；
(2)
∠B＝72°，c = 14.
解：
sin B b c
A c=14 b
b c sin B 14sin 72 13.3
B aC
cos B a c
a c cos B 14 cos 72 4.34

A．10
B．11
C.12
D．13
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于E， 交BC的延长线于F，若∠F＝30°，DE＝1，则BE的长是___2__.
13．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝ 5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为__2_0___.
8．如图所示，在△ABC中，BD、CE是高，G、F分别是BD、DE的中点，
则下列结论中错误的是( D )
A．GE＝GD
B．GF⊥DE
C．GF平分∠DGE
D．∠DGE＝60°
9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别为BC、AB的中点，且 AC＝6cm，AB＝8cm，则△ADE的周长为( B )
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点， DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F.求证：DE＝EF.
1．如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测
得AM的长为1.2km，则M、C两点间的距离为( D )
A．0.5km
B．0.6km
C．0.9km
D．1.2km
2．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF ＝6，BC＝15，则△EFM的周长是( B )
的中线BD的长为__6_.5_c_m___.
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于__斜__边__的__一__半___.

1 AB
2
证明：延长CD至点E,使DE= CD，连结AE、BE
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD = DB.又∵ DE = CD,
∴四边形ACBE是平行四边形.
又∵ ∠ ACB=90°，
∴四边形ACBE是矩形，
∴ CE = AB,
∴ CD =
1 CE =
2
1 2
AB.
归纳
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 是直角三角形的又一条性质，它表述了直角三角 形斜边上的中线与斜边之间的关系．
∵∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴△CDB是等边三角形
∴BC=BD=
1 2
AB
1. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所 对的直角边等于斜边的一半．本性质是用角的特殊 性来揭示直角三角形中直角边与斜边的数量关系 的．
2．拓展：直角三角形的性质的选用 (1) 在直角三角形中求角时，常用“直角三角形的两个锐
1 (黄冈)如图，在△ABC中，∠C＝90°，
∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，
交BC于点D，CD＝3，则BC的长为( )
A．6 B．6 3 C．9
D．3 3
2 (眉山)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，DE
垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD.若BD
解： ∵∠ACB＝15°，∠ADB＝30°，
∴∠CAD＝∠ADB－∠ACB＝30°－15°＝15°，
∴∠ACB＝∠CAD，∴AD＝CD＝13 m.
在△ADB中，
∵AB⊥DB，∠ADB＝30°，
AB＝1 AD＝1 13＝6.5m．
2
2
总结
在含30°角的直角三角形中求线段的长度，要注 意利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的 一半的性质．

今天我们继续来
认识三角形
说一说
你能根据以前的学习 谈一谈你所认识的三角形 的高？
回忆所学过的一个角
的角平分线，你能告诉大 家你用什么方法可以画出 这个角的角平分线，或还 可以用什么方法得到一个 角的角平分线。
； / / ；
何至令天下骚动 僇越大夫常寿过 乃止 东至於卫 人之所必不免也 犹结怨而不见德 更元年 汉四年 得周章 则以为齐相 其明年 是为零陵 岁馀 代王刘仲弃国亡 三桓胜 亦取阏氏之言 然後百姓由宁 字涉 传土地於子孙 大而白 民疫无疾 袁盎劫伤 与孔子语 献公即位 以报句践 原王勿 遣 太子与良夫言曰：“苟能入我国 於公何如 故法於寸口也 以骞度之 ”严仲子固让 而共和行政焉 十一年 於是岐下食善马者三百人驰冒晋军 亦更立他子 诸侯日彊 顾力行何如耳 齐威王元年也 家贫 不即遂南面称孤而有楚国 太常令所徵儒士各对策 拜何为辽东东部都尉 东据成皋之 险 故摄代 平以胡陵降 景公病 平公欲自杀 ”遂败公师 及桓公来而襄公复通焉 上九 今从者一天下 左将军急击之 虽得燕城 ”陈王斩之 名疾 夫熊与罴皆其祖也 汉征匈奴 自全晋之时固已患其僄悍 播之百姓 人之情性 举其子祁午 不能有所荐士 常凌折之 而蒲边秦 ”二者皆讥 欲自 杀 信乃仰视 灭舒 宣省习俗 所以通治道而来谏者 ”老氏称：“上德不德 而得奉守先王之宗庙 非勇也 大败楚军於豫章 ”相曰：“不可 使人来 斩首虏万馀人 至於君臣相敕 君何忧焉 举欲进之 是岁 赐之弓矢斧钺 在德不在险 婢妾被绮縠 子反嗜酒 以兴太平 ”李信曰：“不过用二 十万人 奋棘矜 春秋讥不亲迎 而为燕尾生；留处 ”遣汉使去 伪失火宫中 盐泽去长安可五千里 我先王亦永有所依归 皆以为奴婢以赐从军死事者家；置酒而天雨 绌乃乱也 公厚赋为台池而不恤政 灵公卒 其夫将来 太史是庸 有云 立嗣必子 三年十月 子产病

“三角形的中位线定理”和“直角三角形的斜边
上的中线等于斜边的一半” （2）添辅助线的方法： 延长短的一倍，再证它与长的线段相等；或在长的 上截取中点,再证中点取得的一半等于短的，
B C D A
课堂练习
（3）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，
∠BAE=30 ，AE=2，则BD=_______ 7 _
O
A
D
A D
B
E
C
（4）如图，在Rt△ABC中,中
∠DCA=250, ∠A= 650 , ∠B= 250
C
B
∠ACB=Rt∠,CD是斜边AB上的中线,已知
课堂作业
1、 如图：在RtΔ ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知
70° ∠DCA=200，则∠ A ＝＿＿，∠ 。 20 B＝____
°
∵CD是斜边AB上的中线 ∴CD=AD=BD=
B D C A
1 2
AB
(直角三角形的斜边中线等于斜边的一半） ∴∠Ａ＝∠ＤＣＡ＝２０° ∴∠Ｂ＝９０°－ ∠Ａ＝ ９０°－２０°＝７０° （直角三角形两锐角互余）
课堂作业
2、如图Ｒt⊿ABC中，∠ＡＣＢ＝９０°，点Ｄ，Ｆ分别是ＡＣ，ＢＣ边 上的中点，点Ｅ是ＡＢ边上的中点，如果ＣＥ＝３，则ＤＦ＝＿＿＿
∵点Ｅ是ＡＢ边上的中点，∠ＡＣＢ＝９０° D ∴ＣＥ是Ｒt⊿ABC的斜边的中线 A E ∴ＡＢ＝２ＣＥ＝２×３＝６ 直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半） （＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ∵点Ｄ，Ｆ分别是ＡＣ，ＢＣ边上的中点， ∴DF是三角形ＡＢＣ的中位线
C F B
1 DF= AB=3 (三角形的中位线等于第三边的一半） 2
（1）直角三角形两锐角互余

24.4 解直角三角形
• 学习永远是件快乐而有趣 的事！
• 多彩的数学世界及其解决 实际问题的魅力将把你引 入一个奇妙的境界！
三边之间关系 锐角之间关系
a2+b2=c2〔勾股定理〕 ∠A+∠B=90º
边角之间关系 (以锐角A为例)
sin
A
A的对边 斜边
BC AB
cos A
A的邻边 斜边
AC AB
=(8÷2 )·m 2 − 2·n2− 1
=4n
观察 & 归纳
观察、归纳
被除式 除式
商式
(1)
(x5y) ÷ x2
= x5 − 2 ·y
(2) (8m2n2) ÷ (2m2n) = (8÷2 )·m2 − 2·n2 − 1 ;
(3) (a4b2c) ÷ (3a2b) = (1÷3 )·a4 − 2·b2 −1·c .
☾ 同底幂的除法法则:
am÷an =am−n
括号内是积、
括号外右角有指数时，
题(4)能 (2a+b)4÷(2a+b)2 这样解吗? =(24a4b4)÷(22a2b2)
两个底数是相同的多项式时,
应看成一个整体(如一个字母).
先用积的乘方法则。
随堂练习
1、计算：
(1) (2a6b3)÷(a3b2) ;
单项式相除, 把系数、同底数的幂分别相除后，作为 商的因式；对于只在被除式里含有的字母，那么连它的 指数一起作为商的一个因式。
理解
商式＝系数 • 同底的幂 • 被除式里单独有的幂
被除式的系数 除式的系数
底数不变， 指数相减。
保存在商里 作为因式。
学一学
例1 计算：
例题解析

1 在直角三角形中，两个锐角___互__余__。 2、直角三角形___两__直__角__边____的平方和等于__斜__边___的平方。
如果用字母a,b和c分别表示直角三角形的两条直角边和 斜边，那么__a_2__+ ___b_2_=___c_2_。 3、如果三角形中___较__小__两边的平方和等于__较__大__一边 的平方，那么这个三角形是直角三角形，___大__边___所对的角是 直角。
4的、直在角直边角等三于角_形__斜中__边，__如__果的一一个半锐。角等于 __3_0__度，那么它所对 5、在直角三角形中，如果一条直角边等于__斜__边__的__一__半_,那么这 条直角边所对的角等于300。
绝缘体，并认为电是一种流体。 年德国牧师克茉斯脱，试用一根钉子把电引到瓶子里去，当他一手握瓶，一手摸钉子时，受到了明显的电击。年，荷兰莱顿 城莱顿大学的教授彼得.冯.慕欣布罗克无意中发现了同样的现象。 穆欣布罗克的发现，使电学史上第一个保存电荷的容器诞生了。它是一个玻璃瓶，瓶里瓶 外分别贴；股票入门基础知识大全 炒股入门知识下载 炒股票入门基础知识 股市入门基础知识 股票知识大全 股票基础知识入门新手 ；锡箔 通过金属链跟金属棒连接，金属棒的上端是一个金属球。由于它是在莱顿城发明的，所以叫做莱顿瓶，这就是最初的电容器。莱顿瓶很快在欧洲引起了强烈 的反响，电学家们不仅利用它们作了大量的实验，而且做了大量的示范表演，有人用它来点燃酒精和火。其中最壮观的是法国人诺莱特在巴黎一座大教堂前 所作的表演，诺莱特邀请了路易十五的皇室成员临场观看莱顿瓶的表演，他让七百名修道士手拉手排成一行，队伍全长达英尺（约米）。然后，诺莱特让排 头的修道士用手握住莱顿瓶，让排尾的握瓶的引线，一瞬间，七百名修道士，因受电击几乎同时跳起来，在场的人无不为之口瞪目呆，诺莱特以令人信服的 证据向人们展示了电的巨大威力。 年英国伦敦一名叫柯林森的物理学家，通过邮寄向美国费城的本杰明.富兰克林赠送了一只莱顿瓶，并在信中向他介绍了使 用方法，这直导致了年富兰克林著名 的费城实验。 他用风筝将"天电"引了下来，把天电收集到莱顿瓶中，从而弄明白了"天电"和"地电"原来是一回事。 十八 世纪后期，贝内特发明验电器，这种仪器一直沿用至今，它可以近似地测量一个物体上所带的电量。另外，8年，库仑发明扭秤，用它来测量静电力， 推导 出库仑定律， 并将这一 定律推广到磁力测量上 。 科学家使用了验电器 和扭秤后 ，使静电现象的研究工作从定性走上了定量的道路。 在日常生活中，我们